bedingte wahrscheinlichkeiten die belegschaft eines betriebes wird nach rauchern und nichtrauchern...
Post on 05-Apr-2015
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wirdnach Rauchern und Nichtrauchern ein-geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir:
Allgemein definiert man:
Hier noch ein Beispiel zur bedingtenWahrscheinlichkeit
Drei Personen A, B und C befindensich im Gefängnis.Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt,aber keiner der drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid.Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wervon den beiden anderen, B oder C, exekutiertwerden wird.
Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.
Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die
Antwort „B“ gibt und mit Wahrscheinlichkeit1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er
wahrheitsgemäß.
Formel von der totalenWahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushaltein einer bestimmten Gegend
Anteil der Haushalte, die ein Auto> DM 40 000,- anschaffen, in denverschiedenen Einkommensklassen
Es ergibt sich:
Also nach der Formel für die totaleWahrscheinlichkeit:
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Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
Satz von Bayes
In einer Stadt vermutet man, dass fürdie Bevölkerung die folgende Aufteilungin Deutsche, Italiener und Ausländer, diekeine Italiener sind, besteht:
wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteilvon Personen in der Bevölkerungsgruppeangibt, die gerne Spaghetti bestellen.
(Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassdieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oderein nicht-italienischer Ausländer ist?
D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
Nach der Formel für die totale Wahr-scheinlichkeit hat man:
Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
Satz von Bayes
Lernen aus ErfahrungBeispiel
Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:
A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün
Die Wahrscheinlichkeiten für diedrei Möglichkeiten sind unbekannt.Wir setzen:
P(A1) = p1P(A2) = p2P(A3) = p3
Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.
Nehmen wir nun an, dass dasEreignis B geschieht.
„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“
B
Dann hat man:
Nach dem Satz von Bayeserhalten wir:
Ebenso:
Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeitfür A3 gegeben B dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:
Grundbegriffe
der (deskriptiven) Statistik
der Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsfunktion der Normalverteilung I
Verteilungsfunktion der Normalverteilung II
Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Verteilungsfunktion
Zufallsvariablen
VerteilungVerteilungsfunktion
WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte
Verteilung
Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen
diskret stetig
diskret
f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion
von X
stetig
f nennt man Dichtefunktion
von X
Verteilungsfunktion
diskret stetig
diskret
stetig
Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall
Erwartungswert
Varianz
Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Der diskrete unendliche Fall
Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz II
Der stetige Fall
f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz III
Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé
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