bhagyalaxmi llll eng+hindi.p65
Post on 02-Jan-2017
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
������������� ��� ���������� ������������������� �����������������������
���������������������� ������������������ �����������
������������� ��� �������� ��������������� �� ������������������������������������������������� �������������������� ����������������� ��� ���������������������������� ����� ����!"�������#$���
�����
�� ���������� �� ��� ��� ���������� ��� ���� ����� � � ��� ��������� ���� ����������� ����� �� � ���
�� ������������������������ �������������������������������������������������������������������� ���!������"����������������� � ��� �� ���������� ��� ����� ������� �������������� ��� � ���� ���� ���!�� ���� "�������� � � #������������������ � ��� �� ���������� ��� ����� ������� ���������#���� ����� �������� ��� ����� "�������� ��� ��� ���������������� ������� ��� ������� �������������� �� ��� "������� ������������$����������������������������������������������������� ������������ ������ � ������� ��������� ���������������� ���������� ������������������������������������������� � ��� "�������� ����������������� ������ ���� �� ����������������������%�������$������������������������������������������� �#�����������������"����������������������������"���������������������� ���������������������������� ���������� �������������������������� �&������� �������������������'���������'�����(���� ����������� �����������������������"���������������������� ���� ��� ��� ������� �!�� ����� ��� ���� ��� ��� �����(����!��(������������ �������������������������� ����������������������$����
)� ��������������������������������� ��������"����������'��������'��������&��������������������������������������"���������������������������������������������� ������������������������������������������������� ���������������!��
*� ����������� �������������������������+������������������,� -�� ��������� � � ��� ��(� ��� ���������� ���� ����� �!��
��� ������� $���� � ��������������� ���� ����!���"�#����� �$� ��� ���� ���%��&�'(� )����� � ���������� ����#����� ����������������*��+,��� �������� ���� �� ��� ��!������� ��� ��.����/��� � 0��������� ���� ������ �� ���� ����� ������� ��� ���� ������ � ��������������#����� ��$� ���
1� ����0-%2� ��� ���������� ������#��������� ��� ���0-%2����������)���#��� � ����������$��������������%������$�������������������������������������������������������� $����� 3������ � � ��� ���� �����(� ������� $���� ���%������� $���� ���� ������� ��� ���� ���� ������ � ��� ����� � ���������������0�������$�����3�����(���������������������������� ������ ��� ����� �� ��� ��!������� ������������ � � ��� ���� �����(� ������� $���� ���� ��%������� $����
�� �������� ���� �� �� � ��������� ���������� � ������������������ ����� ������������� ��������
�� ��������������� ���� ��������� !��"���������������#��������������� ���� �����������$ %����������&����������'��(��� !��)�&���(���� �� ��*+������ ��#������� ����� � !�����������&���������� �!�����'��(��� !��)�&����(���� ��(����� �� ��*+������ ����������� ����� �,�-����� ������� !��������(������� ��*+������������������� ��&�����.�*+�����/��&���������( &���0����� �������&���� �������������� ���1�)#��������������� ���������� ������������������������������������������������������������������������� ������������!"�#����$������ ���� ���������&���"��(��� !��)��� ��#�#����� ��,�-��� !���� ��(������������������� ���� ��21�����.��34���������5������� ����� !���(���� ��(��� �����,�-������� ��(����� ��6&�.���� �� !����%&����#�'�� ������������#������(���)���!�"����������!"�#�����$�����������#�������!"�#�������$����������!����������&����(���� �#������������ �#�*���(����� ��#��,�-������ ����� ����&���������*�+)��,��������� �� �������&������� �5���#�)�#7�����1�*+�����/��&���� ����(���� ��� ���-������������1������� !8������� �������&������� ���-������������ ��)�#7���
�� ��������������� ���� ���������!����������&����(���� ��(���� ���� ��#� � ��� ��*+���� !���#� �����,� �*+����1��������*�������*+����&���)��������!���*�����9���1�-������� ������������ �� �5������)�������
�� ��������� ����,�!������ !����,� �&���� �!$�� !��� ���������&�:� ��������8��������;�-� ����������������#��������������
#������� ��*+�����/��#��� ������������������������� ��������������#��� �������� ������������� ���� ���� ��� ������� � � ��� ��!��� ��� ��������� ���� ���<���3=�����������;�-� ����������������������#������ �������������� ���������;����)���� ��� !��
� ������� ��� ���������� !���� �����%��� �������� �������� �� �������8�*+�����/���� ��� �"�#���34���������5��!�������"�����<������� �����&���� !���� ��������%��� �������� ������������� �8�*+����/��#���34����������5�������( &���0���&���� !������������ ������( &��0����>�� ���8������������;-������ ���������� ����1?����������������� �8*+�����/��#���34���������5��������� ��#�*2 �������2�����/��5���������� ���#7�
������� ������
�������������� ����
����������� ��������� ���������� ������������������� ��������������������������
������������ �������� ���������������������������� ��������������������������� ��� �������������� �����������
��� ��������������������
����� ���� �� ������������������������������ ����������� ���� ��� ������������������������� ����������������������� ����� ��!�� ������� " #������� ��!�� ������$������������������ ������ !���������� ������$���
" #������� ��!�� ������%����!���������� �������%���
���������� ����������� �� ����� � �
�����
������������������������������������� ���������������
����������� ����������� ������������������ � ��� �� ����� ����� � �� �� ��� ��� � ������ � ������ �� �� �
����������� �������������������� ��������������� ������������������������������������������������������� ������� ��� �����!"#
� �������� ��� ���� ������
��
��� �� ��� �� ��� �� �� �
��
��� �� ��� � ��� �� �� ��
����������� ���������� ���� �� ���� � ������ �� �� ������ �� ���� ��� ��� ���� �!� � "������� ��� � � �� � ���� ���#� � ����������� ���� ����� � �� ��#� ���$��� �� ���� � ���� ��� � ��!
����������� ����������������� ���������� ����������������$�%������������ ���������� ��� ��!"&��������������������������!%�����������!���'�%����� ������()���� ������ �����������!�����&
� �������� ��� ���� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
��
���������� ��������� ��������� ���������
��
�������� �������� �������� �������
���� ������� �� ����������������� �� ����
������������������������������������� ���������������
� �������� ��� ���� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
��
��������� ��������� ��������� ��������
�
��������� ��������� ���������� ��������
����������� ����������� ��������� ���������� ���� � �������� �� ��� �� �� ����� ������ �� ������ �������
����������� �������������������� ��������������� ������������+�,%-���������%�����. ���������!"#
� �������� ��� ���� ������
!�
��� �� ��� �� ��� � �� ��
"�
��� �� ��� �� ��� � �� ��
������������������������������������� ���������������
��������� � � ����������� &� �� ���� ��� ���� ����� � �� ��� �� ���� � � ��� � � ����� ��� ���� �������� ������ ���� �����'���'��
����������� ������������������ ()���� ������ ��������������"���� ����������������� �����������'���'������������!���/�������'��!"#
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
#�
��� ��� ��� ��
�$�
�������� �������� �������� �������
���
�������� �������� �������� �������
��������� � � ������������� ���� � ������ �� �� ������ ���� ��������� ��� ��� ���� �!� � "������� ��� � � �� ���� ���� � ����������� ���� ����� � �� ��!
����������� ��������������������� ���� ������������������$�%������'�%����� ����� ��� ��!"&��()���� ������ �����������������!��0�������� �!�����&
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��������� ��������� ��������� ��������
���
���������� ���������� ���������� ���������
������������������������������������� ���������������
��������� � � �������� &� �� ���� ��� ���� ����� � �� ������� �������� ���� ����� �� ��� ���� �� ��� ������ �� ��� �
����������� ������������ ()���� ������ ��������������"����� �������������������� ������ ����������������� �%����(����� �)�1����!���-����#
� �������� ��������� ������ �* %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��������� ������� ������� �������
��������� � � ������������� &� ������������������ ��� ��#����������� � � ������������������� ������ �� �#� ���� � ����� ������ �� �� �� ����������
����������� ��������������������� ���������� �����������������������()���� ������ ������������!����� ����"�����!"#
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
���������� ���������� ���������� ���������
� �
���������� ���������� ���������� ���������
������������������������������������� ��������������
��������� � � ������������ ��������������������� ����� �� �������������� �#������������������ ������ �� �!
����������� ����������������� ���� �������������'���������$�%�������!���������%�����. ��2��������-�&
� �������� �������� ������
�!�
��� �� ��� �� ��� � �� ��
�"�
��� �� ��� �� ��� �� �� ��
�#�
��� �� ��� � ��� �� �� ��
�$�
��� � ��� � ��� �� �� ��
������������������������������������� ��������������!
� �������� �������� ������
���
��� � ��� � ��� �� �� ��
���
��� �� ��� �� ��� � �� �
��������� � � ������������� *������ ���� �������������� � �� ��� �������� �� ����� ������ �� �#������������+������� � ���!� �,��� �#��� �������� � � ���
����������� ��������������������� �����������()���� ������ ��������������� ���������� �"������������������3�������� ������������4���!"&�����"������!��!"���%���&
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��� ����� ����� ��
���
��� ����� ����� ��
������������������������������������� ��������������"
��������� � � ������������� ���� � ������ �� �� ������ ���� ���� ���� ��� ���� ��!� � -��$��� �� ���� � ���� ��� � ��#� ������� ���� � � �� ��������#� � ��� �������� �������� � �� ��!
����������� ��������������������� ���� ������������$�% ��������0�������� ����� ��� ��!"&��������������������������!%��()���� ������ ������������������!���'�%����� �!�����&
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��� ���
��� ��
� �
�������� ��������
�������� ��������
������������������������������������� ��������������#
��������� � � ������������ ������������ �� ����� ������� �������� ��������������.
����������� ����������������� ��������������� ������ �������������5�� �����������*&
�!�
������ ��������� ���������� ��������
�"�
��� ��� ��� ��
�#�
��� ���������� ��� ��
�$�
��� ��� ��� ���������
��������� � � ������������ ������ ����� ������ �� �� ������ ���� ������� ��� ���� �!� � "������#� �� � � �� ���� ���#� � ����������� ���� ����� � �� ��!
����������� ������������������� ���������� ����������������$�%���������� ��� ��!"&���������!��0�������� �()���� ������ �����������!�����&
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��� ��� ��� ��
������������������������������������� ���������������$
� �������� �������� ������ %���� ��� �����()���� ������ �*
���
��� ��� ��� ����������
���
��� ��� ��� ��
��������� � � ������������� ���� � ������ �� �� ������ ���� ���� ���� ��� ��� ���� �!� � "������� ��� � � �� ��������#� � ��� �������� ���� ����� � �� ��#� ���$��� �� ���� � ���� ��� � ��!
����������� ��������������������� ���� ������������������$�%�����0�������� ����� ��� ��!"&��������������������������!%��()���� ������ ������������������!���'�%����� �!�����&
� �������� ��� %���� ��� �����()���� ������ �*����� ������
��� ��
������������ ���������� ���������� ��������
���
���������� ���������� ���������� ���������
������������������������������������� ����������������
� � �����������������������������
��� ����
��� !�"���#
��� ����� $���#
�� $���#%��
�!� &�'� �"'#%� ���� ('��'��#%� ��� #'�� �#��)����)�� *
��� +,�,�!�����#
��� !�(�-�.'#���)�'�
��� /�0�/����
�� 1����!�2�2
�"� &���� ��)'#2���� )'�'��� ��� '����#�2� ��"�3�#%�������#2���2�)'�'����*
��� 4�����
��� 5��#%�
��� 6�'�#
�� 4�#�
�#� 7'����8�"�����#�9�������������������
��� $��#�
��� 6�����
��� +����"�
�� $���
�$� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� #'�� �"��)��#%�����*
��� &����#%�'#�:�&�����!'���
��� ;%����:�+�����������/�<��
��� ;#%��#2� :����9'�#�#%�������
�� ��#����#)��)'�:�='�2�#�=����6��2%�
� � �� ������������� �������������� ����� ��� ��������� ��� !���"��#�� �� "���$�����
�!� ��� ��� ����:���%���������������&
��� '�('�(��������� ���)"��*+,-��.,������ ���"�� �%�/�� )"��������
�"� ��/ � �����/�/����$� ��� � ����� ����/�� �� ������$��0�����)'#2��������$���/ $�&��� ���$����� �����$���� 12����� $�/���
�#� ��3/����/� ,�����+������� ���������&��� "����� ��� ��� ������ ��� ��� ����/�� ��� �� ��2���� ���
�$� ��4������� ��� ����:������5���� /������6���&
��� %��!��$,���7�8���,����9���� ��:�7������������������� ��$/��;��7����;�9���$��,-��,��� � ���������� �7�$� 3;���$ ,�����"
������������������������������������� ����������������
��� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� #'�� �#�����>����� �������#�� ����)����� *
��� 7'�2������#%����)������������2�#%
��� ������(��"�2�����2�#%
��� 8�"����(��"�2�����2�#%
�� /..� (��"�2� ����)����
��� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� �#� '22"��)�� *
��� 5-'#��������:�?@�����
��� ����#��#%�4'����.���� :�;����>����
��� 8��#�"�� :�5)��#�)�;����>����
�� 9�('�������'#� :�.��"���� )��#%�
��� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� �#� '22"��)�� *
��� .'�2��#2�9���:�7�2���
��� 8�"������� :����"��
��� !'���#2�9���:�$�����"��
�� !'���#2�!�"�2�:�.��##��
��� &���������3�����*
��� ������'(������
��� 7�#���2���#��#�'#��)'�'��
��� 8������������(�)���''����#2�(����
�� ��'��2�)'�'��
��� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� �� �'�#2��(��)��#%�"��������*
��� $����)�'��
��� =����
��� �����)
�� 8���"')'�
��� ��4������<��#=� ��� ��� ����:���12����%��� >���&
��� 1������� � �%�/���?,�� ������%��������������� �,��/� ��� ��� �������������� /;@�� ��� ��� ������������� ���(��(��(��� ����<��#=�
��� ��4������� ��� ����������5���� /������6���&
��� � )"� ���������7��2(%�(����0� ���� >��%���,�� ��������;@��7�12����� �������7������$�����12���� %�7 ���� �0��7�"/%��������%�A�
��� ��� ��� ����:������5���� /������6���&
��� ���;��� ������26��7�/��)6��� !���� �0���8�"��������7��!��/���� $���� ������26��7�"��/� ���� $���� ��������7�= B��A
��� ��8�2���.�����&��� '�������� ������� '����$�� ��/$��A�$�A�� �6�'#��� �"�������'�������6��� ��������2���� ��
���� '���� �����$
��� ��� ��� ����7��C�D%�������%��A�����A���&
��� �,�������;@���� �#=��� �;@��� ��� A� /
������������������������������������� ����������������
� � =���#���)����)����������'"'��2�������2�����)����� ���� A������#<��'#"�#��(���#2����� A���������'#%����� =���#������%''2�)'�'���� A��)'����������#�������
�!� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%�"�������)�##'�� ��� ���2� �#� ���� '��%�#��� ('�"� ('�)'#����)��'#�'(�������*��� 6�������� 7���������� =��#����� �������
�"� 6�)��#%��"�4���)������')���2��#����� 7'#2'#��� =�#�<���� ��#%��'���� 4����
�#� &��)�� '#�� '(� ���� ('��'��#%� ��� #'�� �"��)��#%�����*��� @���#���� :�=������� $������ :�.�#������ ?2������:�7������ ��#2����#�� :�+�#%�'<��
�$� &���2'� ���%�� �#2�������� ����2�#%�� ��<���%���')���2�%��-�#%�'#�����B'������2��*��� 8'� ��'�� �����'������ (�'"� �''��#%
'����2�,��� 8'�%����#�('�"����2'�� :� ����� ��%��
���'�%�� ����2��,��� 6�)����� ������#�������'#� ����B'���
��2�����'�%�'�������2��,�� 8'�%������%�����#��%������'�%�'������
2��,
� � ������� ��������%����/��� ���� E����������"������.�� ������� ������A%��0�� � ��2/������ ���� �����=/�������� �����'� FG������$����� ��� �� ���41�� ����6=A��� �����
�!� ��%���� �� � ����� � � �/'C� ��4������� ��� ����������A� �����2/� ������ ����� ��/����������"����&��� � ��3,���� �6��/��H/�, �����,�I��� $� ���,��� J/���' !�
�"� ���K�����/ ����#��������&��� /����� ���� " � %��� ���� ���$������� ��� �������� �
�#� ��4������� ��� ����7������5���� /������6���&
��� %����0����7�K��,���� "������7���� ����� L�������7�M��/ ��� ��+������7����$�� %
�$� �;@�� ��N� �$�������� ��� ��!��!� �� �LO������!���� ��L5����������.�� ��/$����"������&��� ������ �%�/� ��� �������� 6� �� ���� � �
�/'��� ����������'����������G����� ���� !�������
��/'��� .�� ����2�A�LO������!���� ��������������������
�� �2���������2�A���� )"���� !������� � ��/'
������������������������������������� ����������������
��� ��/���/� ����� /�C� /�D� �C� ���"'#'�'#�)����2�)�����#%��#��
���1
1,e
��� ���C���
��� ��� C��
��1
0 ,e
��� 7���3
< < 4�
� � ��#2
21
2 = K cot cotsin
��� �� ��
C
���#�E�����>�����'��
��� �
��� 12
��� �
�� ��
���� ������� ������ ����������
��� ��/���/� �����/�C�/�D��� �"�� �����/�� �� '���,�P��������C�%������
���1
1,e
��� ���C���
��� ��� C��
��1
0 ,e
��� ����� 3 < < 4�
� � �������
21
2 = K cot cotsin
��� �� ��
���C
�� �E�������������
��� �
��� 12
��� �
�� ��
������������������������������������� ����������������
��� ?#��� <�)�'��� , a , b c→ → →
� ���� )'���#��,
��#���<�)�'�� d→���������#2�)������'����",
A(� ( ) ( ) 1 1 1
6 3 3a b c d i j k→ → → → ∧ ∧ ∧
�� � � ��� ��� ���
�#2� ���� �#%���������#� a→� �#2� b
→� ��� ���C
���#� c→���������
���2
3i j k∧ ∧ ∧
�� ��
��� 2 2
3i j k∧ ∧ ∧
±
�� ���
���2 2
3i j k∧ ∧ ∧
� �� ��
�� 2 2
3i j k∧ ∧ ∧
±
��� �
��� ��"�'(� ���� ����� ��� )'�((�)��#���'(��'����'(��/��#�������#'"�����3��#��'#�'(����/���
������� ���
��� �������
��� ���
�� ���
��� .'#��2��� ���� 2�((���#����� �>����'#C��/�(/���)����,� � A(� ('�� ���C� /� �����<������C����#�<�����'(�/����#����������� � ��� � ��� �� �
��� ��Q�����!�� , a , b c→ → → ����/���������'���Q�
���!�� d→� L�� �� �� / ��%�� � ��� � ���
( ) ( ) 1 1 1
6 3 3a b c d i j k→ → → → ∧ ∧ ∧
�� � � ��� ��� ��� � ��
���� a→����� b
→� ���=���� 0��������C��� � c
→
��������
���2
3i j k∧ ∧ ∧
�� ��
��� 2 2
3i j k∧ ∧ ∧
±
�� ���
���2 2
3i j k∧ ∧ ∧
� �� ��
�� 2 2
3i j k∧ ∧ ∧
±
��� �
��� ���/���� ��R����������� �� �+��������� �� �/��K���� �� �$�0���� ������ $�����
��� ���
��� �������
��� ���
�� ���
��� %/�� �����0�� ��/�(/���)����� ����%=������"'����������� ��/'�/�����������C�� ���� ��/'�/�������������� � ��� � ��� �� �
������������������������������������� ���������������
� � A(�1
x
xe
f (x)e
=��
�C
(a)
1( a)
{ (1 )} andf
f
I x g x x dx= ∫�
�
(a)
2( a)
{ (1 )} f
f
I g x x dx= ∫�
� %
�������� ���#'���#��2�#�����(�#)��'#,�8��#
����<�����'(�2
1
II �����
��� �
��� �
��� ��
��12
�!� A(�+������)'"���3�#�"����'(��#���"'2�����#2� ��%�"�#�� �C� ���#� ���� ����� ����� '(
(1 )(1 )
z zz z��
�������
��� 1 sin 2�
��
��� 22 sin 2�
�
��� 22 cos 2�
�� 1 cos 2�
��
�"� 7��� ��/���/������C�/��C� ���#� ���� ���F/� �� ��/������/�G� �
��� )'#���#���3�)����'#�����"�#�
��� )'#���#���3�)���� ��'����"�#��
��� )'#���#��"'��� ���#� ��'����"�#��,
�� ����#��"�������
� � ����1
x
xe
f (x)e
=��
C
(a)
1( a)
{ (1 )} f
f
I x g x x dx= ∫�
� �����
(a)
2( a)
{ (1 )} f
f
I g x x dx= ∫�
� ����C
"��#���'��E����/���������C��� � 2
1
II ������
����
��� �
��� �
��� ��
��12
�!� ����+�'���4�S����T�������"�����������������
� �0�������C��� �(1 )(1 )
z zz z��
�����%����%�1�$�����
��� 1 sin 2�
��
��� 22 sin 2�
�
��� 22 cos 2�
�� 1 cos 2�
��
�"� ����� ��/���/������C�/�����C� �� � ���5��F/� �� ��/������/�G� �
��� � �� %/�'� %�%������� � �� %/��� � %�%�������� � ���� �� � �>� %�%������� '����.�����5������
������������������������������������� ���������������!
�#� �'%���C� �'%��� ��������#2� �'%��� ��
��������������)'#��)���<�����"��'(��#� ,�4,�('���
��� �3�)����'#�������/
��� �3�)���� ��'������/
��� "'������#���'������/!
�� #'������/
$� 7������#2�������#����'���'�'����'#�,
&�&�'�(&������������������������������'�'%�,
&�&�'�(&��� �������������������������� ����(����)�,
��� 6'��������"�#�����#2������"�#�������(����,
��� �����"�#���� ��� ������#2������"�#������(����,
��� �����"�#�������(������#2������"�#����������,
�� 6'��������"�#�����#2������"�#�����������,
�� A#� �� 6.C� �(�11 01
a b
c a
b c
= C� ���#
��#� ���#�6���#�.���� �
���54
��� �
���3 3
2
��94
�#� /� ���� ����� �� ��/'� �'%���C��'%���������
�����'%����������'���������S� <@�� ��������$�
������&��� /� � %/�'�%����%����� ��/'���� /� � %/��� �%����%����� �� ��/'���� /� ��� �� � �>�%����%����� �� ��/'��� /� �����1��%����%����� ��/'������
$� �������������� �A��� ���D��������������������������������'����U�.�����
���������������������������������'�� E%�1�������� ���������������� �� �� �E������
��� ������E�������������� �E�����
��� ����� �E���������������E�����
�� ���������������� �� ���E������
�� '� 6.� � � C� ��� �11 01
a b
c a
b c
= � � � C� ��
��#� ���#�6���#�.�����
���54
��� �
���3 3
2
��94
������������������������������������� ���������������"
�� � �����2� )'�#� ����� ��'���������C���H���H��C�'(����2������'���2��#���������2��������('������(�������"�,�A(�������'�����������������#�"����'(��'�������>����2�����<�#
��� 2 5 �C����#��������>�����'��
��� 13
��� 14
��� 23
�� 12
�� A(������''���'(������>����'#
1 1 1p q rx x� �
� � � ���� �>���� �#�"�%#���2�
�#2�'��'����� �#���%#C� ���#�������'2�)��'(�''�������
��� 2 21 (p q )
2�
��� 2 21 (p q )
2�� �
��� 2 21 (p q )
2�� �
�� ����>��
�� A(�����"��#��#2��������#2��2�2�<����'#�'(���'����<���'#��/�C�/�C�,,,,,,C�/����������#2�������)��<���C� ���#� ���� "��#� '(�/�����C� �/�����C� ,,,,,,C� �/������ ��� �>����'��
��� �,
��� � ,�
��� �,�
�� ��,�
�� '� �1��� ��.�C� �"�� �� �=O�� �� � ����������C���H���H�����C������LG��/��"������C"��������/��������=O���� ��"�'�������LG��/ $'� ������ �� �� ��T��� ��� �� � � �� �������2
5 ���C��� ���������������
��� 13
��� 14
��� 23
�� 12
�� ���������0�1 1 1
p q rx x� �
� � � ��2/�������0��� ���������������%�������=+�� �� ����C��� ��2/� ����$�0���/�����
��� 2 21 (p q )
2�
��� 2 21 (p q )
2�� �
��� 2 21 (p q )
2�� �
�� ����>��
�� ���� ����� V�0�� �� /�C�/�C� ,,,,,,C� /����� ��D�� ������� �%=/�� � �!��� �� ��� � �� � � C� �� �/�����C� �/�����#� ,,,,,,#� �/��������� ��D�����
��� �,
��� � ,�
��� �,�
�� ��,�
������������������������������������� ���������������#
�� A(� �2
5 2 51 5
f (x)sin xdx C
cos x sin x cos x=∫
���� � C� ���#
�(/)�����
��� ��� � /
��� ���/
��� � ��� /
�� � ��� � /
� 8���������'�#2�2���� ���� )��<��������/�#2�/���������2�<�2�2����������#��/����#��'������,�8����������#��>������#�����'(�������%�������������
��� 454
��� 1374
��� 2454
�� 1474
!� A(� ���� ��#��� 2 4
= = 1 1 3
yx z�� ���� �#2
2 = =
1 2 4yx z�
��#�����)����)��'����C����#
��������#������#���<����
��� ���C� ���
��� ���C� ���
��� ��C� ���
�� ���C���
�� ����2
5 2 51 5
f (x)sin xdx C
cos x sin x cos x=∫
���� � ��C� ��
�(/)�������������
��� ��� � /
��� ���/
��� � ��� /
�� � ��� � /
� %�� �������/�����/������ ���=��K�� ��V� Q��/� C�� �6��/���R������� �1�$� ��� �����,���$���������;@ 1�$���V� Q��/�H%$A������ ��� �I�����
��� 454
��� 1374
��� 2454
�� 1474
!� ����� 6�'#� 2 4 = =
1 1 3yx z�� ���
����
2 = =
1 2 4yx z�
�������������FG �������C��� ����"�
�����/�� ���������C�%������
��� ���C� ���
��� ���C� ���
��� ��C� ���
�� ���C���
������������������������������������� ���������������$
"� 7���4�������'�#���#�����(�����>��2��#�����#%'#� ���� �������� �/��� ����#� ��)�� ����������#%�#�����4��'�����������������#)��#�2����#��#%�������� �'� �����'����<��2���)��'#�'(/:�3��,�8��#�����)''�2�#�����'(�4������
���8 77
, 9 3
���4 3
, 2 2
���16 9
, 5 5
��143 1
, 3 4
#� ����'��� ����� ��3� ���2�#��C� �#)��2�#%+�2��� �#2� 4�0�C� ���� ��<�#%� ��3� ��2�����#%�2� �#��� �'�,��������C� ����'��� ����+�2���2'���#'����#�� �� ��2� �20�)�#�� �'4�0�,�8��#�����#�"����'(�����C� ������2�)�#�������'���2��'����2�#���������� ���� ����� ��� �
!$� A(� ���� �'�#�� ��C� ��� ����� '#� ���� ��#�����������'������:�3����#2������#%����'�%����� �#�����)��'#� '(� ���� ��#���������/������������� �#2������/��������������C� ���#� �� ���>�����'����� ������ ����� ���� ���
"� �����4C������=����?!����' ������������"� ���K�A�%�O��/��� ��������� ����� ��� ���� ��K�A� %�O�� ������4�����6��=���$�A���!�A�� �6���/: V����>��E���!��� � ���� ������� � 0�� ������ ��C� �� � 4� ��� A!���������
���8 77
, 9 3
���4 3
, 2 2
���16 9
, 5 5
��143 1
, 3 4
#� �����G����%N���A�� �C��"�� ���>�������2"����4��/����C� � ����'����.��� �� 8�%�����G��� ������� ���� ������>�C��2"�� ���/W��%�/��������������=����C��� �"�� ������ ��� ���� ������� �%N���A�� �� � � ��'�"��� ���C�L������T�������
��� ���� ����� ��� �
!$� ������������C����'�� �6��������������"� ��: V�� ��� ��� � � � � � ���� � �6� � ��������/������������� ���������/��������������� � ����FG ��� ������ ��� ���"������C��� �������������
��� ������ ����� ���� ���
������������������������������������� ����������������
!�� A(� �(/)� 0� (/��)(/��)(/� )#� ������� 1� �� 1� #� ���� ����� #�"����C� ���#� ��������)���'#�'(�/'���I�� ���'��"�'#� �� ���2��'��
��� ����� ���2���� � �����
��� ����� ���1���� � �����
��� ����� ���� � �������
�� ����� ������ � �����
!�� 8����')���'(�����"�2��'�#���'(�����)�'�2�'(����������'���/�������<�#%���'��������� �
��� ��#����������� �'��:�3��� ��� ��2����#)������� (�'"���,
��� ��#�� ��������� �'� ���/#� ���� ��� �2����#)�� ������ (�'"���,
��� )��)��� ����� )�#���� ��� '��%�#� �#2��2���� �����,
�� ��#����������� �'�/:�3��� ��� ��2����#)������� (�'"���,
!�� 7����2
1 > 2
2
if xxf (x)
a bx if x
= ≤ ��
�C
���#���/�����2�((���#����������/����('���
���1 1
= and = 4 16
a b��
���1 1
= and = 4 16
a b ��
���3 1
= and = 4 16
a b
��3 1
= and = 4 16
a b ��
!�� ���� � �(/)�(/��)(/��)(/� )� � � � C� "�� #��1���1� �%����%���T��'#� ���C� �� � �� ����� ��� / � ��� ��� � ������ $�� ���/�������
��� ����� ���2���� � �����
��� ����� ���1���� � �����
��� ����� ���� � �������
�� ����� ������ � �����
!�� ���%/��/�������"�%� � �C��"���<��/�����C ��D������� � ��������������
��� '�� �6�����"� ��: V�� ����������������L�� ���������2�����������
��� ���/#����� ��������� � �6���������L�� ���������2�����������
��� '�%�O������"��� �����2/���������������Q�X�����������
�� '�� �6�����"� �/: V�� ����������������L�� ���������2�����������
!�� �����2
1 > 2
2
xxf (x)
a bx x
= ≤ ��
���
���
��C��� ��/����������/�� %/������C������
���1 1
= = 4 16
a b�� ���
���1 1
= = 4 16
a b �����
���3 1
= = 4 16
a b���
��3 1
= = 4 16
a b �����
������������������������������������� ����������������
!�� �<����)����'������#2��������'�#�� �'#�����'�#2����'(���)��)����������'(���2�������#2�����#2���#��#%���������#'������'�#��6�'#�����'�#2���,� A(� ���� )�'�2� 6� �����#2��#��#%����� ��� ���� )�#����'(� ��������C� ������%���'(������'�������
��� 2 2
a cos tan�
�
��� 2 2
a sin cot�
�
��� 2 2
a cos cot�
�
�� 2 2
a sin tan�
�
!�� A(� �� )��)������� ��'�'(� ����2��"������ ��'#%���� ��#��� /����� �#2� /����� �#2� ��������� C����#������>����'#�'(�����)��)�������
��� /����� /�����
��� /����� /������
��� /����� /�����
�� /����� /������
! � 7���B���� ���� ����'(�#�������#�"������#2('����BC��B�2�#'������������F�/� ��/�BG,
A(��B���)B�2BC��������C�)C�2�����#������#�"�����%������� ���#��� �#2� ����%�������)'""'#�2�<��'�� '(� �� �#2� )� ��� �C� ���#�2�>������
��� "�#�F��C�)�G
��� �)
��� ��)
�� "�3�F��C�)�G
!�� ���Q�X���%�/ �'�%�O������A�������������������������� �����'�LD%�A>���64���6;@�����"� ��������� � '� +�� ������6����� � 0���� ������� ����� �������"�%�� 6�%�O������A� � ��������� 0���� �������������C��� �641 ���9#=��A�����
��� 2 2
a cos tan�
�
��� 2 2
a sin cot�
�
��� 2 2
a cos cot�
�
�� 2 2
a sin tan�
�
!�� ���� '� %�O�� � �� � 8���� � �6� � �� /��������/����� � ����!�����������"���V� Q��/�� ���C�� �L��%�O���������0��������� /����� /�����
��� /����� /������
��� /����� /�����
�� /����� /������
! � �����B���������T�� � �������5������������B� �/'��B����5���F�/���/�BG��!��A�����������B���)B�2B���C�"��#��C�)C�2����� ��;@���������T��'#���������������)�����O�������%�A����C��� �2�������������
��� "�#�F��C�)�G
��� �)
��� ��)
�� "�3�F��C�)�G
������������������������������������� ����������������
!!� �<�����������#�� ��������)'#���#��2����#)��� (�'"� ����'��%�#�5��#2�"����� ���� ����'(��)��#%������3���5'��(�J��C��C��������'�#��%�� (�J��C��C���� C������)��<���,�A(����#������2���#� ���'�%��%� �C� %� �C�%� �C����)�� �������������'�����)''�2�#�������#��C����#�����')���'(��������'�#��'(��#�����)��'#�����
��� 22 2 22 31
1 1 1 1
x x x p=��� ���
��� 3 3 3 32 31
1 1 1 1
x x x p=��� ���
��� 2 2 2 22 31x x x p=��� ���
��1 2 3
1 1 1 1x x x p
=��� ���
!"� A(�10 1k
kS
=
�%���BC�������B������������'(
#������� #�"����C� ���#� ������ ���
��C� ('�
#�BC�����
��� 2 1n kS�� ��
���2n kS
��
��� 2 n kS ��
�� 2 1n kS �� ��
!!� '�=������/��2/������5�� �'� =����2������������������ �������� �0����� A!���� �� �'����5��5'��(�J��C��C����� � ����� � ��%��(�J��C��C���������!��� ����FG ��� ����� ���� � ����%��C�%��C�%��� ��� A!�������/� �� ������������/�6��= �"�� ����C��� L� �����FG ������������������������
��� 22 2 22 31
1 1 1 1
x x x p=��� ���
��� 3 3 3 32 31
1 1 1 1
x x x p=��� ���
��� 2 2 2 22 31x x x p=��� ���
��1 2 3
1 1 1 1x x x p
=��� ���
!"� ���� ������ ��T�� � �� � ���5���B� � �/'
10 1k
kS
=
%� ��B� � � C� �� � #�B� � �/'
���������
�������
��� 2 1n kS�� ��
���2n kS
��
��� 2 n kS ��
�� 2 1n kS �� ��
������������������������������������� ����������������
!#� A(
48 47 46 2 1
2 3 3 4 4 5 48 49 49 50. . . . .⋅ ⋅ ⋅��� ��� �� �� ��� �
51 1 1 1K 1
2 2 3 50 ⋅ ⋅ ⋅
� ��� ��� ��� ��� �� � C����#
E��>������
���12
�
��� �
��� �
�� ��
"$� 7����(/)��/�/����/�/��#�������/���#2�/����� 2����#)�� ����� #�"����,� 8��#� ���#�"����'(��'�#���������)���(/)����"�#�"�"C����
��� �
��� �
��� "'��� ���#��
�� �
:�'���'�:
!#� ���
48 47 46 2 1
2 3 3 4 4 5 48 49 49 50. . . . .⋅ ⋅ ⋅��� ��� �� �� ��� �
51 1 1 1K 1
2 2 3 50 ⋅ ⋅ ⋅
� ��� ��� ��� ��� �� � ���C� ��
E�������������
���12
�
��� �
��� �
�� ��
"$� ����� �(/)��/�/����/�/�����C� "��#� /������ /��%�1B��%����%���T��'#����C��� �L������� � ������T���"�������(/)�������+�2������C�����
��� �
��� �
��� ��� � �>
�� �
:�'���'�:
���������
������������ ����������������������������
������������ ����������������������������
��������
������������ ����������������������������
��������!
������������ ��� ������� �����������
�� %�������� �������������������������������� �������������������� ��!�&'(��� ��"�#$��!�#��������##����#�� �����%������������!�������������� �������������!�%����"�������������� ��!�&'(�� � ��"�#$������� !�#� ����� ��##���#�� �������%������������������!�"�������������##��� �#�"�#$��&������#������������" ����������� �#����'#�&�� (�����&����� ��� �)��� )����� ������� ����������*��$)���%�#$�� �))������ ��� �������������� �#��&#������ � �������������������� � +�#� ����� ������� � ��� �� ���,�#�� �����,�#����-���������������!���������)�"�#$���))���������������������&��)�������������� !#�"����� ����)� ���#����� ��������� !#�"� ���� ����)� ���#�-���&���#-�&�))� ��"����������� ��� ���������������!�#�������"�����������&�#(�����
�� .���)�����������*��$)��-����&�#�(���������'#�&�� (�����&������#�-��������#������#��"����������/�� ��!�#����#� ����� ��������*��$)���0�����������&�#�(����0����-�������#�����&�))���� #�������
�� ����������������#�������))�&�������������#�� ��&�#$�#�&#���� �&�#$�����������&�#�(��������))���)��)�������&#���� �&�#$��#��������������������� ���� #�������!�#����� �# ����������������*��$)�������)!-�"�#$���1( ���!�#�2�� ��3�#$4��������� ������� �����������������"��!����� � ���������!� � ���� � ���"��)�"#�������������!�������$)���
�� 5��������������"�������&������"����������#���"��0�#�� ��� ���� ���� �)���#�
� 6�� ���������-�&������� � ����)� �#"������� �!� ���(� �#���������� �#� ���� �)���#-� ����)�� )�����������#�����
� 7����" )�������!� ���� ����-� �������������������)�����)����������/�"����������))�&������������� ����#�����#���&�#�(������!�� ����������������%����"�����8,�#���9��������'#�&�� �(������!�� �����������8,�#���������������� �)���#��������������� �����������������(����������� ��"���!������� ����#� ���� ��"��� �0�����&��#�� ������������������� �� ���� ��������������� (����� ���������� ��"��&�))� ������"����������������������#����������"����� �������)��&������� �����!��#�"����������������������������������*���������������������������+(,��-������������������������������.���������� /������ �.�&���#-� ���� ����������� �#��))�&��� ��� ��$���&���&���� ���"� ���������*��$)����!� ����������������%����"������8�,�#����9����
:� ;��� �!� 5)���#�����%����)� 0�)��)���#� �#� �#�&�� ����#�"�����������������)�-���" ������������������))�&���
<� ���� ����������� �#�� ���#���� ��� �))� 2�)��� ���2� �)������� �!� ���� =�*�*��#��&���� #� �#�� ��� ����#�������� �������5/�"��������.�))�� ��))��������!���!��#"�����&�))�������)��&������� �#�2�)�������2� �)�������!�����=�*�*��#��
>� 6�� �#���!����������*��$)��-����&�#�(���������'#�&�� (��������))�������������!�)�����#���!���������#������#��"��������
�?� ���������������&�))�&#�������������*��$)���6�"��#��� �����������������*��$)��-����&�#�(���������'#�&�� (�����������������������(������)���
��� ��������� ���� ���� ����0��� ��� ������ ���� ��1����-������2� ����������0�����2�3�� ��������2���4��2-�3��������2������������������������������-�������1����� ���� .�-�� ����� ���� ���� �1�-�������������-�
����������� ���������������
�� ��������������� ������������������������������������ �����!"��#��$%������&'������ ���������(%��������������!����������������� #����!"��������#��$%������&'&��'� ��������)�*�������"�"���(����������%���������"��������� ����&'#��������)�*�������("�����+#�������������������,-����.�/0��+�����1������������(��!"�����������)�*��������������#2��.���������(��������������������!"�������������&'$#�������&'��)�*�������&��������#� !"#�$%�&�����������&"����#���1��&' �'3�("�-$%����4������#�����������+*�������'��-"��"���5�����&"����#���+*(� !��'� !�)��� �'3�(
�� ���������������5$%����4�'��/0��+�����1����6"���7�*����"�������58"��������#���������9���� ���&���������������'��$%����4������/�����:��������9�����;��/<�����-7#������������������$�&=)���������"� �'��(
�� ��������9*"�����$%����4�������+*����>����"*"��&.�+*���������������������������(#�������'���&.�+*�������5�������������������)�*���� �� ����?��>����"*���&' ��@A���������������5��������"� �"��("� ����!"���BCD���������������9����������������!��B��� �B�"��E"#����-��+*��(
�� �7;� �� ��� ��!"�� �������9�* ��������� ������� ����� ���/*��-.�'3(
� �)�����"�����������������F���������G�����+*�������9�*�����9���;��/<�(
� ������� #��H �� � ���5 �������9� * ���������� � ��� ������������������E�����'�������E���������$%����4�'�����������������E����������/0��+�����1�-������$���9���4���������������-�G����������������I�����������&;��/<�('#����������"����� �"�����$%����4�'��/0��+�����1�����&��1��'�'���� #������#�)���"�����J���������� �"��(��'����(����������"�����(� ������)*�'� ���� ����+��(���,��-���������(�����'��� "�����.�����9���5�������9�*�������������������'�������E�����'��������������������������& �#������(
:� +&810��K�����������&�������&��"�/0��+��$������� �#������&5�����#+!"��-������"���� *���(
<� ���������&������������&'�������9�* L'LGL�G�/*�����"���'������"���A������"�������(������#�)���"����#�����&�����>��#&� L'LGL�G�/*�����"���'������"��������#�������(
>� ���#�����9�������������������5$%����4�'��/0��+�����1�������+*���������&����"� �'������������/<� �"���9���G��/<� �"��(
�?� ���������������5$%����4�'��/0��+�����1���-��+*���������������#�M"�����������9�*#��������#���N ����4������&.�(
��� ��'����(��� /��'�� ��'����� ��0�� ����-��� �1�� �� ��2�'� ��� ���" �����1 ���'� �����*3'"���-�1�4�-�1��"��������4� ���� ����&�"�.4�����'4�-�������5����4����678'�0� ��+� ��'���"� �����9"��1 ���'� �����-�1�� ������������"��+�"���� ��'��� ����-��������:�
��������"
top related