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日常生活に潜む数学的構造Ray D. Sameshima
71 pages
1
自己紹介 !
鮫島 玲 (Ray D. Sameshima)
物理学者の卵 ニューヨーク市立大学 大学院センターの博士課程
!トロンボーン奏者
2
自己紹介 !
鮫島 玲 (Ray D. Sameshima)
物理学者の卵 ニューヨーク市立大学 大学院センターの博士課程
!トロンボーン奏者
tenor
2
自己紹介 !
鮫島 玲 (Ray D. Sameshima)
物理学者の卵 ニューヨーク市立大学 大学院センターの博士課程
!トロンボーン奏者 alto
tenor
2
何やってる人？モラトリアムを謳歌しすぎてついに国外逃亡
専門は物理学、特にゲージ理論を中心とした相互作用の数学形式に興味あり
現在趣味と実益を兼ねて純粋数学、特に圏論を勉強
Haskell というプログラミング言語も勉強中
3
何やってる人？モラトリアムを謳歌しすぎてついに国外逃亡
専門は物理学、特にゲージ理論を中心とした相互作用の数学形式に興味あり
現在趣味と実益を兼ねて純粋数学、特に圏論を勉強
Haskell というプログラミング言語も勉強中
NY
3
何やってる人？モラトリアムを謳歌しすぎてついに国外逃亡
専門は物理学、特にゲージ理論を中心とした相互作用の数学形式に興味あり
現在趣味と実益を兼ねて純粋数学、特に圏論を勉強
Haskell というプログラミング言語も勉強中
NY
gauge theory
3
ゲージ理論って？相互作用（力）を記述する物理学の理論、数学で言うと幾何学やトポロジーの言葉で書いてある魔法陣の手引書
懸賞金問題も含まれている、その額100万ドル！
4
ゲージ理論って？相互作用（力）を記述する物理学の理論、数学で言うと幾何学やトポロジーの言葉で書いてある魔法陣の手引書
懸賞金問題も含まれている、その額100万ドル！
4
Yang–Mills existence and mass gap
使用上の注意モチベーション
方法
5
使用上の注意モチベーション
抽象的な数学的構造を解説したい！
できるだけ、日常生活で出会うような、具体的な例で。
6
使用上の注意モチベーション
抽象的な数学的構造を解説したい！
できるだけ、日常生活で出会うような、具体的な例で。
、、、誰の日常？
6
用法用量を守って方法
世の中には数学あるいは数式自体にアレルギーを発症する患者さんが割りと大勢いらっしゃることは有名
数学者（逸範人）の日常ではなく一般人の日常で出会えるような例を、無理矢理、探してくることに
7
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
8
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
today’s menu
8
、、、もう吐きそうな方いらっしゃいませんよね？
9
圏論数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つ(Wikipedia)
Proof
(bijective) ∀α ∈ Nat(A(A,−), F ), let us define
θF,A(α) := αA(1A). (1.21)
∀a ∈ FA,B ∈ |A|, let us define a mapping as follows, ∀f ∈ A(A,B),
τ(a)B : A(A,B)→ FB; f %→ τ(a)B(f) := F (f)(a). (1.22)
Then τ(a) is a natural transformation, because, ∀g ∈ A(B,C),
F (g) ◦ τ(a)B(f) = F (g) ◦ F (f)(a) ∵ eq.(1.22) (1.23)
= F (g ◦ f)(a) ∵ F is a functor (1.24)
= τ(a)C(g ◦ f) ∵ eq.(1.22) (1.25)
= τ(a)C ◦ A(A, g)(f) ∵ eq.(1.17) (1.26)
Thus we get
F (g) ◦ τ(a)B = τ(a)C ◦ A(A, g) (1.27)
that is, τ(a) : A(A,−)→ F is a natural transformation:
τ(a) ∈ Nat(A(A,−), F ) (1.28)
A(A,B)
τ(a)B!!
A(A,g)"" A(A,C)
τ(a)C!!
FBF (g)
"" FC
(1.29)
In order to prove that θF,A and τ are inverse to each other, let us firstconsider, ∀a ∈ FA,
θF,A ◦ τ(a) = τ(a)A(1A) ∵ eq.(1.21) (1.30)
= F (1A)(a) ∵ eq.(1.22) (1.31)
= 1FA(a). (1.32)
And ∀f ∈ A(A,B),
(τ ◦ θF,A(α))B (f) = τ (θF,A(α))B (f) (1.33)
= τ(αA(1A))B(f) ∵ eq.(1.21) (1.34)
= F (f)(αA(1A)) ∵ eq.(1.22) (1.35)
= αB ◦ A(A, f)(1A) ∵ α ∈ Nat(A(A,−), F )(1.36)
= αB(f ◦ 1A) ∵ eq.(1.17) (1.37)
= αB(f). (1.38)
28
10
圏論数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つ(Wikipedia)
Proof
(bijective) ∀α ∈ Nat(A(A,−), F ), let us define
θF,A(α) := αA(1A). (1.21)
∀a ∈ FA,B ∈ |A|, let us define a mapping as follows, ∀f ∈ A(A,B),
τ(a)B : A(A,B)→ FB; f %→ τ(a)B(f) := F (f)(a). (1.22)
Then τ(a) is a natural transformation, because, ∀g ∈ A(B,C),
F (g) ◦ τ(a)B(f) = F (g) ◦ F (f)(a) ∵ eq.(1.22) (1.23)
= F (g ◦ f)(a) ∵ F is a functor (1.24)
= τ(a)C(g ◦ f) ∵ eq.(1.22) (1.25)
= τ(a)C ◦ A(A, g)(f) ∵ eq.(1.17) (1.26)
Thus we get
F (g) ◦ τ(a)B = τ(a)C ◦ A(A, g) (1.27)
that is, τ(a) : A(A,−)→ F is a natural transformation:
τ(a) ∈ Nat(A(A,−), F ) (1.28)
A(A,B)
τ(a)B!!
A(A,g)"" A(A,C)
τ(a)C!!
FBF (g)
"" FC
(1.29)
In order to prove that θF,A and τ are inverse to each other, let us firstconsider, ∀a ∈ FA,
θF,A ◦ τ(a) = τ(a)A(1A) ∵ eq.(1.21) (1.30)
= F (1A)(a) ∵ eq.(1.22) (1.31)
= 1FA(a). (1.32)
And ∀f ∈ A(A,B),
(τ ◦ θF,A(α))B (f) = τ (θF,A(α))B (f) (1.33)
= τ(αA(1A))B(f) ∵ eq.(1.21) (1.34)
= F (f)(αA(1A)) ∵ eq.(1.22) (1.35)
= αB ◦ A(A, f)(1A) ∵ α ∈ Nat(A(A,−), F )(1.36)
= αB(f ◦ 1A) ∵ eq.(1.17) (1.37)
= αB(f). (1.38)
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Category Theor
y
10
圏論は 数学をするための 「高級言語」
蓮尾一郎 （東大の先生）
11
圏論は 数学をするための 「高級言語」
蓮尾一郎 （東大の先生）
アーチェリーという人も！それくらい、やじるし、なのです
11
abstract nonsense抽象的すぎてまるで意味が無い！と揶揄されるほど
数学では抽象的であるというのは適用範囲が広いという意味で実は歓迎されることなのだが
“～、その局面局面でフォーカスしたい抽象度に
ぴったりの数学的コトバが提供される”
12
abstract nonsense抽象的すぎてまるで意味が無い！と揶揄されるほど
数学では抽象的であるというのは適用範囲が広いという意味で実は歓迎されることなのだが
“～、その局面局面でフォーカスしたい抽象度に
ぴったりの数学的コトバが提供される”
12
京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉
圏の定義対象と射があって、、、
やじるし、、、
13
圏の定義対象と射があって、、、
やじるし、、、
objects
13
圏の定義対象と射があって、、、
やじるし、、、
objects
arrows
13
定義を与えよ、さすれば証明せん
美味しい料理を語るのに普通は各素材の重さやカロリーは述べない
味は？色合いは？器との相性は？などなど
でも数学では、、、
14
諦めよう！数学は厳密性が命
形式的に、一応、建前として、定義をちゃんと説明します
あとで具体例でもってしっかり味わいましょう
15
諦めよう！数学は厳密性が命
形式的に、一応、建前として、定義をちゃんと説明します
あとで具体例でもってしっかり味わいましょう
（厳密には嘘です）
15
圏の定義「対象」と「射」と呼ばれる集まりがある
対象はモノ、射はやじるし
射は、しかるべき、掛け算の規則が伴っている
16
圏の定義「対象」と「射」と呼ばれる集まりがある
対象はモノ、射はやじるし
射は、しかるべき、掛け算の規則が伴っている
、、、は？
16
まじめにやるとこんな感じ
17
掛け算の規則すべてのモノには掛け算の単位元の 1 がくっついている
結合法則、つまり掛け算は右からまとめても左からでも大丈夫
18
掛け算の規則すべてのモノには掛け算の単位元の 1 がくっついている
結合法則、つまり掛け算は右からまとめても左からでも大丈夫
A,B…
18
掛け算の規則すべてのモノには掛け算の単位元の 1 がくっついている
結合法則、つまり掛け算は右からまとめても左からでも大丈夫
associativity
A,B…
18
掛け算の規則すべてのモノには掛け算の単位元の 1 がくっついている
結合法則、つまり掛け算は右からまとめても左からでも大丈夫
associativity
A,B…
h (g f) = (h g) f
18
これだけ
19
圏の例要は、やじるしがあって、そのやじるしに掛け算の演算を上手に対応付けられれば、圏になるかも、、、
20
圏の例要は、やじるしがあって、そのやじるしに掛け算の演算を上手に対応付けられれば、圏になるかも、、、
しりとり、なんてどうでしょう？
20
http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185
はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏
元ネタ：
21
http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20060821/1156120185
はじめての圏論 その第1歩：しりとりの圏
元ネタ：
21
ちょいとここいらでしりとりしてみましょう
しりとりの圏モノ：ひらがな全体（あ、い、う、～）
やじるし：ひらがなで作られた文字列
22
しりとりの圏モノ：ひらがな全体（あ、い、う、～）
やじるし：ひらがなで作られた文字列
「る」責めが勝利のパターン
22
しりとり再考、、、ローカルルール多すぎ
http://ja.wikipedia.org/wiki/しりとり
!
数学的に扱いやすいように少々改変
23
ルール改変文字列のあたまとおしりが、ちゃんとしてれば、良いとする
すなわち、日本語の意味的なフィルターはしない
24
ルール改変文字列のあたまとおしりが、ちゃんとしてれば、良いとする
すなわち、日本語の意味的なフィルターはしない
したがって、 「りんご」、「ごりら」、「らぬぱっしょむ」
などもルール的にはおっけー
24
掛け算の規則掛け算：
「りんご」×「ごりら」＝「りんごりら」
単位元は一文字の文字列：
「り」×「りんご」＝「りんご」
「りんご」×「ご」＝「りんご」
25
結合法則このように掛け算を定義すると、結合法則は自動的に満たされる：
「りんご」×「ごりら」×「らっぱ」＝「りんご」×「ごりらっぱ」＝「りんごりら」×「らっぱ」＝「りんごりらっぱ」
26
結合法則このように掛け算を定義すると、結合法則は自動的に満たされる：
「りんご」×「ごりら」×「らっぱ」＝「りんご」×「ごりらっぱ」＝「りんごりら」×「らっぱ」＝「りんごりらっぱ」
26
しりとりの圏しりとりの圏は
モノ：ひらがな
やじるし：ひらがなの文字列
掛け算：文字列の結合
27
しりとりの圏しりとりの圏は
モノ：ひらがな
やじるし：ひらがなの文字列
掛け算：文字列の結合
しりとりの圏に日本語意味フィルターで判定条件をつけてあげればおおよそ既存のしりとりになる
27
言語としての圏論“対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変えることによって、その局面局面でフォーカスしたい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供される”
28
言語としての圏論“対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変えることによって、その局面局面でフォーカスしたい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供される”
28
京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉
言語としての圏論“対象、射としてとる概念の抽象度をいろいろ変えることによって、その局面局面でフォーカスしたい抽象度にぴったりの数学的コトバが提供される”
28
京都大学数理解析研究所の小嶋泉先生のお言葉
しりとりという数学対象にぴったり合った、数学的な言葉であることが感じていただけたでしょうか？
関手 圏の間の対応のこと(Wikipedia)
例えばしりとりの圏を英語に翻訳してみると、、、
29
関手 圏の間の対応のこと(Wikipedia)
例えばしりとりの圏を英語に翻訳してみると、、、
functor
29
英訳せよりんご：
ごりら：
30
英訳せよりんご：
ごりら：
りんご：apple
ごりら：gorilla
30
英訳せよりんご：
ごりら：
英語になるとしりとりになっていない！したがって、英訳は関手ではない
りんご：apple
ごりら：gorilla
30
関手を説明するのに良い圏を ちょっと考えて作ってみる
31
買い物の圏モノ：財布の残金
やじるし：買いたいものの値段
掛け算規則：買いたいものの値段の和
単位元：ただでもらえるもの
32
買い物の圏モノ：財布の残金
やじるし：買いたいものの値段
掛け算規則：買いたいものの値段の和
単位元：ただでもらえるもの
Take it free!
32
買い物の圏 要は金額の減少列なので、圏論的にはあまり面白く無い
33
買い物の圏 要は金額の減少列なので、圏論的にはあまり面白く無い
円建ての買い物からドル建てのshoppingへの両替を考えてみよう
33
両替円から＄への両替
手数料は取らないものとする
前時代的にレートを固定
34
両替円から＄への両替
手数料は取らないものとする
前時代的にレートを固定
$1 = ¥100
34
円建て買い物時の矢印のネットワークと、ドル建ての買い物の構造が一緒であることがわかる
（これを構造を保存する、という）
35
円建て買い物時の矢印のネットワークと、ドル建ての買い物の構造が一緒であることがわかる
（これを構造を保存する、という）
このときドル建ての両替は関手になっている、という
35
円建て買い物時の矢印のネットワークと、ドル建ての買い物の構造が一緒であることがわかる
（これを構造を保存する、という）
このときドル建ての両替は関手になっている、という
さらにユーロからドルへの両替関手を考えると、実は自然変換というものの例にもなっている
35
が、大胆に割愛
36
が、大胆に割愛
かいつまむと、ここでは円を基準に統一価格で表示ができて”矛盾”ないよ～というお話
36
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
37
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
37
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
37
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
37
集合論
現代数学の基礎理論
整数、実数からなんやらかんやらすべてのものがこの集合論から作られている、と言っても過言ではない
38
集合論
現代数学の基礎理論
整数、実数からなんやらかんやらすべてのものがこの集合論から作られている、と言っても過言ではない
set theory
38
集合って、そもそもなに？
39
大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」(Wikipedia)
要素の数が有限個なら、ほとんど直感通り
要素零個の空集合や、無限集合なんて恐ろしい子もいる
40
外延と内包外延：列挙 内包：条件 内包はある概念がもつ共通な性質のことを指し、外延は具体的にどんなものがあるかを指すもの(Wikipedia)
41
外延性の公理：A と H が全く同じ要素を持つのなら A と H は等しい
A は一点集合と呼ばれるもので、要素はただひとつ、阿曽沼のみ
H は、、、
42
外延性の公理：A と H が全く同じ要素を持つのなら A と H は等しい
A は一点集合と呼ばれるもので、要素はただひとつ、阿曽沼のみ
H は、、、
42
外延性公理
外延性公理のお陰で、 ２つの集合が等しいかどうかは 要素をひとつひとつチェックしていったらよい、ということに
43
外延性公理を用いると、これらの２つの集合は
等しい!?
44
外延性公理を用いると、これらの２つの集合は
等しい!?
もちろん、複数のみかんが区別が付くものであれば、これら２つの集合は等しくないということになる
44
集合って簡単だけど、難しい
45
おまけ、空集合∅
46
おまけ、空集合∅empty set
46
おまけ、空集合∅外延：列挙０個要素を列挙すればよい
empty set
46
おまけ、空集合∅外延：列挙０個要素を列挙すればよい
内包：条件例えば「4で割り切れる奇数の集合」、「身長が10メートル以上あるヒトの集合」、「日本が統治するアメリカ合衆国の州の集合」などなどは全て同じ空集合
empty set
46
おまけ、空集合∅外延：列挙０個要素を列挙すればよい
内包：条件例えば「4で割り切れる奇数の集合」、「身長が10メートル以上あるヒトの集合」、「日本が統治するアメリカ合衆国の州の集合」などなどは全て同じ空集合
I have no money!
empty set
46
外延と内包このように、要素の数が少ないと、それを指し示す条件は厳しく長いものになる
逆に要素の数が多いと、条件は緩くなる。
47
外延と内包このように、要素の数が少ないと、それを指し示す条件は厳しく長いものになる
逆に要素の数が多いと、条件は緩くなる。
このような性質を、双対性とよぶすなわち、外延と内包の間の双対性、みたいな
47
さらにおまけ集合論～ 要素の列挙つまり 外延
圏論 ～ 射のネットワークつまり 内包
48
集合論と圏論もまたある種双対的な関係がある、と言える
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
49
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
49
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
49
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
49
双対性双対とは、互いに対になっている2つの対象の間の関
係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で “元
に戻る”）(Wikipedia)
50
双対右手を使わずに、左手を表現してみよう
51
双対右手を使わずに、左手を表現してみよう
左手を使わずに、右手を表現してみよう
51
双対右手を使わずに、左手を表現してみよう
左手を使わずに、右手を表現してみよう
大雑把にいうと、このように互いに相補的な関係を持つものの間柄を
双対的といったりする
51
双対の例右手と左手
外延と内包
粒子と波
電場と磁場
52
双対の例右手と左手
外延と内包
粒子と波
電場と磁場
duality
52
双対の例右手と左手
外延と内包
粒子と波
電場と磁場
右手と左手 ： 鏡像
外延と内包 ： 列挙と条件
粒子と波 ： フーリエ変換
電場と磁場 ： 統一（電磁場、相対論）
duality
52
双対の例右手と左手
外延と内包
粒子と波
電場と磁場
右手と左手 ： 鏡像
外延と内包 ： 列挙と条件
粒子と波 ： フーリエ変換
電場と磁場 ： 統一（電磁場、相対論）
duality
52
chirality
双対を扱うのに丁度いい矢印をいっきに全部逆に向けてみよう
53
双対を扱うのに丁度いい矢印をいっきに全部逆に向けてみよう
53
双対を扱うのに丁度いい矢印をいっきに全部逆に向けてみよう
元の圏がうまく行っていれば自動的にその双対も大丈夫
53
双対を扱うのに丁度いい矢印をいっきに全部逆に向けてみよう
元の圏がうまく行っていれば自動的にその双対も大丈夫
特に掛け算規則に注意
53
双対を扱うのに丁度いい矢印をいっきに全部逆に向けてみよう
元の圏がうまく行っていれば自動的にその双対も大丈夫
圏論は双対を扱うため！と言っても過言ではない
特に掛け算規則に注意
53
買い物の圏の双対レシート片手に返品していったらよい
54
買い物の圏の双対レシート片手に返品していったらよい
返品は買い物の双対！
54
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
55
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延、内包）
双対性
群論（対称性）
55
群論群の概念は、数学的対象 X
から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている
56
群論群の概念は、数学的対象 X
から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている
group theory
56
群論群の概念は、数学的対象 X
から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている
group theory
案の定 Wikipedia
56
群、環、体四則演算（和積差商）が出来るのが 体
和と積だけ 環（整数）
積と逆元 群
57
群、環、体四則演算（和積差商）が出来るのが 体
和と積だけ 環（整数）
積と逆元 群
group, ring, field
57
群、環、体四則演算（和積差商）が出来るのが 体
和と積だけ 環（整数）
積と逆元 群
group, ring, field
群とは席替え、と思ったら大丈夫
57
群、環、体四則演算（和積差商）が出来るのが 体
和と積だけ 環（整数）
積と逆元 群
group, ring, field
群とは席替え、と思ったら大丈夫
57
席替え、すなわち席替えの連続を積だとみなすと、結合律が成り立つ
席替えしない、という席替えがある（単位元）
元の席に戻すことが出来る（逆元）
58
席替え、すなわち席替えの連続を積だとみなすと、結合律が成り立つ
席替えしない、という席替えがある（単位元）
元の席に戻すことが出来る（逆元）
これがそのまま群です
58
しりとりの圏再考双対をとってみると、、
59
しりとりの圏再考双対をとってみると、、
59
ルール再掲文字列のあたまとおしりが、ちゃんとしてれば、良いとする
すなわち、日本語の意味的なフィルターはしない
したがって、 「りんご」、「ごりら」、「らぬぱっしょむ」
などもルール的にはおっけー
60
しりとりの圏再考したがって双対のやじるし「ごんり」とかも、元の圏のやじるしに入っているはず！
61
しりとりの圏再考したがって双対のやじるし「ごんり」とかも、元の圏のやじるしに入っているはず！
日本語意味フィルター入ってないので！
61
しりとりの圏の掛け算に新たなルールを加えて、群にしてみよう！
62
しりとりの圏改め、しりとりの群とりあえず掛け算は、「りんご」✕「ごりら」＝「りんごごりら」に変更
連続する２つの文字は潰してよし、ただしあたまとおしりは除く、「りんごごりら」＝「りんりら」、「みみかき」＝「みかき」
このとき単位元は、「り」＝「りり」＝「りりり」＝、、、
63
しりとりの圏改め、しりとりの群とりあえず掛け算は、「りんご」✕「ごりら」＝「りんごごりら」に変更
連続する２つの文字は潰してよし、ただしあたまとおしりは除く、「りんごごりら」＝「りんりら」、「みみかき」＝「みかき」
このとき単位元は、「り」＝「りり」＝「りりり」＝、、、
New rules!
63
逆元「りんご」✕「ごんり」＝「りんごごんり」＝、、、＝「り」
「ごんり」✕「りんご」＝「ご」
64
逆元「りんご」✕「ごんり」＝「りんごごんり」＝、、、＝「り」
「ごんり」✕「りんご」＝「ご」
inverse
64
逆元「りんご」✕「ごんり」＝「りんごごんり」＝、、、＝「り」
「ごんり」✕「りんご」＝「ご」
しりとりの群の出来上がり
inverse
64
対称性対称性、又はシンメトリーは、ある変換に関して不変である性質である(Wikipedia)
変換は群構造を持つことが多い！ つまり、掛け算と単位元
65
右手から左手
鏡像変換
カイラリティとかキラリティとか
66
右手から左手
鏡像変換
カイラリティとかキラリティとか
鏡像変換は、二回やったら元通り
66
双対性再掲双対とは、互いに対になっている2つの対象の間の関
係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で “元
に戻る”）(Wikipedia)
67
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延性、内包性）
双対性
群論（対称性）
68
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延性、内包性）
双対性
群論（対称性）
68
今日やること圏論（圏、関手）
集合論（外延性、内包性）
双対性
群論（対称性）
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おしまい
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まとめ圏論の柔軟さ、そして集合論から始まる数学的構造物の一端をかいつまんで説明してみました、いかがだったでしょうか？
各所にある、ある種の構造と他のモノへの相似的な対応を抽象化して取り出したのが数学です、それらの構造をもつ身近な例でもって数学の面白さを感じて貰えれば幸いです
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最後に自然物をモデリングするのが物理学で、その言語は数学を用います
フィボナッチ数列のように現象自体のモデルも興味深いが、しりとりの圏のようにフレームワークに数学的なモデルがあるのはもっとおもしろそう
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最後に自然物をモデリングするのが物理学で、その言語は数学を用います
フィボナッチ数列のように現象自体のモデルも興味深いが、しりとりの圏のようにフレームワークに数学的なモデルがあるのはもっとおもしろそう
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1,1,2,3,5,8,13…
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