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수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis

161009161009

Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration Ch19. Numerical Integration FormulasFormulas

� 미적분

• 미분 : 독립변수에 대한 종속변수의 변화율

� y(t)= 임의의 물체의 시간에 따른 위치, v(t)= 속도

� 함수의 구배

Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

( ) ( )d

v t y tdt

Numerical AnalysisNumerical Analysis

� 함수의 구배

• 적분 : 미분의 역, 어떤 구간 내에서 시간/공간에 따라 변화하는 정

보를 합하여 전체 결과를 구함.

� 0에서 t까지의 구간에서 곡선 v(t) 아래의 면적

0( ) ( )

y t v t dt= ∫

Part 5. Part 5. Part 5. Part 5. 소개소개소개소개 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)

� 미분과미분과미분과미분과 적분의적분의적분의적분의 비교비교비교비교

미분 적분

19.1 19.1 19.1 19.1 소개소개소개소개 및및및및 배경배경배경배경

� 적분:

→ 독립변수 x 에 대한 함수 f(x)의

구간 x = a에서 x = b까지의 적분

→x = a 와 b 사이의 범위에서

adxxfI )(

→x = a 와 b 사이의 범위에서

곡선 f(x) 아래의 면적

• 구적법= 수치적으로 정적분을 구하는 방법

도형과 같은 면적을 가지는 사각형을 구축한다는 것을 의미

19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

• 가장 널리 사용되는 수치적분 방법

• 복잡한 함수나 도표화된 데이터를 적분하기 쉬운 다항식으로 대체

여기서

∫∫ ≅=b

adxxfdxxfI )()(

nnn xaxaxaaxf ++++= −−

1110)( L

적분의 근사: (a) 직선 아래 면적, (b)포물선 아래 면적

19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton19.2 Newton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)

• 데이터를 동일 간격의 소구간으로 나누어

일련의 다항식으로 근사값 계산

• Newton-Cotes 공식에는 폐구간법과 개구간법이 있음

세 직선 아래의 면적으로 근사 (a) 폐구간 적분 공식과 (b) 개구간 적분 공식

19.3 19.3 19.3 19.3 사다리꼴사다리꼴사다리꼴사다리꼴 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

• Newton-Cotes 폐구간 적분공식의 첫 번째 방법

• 1차 다항식

)()()(

bfafab

dxaxab

afbfaf

−−−

→ 사다리꼴 공식

2)( ab −=

높이 평균 a)(b 높이 평균 폭 I ×−=×=

� 사다리꼴 공식의 오차

• 한 개의 구간에 대해 공식을 적용할 때 발생하는 국소절단오차

- 선형 함수에 대해서는 정해 제공

← f''(ξ) = 0

3))((12

1abξfEt −′′−=

- 2차 이상의 함수인 경우에는

어느 정도의 오차가 발생

함수 f(x)의 x = 0에서 0.8까지의적분의 근사와 발생 오차

� Q. 주어진 5차 함수의 적분을 a = 0에서 b = 0.8까지의

구간에 대해 사다리꼴 공식을 사용하여 수치적으로 구하

라. (참고로 정해는 1.640533)

예제 19.1 (1/2)

2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +

� Et = 1.640533 – 0.1728 = 1.467733

� εt = 89.5% (상당한 오차 !)

1728.02

232.02.0)08.0( =

+−=I

예제 19.1 (2/2)

근사적인 오차 추정값:

32 000,8800,10050,4400)( xxxxf +−+−=′′

6008.0

)000,8800,10050,4400()(

−=−

+−+−=′′ ∫ dxxxx

56.2)8.0)(60(1 3 =−−=E

56.2)8.0)(60(12

1 3 =−−=aE

note : Ea는 참 오차와 같은 차수와 부호를 가지지만, 차이가 있다. 이는 2차도함수의 평균≠f"(ξ )때문이며, 따라서 Ea는 근사 오차임.

� 합성 사다리꼴 공식

• a에서 b까지의 적분 구간을 다수의 소구간으로 나누고, 사다리꼴 공

식을 각 소구간에 적용

→ 합성 (또는 다구간) 적분공식

• (n + 1)개의 등간격 기본점 (x0, x1, x2, ..., xn)

→ n개의 등간격 구간 폭;

만약 a = x0와 b = xn로 놓으면,

사다리꼴 공식을 각각 적용하면,

∫∫∫−

+++= n

xdxxfdxxfdxxfI

)()()( L

사다리꼴 공식을 각각 적용하면,

또는

여기서, 평균 높이는 함수값의 가중 평균값을 나타냄

)()( 12110 nn xfxfh

xfxfhI

+= −

++= ∑

)()(2)(2

i xfxfxfh

44444 344444 21321

height Average

Width2

)()(2)(

xfxfxf

−=∑−

• 합성 사다리꼴 공식의 오차(각 구간의 오차의 합)

또는 ← 에서

′′−

it ξfn

abEa ′′

−−=

fnξfn

i ′′≅′′∑=1

′′

≅′′ 1

예제 19.2 (1/2)

� Q. 두 개의 구간에 대한 사다리꼴 공식을 이용하여

a = 0에서 b = 0.8까지의 범위에서 함수의 적분값을

구하라. 참고로 정해는 1.640533.

2 3 4 5( ) 0.2 2.5 200 675 900 400f x x x x x x= + − + − +

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

0688.14

232.0)456.2(22.08.0 =

%9.34 57173.00688.1640533.1 ==−= tt εE

64.0)60()2(12

=−−=aE

예제 19.2 (2/2)

nnnn hhhh IIII εεεεtttt (%)(%)(%)(%)

0.2667

0.1333

1.0688

1.3695

1.4848

1.5399

1.5703

<함수 f(x) = 0.2 + 25x – 200x2 + 675x3 – 900x4를x = 0에서 0.8까지 적분한 합성 사다리꼴 공식의 결과>

0.2667

0.1333

0.1143

0.0889

1.0688

1.3695

1.4848

1.5399

1.5703

1.5887

1.6008

1.6091

1.6150

19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 19.4 Simpson 공식공식공식공식 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)

• 사다리꼴 공식- 오차가 함수의 2차도함수와 관련

• Simpsons 공식: 데이터 점들을 연결하는 고차 다항식을 사용

• 조밀한 구간에 대한 사다리꼴 공식보다 정확한 적분

(a) Simpson 1/3 공식: 세 점을 연결하는 포물선 아래에 있는 면적(b) Simpson 3/8 공식: 네 점을 연결하는 3차 방정식 아래에 있는 면적

� Simpson 1/3 공식

• 세 점을 연결하는 2차 다항식을 사용하는 경우 (Lagrange form)

또는 또는

dxxfxxxx

xxxxxf

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−= ∫ )(

))(()(

)]()(4)([3

210 xfxfxfh

I ++=6

)()(4)()( 210 xfxfxfabI

++−=

여기서 h = (b – a)/2, a = x0, b = x2, 그리고 x1 = (a + b)/2

• 오차

또는

-기대했던 것(3차 도함수에 비례)보다 더 정확한 4차 도함수에 비례

→ 3차 다항식에 대해서도 정확한 결과를 산출

1 )4(5 ξfhEt −= )(2880

)( )4(5

� Q. Simpson 1/3 공식을 이용하여 구간 a = 0와 b = 0.8

사이에서 다음 식을 적분하라. (참고로 정해는 1.640533)

n = 2 (h = 0.4)에 대해서

예제 19.3

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

단일 구간에 적용한 사다리꼴 공식의 결과보다 약 5배 정도 더 정확함

232.0)8.0( 456.2)4.0( 2.0)0( === fff

367467.16

232.0)456.2(42.08.0 =

%6.16 2730667.0367467.1640533.1 ==−= tt εE

2730667.0)2400(2880

=−−=aE

� 합성 Simpson 1/3 공식

• 주어진 구간을 등간격의 여러 구간으로 나눔으로써 개선된 적분 결

과를 얻는다.

각각의 적분항에 Simpson 1/3 공식을 대입하면

∫∫∫−

+++= n

xdxxfdxxfdxxfI

)()()( L

또는

)()(4)(2

)()(4)(2 12432210 nnn xfxfxf

hxfxfxf

= −−L

xfxfxfxf

)()(2)(4)(

−=∑∑−

• 이 방법을 적용하기 위해서는 "짝수 개"의 구간을 사용

• 추정오차:

−−=

합성 Simpson 1/3 공식에사용되는 상대적 가중치

(함수 값 위에 주어진 수치)

예제 19.4 (합성 Simpson 1/3 공식)

� Q. 합성 Simpson 1/3 공식을 이용하여

구간 a = 0과 b = 0.8 사이에서 n = 4 일 때 다음 식을 적

분하라. (참고로 정해는 1.640533)

n = 4 (h = 0.2)에 대해서

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=

추정오차:

232.0)8.0(

464.3)6.0( 456.2)4.0(

288.1)2.0( 2.0)0(

623467.112

232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0 =

++++=I

%04.1 017067.0623467.1640533.1 ==−= tt εE

017067.0)2400()4(180

=−−=aE

� Simpson 3/8 공식

• 3차 Newton-Cotes 폐구간 적분 공식

• 3차 Lagrange 다항식을 이용하여 유도

또는

)]()(3)(3)([8

33210 xfxfxfxf

hI +++=

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfabI

+++−=

여기서 h = (b – a)/3

• 오차: 또는•

- 네 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻음

- Simpson 3/8 공식이 Simpson 1/3 공식보다 조금 더 정확함

- 세 개의 데이터 점으로 3차의 정확도를 얻는 1/3 공식이 더 선호됨

• 구간의 개수가 홀수인 경우에도 적용이 가능

3 )4(5 ξfhEt −= )(6480

)( )4(5

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (1/3)

� Q.

(a) Simpson 3/8 공식을 사용하여 구간 a = 0에서 b =

0.8까지 아래의 식을 적분하라.

(b) Simpson 3/8 공식과 Simpson 1/3 공식을 함께 사용

하여 다섯 개의 구간(구간 a = 0에서 b = 0.8까지)에 대해

아래의 식을 적분하라.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf +−+−+=

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (2/3)

풀이)

(a) n = 3 (h = 0.2667)에 대해서

232.0)8.0( 487177.3)5333.0(

432724.1)2667.0( 2.0)0(

51970.18

232.0)487177.3432724.1(32.08.0 =

(b) h = 0.16에 대해서

232.0)80.0( 181929.3)64.0(

186015.3)48.0( 743393.1)32.0(

296919.1)16.0( 2.0)0(

Simpson 1/3 공식과 3/8 공식을 함께 적용하여적분을 구하는 예(홀수 개의 구간인 경우)

예제 19.5 (합성 Simpson 3/8 공식) (3/3)

Simpson 1/3 공식을 처음 두 개의 구간에 적용하면

Simpson 3/8 공식을 나머지 세 개의 구간에 적용하면

3803237.06

743393.1)296919.1(42.032.0 =

264754.1232.0)181929.3186015.3(3743393.1

48.0 =+++

두 결과를 합하여 전체 적분값

264754.18

232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0 =

645077.1264754.13803237.0 =+=I

<Newton-Cotes 폐구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

구간수구간수구간수구간수((((nnnn))))

점의점의점의점의개수개수개수개수

이름이름이름이름 공공공공 식식식식 절단오차절단오차절단오차절단오차

1 2사다리꼴

공식

2 3Simpson 1/3 공식

19.5 19.5 19.5 19.5 고차고차고차고차 NewtonNewtonNewtonNewton----Cotes Cotes Cotes Cotes 공식공식공식공식

)()()( 10 xfxfab

+− ( ) )121 3 (ξfh/ ′′−

)()(4)()( 210 xfxfxfab

++− ( ) )(90/1 )4(5 ξ− fh

짝수 구간-홀수 점 공식을 통상적으로 선호한다.

3 4Simpson 3/8 공식

4 5Boole 공식

)()(3)(3)()( 3210 xfxfxfxfab

+++− ( ) )(80/3 )4(5 ξ− fh

)(7)(32)(12)(32)(7)( 43210 xfxfxfxfxfab

++++− ( ) )(945/8 )6(7 ξ− fh

)(19)(75)(50)(50)(75)(19)( 543210 xfxfxfxfxfxfab

+++++− ( ) )(096,12/275 )6(7 ξ− fh

19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

• 사다리꼴 공식을 각각의 구간에 적용하고 그 결과를 합한다.

여기서 hi = 구간 i 의 폭

I = fn x( )x0

xn∫ dx = fn x( )x0

x1∫ dx+ fn x( )x1

x2∫ dx+L+ fn x( )xn−1

xn∫ dx

I = x1 − x0( )f x0( )+ f x1( )

2+ x2 − x1( )

f x1( )+ f x2( )2

+L+ xn − xn−1( )f xn−1( )+ f xn( )

예제 19.6 (부등간격에 대한 사다리꼴 공식 )

� Q. 주어진 데이터에 대한 적분값을 구하라.

참고로 정해는 1.640533이다.

x f(x) x f(x)

0.200000

1.309729

1.305241

1.743393

2.074903

2.842985

3.507297

3.181929

2.363000

594801.12

232.0363.210.0

305241.1309729.110.0

309729.12.012.0 =

t = 2.8%

2.074903

2.456000

2.363000

0.232000

19.6 19.6 19.6 19.6 부등간격의부등간격의부등간격의부등간격의 적분적분적분적분 (2/2)(2/2)(2/2)(2/2)

>> x = [0 .12 .22 .32 .36 .4 .44 .54 .64 .7 .8];>> y = 0.2 + 25*x - 200*x.^2 + 675*x.^3 - 900*x.^4 + 400*x.^5;>> trapuneq(x,y)ans =

1.5948

19.7 19.7 19.7 19.7 개구간법개구간법개구간법개구간법

<Newton-Cotes 개구간 적분 공식: 간격의 크기는 h = (b – a)/n임>

)()( 1xfab − ( ) )(3/1 3 ξ′′fh

)()()( 21 xfxfab

+− ( ) )(4/3 3 ξ′′fh

구간구간구간구간수수수수((((nnnn))))

점의점의점의점의개수개수개수개수

이름이름이름이름 공식공식공식공식 절단오차절단오차절단오차절단오차

2 1 중점법

• 짝수 구간-홀수 점 공식이 보통 선호됨

• 정적분의 계산에는 잘 사용 않으며 이상적분을 수행하는데 유용

)(2)(1)(2)( 321 xfxfxfab

+−− ( ) )(45/14 )4(5 ξfh

)(11)()()(11)( 4321 xfxfxfxfab

+++− ( ) )(144/95 )4(5 ξfh

)(11)(14)(26)(14)(11)( 04321 xfxfxfxfxfab

+−+−− ( ) )(140/41 )6(7 ξfh

19.8 19.8 19.8 19.8 다중적분다중적분다중적분다중적분

• 2차원 함수의 평균값

• 이중 적분:

dydxyxf

−−

=∫ ∫

- 적분의 순서가 중요하지 않다.

∫ ∫∫ ∫

adxdyyxfdydxyxf ),(),(

함수 표면 아래의 면적을 구하는 이중 적분

예제 19.8 (이중적분의 사용)

� Q. 직사각형 가열판의 온도가 다음의 함수로 표현될 수

있을 때, 판의 길이(x 차원)가 8 m이고 폭(y 차원)이 6 m

인 경우에 평균온도를 계산하라.

각각의 y의 값에 대해 x 차원을

72222),( 22 +−−+= yxxxyyxT

따라 사다리꼴 공식을 수행

� y 차원을 따라 적분

최종결과 2688과

평균온도 2688/(6x8)=56

Simpson 1/3 공식을 이용하면

� 정확한 값인 2816과 평균온도가 58.66667

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