chapter 5

บทท 5 ความเคนและการแอนตวของคาน (Stresses and Deflection of Beams)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 1

5.1 เกรนนา5.2 การหาสมการของการดด5.3 คานทมแกนสมมาตรเดยว5.4 การหาสมการของความเคนเฉอน5.5 การแอนตวของคาน5.6 คานแบบวเคราะหไมไดดวยวธทางสถตยศาสตร5.7 คานททาจากวสดสองชนด

5.1 เกรนนา (Introduction)• คานในระบบสองมต มแรงภายในกระทา 2 ชนด คอ แรงเฉอนและโมเมนตดด• แรงเฉอนทาใหเกดความเคนเฉอน• โมเมนตดดทาใหเกดความเคนดด (ความเคนดงและความเคนกด)

• การหาสมการสาหรบความเคนทงสองชนด จะตงสมมตฐานเพอความสะดวก ดงน1. ระนาบของคานยงคงเปนระนาบเหมอนเดม2. คานทาจากวสดเนอเดยว และเปนไปตามกฎของฮค (ความเคนไมเกน Proportional limit)3. คาสมประสทธความยดหยนของวสด (E) เทากนทงการดงและการกด4. คานเปนคานตรงและมขนาดหนาตดคงทตลอดความยาว5. แรงกระทาตองอยในระนาบของแนวแกนหลกของหนาตด และตองตงฉากกบแนวแกนความยาวของคานดวย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 2

5.2 การหาสมการของการดด (Derivation of flexure formula)• ความเคนทเกดจากโมเมนตดด เรยกวา ความเคนดด (Bending or Flexure stresses)• หลกการในการหาสมการจะเปนลกษณะเดยวกนกบกรณการหาสมการของการบด• เนองจากในทน ถอวาคานมเฉพาะแรงในแนวตงฉากกบความยาวเทานน จงเหลอแรงตานทานในหนาตดของคานเพยง 2 แรงเทานน คอ

• โมเมนตดดคา + จะทาใหคานแอนตวแบบหงายขน(ดานบนสนลง – ดานลางยดออก)

• มตาแหนงหนงทมความยาวเทาเดมเหมอนกอนการแอนตว เรยกระนาบของคานทมความยาวเทาเดมนวา ระนาบสะเทน (Neutral surface)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 3

• ระยะยดของคานทระยะ y ใดๆ จากระนาบสะเทน คอ

โดยทความยาวเดมกอนทจะยดออก คอ

• สมการสาหรบความเครยดทเกดขน คอ

• จากกฎของฮค (สมมตฐานขอ 2) จะไดวา (ก)

• สมการ (ก) หมายความวา ความเคนดดแปรผนโดยตรงกบระยะทางจากระนาบสะเทน เพราะเทอมในวงเลบเปนคาคงท (E คงททงดานการกดและการดง ตามสมมตฐานขอ 2 และรศมความโคงของการแอนตวมคาคงท) • ขนตอนตอไป คอการหาความสมพนธระหวางความเคนดดกบคาโมเมนตดด

θδ ydhk ==

θρdefghL ===

ρθρθδε y

dyd

L===

yEE ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ρεσ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 4

• ทหนาตดใดๆ จะมแรงเฉอนและโมเมนตดดตานกบแรงกระทาภายนอกของคาน• ในหนาตด จะมแกนสะเทน (Neutral axis) ซงคอเสนตรงทเกดจากการตดกนระหวางระนาบสะเทนกบระนาบของหนาตด ใชสาหรบวดระยะ y

• เมอคดสมดลในแนวแกน x(ไมมแรงภายนอกใดๆ) จะได

• แทนคาจากสมการ (ก) จะได

โดยจากเรองเซนทรอยด ทราบวา

∫ = 0dAxσ

∫ = 0ydAEρ

∫ = yAydA

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 5

• นนคอ

• จะเหนวาในสมการน มเพยง เทานนทสามารถมคาเปนศนยได• หมายความวา แกนสะเทน คอ แกนเดยวกนกบแกนเซนทรอยดของหนาตด นนเอง• การคดสมดลของแรงในแนวแกน y จะไดสมการของความเคนเฉอน (หวขอ 5.4)• การคดสมดลของแรงในแนวแกน z และสมดลของโมเมนตรอบแกน x และ y ไมมความหมาย (เพราะไมมแรงภายนอกหรอโมเมนตในแนวแกนน –สมมตฐานขอท 5)• คดสมดลของโมเมนตรอบแกน z (แกนสะเทน) จะไดวา

• แทนคา จากสมการ (ก) จะได

• เทอมในเครองหมายอนตเกรท คอ โมเมนตความเฉอยของพนท (I) รอบแกน z หรอแกนสะเทน นนเอง ดงนน (5.1)

xyτ

0=yAEρ

y

)( dAyMM xr ∫== σdAyEM ∫= 2

ρ

EIM

=ρ1

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 6

• สมการ (5.1) ใชประโยชนในการหารศมความโคงของการแอนตว ซงแปรผนแบบผกผนกบคาโมเมนตดด ซงแสดงวา ความโคง (เวาหรอนน) แปรผนโดยตรงกบคาของโมเมนตดด• ขอสรปน สอดคลองกบขอตกลงเรองเครองหมายของโมเมนตดด ในบทท 4 เปนอยางด เพราะความโคงทเปนบวก คอ การแอนตวแบบเวาลง • จากสมการ (ก) และ (5.1) จะได (5.2)

• สมการ (5.2) หมายความวา ทจดใดๆ ในหนาตดหนงๆ ความเคนจะแปรผนโดยตรงกบระยะทางจากแกนสะเทนของหนาตด• ระยะทาง y ใดๆ มเครองหมายเปน บวก ถาวดลง เครองหมายเปน ลบ ถาวดขน

• ความเคนดดสงสด เกดขนทขอบนอกทมระยะไกลทสดจากแกนสะเทน (ระยะ c )จะไดวา (5.2ก)

IMy

=σ

IMc

=maxσ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 7

• สมการ (5.2ก) อาจจะเขยนไดในอกรปแบบหนงวา (5.2ข)

เมอ คอ Section modulus ซงมประโยชนอยางยงในกรณของคานทมหนาตดขวางคงทตลอดความยาว เพราะสมการนแสดงใหเหนวา ความเคนดดสงสดจะเกดขนทตาแหนงทมโมเมนตดดมากทสดเพยงตาแหนงเดยวเทานน

cIS /=SM

cIM

==/maxσ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 8

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 9

• จากสมการของความเคนดด (5.2) จะเหนไดอยางชดเจนวา ความเคนดดบรเวณทอยใกลกบแกนสะเทน จะมคานอยมากเมอเทยบกบทขอบดานนอก หมายความวา เนอวสดบรเวณดงกลาวน จงแทบจะไมไดมสวนชวยในการตานทานการดด • เพอเปนการประหยดวสดและลดตนทน จงมการทาหนาตดใหมแกนกลาง (web) เลกลงจากหนาตกสเหลยมตามปกต แตเพมเนอวสดทขอบดานนอกใหมากขน (กวางขน)• ถาปกกวางมากๆ เรยกวาหนาตดแบบ

W (Wide flange) ถาปกกวางนอยลงมาจะเรยกวา S (Short flange) แตสวนมากแลวมกจะเรยกวา หนาตดรปตวไอ หรอ I beam • การใชหนาตดแบบน ตองระวงเรองการโกงของคานออกดานขางดวย (โกงเหมอนเสา)•ในการออกแบบแลว เมอรคาโมเมนตดด และกาหนดความเคนทปลอดภย กสามารถเลอกขนาดหนาตดทปลอดภยได โดย (5.3)

a

MSσ

≥

ตวอยางท 5.1ใหหาคาความเคนดดสงสดของคานทมแรงกระทา และมขนาดหนาตด ดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 10

ตวอยางท 5.2คานไมทมแรงกระทา และมขนาดหนาตด ดงรปถากาหนดใหความเคนดดมคาไดไมเกน 9 MPaก. w ตองมคาไมเกนเทาใด ถงจะทาใหแรงเฉอนทตาแหนงแรง P กระทา มคาเปนศนยพอด และข. แรง P มขนาดเทาใด

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 11

ตวอยางท 5.3หนาตดแบบปกกวาง (W) ทเบาทสด เบอรอะไรทจะใชทาคานทมลกษณะดงรป เมอกาหนดใหความเคนดดมคาไดไมเกน 120 MPaและจากหนาตดทเลอกดงกลาว ความเคนจรงในคานนมคาเทาใด

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 12

ตวอยางท 5.3 (ตอ)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 13

5.3 คานทมแกนสมมาตรเดยว (Unsymmetrical Beam) • ในหวขอ 5.2 คานมหนาตดทมแกนสมมาตร 2 แกน คอ แกนแนวดง (ตามแนวแรงกระทา) และ แกนแนวราบ (ตงฉากกบแนวแรงกระทา หรอ คอ แกนสะเทนนนเอง)• หนาตดดงกลาว ไดแก สเหลยมมมฉาก วงกลม หนาตดแบบปกกวางและปกสน เปนตน มกจะเปนหนาตดทมความแขงแรงของการกดและการดงเทากน• วสดบางอยาง เชน เหลกหลอ มความแขงแรงภายใตการกดและการดงไมเทากน ดงนน จงตองปรบรปรางหนาตดใหเหมาะสมกบสภาพความสามารถของวสดและสภาพแรงกระทาตอคาน จงไดรปรางหนาตดทมแกนสมมาตรเพยงแกนเดยว คอแกนแนวดง (เปนไปตามเงอนไขในสมมตฐานขอท 5)• หนาตดในลกษณะน ไดแก รปตวท รปตวย เปนตน• ตาแหนงอนตรายทสดของคานทตองคานงถง จงมอย 2 แหง คอ โมเมนตบวกมากทสด และ โมเมนตดดคา ลบ ทมขนาดมากทสด

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 14

ตวอยางท 5.4คานดงรป ทาจากเหลกหลอ ซงมความเคนดงและกดทยอมรบได เปน 30 และ 90 MPa ตามลาดบ ใหหาขนาดความกวาง b ทจะทาใหความเคนมคาถงจดทยอมรบไดพอดทง 2 คา

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 15

ตวอยางท 5.5ใหหาคาความเคนดงและกดสงสดทจะเกดขนในคานทมลกษณะดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 16

ตวอยางท 5.6คานดงรป ทาจากเหลกหลอ ซงมความเคนดงและกดทยอมรบได เปน 40 และ 100 MPa ตามลาดบ ใหหาขนาดแรงกระจาย (w)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 17

5.4 การหาสมการของความเคนเฉอน (Derivation of Shearing stress)

• สาหรบโมเมนตดดคาบวกใดๆ ระนาบท (2) จะมคาความเคนกดมากกวาทระนาบ (1) ซงอยถดออกไปทางดานซาย เมอโมเมนตดดทระนาบ (2) มขนาดมากกวาทระนาบ (1)• ทาใหแรงลพธรวมในระนาบท (2) มคามากกวาทระนาบ (1)• ผลตางของแรงลพธน จะสมดลกบแรงเฉอนตานภายในตามแนวยาวในเทานน (เพราะไมมแรงภายนอกอนใดตามแนวยาว – ตามสมมตฐานขอท 5)• สมการสมดลของแรง คอ

12 HHdF −=

dAdAc

y

c

y ∫∫ −=1

11

2 σσ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 18

• โดยการแทนคาความเคนดด จะได

โดยทแรงเฉอนตาน คอ สวน ดงนน จะได

ซงจากบทท 4

ดงนน (5.4)

• การไหลของความเคนเฉอน (Shear flow) เปนผลคณระหวางความเคนเฉอนกบความกวางของคาน จะได (5.4ก)

bdxdF τ=

∫∫∫−

=−=c

y

c

y

c

yydA

IMMdAy

IMdAy

IMdF

1

12

1

1

1

2

12 MMdM −=

∫=c

yydA

IbdxdM

1τ

VdxdM

=

IbVQyA

IbVydA

IbV c

y=′== ∫1

τ

IVQbq ==τ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 19

• ความเคนเฉอนในสมการ (5.4) เปนความเคนเฉอนในแนวยาว ซงจากในบทท 1 จะเหนยวนาใหเกดความเคนเฉอนในแนวดงขน• ความเคนเฉอนทง 2 แนวนมขนาดเทากน โดย

(5.5)vh ττ =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 20

• กรณทหนาตดเปนสเหลยมมมฉาก จะได

หรอ

โดยความเคนเฉอนสงสดจะเกดขนทบนแกนสะเทน ซงจะไดวา

ซงสามารถลดรปลงไดเปน (5.6)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′= yhyyhb

IbVyA

IbV

221

2τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 2

2

42yh

IVτ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′=

42)12/( 3

hbhbbh

VyAIbVτ

AV

bhV

23

23

max ==τ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 21

ขอจากดของการใชสมการความเคนเฉอน• สมการ (5.4) หมายความวา ความเคนเฉอนกระจายอยางสมาเสมอตลอดความกวางของหนาตด (ถอวามความถกตองในระดบหนง ถาหากความเคนดดทระดบเดยวกนนนมคาคงท)• สาหรบหนาตดทความเคนดดทระดบเดยวกนมคาไมคงท (เชนกรณของคาความเคนดดบนแกนสะเทนของหนาตดรปสามเหลยม ดงรป) แลว ความเคนเฉอนจะไมเทากน โดยจะมคาสงสดทขอบดานซาย และคอยๆลดลงจนเปนศนยทขอบดานขวาสด• ในกรณน สมการ (5.4) จงเปนคาความเคนเฉอนเฉลย• หนาตดรปวงกลม จะมทศทางของความเคนเฉอนทระดบเดยวกนแตกตางกนไป คอ ทขอบนอกจะมแนวสมผสกบความโคงของวงกลม สวนบรเวณดานในจะไมทราบทศทางทแนนอน แตประมาณไดวา นาจะมแนวพงไปยงจดรวม C ใดๆ ดงรป

• หนาตดรปวงกลมAV

34

max =τ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 22

ตวอยางท 5.7คานอยางงายมแรงกระทาดงรป หนาตดวาง 120 มม. และสง 180 มม. ใหหา (ก) ความเคนเฉอนททกๆระดบ 30 มม. จากขอบดานบนจนถงขอบดานลาง ทตาแหนง 1 เมตรจากปลายคานดานซาย (ข) ความเคนเฉอนสงสดทเกดขนในคานน

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 23

ตวอยางท 5.7 (ตอ)

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 24

ตวอยางท 5.8คานทาจากหนาตดรปปกกวาง (W) สาหรบรบแรงเฉอนสงสด 70 kN ใหหา (ก) ความเคนเฉอนสงสด (ข) ความเคนเฉอนทบรเวณรอยตอระหวางแกนกลางกบปก (ค) วาดลกษณะการกระจายของความเคนเฉอนในแกนกลาง และหาจานวนรอยละของแรงเฉอนทแกนกลางรบภาระ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 25

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 26

5.5 การแอนตวของคาน (Beam Deflections) • ในการออกแบบเครองจกรหรอโครงสรางบางชนด ความยดหยน (ระยะการแอนตว) เปนสงทตองใหความสาคญมากกวาดานความแขงแรง อาทเชน เครองจกรทตองใชในการผลตชนสวนทตองการความแมนยาสง การแอนตวของเครองจกรจะตองมคานอยกวาคาความคลาดเคลอน (Tolerance) ทกาหนดของชนงาน เปนตน• สาหรบงานอาคาร จะมการกาหนดระยะการแอนตวสงสดทยอมรบไดไวตามลกษณะของการใชงานอาคารนนๆ โดยจะแปรผนโดยตรงตามชวงความยาวของคาน เชน 1/360 เทาของความยาว เปนตน• มวธในการหาระยะการแอนตวอยหลายวธ อาทเชน• วธอนตเกรท 2 ครง (Double Integration) – เปนวธพนฐาน ใชไดกบทกกรณ• วธพนทโมเมนต (Area – moment) – เหมาะกบกรณทตองการทราบระยะการแอนตว ณ ตาแหนงทแนนอน• วธรวมผลจากคานยอย (Superposition) – เหมาะกบคานทมลกษณะแรงกระทาตรงตามทมการทาตารางสาเรจรปของการแอนตวไวกอนแลว• วธสามโมเมนต (Three – moments) - เหมาะสมกบคานแบบตอเนอง

• ในทน จะศกษาเฉพาะวธการอนตเกรท 2 ครง และวธรวมผลจากคานยอย เทานน• เรมตนจาก Elastic curve ซง คอ เสนโคงแสดงแนวดานขางของระนาบสะเทนของคานทมการแอนตวแลว• ถอวาการแอนตวทเกดขนมคานอยมาก (ระยะตามเสนโคงของการแอนตวยาวเทากบระยะเสนตรงในแนวราบเดมของคาน และมมของเสนสมผสเสนโคงการแอนตวกบแนวราบของคานมคานอยมาก) นนคอ (ก)

และ (ข)

• ระยะทางโคงบนเสนโคงการแอนตว (ค)

dxdy

=≈ θθ tan

2

2

dxyd

dxd

=θ

θρdds =

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 27

• จาก (ก) และ (ข) จะได (ง)

และจากสมการ (5.1) ในหวขอ 5.2 จะได

นนคอ (5.7)• สมการ (5.7) เปนสมการอนพนธของเสนโคงการแอนตวของคาน โดยทผลคณ EI เปนความแขงเกรงของการดด (Flexure rigidity) ของคาน•อนตเกรทสมการ (5.7) จะได (5.8) ซงคอ สมการความชนของเสนโคงการแอนตว•อนตเกรทสมการ (5.8) ตอ จะได (5.9)ซงคอ สมการระยะการแอนตวของคาน• คาคงท C1 และ C2 สามารถหาไดดวยการแทนคาเงอนไขของการแอนตวทจดรองรบภายนอกของคาน หรอจดททราบระยะการแอนตวของคานแลว

EIM

dxyd==

2

21ρ

2

21dx

yddxd

dsd

=≈=θθ

ρ

Mdx

ydEI =2

2

1CdxMdxdyEI += ∫

21 CxCdxdxMEIy ++= ∫ ∫

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 28

• ในกรณทสมการโมเมนตดดมการเปลยนแปลงในแตละชวงของคาน จาเปนตองทาการอนตเกรทแยกทละชวงใหสอดคลองกบความเปนจรง ซงเกดความยงยากในทางปฏบต เชน

• ตามปกตตองทาการอนตเกรทแยก 3 ครง• สมการโมเมนตสาหรบชวง CD สามารถนาไปใชกบชวง AB และ BC ได ถาหากวาเทอม (x-2) และ (x-3)2 ไมถกนามาคดในชวงท x นอยกวา 2 และ 3 ตามลาดบ• ดงนน จะใชวงเลบหวแหลม - แทนทวงเลบหวกลม - ในกรณน โดยเมอใดกตามทเทอมในวงเลบหวแหลม มคาตดลบ มความหมายวา เทอมนนมคาเปนศนย• ดงนน จะได

2)3(2

450)2(500480

)2(500480480

−−−−=

−−==

xxxM

xxMxM

CD

BC

AB

( )

234502500480 −−−−= xxxM2

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 29

• วธการเขยนสมการโมเมนตในชวงสดทายของคานเพยงสมการเดยวโดยใชวงเลบหวแหลมน ใชไดกบกรณทสภาพแรงกระจายทกระทามความตอเนองนบจากจดทเรมตนกระทาไปจนสดปลายคานเทานน• วงเลบหวแหลมนมชอเรยกวา Singularity Function• ถาหากแรงกระจายมไมตอเนอง จะตองทาใหตอเนอง โดยการเตมแรงกระจายเพมเขาไปตามลกษณะการกระจายเดมทมอย และลบออกดวยแรงกระจายในรปแบบเดยวกน

6130042

40012

400500 22−+−+−−= xxxxM

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 30

ตวอยางท 5.9ใหหาสมการการแอนตวของคานทมแรงกระทาดงรป พรอมกบหาระยะการแอนตวมากทสดดวย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 31

ตวอยางท 5.10ใหหาระยะการแอนตวทจดกงกลางระหวางจดรองรบของคานมมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 32

ตวอยางท 5.11ใหหาสมการการแอนตวของคานทมแรงกระทาดงรป พรอมกบหาระยะการแอนตวมากทสดดวย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 33

ตวอยางท 5.11ใหหาสมการการแอนตวของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 34

วธรวมผลจากคานยอย (Superposition Method)• วธรวมผลจากคานยอย เปนการแยกภาระงานทกระทาตอคานออกเปนคานพนฐานทมแรงกระทาเพยงชนดเดยวซงทราบสมการของการแอนตวและความชนแลว จากนนจงนาคาทไดแตละคานยอยมารวมกน โดยมขอจากดทสาคญประการหนง คอ ผลกระทบทเกดจากคานยอยแตละชนดจะตองเปนอสระจากผลกระทบของคานยอยอนๆ (หรอหมายความวา ภาระงานของแตละคานยอยจะตองไมทาใหเกดการเปลยนแปลงรปรางหรอความยาวของคานเดมมากเกนไป)• วธรวมผลจากคานยอย เหมาะสมกบกรณทตองการทราบความชนและการแอนตวของคานทมแรงกระทาหลายแรงรวมกน โดยเมอแบงเปนคานยอยแลวมลกษณะของคานยอยตรงกบตารางสาเรจรป• ในกรณทตองการทราบคาการแอนตวทจดใดจดหนง – ควรใชวธพนทโมเมนต• สวนในกรณทภาระงานเปนแรงกระจายไมเตมตลอดความยาวของคาน (ไมตรงกบตารางสาเรจรป) – ควรใชวธอนตเกรท 2 ครง กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 35

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 36

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 37

ตวอยางท 5.12ใหหาสมการการแอนตวทจดกงกลางของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 38

ตวอยางท 5.13ใหหาสมการการแอนตวทระยะกงกลางความยาวของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 39

ตวอยางท 5.14ใหหาสมการการแอนตวทระยะกงกลางความยาวของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 40

ตวอยางท 5.15ใหหาระยะการแอนตวของคาน ณ ตาแหนงทมแรง P กระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 41

ตวอยางท 5.16ใหหาคาแรง P ทลกกลงกระทาตอคาน ทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 42

5.6 คานแบบวเคราะหไมไดดวยวธทางสถตยศาสตร (Statically Indeterminate Beams)

• คานแบบวเคราะหไมไดดวยวธทางสถตยศาสตร จะมจดรองรบมากกวาความจาเปนสาหรบเงอนไขของสมดล เพราะมความตองการใหคานมความแขงเกรงมากขน หรอมความยดหยนนอยลงกวาปกต – ทาใหคานมการแอนตวนอยลง

• การแกปญหาในลกษณะน จะใชขอมลของการบงคบการเสยรปของจดรองรบทเพมเขามา (เชน บงคบไมใหแอนตว หรอบงคบไมใหหมน) มาใชเปนประโยชนในการหาคาแรงปฏกรยาภายนอกทงหมดทมอย

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 43

ตวอยางท 5.17ใหหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 44

ตวอยางท 5.18ใหหาแรงปฏกรยาทจดรองรบของคานทมแรงกระทาดงรป

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 45

5.7 คานททาจากวสดสองชนด (Beam of two materials) • มการเสรมความแขงแรงของคานใหเพมขนดวยวสดอนทมความแขงแรงกวา เชน ประกบแผนเหลกเขากบดานนอกของไม หรอเสรมเหลกเสนเขาในเนอคอนกรตเพอเพมความสามารถในการรบความเคนดง เปนตน• สมการตางๆทผานมา มสมมตฐานทสาคญ คอ ตองเปนวสดเนอเดยว ซงจะไมเปนจรงสาหรบคานททาดวยวสดสองชนด• การหาสมการ จะยงคงใชสมมตฐานทวา ระนาบยงคงเปนระนาบเหมอนเดม (หรอหมายความวา ความเครยดแปรผนโดยตรงกบระยะทางจากแกนสะเทน)

(ก) คานทมวสดตางชนดกนมาประกบเขาดวยกน จะถอวายดตดกนอยางแนนหนา จนไมมการไถลออกจากกน• หลกการสาหรบคานแบบน คอจะมการแปลงหนาตดจากสองวสด ใหเปนหนาตดเทยบเทากบวสดเดยว และใชสมการความเคนในคานตามปกตกลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 46

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 47

• จากการทรอยตอระหวางวสดทประกบกนไมไถลออกจากกน แสดงวาความเครยดของทงสองวสดบรเวณรอยตอมคาเทากนนนคอ หรอ (ก)

• และแรงกระทาทบรเวณรอยตอ กมคาเทากนดวย หรอหรอเมอเขยนในรปของพนท จะได (ข)

จากสมการ (ก) และ (ข) จะได

ซงสดทายแลว จะไดวา(5.10)

โดย n คอ อตราสวนของคาสมประสทธการยดหยน

ws εε =w

w

s

s

EEσσ

=

ws PP =

wwss AA σσ =

wwww

ss A

EEA σσ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ws AnA =

w

s

EE

• ซงหมายความวา พนทเทยบเทาไม มขนาดเปน n เทา ของพนทเหลกเดม• การเพมขนของพนทเทยบเทานจะขยายออกในดานความกวาง เพอยงคงใหระยะหางจากแกนสะเทนมคาเทาเดม• ในทางกลบกน ถาจะแปลงไมใหเปนพนทเทยบเทาเหลก จะมขนาดความกวางลดลงเหลอ 1/n เทาของความกวางเดมของไม• หลงจากการแปลงหนาตดแลว จะตองทาการหา ตาแหนงแกนสะเทนและคาโมเมนตความเฉอยของพนทรอบแกนสะเทนของหนาตด• คาความเคนจรงในเหลก จะมคาเปน n เทาของความเคนเทยบเทาไม หรอในทางกลบกน ความเคนจรงในไม จะมคาเปน 1/n เทาของความเคนเทยบเทาเหลก• ในกรณของวสดสามชนด จะใชวธแปลงวสดทประกบดานนอกทงคใหเทยบเทากบวสดทอยตรงกลาง

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 48

ตวอยางท 5.19ใหหาโมเมนตตานสงสดทคานซงทาจากไมประกบดานลางดวยแผนเหลกดงรปจะมได เมอกาหนดให

และ 20==w

s

EEn

MPas 120≤σMPaw 8≤σ

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 49

(ข) คานคอนกรตเสรมเหลก (Reinforced concrete beams)• คอนกรตเปนวสดกอสรางมความแขงแรงดานการกดทดมากพอๆกบไมเนอออน ไมตดไฟ ไมเกดสนมหรอผกรอน แตความแขงแรงดานการดงเกอบจะเปนศนย• ดงนน จงตองมการเสรมเหลกเขาไปในคานคอนกรตดานทตองรบความเคนดง ซงตามหลกการแลวจะตองวางในตาแหนงทสอดคลองกบการแปรผนของความเคนดง แตในทางปฏบตแลว จะเลอกวางไว ณ ระยะทางหนงเทานน• เนอคอนกรตและเหลกเสนจะยดตดกนอยางแนนหนา และมสมประสทธการขยายตวเนองจากอณหภมทเทากน• ในการหาสมการ จะถอวาคอนกรตไมมสวนในการรบความเคนดงเลย (เนอคอนกรตทอยในดานความเคนดง ถอวาทาหนาทประคองใหเหลกเสนอยในตาแหนงทตองการเทานน)• ถอวาความเคนดงในหนาตดเหลกเสนมคาเทากนทกจด• ตามปกตแลว คา E ของคอนกรตจะมคาโดยประมาณระหวาง 1/10 – 1/6 เทาของเหลก

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 50

รป (c) แสดงหนาตดเทยบเทาคอนกรต

เมอ

• สามารถหาตาแหนงแกนสะเทน (kd) ไดจากการคดโมเมนตของพนทดานบนแกนเทากบของดานลางแกน

นนคอ (5.11)

ซงสามารถแกสมการหาคา kd ได ถาทราบระยะ b, d และพนทเทยบเทาคอนกรต (nAs)• ในการหาคาโมเมนตตานของคาน จะคดจากโมเมนตทเกดจากแรงกดลพธ (C) หรอ แรงดง (T) ซงอยหางกนเปนระยะทาง jd เมอ

(5.12)

c

s

EEn =

)(2

)( kddnAkdbkd s −=

3kddjd −=

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 51

• แรงกดลพธ (C) มคาเทากบคาเฉลยของขนาดความเคนกดคณกบพนทคอนกรตหรอ

(5.13)

เมอ fc เปนสญลกษณแทนความเคนกดสงสดในคอนกรต• ดงนน โมเมนตตาน เมอคดจากความเคนกดสงสด จงเปน

(5.14)

• สวน โมเมนตตาน เมอคดจากดานความเคนดง จะเปน(5.15)

โดยคาโมเมนตตานทปลอดภย คอคาทตากวาจากสมการ (5.14) และ (5.16)คาแนะนา ในทางปฏบตแลว ไมควรจะทองจาสมการเหลาน แตควรจะทาตามขนตอนทมาของสมการ คอ หาแกนสะเทน หาแขนของโมเมนต และหาโมเมนตตาน

)(21 bkdfC c=

))((21)( jdbkdfjdCM cc ==

)()( jdAfjdTM sss ==

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 52

ตวอยางท 5.20คานคอนกรตเสรมเหลกม b = 300 mm, d = 500 mm, As = 1,500 mm2 และ n = 8ใหหาคาความเคนสงสดในคอนกรตและเหลกซงเกดจากโมเมนตดดขนาด 70 kN.m

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 53

ตวอยางท 5.21คานคอนกรตเสรมเหลกม b = 250 mm, d = 400 mm, As = 1,000 mm2 และ n = 8ใหหาคาโมเมนตดดสงสดทจะกระทาตอคานได เมอ และและคานน มการเสรมเหลกมากหรอนอยเกนไป

MPafc 12≤ MPafs 140≤

กลศาสตรของของแขง วศ.ก.214 - 5 ภาควชาวศวกรรมเครองกล มหาวทยาลยเชยงใหม 54