chapter 3fivedots.coe.psu.ac.th/software.coe/240-371/slide/controlch3.pdf240-371: modelling in the...

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 1240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Chapter 3

Modelling in the Frequency Domain

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 2240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Introduction

Signals and systems Transfer functionDeveloping a mathematical model by

apply the fundamental physical laws of science end engineering in frequency domain

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 3240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Introduction to Signals and Systems

Signal Taxonomy

1 Deterministic signal x(t) = sin(t), x(t)=, x(t)=t 2 Random signalCausal system – physical signal generator is turned on at time t=0 then the produced causal signal y(t) satisfies.

y t ={x t for t≥00 for t06

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 4240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Continuous-Time Signals

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 5240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Discrete -Time Signals

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 6240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Element signals

Unit step functions

u t ={0 for t01 for t≥06

u kT s=u k ={0 for k01 for k≥06

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 7240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Unit impulse, Dirac impulse

t =du t

dtu t =∫−∞

td

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 8240-371 : Modelling in the Frequency Domain

1.∫−∞

∞d =1

2. limt 0

t =∞

3.t =0 for t≠04.t =−t

Properties of Dirac

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 9240-371 : Modelling in the Frequency Domain

∫−∞

∞x t t−t 0dt=∫−∞

∞x t 0t−t 0dt=x t 0

Sampling property

Kronecker delta function

kT s=k ={0 if k ≠01 for k =06

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 10240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Property of discrete-time impulse

1. ∑k=−∞

∞

K[k ]=1

2.K[k ]=

K[−k ]

Sampling property of discrete-time impulse function

∑k=−∞

∞

x [k ]K[k−k 0]= ∑

k=−∞

∞

x [k 0]K [k−k 0]=x [k 0]

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 11240-371 : Modelling in the Frequency Domain

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 12240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Rectangular Pulse

rect t={1 if ∣t ∣ / 20 otherwise 6

rect k

K ={1 if ∣k ∣K /20 otherwise 6

Continuous-time

Discrete-time

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 13240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Triangular Pulse

Continuous-time

Discrete-time

tri t={1−∣ t∣ if ∣t ∣

0 otherwise6

tri k

K={1−∣ kK ∣ if ∣k ∣K

0 otherwise6

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 14240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Ramp function

ramp t

T ={ t

Tif 0≤t T

0 otherwise6

ramp k

K={ k

Kif 0≤k K

0 otherwise6

Continuous-time

Discrete-time

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 15240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Complexe causal exponentials

x t =Ae tu t

x k = A e k T

s u k

= j

ej t

=cos t j sin t

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 16240-371 : Modelling in the Frequency Domain

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 17240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Linear system

Y(t) = (Sx)(t)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 18240-371 : Modelling in the Frequency Domain

S a n x n ... a 1 x 1 t = S a n x n t ...Sa 1 x 1 t

= a n S x n t ... a 1 S x 1 t

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 19240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Cascaded interconnections

Subsystem Subsystem Subsystemr t

Inputc t

Output

- Input (Reference input)- Output (Controlled variable)

r t

c t

SystemInput Output

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 20240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Laplace Transform

For solving linear differential equations by convert to complex plane.

s = σ + jω s = complex variable σ = real part ω = imaginary part

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 21240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Definition

Laplace Transform

Inverse Laplace Transform

L [f t ]=F s=∫0∞f t e−st

dt

L−1[F s ]=

12 j

∫− j ∞

− j ∞F s e st

ds

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 22240-371 : Modelling in the Frequency Domain

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 23240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Inverse Laplace TransformPartial-function expansion

1 Roots of the Denominator of F(s) are Real and distinct

F s =N s

D s

=N s

a n sna n−1 s

n−1...a 0

=N s

sP 1 sP 2 ... sP m sP n

=K 1

s p 1

K 2

s p 2

...K m

s p m

K n

s p n

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 24240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =N s

s p 1 s p 2 ... s p m s p n

=K 1

s p 1

K 2

s p 2

...K m

s p m

...K n

s p n

s p m F s = s p m K 1

s p 1

s p m K 2

s p 2

K m s p m K n

s p n

K m=N p m

− p m p 1 − p m p 2 ... − p m p n

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 25240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =1

s1 s 2 s4

=K 1

s 1

K 2

s 2

K 3

s 4

K 1=1

−1 2 −1 4 =

13

K 2=1

− 2 1 − 2 4 =

12

K 3=1

−4 1 −4 42=

16

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 26240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =1 /3

s1

1 /2 s 2

1 /6

s4

f t =13e

− t

12e

−2t

16e

− 4t

F s =N s

D s

=N s

s p 1r s p 2 ... s p n

2. Root of the Denominator of F(s) are real and repeated

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 27240-371 : Modelling in the Frequency Domain

=K 1

s p 1 r

K 2

s p 1 r − 1

...K r

s p 1

K r 1

s p 2 ...

K n

s p n

F s =N s

s p 1r s p 2 ... s p n

= K 1 s p 1 K 2 s p 12 K 3 ... s p 1

r −1 K r

s p 1r K r 1

s p 2 ...

s p 1r K n

s p n

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 28240-371 : Modelling in the Frequency Domain

K i=[ 1 i −1 !

di−1F s

dsi−1 ]

s p1

F s =2

s 1 s 22

F s =K 1

s 2 2

K 2

s 2

K 3

s 1

s22คูณดวย2

s 1= K 1 s 2 K 2

s 2 2 K 3

s 1

Example

i = 1, 2, ..., r 0! = 1

K 1=−2

........ (1)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 29240-371 : Modelling in the Frequency Domain

− 2 s 1 2

= K 2− [ s 1 2 s 2 K 3]− s 2 2 K 3

s 1 2

=K 2 s2K 3[2 s1− s2]

s12

− 2 s 12

=K 2s s 2 K 3

s 12

K2=−2

First derivative of (1)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 30240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =−2

s 22

−2s 2

2

s1

2 s 22

= s 1 K 1

S 22

s 1 K 2

s 2K 3

K 3=2

f t =−2te−2t

− 2 e −2t 2 e −t

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 31240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =N s

D s

=N s

s p 1 s2 asb ...

=K1

s p 1

K 2 s K 3

s2 asb

...

s2 asb

2. Root of the Denominator of F(s) are complex

- complex or imaginary

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 32240-371 : Modelling in the Frequency Domain

F s =3

s s22s5

3s s

22s5

=K 1

sK 2 sK 3

s22s5

K 1=35

s s22s5 คูณดวย

3= s2 s 5 K 1 K 2 s

2 K 3 s

= K 1 K 2 s2 2K 1 K 3 s 5K 1

Example

และจัดสมการใหม

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 33240-371 : Modelling in the Frequency Domain

3=K 235 s

2K 3

65 s 3

K 235=0 K 3

65=0

K 2=−35

K 3=−65

F s =3

s s22s5

=3 /55

−35

s2s

22s5

แทนคา K1

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 34240-371 : Modelling in the Frequency Domain

L [Ae− t cos t ]= A s a

s a 22

L [Be−at sin t ]= B

s a 22

L [Ae−at cos t Be−at sin t ]= A sa B

sa 22

F s =3 /55

−35

s11 / 2 2 s12 22

f t =35−

35e

− tcos 2t 1

2sin 2t

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 35240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Advantages : rapidly provide stability and transient response information.

Disadvantages : Limited applicability to linear to linear, time invariant system or system that can be approximated as such.

Advantages and Disadvantages

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 36240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Transfer function

a n

dnc t

d tn

a n − 1d

n − 1c t

d tn − 1

⋯ a 0 c t

= b m

dmr t

dtm

b m − 1d

m − 1r t

dtm − 1

⋯ b 0 r t

an snC s...a0C s=bms

mR s...b0R s

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 37240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Transfer function

C s

R s =G s =

b m smb m−1 s

m−1⋯b 0

a n sn a n−1 s

n−1⋯ a 0

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 38240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Electric Network Transfer Functions

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 39240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Electric Network Transfer Functions

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 40240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Electric Network Transfer Functions

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 41240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Block Diagram of Series RLC Network

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 42240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Block Diagram of Series RLC Network

Cs

CLs2 RCs 1

V(s) I(s)

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 43240-371 : Modelling in the Frequency Domain

1. Replace passive element values with their impedances.2. Replace all sources and time variables with their Laplace Transform3. Assume a transform current and a current direction in each mesh.4. Write Kirchhoff’s voltage law around the output.5. Solve the simultaneous equations for the output.6. Form the Transfer function.

Complex Circuits via Mesh Analysis

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 44240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Complex Circuits via Mesh Analysis

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 45240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Translational Mechanical System Transfer Functions

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 46240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Translational Mechanical System Transfer Functions

a. Mass, spring, and damper systemb. block diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 47240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Rotational Mechanical System Transfer Functions

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 48240-371 : Modelling in the Frequency Domain

a. Physical systemb. schematicc. block diagram

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 49240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Transfer Functions for Systems with Gears

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 50240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Transfer Functions for Systems with Gears

a. angular displacement inlossless gears.b. torque in lossless gears.

ผูเรียบเรียง ธเนศ เคารพาพงศ, อํานวย สิทธิเจรญิชัย แกไข 20 มีนาคม 2545 หนา 51240-371 : Modelling in the Frequency Domain

Electromechanical System Transfer Functions

DC motor : a. schematic; b. block diagram