chương 4 ĐẶc trƯng hÌnh hỌc cỦa mẶt cẮt ngang

1

Chương 4 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục

Mômen quán tính của mặt cắt ngang Mômen quán tính của một số hình phẳng

đơn giản Công thức chuyển trục song song của

mômen quán tính Công thức xoay trục của mômen quán tính

2

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục

O

y

xx

ydF

xC

yCC

=

=

∫

∫

F

y

F

X

xdFS

ydFS

3

Mômen tĩnh của mặt cắt ngang đối với một trục

Sx, Sy

x, Sy là (chiều dài)3 Do x, y có thể âm hoặc dương nên Sx, Sy có thể âm hoặc dương.SX=0, Sy=0 thì trục x, y là trục trung tâm và đi qua trọng tâm mặt cắt. Ví dụ SX=0 thì trục x đi qua trọng tâm mặt cắt.Giao điểm của 2 trục trung tâm là trọng tâm

4

Trọng tâm mặt cắt

=

=

F

Sy

F

Sx

xC

yC

5

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

Mômen quán tính của hình phẳng đối với một trục

=

=

∫

∫

F

2y

F

2X

dFxJ

dFyJ JX, Jy

y, có thứ nguyên là (chiều dài)4

6

Mômen quán tính của mặt cắt ngang Mômen quán tính độc cực (mômen quán

tính đối với một điểm)

∫ρ=F

2P dFJ

O

y

xx

y

p

F

dF

ρ là khoảng cách từ A(x,y) đến gốc tọa độ, với ρ2 = x2 +y2 ( )∫ +=+=

F

yx22

p JJdFyxJ

7

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

Mômen quán tính ly tâm

∫=F

xy xydFJ

8

Mômen quán tính của mặt cắt ngang

Khi mômen quán tính ly tâm đối với hệ trục nào đó bằng không thì hệ trục đó được gọi là

là . Tại bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng của mặt

Nếu thì bất kỳ

9

Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản Mặt cắt hình chữ nhật

12

hbJ

3

y =

12

bhJ

3

x =

10

Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản

Mặt cắt hình tam giác

12

bhJ

3

x =

11

Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản Mặt cắt hình tròn

2

RJJ

4

yx

π==

44

yx

44

P

D05,064

DJJ

D1,032

DJ

≈π==

≈π=

12

Mômen quán tính của một số hình phẳng đơn giản

Mặt cắt ngang hình vành khăn

( ) ( )

( ) ( )4444

444444

105,01642

11,01323232

ηηπ

ηηπππ

−≈−===

−≈−=−=

DDJ

JJ

DDdD

J

Pyx

P

13

ix , iy

F

Ji

F

Ji

yy

xx

=

=

14

Mặt cắt hình chữ nhật:

Mặt cắt hình tròn:

Mặt cắt hình vành khăn:

12

hi x =

12

bi y =

4

Dii yx ==

2yx 1

4

Dii α+==

15

Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính

Vấn đề: biết Jx, Jy, Jxy đối với hệ trục Oxy. Tìm JX, JY, JXY đối với hệ trục song song OXY

+=+=byY

axX

16

Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính

+++=

++=

++=

abFbSaSJJ

FaaS2JJ

FbbS2JJ

yxxyYX

2yyY

2xxX

17

Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính Nếu x, y là hệ

trục trung tâm, thì Sx = Sy = 0

+=

+=

+=

abFJJ

FaJJ

FbJJ

xyYX

2yY

2xX

Nếu xy là hệ trục quán tính chính trung tâm, thì Sx = Sy = 0 và Jxy = 0

=

+=

+=

abFJ

FaJJ

FbJJ

YX

2yY

2xX

18

Công thức xoay trục của mômen quán tính

Vấn đề Có diện tích mặt cắt ngang F Giả sử biết: mômen quán

tính của diện tích F (Jx, Jy, Jxy) đối với hệ trục Oxy.

Tính mômen quán tính của diện tích F đối với hệ trục Ouv

19

Công thức xoay trục của mômen quán tính

Gọi (u, v) là tọa độ của điểm A trong hệ tọa độ Ouv, ta cóu = xcosα + ysinαv = -xsinα + ycosα (a)

Mômen quán tính đối với hệ trục Ouv là

=

=

=

∫

∫

∫

Fuv

F

2v

F

2u

uvdFJ

dFuJ

dFvJ

20

( )α−α+αα−αα=

αα+α+α=

αα−α+α=

22xyyxuv

xy2

y2

xv

xy2

y2

xu

JJJJ

J2JJJ

J2JJJ

cossincossincossin

cos.sincossin

cos.sinsincos

α−α−

=

α+α−

++

=

α−α−

++

=

2J22

JJJ

2J22

JJ

2

JJJ

2J22

JJ

2

JJJ

xyyx

uv

xyyxyx

v

xyyxyx

u

cossin

sincos

sincos

21

Công thức xoay trục của mômen quán tính

Vị trí hệ trục quán tính chính trung tâm được xác định từ điều kiện Juv=0 hay

yx

xy

JJ

J22tg

−−=α

Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính

( )

( ) 2xy

2yx

yx

2xy

2yx

yx

J4JJ2

1

2

JJJ

J4JJ2

1

2

JJJ

+−−+

=

+−++

=

min

max

22

Ví dụ 4.1

Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

23

Ví dụ 4.1

Xác định trọng tâm mặt cắt

aF

yFy

ii

iii

c 3

53

1

3

1 ==∑

∑

=

=

24

Ví dụ 4.1

Mômen quán tính chính trung tâm

4

3

143

321

a

JJJJ Fx

Fx

Fxx

=

++=

419

321

a

JJJJ Fy

Fy

Fyy

=

++=

25

Ví dụ 4.1

Bán kính quán tính chính

aaF

Ji xx 993,1

12.3

143 2 ===

aaF

Ji yy 258,1

12

19 2 ===

26

Ví dụ 4.2Một thanh ghép gồm

hai thanh Thép chữ ⊂ có số

hiệu N0 20a Thép góc đều cạnh

có số hiệu N08(80x80x6). Xác định các mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

27

Ví dụ 4.2

Đối với thép chữ ⊂ (số hiệu N0 20a)

h = 20cmb1= 8cm

z1 = 2,27cm

F1 = 25cm2

Jx1 = 1660cm4

Jy1 = 137cm4

28

Ví dụ 4.2

Đối với thép chữ góc đều cạnh (số hiệu N0 8 (80x80x6)

b2= 8cm

z2 = 2,19cm

F2 = 9,38cm2

Jx2 = Jy2 = 57cm4

Jx0 = Jmax = 90,4cm4

Jy0 = Jmin = 23,5cm4

29

Ví dụ 4.2

Xác định trọng tâm mặt cắt:

cmy

cmx

C

C

13,2

217,1

==

Lập hệ trục trung tâm XCY, gọi C1 và C2 là tọa độ trọng tâm của thép ⊂ và thép V:

C1(-1,217; -2,13),

C2(3,25; 5,68)

30

Ví dụ 4.2

Mômen quán tính chính và phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

21 FX

FXX JJJ +=

21 FY

FYY JJJ +=

21 FXY

FXYXY JJJ +=

31

Ví dụ 4.2

( ) 421

2C

Fx

FX cm41773132x251660FYJJ

1

1

1

1 ,, =+=+=

( ) ( ) 422

22C

Fx

FX cm635968538957FYJJ 2

2

2 ,,, =+=+=

( ) 421

2C

Fy

FY cm61732171x25137FXJJ

1

1

1

1 ,, =+=+=

( ) 422

2C

Fy

FY cm156253x38957FXJJ

2

2

2

2 =+=+= ,,

32

Ví dụ 4.2 Để tính được mômen quán

tính ly tâm, trước tiên ta phải tính mômen ly tâm của thép góc đều cạnh đối với hệ trục O2x2y2.

α+α−

= 2J22

JJJ

00

00

22 yxyx

yx cossin

sin2α=sin900=1Jx0y0=0

4yx cm4533

2

5234990J

22,

,, =−=

33

Ví dụ 4.2

4

111

4325,64

2513,221,10

1

11

1

cm

xx

FbaJJ Fyx

FXY

=+=

+=

4

222

6,206

38,9)68,525,3(45,33

2

22

2

cm

x

FbaJJ Fyx

FXY

=

+=

+=

34

Ví dụ 4.2

4FX

FXX cm2133JJJ 21 =+=

4FY

FYY cm330JJJ 21 =+=

4FXY

FXYXY cm271JJJ 21 =+=

35

Ví dụ 4.2

Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm là:

30103302133

271x2

JJ

J22

YX

XY ,tan −=−

−=−

−=α

Giải ra ta được α1= -8036’, α2=81024’

36

Ví dụ 4.2

Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm

( )2

J4JJ

2

JJJ

2XY

2YXYX +−

±+=minmax

( )

4

4

22

minmax

5,292

5,2171

2

271.43302133

2

3302133

cm

cm

J

=

+−±+=

37

Ví dụ 4.3

Xác định mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt

38

Vậy trọng tâm mặt cắt có tọa độ C(1,5a; 4a). Qua C lập hệ trục trung tâm XCY, khi đó C1, C2 đối với hệ trục XCY là

( )( )a2aC

aa50C

2

1

−− ,

,,

Xác định trọng tâm mặt cắtChọn hệ trục xOy, chia mặt cắt thành hai hình, trọng tâm mặt cắt được xác định từ công thức

ay

ax

C

C

4

5,1

==

39

Ví dụ 4.3

4FX

FXX a32JJJ 21 =+=

4FY

FYY a17JJJ 21 =+=

4FXY

FXYXY a12JJJ 21 =+=

Mômen quán tính chính

40

Ví dụ 4.3

Phương của hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

61a17a32

a12x2

JJ

J22

44

4

YX

XY ,tan −=−

−=−

−=α

Giải ra ta được α1= -290, α2=610

41

Ví dụ 4.3

Trị số mômen quán tính đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là:

( )2

J4JJ

2

JJJ

2XY

2YXYX +−

±+=minmax

( ) ( )4

42424444

a8510

a6538

2

a124a17a32

2

a17a32J

,

,

minmax =+−±+=