chuong05
Post on 18-Dec-2014
1.269 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
CHƯƠNG 5
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đặt vấn đề Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và
tính phân xác định Thực tế, thường gặp các trường hợp :
Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết.
Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân
xác định. Chọn giải pháp: “Tính gần đúng”
5.1 Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng công thức Taylor:
20
''
000 )(2
)())((')()( xx
fxxxfxfxf
Đặt h = x-x0 x=x0+h:2
''
000 2
)()(')()( h
fhxfxfhxf
h
xfhxfxf
)()()( 00
0'
Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó
(5.1)
Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé
Tính gần đúng đạo hàmSai số:
hM
hf
xR22
)()(
''
0
Với |f’’(x)|<=M, x[x0,x0+h]
Ví dụ: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?
Giải: Chọn h=0.001, ta có:
01,9001,0
2009,2
001,0
)1()001,01()1('
fff
Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 x[1;1,001]
012,0001,0.2
05,24|)1(| R
Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng đa thức nội suy
Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<…<xn=b
f’(x) Pn’(x) với x[a,b] Sai số:
'
0
)1(
)()!1(
)()('
n
ii
n
xxn
cfxR
)(')()(' ' xRxPxf n
)( )()( xRxPxf n
Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy:
; .)(01
01
10
10 xx
xxy
xx
xxyxP
))((!2
)('')( 10 xxxx
cfxR
)(!2
)('')(R' ; )( 010
01
010
' xxcf
xxx
yyxP
)(''2
)R(
)(
0
01
01
010
'
cfh
x
h
yy
xx
yyxf
)(''2
)R(
)(
11
011
'
cfh
x
h
yyxf
Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: xi+1-xi = h
002
00 !
)1)...(1(...
!2
)1(
!1)()(
0y
n
nttty
tty
tyxPxf n
thxxn
n
i
nn
ithn
cfxR
0
1)1(
)()!1(
)()(
dt
dP
hdx
dt
dt
dP
dx
dP 1.
Với
)(')(')(' xRxPxf Lưu ý
Tính gần đúng đạo hàmTrường hợp 3 mốc: x0, x1, x2 với x1-x0=x2-x1 = h
)('''3
)34(2
1)('
)(''6
)(2
1)('
)('''3
)43(2
1)('
2
2
2102
1
2
201
0
2
2100
cfh
yyyh
xf
cfh
yyh
xf
cfh
yyyh
xf
5.2. Tính gần đúng tích phân Cần tính
Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), thì I có thể tính:
Trường hợp:- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x)- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp
Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn
b
adxxfI )(
)()()( aFbFdxxfIb
a
Tính gần đúng tích phânSử dụng đa thức nội suy
Phân hoạch [a,b] thành m đoạn con [a0,a1],[a1,a2],…,[am-1,am] (với a=a0, b=am), trên [ai, ai+1] thay f(x) bởi đa thức nội suy pi(x)
1
)(i
i
a
a
i dxxp
Chia thành m đoạn
a0=a b=ama1 a2 ai ai+1
b
a
m
i
a
a
i
i
i
dxxpdxxf1
0
1
)()(
)(xpi
Tính gần đúng tích phân5.2.1 Công thức hình thang
Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia: x0=a<x1<…<xn=b, h=xi+1-xi=(b-a)/n
Chia thành n đoạn
x0=a b=xn
f(x)
x1x2xi Xi+1
Công thức hình thang
Thực ra, trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)
1 1 1
],[)(()()( 11
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
x iiiii dxxxfxxyxPdxxfI
)(2
1
)2
1.().()(
1
1
0
21
0
1
ii
iiii
x
x
yyh
tytyhdtytyhdxxfi
i
Đặt x = xi+th dx = hdt. Với x [xi, xi+1] t [0,1]
Vậy:
sai số: Với c[xi, xi+h])(12
)( 23
cfh
hri
Công thức hình thang
Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1
xi xi+1
f(x)
h
yi+1
yi
ri(h)A
B)(
2
1)( 1
1
ii
x
xi yyhdxxfIi
i
Tính gần đúng tích phân. Công thức hình thang tổng quát:
)...2
()(2
)(...)()()(
1210
1
1
0
1
0
2
1 1
nn
i
n
ii
x
x
x
x
x
x
b
a
yyyyy
hyyh
dxxfdxxfdxxfdxxfIn
n
Sai số toàn phần:
Với M = sup|f’’(x)| , x[a,b]
12|)(|
3hnMhr
5.2. Tính gần đúng tích phân. Ví dụ: Tính gần đúng
5
1
1dx
xSố phép phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau
5.2. Tính gần đúng tích phân. 5.2.2 Công thức Simpson (công thức parapol): Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau bởi các điểm chia
a=x0<x1<x2<……<x2n=b
x0=a b=x2n
Chia thành 2n đoạn
f(x)
x1x2
5.2.3 Công thức Simpson (tt) Xét đoạn kép [x2i-2, x2i]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2
Pi(x). Ta có:
)yy4y(3
h
dx)x(Pdx)x(fI
i21i22i2
x
x i
x
xi
i2
2i2
i2
2i2
],[c );(90
)( 222i)4(
5
iiii xxcfh
hr Sai số:
Nếu |f’(x)|≤ M, x [x2i-2, x2i] thì:90
)(5Mh
hri
Công thức Simpson tổng quát
)]y..yy(2)y...yy(4)yy[(3
h
)yy4y(3
h...)yy4y(
3
h)yy4y(
3
h
dx)x(P...dx)x(Pdx)x(Pdx)x(fI
2n2421n231n20
n21n22n2432210
x
x n
x
x 2
x
x 1
b
a
n2
2n2
4
2
2
0
Sai số tòan phần: Người ta chứng minh được
90)( ;)()(
5
1
nMhhrhrhr i
n
ii
Với M thỏa: |f(4)(x)| ≤ M x[a,b]
(*)
top related