clase 3 derivada

INFORMACION GENERAL DE OBJETO DE APRENDIZAJE

Bibliografía

Competencia

INICIO

3.1 Concepto de derivada de una función“La recta tangente y su relación con la derivada

de una función”

El Cálculo, Louis Leithold 7ma Edición, Editorial Harla México

Interpretación geométrica del concepto derivada de una función para la resolución de problemas sobre optimización relacionados al área de

Ingeniería

Introducción a la Derivada

Dónde estoy, y a dónde voy?

Posición actualDónde estoy?

Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.

Fuerzas externas que atacan

Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado…

1. Funciones de una variable

2. Limites y continuidad

3. La derivada

4. Aplicaciones de la derivada

Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…

Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…

Y el tema que iniciamos hoy es….

“La pregunta del millón…”

( un minuto de silencio…)

“La pregunta del millón…”Si tenemos una función definida por

La mayoría contestaría: “su derivada es: ”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

Algunos conceptos básicos.Introducción a la Derivada

La recta secante y la recta tangente

en términos geométricos

Recta secanteRecta tangente

“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”

“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”

en una funciónFunción original

Recta secante

Recta tangente

Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

y ymx x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

y ymx x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Recta tangente

Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

1 1( , )x y2 1

?y ymx x

Algo de historia.Introducción a la Derivada

Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.Introducción a la Derivada

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1

Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x ytanm

1 1( , )x y

2 2( , )x ytanm

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

1 1( , )x y2 2( , )x y

1 1( , )x y

Observa que el punto

Cada vez se acercamás al punto

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Volver amostrar

Continuar

Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Aprox.tanm secm Procedemos

a sustituir: 12

12sec xx

yym2 1

y yx x

12sec xx

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

y yx x

Considerando:

( )y f x

( ) ( )f x f xx x

)( 1xf

)( 2xf

Procedemosa sustituir:

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

( ) ( )f x f xx x 2 1x x x Ahora

Consideremos:

2 1( ) ( )f x f xx

2 1x x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f xx

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

2 1x x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f xx

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

2 1x x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x x

2 1( ) ( )f x f xx

Podemos expresar lo anterior así:lim

0x 0x Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:

Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo

2 2( , )x y

1 1( , )x y

2 2( , )x y

Finalmente considerando lo siguiente:

lim 2 1( ) ( )f x f xx0x

2 1x x x La expresión nos queda así:

1 1( ) ( )f x x f xx

2 1x x x

1 1( ) ( )f x x f xx

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm lim0x

1 1( ) ( )f x x f xx

Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:

Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

Por su origen basado enincrementos

La derivada de en está dada por siempre que ese límite exista. Ese resultado también es una función de y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .

El proceso de calcular la derivada se llama derivación y se dice que una función es derivable en si su derivada en existe. Decimos que la función es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

Además de , que se lee “ prima de ”, se usan otras notaciones para la derivada de .las más usuales están dadas por:

Veamos unos ejemplos:

Para continuar haz clic en la flecha o en los botones de abajo.

Derivada de una funciónConceptos básicos sobre derivadas

1 1( ) ( )f x x f xx

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdxdy 2

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….Introducción a la Derivada

Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:

2)( xxfy

xxfxxf

)()(lim0

Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:

Al evaluar el término)( xxf

se puede observar que:

2)()( xxxxfy

Al sustituirlo obtenemos:

)( xxf )(xf

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

xxxxxx

))()(2(lim Reduciendo términos:

)()(2lim Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:

xxxdxdy

)()(2lim xxxx

00lim2lim

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:

Si tenemos una función definida por 2xy

Entonces su derivada es: xdxdy 2

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy 2

1xAl sustituiren la derivadael valor de X:

2)1(2tan dxdym

Observe que:

?tan m

xdxdy 2

2tan m

xdxdy 2

Ejemplos: 1) Calcule la derivada de Solución:

Derivada de una función Conceptos básicos sobre derivadas

𝑓 ′ (𝑥 )=limh→0¿¿ ¿

¿ limh→0¿¿¿

Evaluamos la función en y

¿ limh→0

3 (𝑥2+2 h𝑥 +h2 )+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h

Elevamos el binomio al cuadrado y realizamos los productos indicados

¿ limh→0

3𝑥2+6 h𝑥 +3h2+4 𝑥+4 h−5−3 𝑥2−4 𝑥+5h Simplificamos términos

semejantes

¿ limh→0

6 h𝑥 +3h2+4 hh Dividimos cada término del trinomio del

numerador entre

¿ limh→0

(6 𝑥+3h+4 ) Calculamos el límite cuando

¿6 𝑥+4

Aplicamos la definición de la derivada

Tomada de “El Cálculo”por Louis Leithold

Primeros ejemplosVamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas, con la intención de que ustedes vayan

deduciendo un procedimiento (regla) para resolverlas.

xxf 3)(

3xxf 512)( xxf

26)( xxf

2xdxdf

xdxdf 2

Sea la función:

La derivada de esta función es:

Regla para encontrar derivadas

)x(f c x n

dxdf 1ncnx

Sea la función:

Derivadas especiales

)x(f c x 1

dxdf 0cx

Sea la función:

Derivadas especiales

cxf )(

Sea la función:

Ejemplos de derivadas

)x(f 5 x 3

dxdf 215x

Sea la función:

)x(f 3 x 4

dxdf 312x

Sea la función:

)x(f 32 x 5

dxdf 5

Derivada de una suma y diferencia de funciones

)()()( xhxgxf

Sea la función:

La derivada de la suma o diferencia es:

- Derivada de un productoEn general

Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n

Entonces)(...)()()( 321 xfxfxfxf n

Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada de cualquier función polinomial en x.

Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf

Solución:

214815)( 34 xxxxf

Ejemplos

675)( 2 xxxf

Sean las funciones:

710 xdxdf

1651034)( 256 xxxxxf

5201524 45 xxxdxdf

Ejercicios propuestos

438)( xxxf

Deriva las siguientes funciones:

xxxf 103)( 4

xxdxdf 512

534xxdx

3512125)(

53112)(

xxxxxf

30308456)(

)57()66()62(7)(

)57()62()(

xxxxxf

Derivada de un producto de funciones

Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada

de esta función.

)x(h)x(g)x(f

dxdhxgxh

dxdf )()(

- Derivada de un producto

Si y y

entonces,

)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf

)()()()()( xvxuxvxuxf

Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf

y evaluar para 2x

Solución: )62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf

Si 4)2(2 fx

EjemploConsideremos el siguiente producto de funciones

dxdhg)x(h

)413)(58()( 22 xxxxfClaramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4

y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

)26)(58()413)(516( 22 xxxxxdxdf

2323 130208206564208 xxxxx

2064195416 23 xxx

Resuelve el producto de funciones:

)3)(4()( 2xxxf

)2)(4()3)(1( 2 xxxdxdf

22 283 xxx

383 2 xx

Deriva este otro producto de funciones:

)2)(3()( 2132 xxxxxf

)4)(3()2)(36( 232214 xxxxxxxxdxdf

253253 412363126 xxxxxx

34224 523 xxx

Derivada de un producto de varios factores

Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso

debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir

)()()()( xhxgxexf

dxdhxgxexh

dxdgxexhxg

dxdf )()()()()()(

su derivada será:

EjemploDerivemos la siguiente expresión:

)5)(2)(3()( xxxxf

)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1( xxxxxxdxdf

)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx

)236()32)(5( 2xxxxxx

)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx

31203 2 xx

Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta

función.

)x(h)x(g)x(f

xhdxdhgxh

- Derivada de un cuociente

Si )(xf ,)()(xvxu 0)( xvcon

entonces, )(xf 2)(

)()()()(xv

xvxuxuxv

Ej: Determinar la derivada de )(xf332

Solución: )(xf

)3(9123

)3(6493124

)3(2)32()34()3(

xxxxxx

EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2354)(xxxf

Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando la regla para derivar productos de funciones

tenemos que

223)3)(54()23)(4(

xhdxdhgxh

Ejemplo

223)1512(812

Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a la mínima expresión, como fue en este caso.

Ejercicio propuestoSea

11168)(

)1()1)(1168()1)(616(

)1(1168161616

xxxxxx

)1(10168

Ejercicio propuestoSea

11)( 3

)1()3)(1()1(3

)1(3333

Derivadas

Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a una potencia n, existe una regla para encontrar la

derivada de esta función.

nxhxf )()(

dxdhxhn

dxdf n 1)(

EjemploConsideremos el siguiente cociente de funciones

2)45()( xxf

Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la cadena

tenemos que

)5)(45(2 xdxdf

dxdhxhn

dxdf n 1)(

)45(10 x

4050 x

EjemploSea

367)( 2 xxxf

61436721

xxxdxdf

La función puede escribirse también de la siguiente forma:

2 367)( xxxf

367)( 2 xxxf

2 367)( xxxf

EjemploSea

)6(63)(xx

2322321

)6()63)(6(2)63()6)(6(

xxxxxxxxx

223321

)6()63()6(6)6(

xxxxxxxx

)6()36369(366)6(

xxxxxxxx

Ejemplo

)6()36369366)(6(

xxxxxxxx

2 )6()363()6(

2 )6(363

63)6(363

En los siguientes cinco ejercicios escoja solo una de las siguientes cuatro opciones planteadas:

1) Al derivar la función obtenemos:

Derivada de una función

Actividad de retroalimentación

𝑥4+2𝑥3+8 𝑥2−16 𝑥+3(𝑥2+𝑥−1 )2

𝑥4+2𝑥3−5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

𝑥4+2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

𝑥4−2𝑥3+5 𝑥2−2(𝑥2+𝑥−1 )2

2) Dada la función tenemos que:

Derivada de una función Actividad de retroalimentación

𝑔 ′ (𝑦 )= 𝑦−2√𝑥+ 𝑦2−4 𝑦+4a) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2 𝑦−3

√𝑥+2 𝑦 2−6 𝑦+4b)

𝑔 ′ (𝑦 )= 3 𝑦2+12√5𝑥+𝑦 3+𝑦+4c) 𝑔 ′ (𝑦 )= 2−𝑦

√3 𝑥− 𝑦2+4 𝑦+7d)

3) El valor de la primera derivada de la función es:

Derivada de una función

Actividad de retroalimentación

− 3(𝑥−2 ) (𝑥+1 )a)

4(𝑥−2 ) (𝑥+2 )b)

− 4(𝑥−1 ) (𝑥+3 )d)

4) Al encontrar dado que tenemos:

18 𝑥𝒆−3 𝑥2− 2

12𝑥𝒆− 2𝑥2−1

−12 𝑥𝒆2𝑥2+4

−12 𝑥𝒆3𝑥2+2

5) El resultado de donde está dado por:

−18 𝑥 cos (6 𝑥 )−3 sen (6 𝑥 )

−12 𝑥cos (6 𝑥 )−2 sen (6 𝑥 )

12𝑥 sen (6 𝑥 )−2cos (6 𝑥 )

18 𝑥 sen (6 𝑥 )−3 cos (6 𝑥 )

DEFINICIÓN DE DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:

• Dominio• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y• Continuidad• Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

• Intervalos de crecimiento / decrecimiento• Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la

recta tangente es horizontal ( es decir,

la pendiente es 0)

En los tramos de crecimiento la recta

tangente tiene pendiente positiva, en los de

decrecimiento la tiene negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a

y=-3/2x-24

y=1,2x+1,5

y=-1,3x+13

La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”

f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene

pendiente -3/2.

f’(-2)= 0 f’(4)=0

f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

TEOREMA

f ’(c) = 0Si c es un punto de extremo local de f, entonces

PUNTOS CRITICOSDefinición:Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en

2 y 3 es el máximo absoluto de f en[a,b] y el menor el mínimo.

Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b]

TEOREMASea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces:

Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces

f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]

Criterio de la primera derivada

Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:

i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de f

ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

TEOREMA

Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = carriba

TEOREMASea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = cabajo

Criterio de la segunda derivada

Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0, entonces,

Si f ’’(c) > 0, c es un punto demínimo local

Si f ’’(c) < 0, c es un punto demáximo local

Punto de inflexiónLa gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:

1 f es continua en c

2 La gráfica tiene tangente enel punto

sentido en c3 La concavidad cambia de

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR Los PUNTOS DE INFLEXION

i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero

ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical)• Si f ’’ cambia de signo

clase 3 derivada

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cálculo ma459 unidad 1: diferenciaciÓn clase 1.3 la...

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