comunicaÇÃo digital introduÇÃo À teoria de informaÇÃo evelio m. g. fernández - 2010
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COMUNICAÇÃO DIGITAL
INTRODUÇÃO À TEORIA DE INFORMAÇÃO
Evelio M. G. Fernández - 2010
Introdução à Teoria de Informação
• Em 1948, Claude Shannon publicou o trabalho “A Mathematical Theory of Communications”. A partir do conceito de comunicações de Shannon, podem ser identificadas três partes:
• Codificação de fonte: Shannon mostrou que em princípio sempre é possível transmitir a informação gerada por uma fonte a uma taxa igual à sua entropia.
• Codificação de Canal: Shannon descobriu um parâmetro calculável que chamou de Capacidade de Canal e provou que, para um determinado canal, comunicação livre de erros é possível desde que a taxa de transmissão não seja maior que a capacidade do canal.
• Teoria da Taxa de Distorção (Rate Distortion Theory): A ser utilizada em compressão com perdas
Introdução à Teoria de Informação
Compressão de Dados
• Arte ou ciência de representar informação de uma forma compacta. Essas representações são criadas identificando e utilizando estruturas que existem nos dados para eliminar redundância.
• Dados:– Caracteres num arquivo de texto
– Números que representam amostras de sinais de áudio, voz, imagens, etc.
Algoritmos de Compressão
1. MODELAGEM – Extrair informação sobre a redundância da fonte e expressar essa redundância na forma de um modelo.
2. CODIFICAÇÃO – Uma descrição do modelo e uma descrição de como os dados diferem do modelo são codificados possivelmente utilizando símbolos binários.
Diferença: dados – modelo = resíduo
Exemplo 1
Exemplo 2
Medidas de Desempenho
1. Taxa de Compressão– Ex: 4:1 ou 75 %
2. Fidelidade– Distorção (Rate Distortion Theory)
Exemplo
Símbolo Prob I II III IV
A 1/2 00 0 0 0
B 1/4 01 11 10 01
C 1/8 10 00 110 011
D 1/8 11 01 1110 0111
Entropia de uma Fonte Binária sem Memória
Códigos Prefixos
• Nenhuma palavra código é prefixo de qualquer outra palavra-código
• Todo código prefixo é instantâneo (o final das palavras-código é bem definido)
• Um código prefixo é sempre U.D. (a recíproca não é sempre verdadeira)
• Existe um código prefixo binário se e somente se
Desigualdade de Kraft-McMillan121
0
K
k
lk
Códigos Prefixos
• Dado um conjunto de códigos que satisfaz a desigualdade de Kraft-McMillan, SEMPRE será possível encontrar um código prefixo com esses comprimentos para as suas palavras-código. O comprimento médio das palavras do código estará limitado pela entropia da fonte de informação
Teorema da Codificação de Fonte
• Dada uma fonte discreta sem memória com entropia H(S), o comprimento médio de um código U.D. para a codificação desta fonte é limitado por:
com igualdade se e somente se:
L
SHL
1,,1,0, Krrp klk
Códigos de Huffmann Binários
1. Ordenar em uma coluna os símbolos do mais provável ao menos provável.
2. Associar ‘0’ e ‘1’ aos dois símbolos menos prováveis e combiná-los (soma das probabilidades individuais).
3. Repetir 1 e 2 até a última coluna que terá apenas dois símbolos; associa-se ‘0’ e ‘1’.
Códigos Ótimos r-ários
• Método de Huffmann: aplica-se o método com o seguinte artifício:
• Adicionam-se ao alfabeto original símbolos fictícios com probabilidade zero de ocorrência, até o número de símbolos assim gerado ser congruente a 1 mod (r – 1).
• Aplica-se o método de Huffmann agrupando-se r símbolos de cada vez. O código gerado é um código r-ário ótimo para o alfabeto original.
Fonte com Alfabeto Pequeno
Símbolo Códigoa1 0a2 11a3 10
• bits/símbolo• H(A) = 0,335 bits/simbolo• Redundância = 0,715
bits/símbolo (213% da entropia)
• São necessários duas vezes mais bits do que o prometido pela entropia!
05,1L
95,01 ap 02,02 ap
03,03 ap
Segunda Extensão da Fonte
Símb. Prob. Cod.a1a1 0,9025 0
a1a2 0,0190 111
a1a3 0,0285 100
a2a1 0,0190 1101
a2a2 0,0004 110011
a2a3 0,0006 110001
a3a1 0.0285 101
a3a2 0,0006 110010
a3a3 0,0009 110000
• bits/símbolo• bits/símbolo
(ainda 72% acima da entropia!)
• extensão de ordem n = 8 fonte com 6561 símbolos!
• Huffman: precisa criar todas as palavras-código!
222,12 L
611,022 L
AHnLn
Codificação Aritmética
• É mais eficiente designar uma palavra-código para uma seqüência de tamanho m do que gerar as palavras-código para todas as seqüências de tamanho m.
• Um único identificador ou tag é gerado para toda a seqüência a ser codificada. Esta tag corresponde a uma fração binária que tornar-se-á num código binário para a seqüência.
• Um conjunto possível de tags para representar seqüências de símbolos são os números no intervalo [0, 1).
• É necessário então uma função que mapeie seqüências neste intervalo unitário. Utiliza-se a função de distribuição acumulativa (cdf) das variáveis aleatórias associadas com a fonte. Esta é a função que será utilizada na codificação aritmética.
Codificação Aritmética
Algoritmo para Decifrar o Identificador
1. Inicializar l(0) = 0 e u(0) = 1.
2. Para cada valor de k, determinar:
t* = (tag – l(k–1))/(u(k–1) – l(k–1)).
3. Determinar o valor de xk para o qual
FX(xk – 1) ≤ t* ≤ FX(xk).
• Atualizar os valores de l(k) e u(k).• Continuar até o fim da seqüência.
Exemplo: Unicidade e Eficiência do Código Aritmético
Símbolo FX XT Binário 11
log
xP
Código
1 0,5 0,25 .010 2 01 2 0,75 0,625 .101 3 101 3 0,875 0,8125 .1101 4 1101 4 1,0 0,9375 .1111 4 1111
Códigos Baseados em Dicionários
• Seqüências de comprimento variável de símbolos da fonte são codificadas em palavras-código de comprimento fixo, obtidas de um dicionário.
• Utilizam técnicas adaptativas que permitem uma utilização dinâmica do dicionário.
• São projetados independentemente da fonte de informação classe de algoritmos universais de codificação de fonte.
Códigos Baseados em Dicionários
repitapalavra = leia_palavra (entrada);index = busca (palavra,dicionário);se index = 0 entãofaça
escreva (palavra, saída);inclua (palavra, dicionário);
fimsenão
escreva (index, saída);até fim_da_mensagem
Seqüência Binária:
10101101001001110101000011001110101100011011
Frases:
1, 0, 10, 11, 01, 00, 100, 111, 010, 1000, 011, 001, 110, 101, 100001, 1011
Algoritmo de Lempel-Ziv
Algoritmo de Lempel-Ziv
Posição no Dicionário Conteúdo Palavra-Código 1 0001 1 00001 2 0010 0 00000 3 0011 10 00010 4 0100 11 00011 5 0101 01 00101 6 0110 00 00100 7 0111 100 00110 8 1000 111 01001 9 1001 010 01010
10 1010 1000 01110 11 1011 011 01011 12 1100 001 01101 13 1101 110 01000 14 1110 101 00111 15 1111 10001 10101 16 1011 11101
Transformada Discreta de Cossenos
8x8 Pixels
Transformada Discreta de Cossenos
1
0
1
0 2
12cos
2
12cos,
2,
N
x
N
y N
vy
N
uxyxfvCuC
NvuF
Primitivas da Transformada Discreta de Cossenos
“Zig-Zag Scanning”
Tamanho do “run” de zeros
Valor do coeficiente diferente de zero
Palavra-código de comprimento variável
0 12 0000 0000 1101 00
0 6 0010 0001 0
1 4 0000 0011 000
0 3 0010 10
EOB - 10
Exemplo de Codificação por Entropia em MPEG-2
Codificador MPEGConversão de Formatos
Compactação
Truncamento
BLOCOS
ERRO DE PREDIÇÃO
Reconstrução
deMovimento
Deteção
24 / 30 / 60
Quadros / s
Transformação EspacialDCT
VETORES DE
MOVIMENTO DADOS
COEFICIENTES
COEFICIENTES QUANTIZADOS
QUADRORECONSTRUIDO
QDCT-1
Preditor
Fator de Escala
MUX Buffer
RLE
Huffman
SAÍDA
Compensação de Movimento
Canal Discreto sem Memória
Matriz de Canal ou Transição
111110
111110
010100
|||
|||
|||
P
JKJJ
K
K
xypxypxyp
xypxypxyp
xypxypxyp
Canal Binário Simétrico
Relações entre Várias Entropias de Canal
Capacidade do Canal BSC
Capacidade de Canal
• A capacidade de canal não é somente uma propriedade de um canal físico particular.
• Um canal não significa apenas o meio físico de propagação das mensagens, mas também:– A especificação do tipo de sinais (binário, r-ário,
ortogonal, etc)– O tipo de receptor usado (determinante da probabilidade
de erro do sistema).
• Todas estas informações estão incluídas na matriz de transição do canal. Esta matriz especifica completamente o canal.
Teorema da Codificação de Canal
Teorema da Codificação de Canal
i. Seja uma fonte discreta sem memória com alfabeto S e entropia H(S) que produz símbolos a cada Ts segundos. Seja um canal DMC com capacidade C que é usado uma vez a cada Tc segundos.
Então, se
existe um esquema de codificação para o qual a saída da fonte pode ser transmitida pelo canal e reconstruída com
cs T
C
T
SH
0, eP
Teorema da Codificação de Canal
ii. Pelo contrário, se
não é possível o anterior.
Resultado mais importante da Teoria de Informação
cs T
C
T
SH
Código de Repetição
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