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Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
1
THEORIE DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Cours rdig par : Dr. TILMATINE AMAR
Facult des sciences de lIngnieur, universit de sidi-Bel-Abbs.
INTRODUCTION
Il existe trois rgimes distincts en lectromagntisme, chacun diffrent de lautre suivant la variation en
fonction du temps.
a) Rgime stationnaire (R.S)
Phnomnes indpendants du temps 0= t ; Toutes les grandeurs lectriques et magntiques (E, H, q) sont constantes.
R.S: Electrostatique (Chapitre 1) + Magntostatique (Chapitre 2)
b) Rgime quasi-stationnaire (RQS)
Phnomnes variables avec le temps 0 t (Chapitre 3);
Exemple: )2cos(0
ftqq = Si f 1 kHz Rgime variable
c) Rgime variable (R.V)
Phnomnes trs variables avec le temps
Ne concerne que les hautes frquences > 1 kHz. Dans le RV le champ lectromagntique devient une onde lectromagntique qui se propage dans lair.
SOMMAIRE :
Chapitre I : Electrostatique
Chapitre II : Magntostatique
Chapitre III : Rgime Quasi-Stationnaire
Chapitre IV : Rgime Variable- Equations de Maxwell
Chapitre V : Propagation du champ lectromagntique
Chapitre VI : Rflexion et transmission des ondes lectromagntiques.
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
2
CHAPITRE I
ELECTROSTATIQUE
Dfinition : Llectrostatique est ltude des interactions lectriques entre des charges constantes et
immobiles. Autrement dit, pas de courant lectrique.
I. STRUCTURE ATOMIQUE DE LA MATIERE
1. Latome
Les lectrons sont des charges ngatives qui gravitent autour du noyau.
En valeur absolue, les charges de llectron et du proton sont gales :
Les caractristiques des particules sont indiques dans le tableau ci-dessous.
Particule Masse Charge
Electron
Proton
Neutron
me = 9,1091.10-31
kg
mp = 1,6725.10-27
kg
mn = 1,6748.10-27
kg
- e
+ e
0
A ltat fondamental, il y a autant dlectrons que de protons : latome est une particule neutre.
Latome est ionis sil cde ou acquiert un lectron :
- cest un ion positif sil perd 1 ou plusieurs lectrons.
- cest un ion ngatif sil gagne 1 ou plusieurs lectrons.
2. Nuage lectronique
Le nuage lectronique est form d'lectrons tournant grande
vitesse autour du noyau selon des trajectoires trs complexes.
Les lectrons sont rpartis sur les couches selon les quantits
suivantes :
K 2 N 32
L 8 O 50
M 18 P 72 Q 98
3. Couches priphriques
Dfinition : C'est la couche la plus extrme d'un atome. Ses
lectrons sont appels lectrons priphriques ou lectrons de
valence.
La couche priphrique d'un atome ne peut pas possder plus de huit lectrons.
Important : Les proprits lectriques dpendent des lectrons de la couche priphrique.
Electron
Noyau
Le noyau comprend des :
- charges positives appeles protons
- particules neutres appeles neutrons
Ce 1910.602,1 =
N
Figure 1
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
3
Les bons conducteurs ont leur dernire couche incomplte. Ils cderont facilement leurs lectrons (lectrons libres).
Les isolants ont leur dernire couche sature ou presque sature. Ils ne cderont pas facilement leurs lectrons (lectrons lis).
Les semi-conducteurs sont des matriaux dont la dernire couche est forme de 4 lectrons. Le silicium et le germanium sont les semi-conducteurs les plus utiliss.
II. LOI DE COULOMB (1785)
Charles A. de Coulomb : ingnieur franais (1736 1806).
Soient deux charges ponctuelles q1 et q2
Force de Coulomb : 2
0
21
4 r
qqF
=
Units : F [N] ; q1, q2 [C] ; r[m]
0 : constante dilectrique du vide. Vide, air 0 = 8,85 10
-12 [F/m]
12F 21F= = 2
0
21
4 r
qq
La charge q1 exerce une force F12 sur q2, de mme que la charge q2 exerce une force F21 sur q1.
Attraction et rpulsion :
Si q1 et q2 ont mme signe Force de rpulsion. Si q1 et q2 ont des signes opposs Force dattraction.
Une charge Q place dans une rgion o se trouvent plusieurs
autres charges est soumise laction de toutes ces charges :
F(P) = F1 + F2 + F3 +
Exercice :
Etant donn la disposition des charges de la figure, trouver
la force rsultante applique sur la charge q3.
Figure : Forces entre charges lectriques de signes identiques ou opposs
r
q2
q1
Figure
F1 F2
F3 q1
q2
q3
r1
r2
r3
P
Q
Figure
A
q1 r1
Figure
q2 B
C q3
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
4
Exercice :
Deux charges ponctuelles sont situes sur l'axe des abscisses comme suit (voir figure). On donne Q1 =
8.10-9
C, Q2
= -10
-9 C. Estimer la force suivant laxe des x applique sur une troisime charge Q3
=
2.10-9
C?
III. CHAMP ELECTRIQUE
1. Dfinition Le champ lectrique est une grandeur physique qui exerce une force lectrique sur une particule
charge. Remarque : premire vue, il peut sembler que le champ lectrique na quune signification mathmatique, en loccurrence
un vecteur qui permet de calculer aisment les forces. Mais le champ lectrique a deux autres caractristiques importantes.
Dune part il sert liminer le concept daction a distance, cest lentit qui de proche en proche transmet linteraction dune
charge a une autre. Le champ lectrique a, dautre part, vritablement une signification physique, car il possde de lnergie
et de limpulsion.
12220
1
20
21 q44
Eqr
q
r
qqF12 ===
La grandeur 2
0
1
4 r
qE1
= est lexpression du champ lectrique cre par q1.
De mme, sachant que : 21120
2
20
21 q44
Eqr
q
r
qqF21 ===
La grandeur 2
0
2
4 r
qE2
= est lexpression du champ lectrique cre par q2.
Sens du champ lectrique :
Unit de E :
Comme par dfinition nous avons E = F / q : donc [E] = N / C.
En gnral on utilise une autre unit :
Vu que E = -dV / dx : Alors [E] = V / m.
2. Champ dun ensemble de charges Le champ lectrique produit par un ensemble de charges ponctuelles est gal la somme vectorielle des
champs produits par toutes les charges.
=
=n
i i
i
r
q
12
041
iuE
q positive
(E sortant ou divergent)
E
u
q ngative
(E rentrant ou convergent)
E
u
uE2
04 r
q
=
u est un vecteur unitaire
radial issu de la charge
Figure : Le champ lectrique est un vecteur
r
q2
q1
Figure
Q1 Q2 X
1 cm 1 cm
Q3
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
5
Cas de 2 charges :
3. Lignes de champ
Dfinition
Une ligne de champ est une ligne qui est tangente en chacun de ses points au champ lectrique en ce
point.
Exemple
Ligne de champ uniforme :
Cest une ligne de champ o le module est partout le mme en
chacun de ses points et qui possde une seule direction.
Exemple: Le champ existant entre deux plans chargs est
uniforme (sera dmontr par la suite).
Dplacement lectrique
ED =
Exercice :
Quatre charges sont arranges sur les coins dun carr comme montr dans les figures ci-dessous.
Dans quel case(s) le champ lectrique est-il gal zro au centre du rectangle ? Supposez que toutes les
charges ont la mme valeur et la seule diffrence est le signe.
IV. REPARTITION DES CHARGES
1. Ligne charge
== dlqdldq avec densit de charge linique (C/m)
2. Surface charge
==S
ss dsqdsdq
avec s densit de charge surfacique (C/m2)
3. Volume charg
==V
vv dvqdvdq
avec v densit de charge volumique (C/m3)
+=+= 2121 uuEEE
2
2
1
1
041
r
q
r
q
+
+ +
+ Figure1
+ +
- - Figure 2
+
-
-
+ Figure 3
q1
q2
E1
E2 E
r1
r2
Figure
ligne de champ
E4
E3
E2
E1
Figure
Figure
(C/m) dl (L) Figure 17
s (C/m2)
(S)
dS
Figure 18
Figure 19
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
6
Exercice :
Calculer le champ et le potentiel lectriques produits par un filament rectiligne, infiniment long, portant
une charge par unit de longueur. Exercice :
Soit un disque de rayon R charg uniformment en surface avec une densit surfacique > 0.
1) Calculer le champ lectrique E(M) en un point quelconque M sur laxe du disque.
2) On fait tendre R vers linfini. En dduire lexpression du champ E(M).
Solution :
1) On choisit comme lment de surface dS une couronne circulaire comprise entre les cercles de rayons
y et y+dy. Llment de surface dS porte une charge dq = dS
Par raison de symtrie (il sagit dune surface quipotentielle), le
champ cre par cette couronne en un point M dabscisse x est
port par Ox et a pour expression :
cosdEdEx=
coscos4 220 r
dSk
r
dSdEx ==
avec
dS= 2 y. dy
cos = x / r
et
r2
= x2 + y
2
Do
( ) ( ) 2/32202/322 2.2
yx
dyyx
yx
xdyykdEx
+=
+=
Le champ total est donc galement port par Ox, et vaut ;
( ) ( )[ ]R
R
x yxx
yx
dyyxdEE
0
2/122
00
2/3220 22
+=+
==
( )
+=
2/1220
12 Rx
xE
2) Si on fait tendre R vers linfini, on dduit :
02=E
Autre solution :
Le disque porte une charge totale 2
ss RSq == La couronne comprise entre les cercles de rayons
r et r+dr porte une charge dq :
drr2dsdq ss == et cre au point M un potentiel dV :
Soit donc :
22
s
00 rx
drr2
41
PM4
dqdV
+==
O
X
M
R
dE dEx
r
Y
Figure
M x o
Figure 16
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
7
( ) ( ) ( ) +=++
=+
=R
0
22R
0 22
22
0
sR
0 220
sxrd
xr
xrd
4xr
drr2
4xV
Do
( ) [ ]R0
22
0
sxr
2xV +=
= ( ) ( )xxR2
xV 22
0
s +=
Au centre du disque (x=o):
( )0
s
2
RoV
=
Ensuite, on calcule le champ
( )[ ]dx
xxRd
2dxdVE
21
22
0
s+
==
do
+= 1
xR
x2
E22
0
sm
Pour 0x ,
+=
220
s
xR
x12
E
Pour 0x ,
+=
220
s
xR
x12
E
Exercice :
Calculer le champ cre par un anneau mince charg uniformment, sur un point se trouvant sur laxe.
Llment diffrentiel est dans ce cas un petit arc dangle d, de longueur a d. Sa charge vaut alors dadq= .
Llment dq produit un champ ( )22020 44 bada
r
qdE
+==
A chaque charge dq lui correspond une charge dq qui produit un champ dE. Les composantes
verticales de dE et dE qui sont gales et opposes, sannulent.
Le champ rsultant produit par le cercle est donn par : cosdEdEr =
Soit, donc : ( )
cos4 220 +== ba
dadEE
( ) 2/122cos bab
rb
+==
( ) ( ) ( ) abaabd
ba
ab
ba
dabE
2444
2/3220
2
0
2/3220
2/3220 +
=+
=+
=
dE
dE dEn
dEn
dEr
a
b
dq
dq Figure 21
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
8
Comme aQ 2= reprsente la charge totale de lanneau :
V. DIPOLE ELECTRIQUE
Le diple lectrique est une disposition trs intressante
constitue de deux charges gales et opposes spares par
une trs petite distance, quon retrouve particulirement
lchelle atomique.
Le moment lectrique dipolaire est donn par :
p = q a,
o a est dirig de la charge ngative vers la charge positive.
Le potentiel cre par le diple au point P est :
( )21
12
0210 41
41
rr
rrq
r
q
r
qV
=
=
On peut crire daprs la figure : r2 r1 = a cos
Si la distance a est trs petite par rapport r, on peut poser:
r2 r1 = a cos et r1 r2 = r2
Ce qui donne : 2
04
cos
r
qaV
=
Le calcul en coordonnes polaires donne deux composantes du champ lectrique :
Une composante radiale Er : 3
04
cos2
r
p
rVEr
== ;
Une composante transversale E : 3
04
sin1r
pVr
E
=
=
Un diple plac dans un champ lectrique est soumis un couple qui tend laligner suivant la ligne de ce
champ.
( ) 2/32204 babQ
E+
=
P
r1 r2
+q -q
a
O
r2 r1
'
r
Figure
P
P
r
Z
Er
E
E
ur
u
Figure
F = q E F = - q E
Figure
En prsence dun champ lectrique
Figure
Sans un champ lectrique
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
9
VI. POTENTIEL ELECTRIQUE
On considre une charge q1 place lorigine dun repre. On apporte une autre charge q2 de
linfini jusqu une distance r = R de q1.
Supposons q1 et q2 positives.
Le travail fourni W pour vaincre la force de rpulsion de q1 est
=R
dW rF
=R
Fdr
=R
drEq 12
avec 2
0
11
4 r
qE
=
=R
drr
qqW
20
21
4=
R
rdrqq
20
21
4= [ ]R
r
qq
14 0
21
=
R
qq
0
21
4
Suivant le principe de conservation de lnergie, le travail fourni W est emmagasin par la charge q0 sous forme dnergie potentielle Ep,
Soit W = Ep.
On pose donc : 210
21
4Vq
R
qqEp ==
avec R
qV
0
22
4= potentiel cre par q2
On peut galement crire : 12VqEp=
avec R
qV
0
11
4= potentiel cre par q1
R
qV
04= est donc lexpression du potentiel cre par une charge q
et VqEp= est lnergie potentielle dune charge q soumise un potentiel V.
Unit
soit en J/C car par dfinition qEV p /= ou bien en Volt, qui est lunit la plus utilise.
Le potentiel cre par plusieurs charges en un point P peut tre dtermin partir de lexpression
suivante :
=
=+++=n
i i
i
r
qq
r
q
r
q
r
qV
10
1
30
3
20
2
10
1
4...
444
Conclusion : Une charge ponctuelle produit :
Un champ (vectoriel) uE2
04 r
q
= .
Un potentiel (scalaire) r
qV
04= .
Exercice :
Les charges Q1 = +4 C, Q2 = -4 C, Q3 = +5 C, et Q4 = -7 C sont
places sur un rectangle de longueur 5cm et de largeur 3cm, comme
reprsent la figure. Calculer l'nergie potentielle de cette
configuration de charges.
q2 q2 q1 R Figure
Figure
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
10
Exercice :
Trois charges ponctuelles sont apports de l'infini aux positions suivantes sur l'axe des abscisses: Q1 =
5,2.10-6
C x = -1 m, Q2 = 2,6.10-6
C x = 0 m, et Q3 = 5,2.10-6
C x = 1 m. Quelle est l'nergie
potentielle de cette configuration de charges?
Exercice :
Deux charges Q1 = 1 C et Q2 = -1 C sont places aux sommets dun triangle quilatral, de 4 cm de
ct.
1. Calculer le potentiel au point P.
2. Quelle est la direction du champ lectrique au point P?
Exercice :
Aux sommets dun carr ABCD de cot 2m sont places les
charges suivantes :
Q1= 2.10-8
C ; Q2= -8.10-8
C ; Q3= 2.10-8
C ; Q4= 4.10-8
C ;
1. Calculer le champ et le potentiel lectriques au centre
O du carr.
2. Calculer le potentiel au point M milieu de AB.
VII. RELATION ENTRE E et V Pour placer une charge q en un point o rgne un potentiel V, il faut fournir un travail W :
= F.drW Ce travail est emmagasin par la charge q sous forme dnergie potentielle Ep :
VqEp=
W = Ep E.drE.drF.dr ==== dVdVqqdVqdEdW p Dautre part, on peut poser que :
( ) rgraduuuuuu zyxzyx d.VdzdydxzV
yV
xVdz
zVdy
yVdx
xVdV =++
+
+
=
+
+
=
Daprs les quations 1 et 2, on obtient:
Vgrad=E Conclusions:
1) zyx uuuEzV
yV
xVV
== grad
Le champ lectrostatique a le sens des potentiels dcroissants.
Suivant laxe des x, nous avons : xuExV= .
Le champ lectrique est toujours dirig du potentiel le plus
lev au potentiel le plus bas.
2) ( ) 0V == gradrotrotE Daprs cette relation mathmatique, on dduit que le champ lectrostatique est non rotationnel. Cest--
dire que la ligne de champ lectrique ne se referme jamais sur elle mme. Les lignes de champ
lectrique ne se referment que sur des charges lectriques.
3) 0. = dlE En effet, nous avons : 0.0.rot0rot === dlEdSEE Le long dun contour ferm quelconque, dans le quel on dfinit deux
points A et B :
0)()(... =+=+= ABBA VVVVA
B
B
AdlEdlEdlE
1
X
Y Q1 Q2
Q3 Q4
M
O
Figure
2
E
V1>>>> V2 V2 V1
E
Figure
Oui + _
Figure
Non
Figure dl
dl
A
B
Figure 34
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
11
VIII. SURFACE EQUIPOTENTIELLE
Dfinition :
Cest une surface o le potentiel est constant et partout le mme.
Exemple: charge ponctuelle q
r4
qV
0=
Le potentiel est constant si on pose r = R = constante ;
Chaque sphre de rayon R constant (R1, R2, R3) reprsente donc une
surface quipotentielle.
Rgle de base : le champ lectrique est toujours perpendiculaire la
surface quipotentielle.
Exercice :
Montrer que le champ lectrique est perpendiculaire la surface quipotentielle.
Solution :
Soit OPQR un plan uniformment charg, cest donc
une surface quipotentielle situe dans le plan XOY
zyx uuuEzV
yV
xVV
== grad
Comme 0==
yV
xV donc zuE
zV=
Le champ lectrostatique est perpendiculaire la surface quipotentielle.
Ligne quipotentielle :
IX. THEOREME DE GAUSS
1. Flux lectrique
Flux lectrique : = dsE.e Flux magntique : = dsB.m
Surface non ferme
= cosdsEE.ds
Surface ferme
Surface globale = surface S1 (base suprieure) + surface S2 (base infrieure) + surface latrale S3.
++=321 SSS
e 321 dSEdSEdSE ...
Figure : Surface ferme
dS3
dS2
dS1
E E
B
Figure : Surface non ferme
dS (S)
Sens de parcours de la boucle = sens de dl
R3
R2 R1
E
E
E
Figure
R Q
P O X
Z
Y
V constant
0;0 ==
yV
xV
Figure
ligne quipotentielle
E
Figure
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
12
Remarques:
Les vecteurs dS relatifs la surface ferme sont perpendiculaires la surface considre et sortants.
Quand le flux est positif, il est sortant . Quand il est ngatif, le flux est entrant . La notion de flux ne signifie pas vraiment quil y a un mouvement de quelque chose travers
la surface.
2. Thorme de Gauss
=====
d
4
q
r
cosdS
4
qcosdS
r4
q
02
02
0
e cosdSE.dSE
d : Angle solide sous lequel on voit dS partir de q (cne). Pour une surface ferme = 4d On obtient alors
00
eq
44
q
==
Donc =q
E.ds
Thorme de Gauss:
Le flux lectrique travers une surface ferme quelconque est gal au rapport q/0, o q reprsente la somme des charges se trouvant lintrieur de cette surface.
Autre dmonstration (plus simple) :
On considre comme surface ferme une sphre de rayon r.
les vecteurs E et dS sont tous les deux radiaux
Donc : === dSr4q
dSE.2
0 dSE
comme r est constant sur toute la surface de la sphre :
0
2
20
20
444
qrr
qdS
r
q===
Cas gnral :
Les charges se trouvant lextrieur de la surface ferme ne
sont pas considres dans le thorme de Gauss.
Forme diffrentielle :
==V
e dvdiv. EdsE ;
si la charge est uniformment rpartie dans un volume V on pose :
=V
v dvq
o v densit de charge volumique
Do ==V
v
00V
dv1q
dvdiv
E
Soit donc, 0
vdiv
=E
=
=+++==n
1i 0
i
0
n
0
2
0
1 qq...qq
.
dSE
dS
E
q
Figure 40
E
dS
r q
Figure 41
q1
q2
qn
q'1
q'2
q'3 Figure 42
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
13
Exercice : Champ dune charge ponctuelle
On choisit comme surface ferme une sphre de rayon r. La surface de Gauss doit respecter la symtrie
du problme, le champ en tout point de la surface doit tre constant.
Exercice :
On considre une sphre de rayon R possdant une charge superficielle q de densit s. Dterminer le champ lectrique lintrieur et lextrieur de la sphre.
Exercice :
Dterminer le champ lectrique produit par un filament rectiligne possdant une charge uniforme de
densit , en utilisant le thorme de Gauss.
3. Equations de Laplace et de Poisson
( )0
v2VV.)Vgrad(divdiv ==== E
Soit 0
v
2
2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
VV
=
+
+
= (Relation de Poisson)
Si v=0 : 0z
V
y
V
x
V2
2
2
2
2
2
=
+
+
(Equation de Laplace)
Exercice :
Utiliser lquation de Laplace pour dterminer la distribution du potentiel et le champ lectrostatique
dans la rgion situe entre deux plans parallles ports aux potentiels V1 et V2 (V1>V2). Exercice :
Rsoudre lexercice prcdent, en considrant quil existe une charge volumique de densit v entre les deux plans.
X. CAPACITE- CONDENSATEUR
1. Conducteur unique
C = q /V
C : capacit du conducteur ; q: charge du conducteur ; V: potentiel du conducteur
Unit : [C] = C / V ;
En gnral on utilise comme unit le Farad et ses sous multiples
[C]=Farad F
Exemple: Sphre charge (que ce soit en volume ou en surface)
R4CR4
qV 0
0
==
2. Deux conducteurs (condensateur) :
Si V1 et V2 sont les potentiels de ces conducteurs, la capacit du systme est dfinie par : 21 VV
QC
= .
Tout systme constitu de deux conducteurs quelconques spars par un isolant est un condensateur.
La capacit du condensateur est C = q / U .
o U = V1 V2 reprsente la d.d.p entre les deux conducteurs.
V1, V2 potentiels des deux conducteurs.
Les condensateurs les plus connus sont :
-q q
V2 V1
Figure : Condensateur plan
Figure : Condensateur sphrique
Sphre interne
Sphre externe
isolant
Cylindre interne isolant
Cylindre interne
Figure : Condensateur cylindrique
R
q
Figure 47
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
14
Remarques :
Les deux armatures portent des charges Q gales mais opposes. Q est la charge du condensateur.
La capacit est indpendante de la tension et de la charge : elle constitue seulement le facteur de proportionnalit (constant) entre les deux. Elle dpend des paramtres gomtriques du
condensateur.
Exercice : Dterminer la capacit dun condensateur plan.
Exercice : Calculer la capacit dun condensateur sphrique de charge Q, constitu de deux armatures
sphriques concentriques de rayons R1 et R2.
XI. ENERGIE ELECTROSTATIQUE Soient
q, V: charge et potentiel du condensateur un instant t.
Pour amener une charge supplmentaire dq au condensateur,
on doit fournir un travail dW, afin de vaincre la rpulsion des charges
existantes.
Rappel VqW == F.dr Si nous apportons une charge supplmentaire dq, le travail effectu est :
dW = V dq
=
=====
m mmq
mqq
C
qq
Cdq
C
qdqVWdqVdW
0
2
0
2
022
1F.dr
avec qm: charge maximale
soit en gnral :
C
qW
2
2
= ,
ou bien comme V=q/C :
qVW21= .
Remarques :
qVW21= est lnergie emmagasine par un systme (condensateur, ensemble de charges) suite un travail
fourni.
qVW= est lnergie potentielle que possde une charge q dans un potentiel V.
Comme 0s
E= et Sq s= , il vient :
W=( )
VEV21Sd
dS
S
C
q
21 sss 2
0
2
0
0
0
2
0
22
21
21
21
=
===
avec V volume du condensateur.
VEW 2021=
Conclusion: le champ lectrique emmagasine de lnergie lectrique de densit 2021 Ew = .
Autre dmonstration :
Considrons une sphre de rayon R quon se propose de charger. A un instant donn, supposons
que la charge de la sphre est q. Le fait de charger la sphre exige un travail dW, car pour apporter une
charge supplmentaire dq il faut vaincre la rpulsion de la charge q.
dW = V dq ;
Comme V = q / C,
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
15
dqC
qdW= .
Le travail fourni pour porter la charge de la sphre de 0 qm est :
C2
qdqq
C1W
2m
q
0
m
==
tant donn que C = 4 0 R, on obtient :
=
R4
q
21W
0
2
(1)
Calculons lintgrale suivante :
R
dVE2
Le volume dune sphre de rayon r est : 334 rV =
Par consquent : dV = 4 r2 dr
( )R4
q
rdr
4
qdrr4
r4
qdVE
20
2
R
220
2
R
2
20R
2
==
=
en substituant ce rsultat dans lquation (1), on obtient :
=R
dVEW 2021 .
XII. INTERACTION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LA MATIERE
1. Conducteur :
Considrons un conducteur cylindrique plac entre deux plaques mtalliques soumises une tension U.
le conducteur est en quilibre lectrostatique, cest--dire quil ne touche pas les deux lectrodes.
Autrement, les charges seront mises en mouvement et natra un courant. Le conducteur nest plus en
quilibre lectrostatique.
Eapp : champ appliqu externe;
Eint : champ interne cre par la nouvelle rpartition de charges ;
Er : champ rsultant
Dans un conducteur les lectrons sont libres de mouvement. Ds quon applique un champ lectrique,
les lectrons se dplacent sous laction de ce champ, il en rsulte une nouvelle distribution de charges
qui donne naissance un champ interne qui annule le champ appliqu.
Conclusion : le champ lectrique dans un conducteur en quilibre est nul.
0int== EEE
appr
R
r
Figure
pas de champ appliqu
0int=E
Figure
Eint
Eapp
Figure
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
16
2. Isolant (dilectrique) : Polarisation lectrique :
Dans un atome, les centres de gravit du noyau et des lectrons concident, par consquent le
moment dipolaire moyen de latome est nul (Figure). Par contre aprs lapplication dun champ
lectrique externe, le centre de gravit des lectrons est dplac dune certaine distance x par rapport au
noyau : latome est alors polaris et devient un diple lectrique de moment p (Figure 61). Dans chaque
atome est cre un champ Ep de sens oppos au champ appliqu.
Les molcules peuvent avoir un moment dipolaire permanent, de telles molcules sont dites polaires.
Les lectrons dans lisolant sont lis aux atomes. Quand on applique un champ lectrique, les
lectrons ne se librent pas mais sont lgrement dplacs par rapport au centre de gravit de latome,
cest la polarisation.
Ep est appel champ de polarisation (Ep
-
Chapitre 1 : Electrostatique Cours de A.Tilmatine
17
FORMULAIRE DELECTROSTATIQUE
Charges : Ponctuelles : Q [C] ; liniques : [C/m] Surfaciques : [C/m2] ; volumiques : [C/m3]
Champs : D Dplacement ou Induction lectrique [C/m2] E Champ lectrique [V/m].
ED =
Loi de Coulomb : EF q= ;
Charge ponctuelle : uE2
04 r
q
= et
r
qV
04 =
Lois de base :
=Ddiv ou 0
int.Q
= dSE
0=Erot ou 0. = dlE
Potentiel :
= dlE.V ; dlE.=dV ; zyx uuuE zV
yV
xVgradV
==
Tension :
==B
A
BAAB VVU dlE.
Travail :
ABBA qUW = Capacit :
U
qC=
Densit dnergie lectrique : 2021 Ew = .
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
1
CHAPITRE II
MAGNETOSTATIQUE
Une charge lectrique immobile cre un champ lectrique seulement; Une charge en mouvement (un courant) cre un champ lectrique et un champ magntique.
Dfinition : la magntostatique est ltude des phnomnes magntiques statiques, gnrs par des courants
constants uniquement (courant continu).
I. LOI DAMPERE Le physicien danois Hans C. Oersted (1777 1851), en remarquant la
dviation dune boussole place prs dun conducteur travers par un
courant, fut le premier observer le magntisme cre par un courant
lectrique.
Conducteur rectiligne
=
2r4I
rudlH ;
H : champ magntique
r = OP ; ur: vecteur unitaire de r
=
2
0
4 r
I
rudlB
B : Induction magntique
Remarque : La loi dAmpre est valable si lon suppose que le conducteur est infiniment long, donc les
bornes de lintgrale sont de - +.
Conducteur ferm :
=2
0
r4
I rudlB
Avec
0 permabilit magntique (vide, air) : mH /10.47
0
= B = 0H Units
[ ] TTeslaB = ; [ ]mAH =
Cas dun courant volumique :
J densit de courant (A/m2) ;
J = I / S, soit I = J S, ou bien plus gnralement : Figure : Conducteur volumique
dS
J
L
Courant
rectiligne
P
O
r
ur dl
I
H(P)
Figure
dl
Figure : Courant circulaire
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
2
= J.dSI === JdVdlSJdlJ.dSdlI Le champ magntique dun courant cylindrique (volumique) est donn par :
soit donc : == dvr4 20 ruJHB
EXERCICE (Champ magntique cre par un courant rectiligne) Calculer le champ magntique H produit par un courant rectiligne infiniment long.
EXERCICE (Champ magntique cre par une spire)
Soit une spire circulaire de rayon a traverse par un courant I. Dterminer le champ magntique H dans un point P situ sur laxe de la spire.
Solution :
On obtient :
( )uH
23
22
2
2 Ra
Ia
+=
( )aIRH
20max ==
II. DIRECTION DU CHAMP MAGNETIQUE (Rgle de la main droite)
a) Fil rectiligne : (Rgle de la main droite)
b) Spire : (Rgle du tournevis)
EXERCICE
Un solnode est un courant form de plusieurs spires circulaires coaxiales, de mme rayon travers par un
mme courant.
Solution :
Le champ sur laxe du solnode peur tre calcul en additionnant le champ cre par chaque spire.
A la figure ci-dessous est reprsente une coupe longitudinale dans le solnode.
Si N est le nombre total des spires, le nombre des spires dune partie dl est gal dlLN .
Rappelons que le champ produit au point P par une spire est :
= dvr4 2ruJH
I
B B
I
B B
I
B
B
B
I I
B
I
B
H
M
P
ur
I
dl
O
Figure
R
a
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
3
( ) 2/3222
0
2 La
IaB
+=
dlLN Spires produisent linduction
( ) ( ) 2/3222
02/322
20
22 La
dlaLINdl
LN
La
IadB
+=
+=
Daprs la figure, on peut crire : tgLa= et
22sin
Laa+
=
soit,
dadltgaL
2sin==
en substituant ces quations dans lexpression de dB, on obtient :
( ) dLINdB sin
20 =
( ) ( )1200 coscos2sin22
1
== LINd
LINB
Si le solnode est trs long, nous avons en un point du centre 1 et, soit :
LINB 0=
Pour un point situ lextrieur, sur lune des extrmits, 2/ et 02 ou 1 et 2/2 ,
soit : LINB
20=
soit la moiti de la valeur au centre.
Remarque : le solnode est utilis pour produire un champ magntique passablement homogne dans une rgion limite de son centre.
III. POTENTIEL MAGNETIQUE
Comme q est un scalaire, qui produit un potentiel lectrique scalaire V ;
Par analogie avec llectrostatique :
Llment Idl est un vecteur, produit un potentiel magntique vectoriel A. AB rot=
qui reprsente lexpression du potentiel A.
IV. THEOREME DAMPERE
1. Thorme dAmpre :
=?H.dl
= u.dlH.dl rI2
Rappel :
( ) xzyx A.AAA =++= xzyxx uuuuA.u soit donc, la composante de A suivant laxe des x. Par analogie : dl.u = dl est la composante de dl suivant u. Comme par ailleurs, ruu , soit ru , donc aussi dlr ; dl reprsente donc un arc de cercle de rayon r drdl='
uHr
I2=
= dVrJA
4
0
L
dl
a
1 2
P
l
Figure
H
I
Figure
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
4
Par consquent :
) ===== IIdIrdrIHdl
2
0222H.dl
Donc =IH.dl qui reprsente le thorme dAmpre.
Remarque importante : I est un courant circulant lintrieur du contour ferm.
2. Forme diffrentielle :
=IH.dl est la forme intgrale du thorme dAmpre. Comme =
S
rotH.dSH.dl
et que =S
I J.dS ,
On peut crire : =SS
SrotH.d J.dS
Soit donc : qui reprsente la forme diffrentielle du thorme dAmpre.
Conclusion : JH=rot implique que le champ magntique est rotationnel, cest dire que les lignes de champ sont fermes, contrairement aux lignes de champ lectrique.
Remarque :
- Les lignes de champ magntique sont des courbes fermes car contrairement au champ lectrique qui a pour source des charges
lectriques (part de la charge positive et arrive la charge ngative), il ny a pas de charges magntiques.
EXERCICE On considre quatre conducteurs traverss chacun par un mme
courant I (figure). Quelle est la direction du champ magntique
au point P, centre du carr de cot d.
EXERCICE Trois fils conducteurs portant un mme courant, sont situs aux
coins d'un triangle quilatral, comme montr la figure 14.
Dans quel cadran trigonomtrique se trouve la direction du
champ magntique rsultant au centre de la triangle?
EXERCICE
Dterminer le champ magntique H lintrieur et lextrieur dun conducteur cylindrique plein travers
par un courant I, de densit uniforme J. EXERCICE
Utiliser le thorme dAmpre pour calculer le champ magntique lintrieur dun solnode comprenant
n0 spires par unit de longueur et parcouru par un courant I0.
JH=rot
NON
OUI
Figure
I1 I2
I4 I3
I1 = I2 = I3 = I4 = I
Figure
I3
I II
III IV
I1
I2
Figure
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
5
Solution :
Pratiquement une bobine forme dun fil conducteur enroul suivant une hlice de petit pas est un solnode.
Par consquent, lintrieur loin des extrmits de la bobine, les lignes dinduction sont sensiblement
parallles laxe (le champ cre par chaque spire tant perpendiculaire son plan) ; le champ est donc
uniforme.
Choisissons un contour ferm MNPQ pour pouvoir appliquer le thorme dAmpre.
Lapplication du thorme dAmpre sur ce contour donne :
= IdlH. HLMNHQMHPQHNPHMNHdlH ==+++= ......
H . QM = 0 et H . PN = 0 car H QM et H PN H . QP = 0 car lextrieur H 0.
Dautre part, 00LInI= n0 : nombre de spires / mtre. do 00InH=
000 InB = est linduction lintrieur du solnode.
EXERCICE
On considre une bobine torique de n spires traverse par un
courant statique I. Dterminer le sens, la direction et la valeur
du champ magntique cre lintrieur de la bobine.
Solution :
Le champ tant perpendiculaire aux spires, cest donc
un cercle passant par le centre de chaque spire, dont le
centre concide avec celui de la bobine.
=nIHdl
=== nIHLrHdlH 2 avec rL 2= do
LnIH=
IV. FLUX MAGNETIQUE
= B.dSm ; Unit [ ] WbWeberm = ; a) Surface non ferme
Flux: reprsente la quantit de lignes de champ passant travers la surface.
b) Surface ferme
( ) === 0dVrotdivdVdiv ABB.dS ; car AB rot=
B
Figure : Surface non ferme
= 0B.dS
M N
P Q L
Figure
Ligne de champ
magntique
I R
Figure
Figure : Surface ferme
B
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
6
Forme diffrentielle :
= 0B.dS est la forme intgrale de cette loi.
=== 0div0dvdiv BBB.dS
est la forme diffrentielle.
V. FORCE MAGNETIQUE
1. Force de Lorentz :
Une charge lectrique anime dune vitesse v et place dans un champ lectrique et magntique, subit la
force suivante :
( )BvEF +=q ; me FFBvEF +=+= qq
avec :
EFe q= est la Force lectrique;
Si 00 == eFq La force lectrique sannule si la charge est nulle.
( )BvFm =q est la Force magntique. La force magntique sannule si la charge est nulle ou immobile.
Linduction magntique nexerce de force que sur une particule charge en mouvement (ou un courant).
Conclusion:
La force magntique nagit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur travers par un courant.
EXERCICE
Un fil conducteur est travers par un courant (figure 5). Quelle est la direction de la force applique sur :
un lectron se dplaant vers le fil ; un proton se dplaant paralllement au fil (fig. a). Supposez que l'lectron et le proton se dplacent
dans le plan du papier.
2. Force de Laplace : Considrons un conducteur cylindrique travers par un courant I.
Soient :
n : nombre de particules charges traversant le conducteur;
e : charge lmentaire dune particule.
La charge traversant le conducteur vaut alors :
enq '=
En posant Vnn '=
n : nombre de particules/unit de volume ; V : volume du conducteur. On obtient :
div B = 0
S
dl
I
B
Figure
Figure
v I I
v
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
7
( ) ( ) neSvdtdlneS
dtdVneneV
dtden
dtd
dtdqI ====== ' ;
avec
v : vitesse de dplacement des particules.
Par consquent :
nevS
neSvSIJ === nevJ=
Cette galit est galement valable en notation vectorielle :
Dun autre ct, en reportant dans la loi de Lorentz la charge par unit de volume neq= , on obtient : ( )BvFm =q = BJBv =ne
Pour un volume lmentaire dV : ( )dVd BJFm =
pour tout le volume V :
( ) ( ) == BJBJFm dVdV
Comme dlJ IdV= , on aboutit lexpression de la Force de Laplace: Remarque :
Si I = 0 Fm=0 La force magntique nagit donc que sur un conducteur travers par un courant.
EXERCICE
Soient deux (2) conducteurs rectilignes identiques, parallles et traverss par les
courants I1 et I2 (I1 = 10 A ; I2 = 5 A)..
Calculer la force magntique F1 exerce sur le conducteur 1 et F2 exerce sur le conducteur 2.
Remarque : Le sens de la force est dtermin grce la rgle de la main droite :
EXERCICE
Si chacun des trois fils de la figure 8 porte le mme courant,
quelle est la direction de la force applique sur chacun des
3 conducteurs par les deux autres (sans calculs).
Conducteur C1 :
vJ ne=
= BdlFm I
B Majeur
I Index
F Force
Main droite
Force
Courant
Induction
Figure
C1
C2
C3
Figure
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
8
EXERCICE
Une spire carre de ct a parcourue par un courant I est place dans une induction magntique B perpendiculaire (Figure 14). La spire peut tourner autour dun axe .
1) Calculer et reprsenter les forces agissant sur les cts MN, PQ, MQ et NP de la spire.
2) En dduire le couple magntique agissant sur la spire.
VII. ENERGIE MAGNETIQUE Wm
On considre lexemple dune bobine torique comprenant n spires.
Dterminer lnergie emmagasine quand le courant dans la bobine croit de 0 I.
Considrons un circuit form par une inductance.
A linstant t nous avons : dtdILU=
En multipliant les deux membres par i dt de faon faire apparatre les nergies mises en jeu pendant dt :
( )221 LididiLdtUi ==
Le terme U i dt reprsente lnergie fournie par le gnrateur, le terme ( )221 LiddW= correspond lnergie
fournie pour tablir le courant i, nergie emmagasine dans linductance.
Dmonstration :
Par analogie avec llectrostatique o la densit de lnergie lectrostatique 2021 Ewe = , dmontrer que la
densit de lnergie magntique est 2021 Hwm = .
Considrons pour cela un tube lmentaire dinduction
Posons
dV = S dl Lnergie magntique localise dans llment de volume dV est :
SdlHdVHdW 2020 21
21 ==
En tenant compte que le flux dinduction est constant dans le tube : B.S== dSB. et du thorme dAmpre : I= dlH. , on obtient :
IdlHBSdlBBSdlSBW ==== 21
21
21
21
0
2
0
Comme
= L I
2
21
21 LIIW ==
Conclusion : le champ magntique emmagasine bien une nergie de densit wm = 0 H2.
Autre dmonstration :
Soit U la tension applique,
Le travail fourni
= UIdtW ;
Or dtdnU =
dtdsnB
dtdBnS
dtdnU ==
=0
B
S dl
Figure 28
Ligne de champ
magntique
I R
Figure
-
Chapitre 2 : Magntostatique Cours de A.Tilmatine
9
Soit == dInIdt
dtdnW
===B H H
dHnISdHnISdBnISW0 0 0
00
Comme n
LHILnIH == (Exercice P6).
do ===H H
SLHdHHLSdHn
LHnSW0 0
2000 2
1
avec SLV= volume de la bobine o rgne H, on obtient :
VHWm 2021= [J],
est lnergie totale emmagasine dans le champ magntique H.
202
1 Hwm = [J/m3]
est la densit dnergie magntique.
VIII. RESUME DES LOIS DU REGIME STATIONNAIRE
1. Thorme de Gauss
=0
qE.dS ;
0
=Ediv
2. =0E.dl ; 0=Erot 3. Thorme dAmpre
=IH.dl ; JH=rot 4. Thorme du Flux Magntique
= 0B.dS ; 0=Bdiv
ANALOGIE ENTRE LELECTROSTATIQUE ET LA MAGNETOSTATIQUE
ELECTROSTATIQUE MAGNETOSTATIQUE
Loi de Coulomb (champ lectrique) Loi de Biot & Savart (champ magntique)
uE24 r
qq =
=
24 rI
I
rudlHdl
Dplacement lectrique Induction magntique
ED = HB = Potentiel lectrique Potentiel magntique
rqV4
= = dvrJA
4
gradV=E AB rot=
=0E.dl =IH.dl 0=Erot JH=rot
= q
E.dS = 0B.dS
v
div =E 0=Bdiv
2
21 Ewe = 2
21 Hwm =
0=E dans un conducteur 0H dans le conducteur
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
1
CHAPITRE III
PHENOMENES DEPENDANT DU TEMPS (Rgime quasi-stationnaire)
Le Rgime Quasi-Stationnaire ne concerne que les phnomnes variant avec le temps.
Exemple
ftitii 2sinsin 00 == tfjtj eEeEE 200 ==
I. LOI DE FARADAY
Loi de Faraday : Quand un flux magntique variable traverse un circuit conducteur ferm, il gnre
(cre) un courant induit (ou une f.e.m) dans le conducteur. Cest le principe des gnrateurs.
Remarque : le fonctionnement des gnrateurs dlectricit (gnrateurs courant continu, alternateurs) est bas sur le
principe de la loi de Faraday.
1) Induction B variable :
Supposons I variable [I =I0 sin( t) par exemple].
Linduction B au point quelconque M est ( )x
tI
x
IB
2
sin
2
000 ==
Comme linduction est variable, le flux = dSB. est galement variable et gnre un courant induit i dans la spire.
i = e/R [A];
R : rsistance de la spire [];
dt
de
= : Force lectromotrice (f.e.m) induite [Volt]
Remarque : e est appele f.e.m et non tension, car en lectricit la tension apparat entre deux points diffrents. On ne peut
pas parler de Tension dans une spire ferme.
2) Induction B constante :
Si le courant I est constant, alors linduction B est constante :
x
IIB
2
)( 0= ; = dSB. = 0 et donc pas de courant induit (e = 0 ; i = 0)
Si le courant I constant, mais la spire se dplace une vitesse v :
En se dplaant, puisque la spire sloigne du courant I linduction
B diminue est donc variable. Le flux magntique qui devient
variable induit un courant i dans la spire.
Loi de Faraday : dtde =
i
B(I)
I
Figure 1
M
x
i
B(I)
I
Figure 1
M
x v
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
2
EXRCICE 1
Un cadre plan comportant N spires, chacune de surface S, est
plac devant un fil rectiligne travers par un courant variable
tII sin0= . Calculer le courant induit dans le cadre. Solution :
== dSBdSB.
x
tI
x
IB
2
sin
2
000 ==
Le flux traversant le cadre est :
xaxLn
bI
xdxbIdxb
x
IdSB
ax
x
+==== +
222. 000
Pour N spires : xaxLn
bIN +=
20
La f.e.m induite dans le cadre est :
tIxaxLn
IbN
dtdI
xaxLn
bN
xaxLn
bIN
dtd
dt
de
cos222 0000 +=+=
+==
tx
axLn
R
bIN
R
ei
cos2
001
+==
EXERCICE 2
Le mme cadre est plac devant un courant I constant, mais se
dplaant vers la droite avec une vitesse constante v.
Dterminer le courant induit dans le cadre.
Solution :
x
IB
2
0= ; dS = b dx
Remarque : dydxdS = , mais comme linduction B varie seulement suivant x, on pose dxbdS = . Le flux traversant le cadre est
xaxLn
bIN
xdxbINdxb
x
INdSBN
ax
x
+==== +
222. 000
La f.e.m est donne par :
dxdv
dtdx
dxd
dtde ===
( ) ( )axx baINxaxbINdxd +=+= 2112 00
( )axxvbaI
Ne+
=2
0
( )RaxxvbaI
NR
ei
+==
2
02
a
b
I
X x
dx
a
b
I
v
Figure 2
X x
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
3
EXERCICE 3
Le mme cadre est plac devant un fil rectiligne travers par un courant variable qui se dplace vers la
droite avec une vitesse v constante. Calculer le courant induit dans le cadre.
Solution :
( )RaxxvbaI
Ntx
axLn
R
bINiii
++
+=+=
2
cos2
00021
Exemples de la loi de Faraday :
- Lnergie lectrique dans les centrales est produite par. Dans les alternateurs, la tension est
produite suivant le principe de la loi de Faraday. Le principe est de placer les conducteurs dans
un flux magntique variable.
- Le transformateur ne fonctionne quen courant alternatif car pour induire un courant dans
lenroulement secondaire il faut un flux variable.
- Les noyaux de fer utiliss dans les machines courant alternatif sont constitus de tles isoles
les unes des autres. En effet, le flux tant variable il induit un courant dans le noyau lui-mme
(courant de Foucault). Lisolant entre les tles sert augmenter la rsistance pour attnuer le
courant. Par contre, les noyaux des machines courant continu sont des masses compactes, car il
ny a pas de courant induit dans ce cas.
- La foudre peut dtriorer des quipements situs plusieurs km du point dimpact. En effet, le
champ magntique gnr par la foudre se propage et induit dans les installations des surtensions
pouvant endommager les appareils fragiles.
II. LOI DE LENZ : (signification du signe "moins")
Loi de Lenz : "Linduction magntique propre du courant induit soppose la variation du flux
principal".
Exemple : soit un cadre qui se dplace vers la droite une vitesse v constante. Dterminer le sens de
circulation du courant induit dans ce cadre.
Linduction principale B(I) a un sens entrant dans le cadre.
En sloignant du courant I le flux qui traverse le cadre
diminue (variation = diminution de ). Loi de Lenz : Linduction propre B(i) du courant induit
soppose cette variation (diminution de ) et aura le mme sens que linduction principale B(I) pour augmenter
le flux (car linduction rsultante dans le cadre augmente
Br = B(I) + B(i)).
Rsultat : puisque B(i) a un sens entrant, le courant i
circule dans le sens ABCD (Rgle du tire-bouchon).
Remarque : Si le cadre se dplace vers le courant le flux cette-fois ci augmente.
Loi de Lenz : Linduction propre B(i) du courant induit soppose cette variation (augmentation de
) et aura le sens oppos linduction principale B(I) pour diminuer le flux (car linduction rsultante dans le cadre diminue Br = B(I) - B(i)).
Rsultat : puisque B(i) a un sens sortant, le courant i circule dans le sens ADCB.
EXERCICE 3 Soit une spire place prs dun fil rectiligne travers par un courant I (figure 4). Dterminer le sens du
courant induit dans la spire dans chaque rgion du courant.
A B
B
I
i
B(I)
B(i)
v
Figure 3 C D
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
4
Solution :
Linduction principale B(I) a un sens sortant.
a) entre 0 et t0
I=0 B=0 =0 pas de courant induit i=0. b) entre t0 et t1
I augmente B(I) augmente augmentation de . Le courant induit i soppose cette augmentation B(i) oppos B(I) B(i) entrant, donc i circule dans le sens ABCD.
c) entre t1 et t2
I constant B constante constant
0dtd
e == i = 0.
d) entre t2 et t3
I diminue B diminue diminution de ; Le courant induit i soppose cette diminution B(i) mme sens que B(I) B(i) sortant, donc i circule dans le sens ADCB.
III. FORMES INTEGRALE ET DIFFERENTIELLE
1. Forme intgrale : Rappel
- Conducteur rectiligne :
La diffrence de potentiel U entre deux
points dun conducteur rectiligne est donne
par lexpression suivante :
==2
1
21
L
L
VVU E.dl (voir chapitre 1)
- Spire non ferme :
La diffrence de potentiel dune spire non ferme est :
==B
A
BAAB VVU E.dl
- Spire ferme :
= E.dlU
En consquence, la loi de Faraday peut tre mise sous la forme suivante :
== E.dldtd
e
Comme = dSB.
t2 t3 t4 O t
I
t0 t1
Figure 4
l O
L2 L1
V1 V2
Figure 5
B
dl
A VA
VB
Figure 6 dl
A
Figure 7
a
b
I
B(I)
A B
C D
C D
= B.dSE.dlt
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
5
Remarque: Sil ny a pas de f.e.m produite par la loi de Faraday, 0=== aA VVU E.dl . La tension dans une spire ferme est nulle. Pour cette raison, on ne dit pas tension induite dans une spire ferme, mais plutt une f.e.m induite. En effet,
la tension dans une spire ferme doit tre obligatoirement nulle, sauf dans le cas dun f.e.m induite par la loi de Faraday.
2. Forme diffrentielle :
=
S
.tdSBE.dl
Lintgrale ferme E.dl peut tre transpose en une intgrale surfacique (voir rappel mathmatique) :
=S
rotE.dSE.dl
On obtient :
= dSBdSE .t
.rot
La forme diffrentielle de la loi de Faraday est donc :
Remarque : daprs cette quation on peut conclure quun champ
magntique variable (t
B ) cre un champ lectrique E. Ce champ
lectrique est lorigine du courant induit. En effet, cest ce champ qui
produit dplacement des charges dans le conducteur et qui est lorigine
du courant induit.
Rgime stationnaire: 0rot =E E est non rotationnel. (le champ E ne se referme pas)
Rgime dpendant du temps RQS : t
rot= BE E est rotationnel (le
champ E se referme).
Remarque :
Cest dans le cas seulement de la f.e.m induite par induction magntique o lon rencontre un champ lectrique ferm.
EXERCICE
En rgime stationnaire gradV=E , dmontrer quen RQS t
gradV= AE .
Solution :
trot
= BE
Comme AB rot= , il vient que
trotrot
trot
=
= AAE
soit
( ) 0t
rot =+ AE
Par analogie avec le RS
gradV0rot == EE , on pose :
trot
= BE
Sens positif
du courant
E
Figure 8
-
Chapitre 3 : Phnomnes dpendant du temps
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
6
gradVt
=+ AE
Donc
tgradV
= AE
IV. COMPARAISON ENTRE R.S et R.Q.S R.S et R.Q.S :
= q
E.dS ; =IH.dl ; = 0B.dS
RS seulement =0E.dl soit 0rot =E gradV=E
R.Q.S seulement :
= B.dSE.dlt
soit t
rot= BE
gradVt
=A
E
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Cours ETL307 Dr.Tilmatine Amar
1
CHAPITRE IV
REGIME VARIABLE Equations de Maxwell
I. PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA CHARGE : (Rgime variable) Supposons une surface ferme comprenant une charge q lintrieur, et un courant I sortant. Principe de conservation de la charge : Courant sortant de S diminution de q dans S;
do dt
dqI = ;
Comme == dtdq
I J.dSJ.dS
vu que (thorme de Gauss) == E.dSE.dS qq
donc ( ) = E.dSJ.dS dtd
soit =
+ 0.dSE
J.dSt
ou bien =
+ 0.dSE
Jt
Cette expression reprsente lquation de conservation de la charge. 1. Forme intgrale
=
+ 0.dSE
Jt
est la forme intgrale de lquation de conservation de la charge.
2. Forme diffrentielle
Lintgrale de surface ferme ( ) + .dSEJ t peut tre transpose en une intgrale de volume =
+=
+V
dvt
divt
0E
J.dSE
J
Par consquent, ( ) 0=+ dvt
div EJ
ou bien autrement, sachant que =Ediv :
( ) 0=+ EJ divt
div ;
On dduit alors : 0=+t
div
J
Figure 1 : Surface ferme S
I
q
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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2
Remarque :
Les termes t
et
tE ne sont considrs que dans le cas du rgime variable, ils sont ngligeables dans
les autres rgimes. Cest--dire que :
en RS et RQS : 0t et 0
tE (ngligeables)
Donc, lquation d conservation de la charge dans ces cas devient : =0J.dS ou 0=Jdiv Remarque :
La conservation de la charge est respecte, car lorsquun lectron sort par la borne ngative, il prend la place dun lectron
libre dans la matire qui relie les deux bornes (car les bornes doivent tre relies par un conducteur pour que le courant
circule), llectron ainsi chass va voler son tour la place dun lectron situ un peu plus proche de la borne positive, et
ainsi de suite jusqu la borne positive, dans laquelle le dernier lectron de la chane va rentrer.
Donc, lorsquun lectron sort de la borne ngative, au mme moment, un lectron rentre dans la borne positive. La batterie
ainsi que le conducteur ne se sont donc pas chargs, ils sont toujours neutres, bien que le courant circule !
II. LOI DE MAXWELL-AMPERE
Daprs le thorme dAmpre JH=rot . On peut crire :
( ) JHJH divrotdivrot == Comme div rot =0, on obtient :
0J=div
Mais en rgime variable nous avons t
div= J et non pas 0J=div !
Par consquent, le thorme dAmpre JH=rot nest plus valable dans le rgime variable.
Question : que devient le thorme dAmpre dans ce cas ? Rponse :
Nous connaissons que (en R.S et R.Q.S) : JHJ == rotdiv 0 (1)
Par analogie en rgime variable nous pouvons poser :
trot
tdiv
+==
+E
JHE
J 0
Conclusion : Maxwell a transform le thorme dAmpre en rgime variable et a ajout le terme
tE . Le thorme dAmpre devient dans ce cas :
trot
+= EJH (forme diffrentielle)
Forme intgrale :
( ) +=+=S S
trot
trot .dSEJH.dSEJH
Lintgrale de surface S
rotH.dS peut tre transpose en une intgrale linique ferme :
= dlHH.dS .rotS
On arrive alors lexpression diffrentielle suivante :
+=S
t.dS
EJH.dl (Forme intgrale)
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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3
III. EQUATIONS DE MAXWELL
Maxwell a tabli quatre quations fondamentales de llectromagntisme et qui sont :
1. Equation de Maxwell-Gauss (MG) :
Forme intgrale : = q
E.dS
Le flux lectrique passant travers une surface ferme est gal au rapport q
.
Forme diffrentielle : =Ediv
Cest la charge lectrique qui est lorigine (source) du champ lectrique. 2. Equation de Maxwell-flux magntique (M) : Forme intgrale : = 0B.dS Le flux magntique passant travers une surface ferme est nul. Forme diffrentielle : 0=Bdiv Par analogie avec lquation MG, il nexiste pas de "charge magntique" dans la nature.
3. Equation de Maxwell-Faraday (MF) :
Forme intgrale :
= B.dSE.dlt
Un conducteur travers par un flux magntique variable est le sige dune f.e.m induite.
Forme diffrentielle : t
rot= BE
Un champ magntique variable cre un champ lectrique variable. 4. Equation de Maxwell-Ampre (MA) :
Forme intgrale : +=tEJH.dl
Forme diffrentielle : t
rot+= EJH
Un champ lectrique variable (tE ) cre au mme titre quun courant (J) un champ magntique variable.
Remarques : Les quations de Maxwell sont valables dans les trois rgimes.
Pour obtenir les quations dans le rgime stationnaire, il suffit de poser 0=t
.
Pour obtenir les quations dans le rgime dpendant du temps (quasi-stationnaire), il suffit de
poser : 0tE et 0
t .
Les quations de MA et MF montrent que les champs E et H sont lis entre eux Cest le champ lectromagntique.
EXERCICE
1. On considre dans le vide un champ lectrique ( ) yuE ztEm = sin . Dterminer le champ magntique H associ E. 2. On considre dans le vide un champ magntique ( ) xuH ztjHm += exp Dterminer le champ lectrique E associ H. 3. Que peut-on conclure ?
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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4
Solution :
1) M.A : tt
rot 0=
= HBE
=
=
=
zE
0E0z
00
EEEzyx
roty
yzyx
x
zyxzyx
u
uuuuuu
E
Soit ( )t
ztErot m
=+=H
uE x 00cos
do ( ) ( ) CteztEdtztE mm +== xx uuH
sincos00
2) ( ) xuH ztjHm += exp M.A :
trot 0
+= EJH
dans le vide : 0=J
do t
rot 0 = EH
soit ( )zH
00Hz
00
HHHzyx
rot x
xzyx
=
=
= y
zyxzyx
u
uuuuuu
H
( ) =+=t
ztjexpHjrot 0mEuH y
( ) ( ) yy uuE ztjexpj1Hjdtztjexp
Hj
0
m
0
m
+=+=
Donc ( ) CteztjexpH0
m ++= yuE
3) On peut conclure que : Un champ lectrique E variable cre un champ magntique H variable ; Un champ magntique H variable cre un champ lectrique E variable ; HE .
IV. LOI DOHM LOCALISEE
La loi dOhm localise est exprime par la relation suivante : EJ =
o conductivit lectrique )1( m
1=
avec rsistivit )( m
Exemples : - Cuivre : 11710.81,5 = m ; m= 810.7,1
- Aluminium : 11710.54,3 = m ; m= 910.8,2
- Silicium (semi-conducteur) : 11510..6,1 = m ; m= 310.25,6
- Verre : 111210. m ; m 1210.
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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5
Dmonstration : Soit un conducteur cylindrique de section S et de longueur L, soumis une tension U La loi dOhm gnralise scrit comme suit :
RIU= (1) R : rsistance du conducteur Comme
= dlSR
, = dSJI , et = dlEU nous obtenons en substituant dans lquation 1 :
JS
EdSJdlS
dlE ==
Soit EJ=
Ou bien EJ = Cette galit est galement valable en notation vectorielle : EJ = V. CONDITIONS LIMITES
Soient deux milieux dilectriques diffrents (air et verre par exemple) spars par une interface frontire fictive de sparation- situe dans le plan YOZ par exemple. Question : Que devient le champ lectromagntique quant il passe dun milieu un autre ? Posons E = Et + En Et: composante tangentielle par rapport la surface de sparation (plan YOZ). En: composante perpendiculaire par rapport la surface de sparation. 1. CHAMP ELECTRIQUE
a) Composantes tangentielles :
La forme intgrale de lquation de MF est :
= B.dSE.dlt
Le contour ferm considr est un rectangle ABCD situ de part et dautre de la frontire.
+++++==ABCDA
1t1n2n2t2n AD.EMA.EBM.ECB.ENC.EDN.n1EE.dlE.dl
Etant donn quon veut tudier le champ la frontire des deux matriaux, cest--dire les conditions limites du champ lectrique, on pose :
0=== NCDNMBAM ,
U
L S
E
I
Figure 2
O
Milieu 2 (verre) (2 , 2)
Milieu 1 (air) (1 , 1)
Z
X
Y
E1
En1
Et1
un
ut E2
En2
Et2
Figure 3
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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6
On obtient alors :
( ) =+=ABCDA
tttt EECBAD.ECB.Edl.E 1212 ,
Par ailleurs, vu que :
0AB , donc 0ABxBCS = On dduit que :
0.tdSB
En outre sachant que : AD=-CB on arrive
( ) 012 ==ABCDA
tt EECBE.dl
Soit donc Conclusion : les composantes tangentielles du champ lectrique sont gales.
b) Composantes normales :
La forme intgrale de lquation de MG est :
=q
E.dS
On considre comme surface ferme un cylindre de longueur L.
=== qqq
D.dSE.dSE.dS
Soit ++= 33n22n11n .dSD.dSD.dSDD.dS On suppose le cas gnral o la surface de sparation porte une charge Sq s= . Par ailleurs, vu que lon tudie les conditions limites, on pose alors 0L , soit donc 0S3 . Do :
22n11n22n11n SDSD.. +=+= dSDdSDD.dS Comme SSS 21 == :
[ ] SDDS s1n2n == D.dS Soit donc s1n2n DD = Si 0s= qui est le cas le plus frquent, on aboutit alors :
Ou bien 2
1121122
nnnn EEEE ==
12 tt EE =
1n2n DD =
O
Z
D C
B A
Y
X
En2
En2
En1
En1
Et2 Et1 E2
E1
M
N
Milieu 1 Milieu 2
Figure 4
L
(2 , 2)
(1 , 1)
Z
dS3
dS2
dS1 Dn2 Dn1
Y
X
D1
D2
s
Milieu 1 Milieu 2
Figure 5
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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7
2. CHAMP MAGNETIQUE
a) Composantes perpendiculaires :
La forme intgrale de lquation de M est :
=0B.dS Considrons comme pour le cas prcdent une surface cylindrique de longueur L. Lapplication de cette quation cette surface donne :
0332211 =++= .dSB.dSB.dSBB.dS nnn la frontire entre les deux milieux (conditions limites) on doit poser :
0L , soit donc 0S3 . On obtient alors :
022112211 =+=+= SBSB nnnn .dSB.dSBB.dS Comme SSS 21 == : ( ) 0BBS 1n2n = Soit 1n2n BB =
Ou bien : 2
1121122
nnnn HHHH ==
Conclusion : les composantes perpendiculaires de linduction B sont gales.
b) Composantes tangentielles
La forme intgrale de lquation de MA est :
dSEJ.dSH.dl .t
+=
Choisissons comme contour ferm un cadre ABCD situ de part et dautre de la frontire entre les deux milieux. Lapplication de lquation de M.A ce cadre donne :
AD.HMA.HBM.HCB.HNC.HDN.HH.dlH.dl tnntnABCDA
n 112221 +++++==
A la frontire entre les deux milieux (conditions limites), on doit poser : 0=== NCDNMBAM .
On obtient alors :
AD.HCB.HH.dl tt 12 += Par ailleurs, vu que : AD=-CB On peut crire:
O
dS3
L
(2 , 2)
(1 , 1)
Z
Y
X
B2
dS2
dS1
Bn2 Bn1
B1
Figure 6
O X
Z
D C
B A
Y
Hn2
Hn2
Hn1
Hn1
Ht2 Ht1
H2
H1
N
M
Figure 7
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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8
)HH.(CBdl.H tt 12= (1) Dautre part, comme 0AB ,
0ABxBCS = 0.tdSE
Calculons maintenant J.dS . On considrera le cas gnral o la surface de sparation entre les deux milieux est une nappe de courant, quoi que ce cas est peu probable en pratique. Courant volumique: le courant I circule dans un conducteur volumique de section S (figure 8). La densit de courant dans ce cas est :
SIJs =
Cest une densit de courant surfacique. Nappe de courant : Le courant I circule dans une nappe (plan) de largeur L (figure 9). La densit de courant dans ce cas est :
LIJl =
Cest une densit de courant linique. Par consquent
LJI l= Dans le cas donc o un courant surfacique circule dans la surface de sparation, le courant qui passe travers le cadre ABCD est :
BCJI n= On ne considre que la partie du courant traversant le cadre,
cest--dire la composante perpendiculaire au cadre. Cette
condition est dicte par le thorme dAmpre lui mme.
Comme zn JJ = et que zJ.u=zJ , on obtient ce qui suit :
( ) ( ) ( ) ( ) yxxyyxz uuJuJ.uuuJ.J.u BCBCBCBCI .==== soit ( ) CBuJ x .=I (2). En tablissant lgalit des quations (1) et (2), on obtient :
( ) ( )xt1t2 uJHH = .. CBCB
S
Figure 8 : Courant volumique
I
Figure 9 : Nappe de courant
L I
M
Y
B J Jt
Jn
A
Jn
Jt
N D C
X O
Z
J = Jn + Jt
Figure 10
-
Chapitre 4 REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
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9
Soit xt1t2 uJHH = En posant 12n comme tant le vecteur unitaire dirig du milieu 1 vers le milieu 2, on arrive : RESUME :
12 tt EE = ;
snn EE = 1122 (en gnral s = 0) ;
1122 nn HH = ;
12nJHH = 12 tt (en gnral J = 0). EXERCICE
Soient deux milieux isolants diffrents. La surface de sparation entre les deux milieux est situe dans le plan XOY. On donne zyx uuuB 4,08,02,11 ++= .
Dterminer linduction B2 rgnant dans le milieu 2.
Solution :
++= zyx1 uuuB 4,08,02,1
++== zyx1
1 uuuB
H15
4,0
15
8,0
15
2,11
01
soit ( )zyx1 uuuH 03,005,008,010
++=
Dautre part, nous avons 12t1t2 nJHH = comme 0=J on pose
12 tt HH = Les composantes tangentielles sont : xu et yu .
do ( )yx0
t1t2 uuHH 05,008,01 +==
et donc yxt20t22t2 uuHHB 05,008,0 +=== La composante normale tant suivant zu , alors :
zuB 4,01n = vu que 12 nn BB = , il vient:
z4,0 uBn2= do zyxn2t22 uuuBBB 4,005,008,0 ++=+=
12nJHH = 12 tt
X
O
Milieu 2 (2=0 , 2=0)
Milieu 1 (1=0 , 1=150)
Y
Z
B1
Bn1
Bt1 B2
Bn2
Bt2
Figure 11
-
Propagation du champ lectromagntique
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1
CHAPITRE V
PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I. DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE LA PROPAGATION
Considrons une fonction physique = f(x) reprsente graphiquement par la courbe
en trait plein, qui se propage dans le sens des x positifs. A la distance x = x0, nous obtenons la
fonction = f(x-x0), la courbe a t dplace vers la droite dune quantit x0.
de mme = f(x+ x0) correspond un dplacement vers la gauche.
De toute vidence, la forme de la courbe na pas t modifie ; les mmes valeurs de se
retrouvent.
Si on pose x = v t, o v reprsente la vitesse de propagation de la courbe, on obtient
une courbe voyageuse ; cest dire que = f(x-vt) reprsente une courbe se dplaant vers
la droite et = f(x+ vt) reprsente une courbe se dplaant vers la gauche.
Nous concluons quune expression mathmatique de la forme = f(x vt) est
suffisante pour dcrire un phnomne physique qui se propage sans dformation, suivant le
sens positif ou ngatif de laxe des x.
Fonction sinusodale :
Un cas spcialement intressant est dans lequel = f(x,t) est une fonction sinusodale :
= f(x,t)= 0 sin (x vt).
En remplaant x par (x + 2 / ), on obtient la mme valeur, soit :
( )[ ] ( )vtxvtxvtxvtx =+=
+=
+
2sin2sin2 00
donc
2=
= f(x+ vt) = f(x- vt) = f(x)
x0 x0
O
x0 x0
x
Figure 1 : Translation sans dformation de la fonction = f(x vt)
-
Propagation du champ lectromagntique
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2
reprsente la priode dans lespace , cest dire que la courbe se reproduit gale elle
mme tous les , qui est appele longueur donde. La quantit 2= reprsente alors le
nombre de longueurs donde dans la distance 2 et est appel nombre donde.
Par consquent, on peut crire :
( )txtx = sin),( 0 o
vv 2==
est la pulsation de londe.
Puisque
f 2= on a la relation importante :
f = v.
t = t0
t = t0 +T/4
t = t0 +T/2
t = t0 +T
t = t0 +3T/4
X
X
X
X
X
Figure 2
-
Propagation du champ lectromagntique
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3
Nous pouvons remarquer que, tandis que la situation physique se propage vers la
droite, elle se reproduit identique elle mme dans lespace avec une priode : la longueur
donde est la distance que progresse londe en une priode T.
On adonc deux priodes :
lune dans le temps T et lautre dans lespace , lies par la relation
vTfv == .
EXERCICE
Montrer que lexpression dune onde progressive = f(x vt) peut scrire sous une autre
forme = f(t+ x/v).
( ) ( )vxtvt
vxvvtx
vvvtx === )(
donc ( )vxtvtx )( .
Par consquent, pour londe sinusodale, on peut crire :
( ) ( ) ( )tvxvvtxtx == sinsin, 00
comme v = ,
( ) ( ) ( )xtvxtvtx == sinsinsin 000
II. EQUATION DE PROPAGATION DUNE ONDE QUELCONQUE
Exemple : Onde de vibration sur une corde.
Une vibration cre en "m" progresse vers "p"
en gardant la mme forme, il sagit donc dune
onde progressive.
Si la propagation se fait vers les x > 0, on pose : ( ) ( )= trtr mp Propagation vers les x 0, on pose donc : ( ) ( )= trtr mp
posons
( ) ( )tftrp = et ( ) ( ) ( ) ( )uf
vxtftftrm ===
Mur
r
x m m
Sens de propagation
de londe
Figure 3
-
Propagation du champ lectromagntique
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4
avec
vxtu =
Calculons les drives premire et seconde de r par rapport au temps t
( ) ( ) ( ) ( )u'ftu
u
uf
t
uf
t
trm =
=
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u''ftu
u
u'fu'f
tt
uf
tt
uf
t
tr2
2
2
m2
=
==
=
=
soit ( )u''ft
r2
m2
=
(1)
Calculons les drives premire et seconde de r par rapport x
( ) ( ) ( ) ( )u'fv1
xu
u
uf
x
uf
x
tr
xr mm =
=
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )u''fv1
xu
u
u'f
v1u'f
v1
xx
tr
xx
tr2
m
2
m2
=
==
=
soit ( ) ( )u''f
v1
x
tr
22
m2
=
(2)
En combinant les quations (1) et (2), on obtient :
Cette quation reprsente lexpression mathmatique de lquation de propagation de la
grandeur rm suivant laxe des x.
Propagation suivant une direction quelconque
2
m2
22
m2
2
m2
2
m2
t
r
v1
z
r
y
r
x
r
=
+
+
soit 2
m2
2m
2
t
r
v1r
= (4)
Equation diffrentielle de la propagation
2
2
22
21
tvx
=
est lquation diffrentielle de propagation de la grandeur suivant laxe des x.
La solution de cette quation est de la forme :
( ) ( ) ( )vtxfvtxftx ++= 11, Cette solution peut alors sexprimer comme la superposition de deux ondes se
propageant en sens opposs. Evidemment, pour une onde se propageant dans un seul sens,
seule lune des deux fonctions de lquation est ncessaire.
2
m2
22
m2
t
r
v1
x
r
=
-
Propagation du champ lectromagntique
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5
Exercice : montrer que lquation prcdente est bien la solution de lquation de propagation.
( ) ( ) )(, 11 ufvtxftx == avec vtxu =
du
d
xu
dux
==
; du
dv
tu
dut
==
Ensuite en calculant les drives secondes on obtient :
2
2
2
2
du
d
du
d
xu
udx
d
xx
=
=
=
( )2
2
22
2
)(du
dv
du
dvv
udt
d
tu
udt
d
tt
==
=
=
en combinant ces deux quations pour liminer d2 / du
2, nous obtenons lquation de
propagation : 2
2
22
21
tvx
=
.
Exercice : montrer que lquation sinusodale est bien la solution de lquation de
propagation.
( )xt = sin0
( )xtx
=
cos0 ; ( )xtx
=
sin02
2
2
(1)
( )xtt
=
cos0 ; ( )xtt
=
sin02
2
2
(2)
par consquent, en liminant ( )xt sin0 entre les quations (1) et (2), on obtient :
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
111tvtxtx
=
=
=
III. EQUATION DE PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE DANS
LE VIDE
1. Equation de propagation de E
Les quations de Maxwell sont :
=Ediv ; 0div =B ;
tBE=rot ;
trot
+= EJH
En posant dans vide que :
0J= ; 0= (milieu neutre).
F/m 10858 120 == ., ; H/m 104 70 ==
on obtient
( ) ( ) ( )HHEHBE rottt
rotrotrottt
rot 000 =
=
=
=
do ( ) ( )2
2
0000 tttrotrot
=
=
EEE (5)
-
Propagation du champ lectromagntique
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6
dautre part, nous avons
( ) ( ) EEE 2= divgradrotrot
comme 0div0
==
E , on a :
( ) EE 2rotrot = soit donc, en tenant compte de lquation (5) :
2
2
002
t
=E
E (6) ;
En comparant celle-ci avec lquation (4), savoir 2
m2
2m
2
t
r
v1r
= , on dduit :
soit
s/m10.310.4.10.85,8
11v 8712
00
==
Conclusion : Le champ lectrique E se propage dans le vide avec une vitesse sm103v 8 /.= .
2. Equation de propagation de H
ttrot 00
=+= EEJH
( ) ( ) ( )EEH rottt
rotrotrot 00 =
=
( ) ( )2
2
0000 tttrotrot
=
=
HHE (7)
dautre part
( ) ( ) HHH 2divgradrotrot = comme 0vdi =B ,
( ) HH 2rotrot =
soit donc, en tenant compte de lquation (7) :
2
2
002
t
=H
H (8) ;
En comparant celle-ci avec lquation (4), savoir 2
m2
2m
2
t
r
v1r
= , on dduit galement que :
sm1031v 8
00
/.==
Conclusion : Le champ magntique H se propage galement dans le vide avec une vitesse
sm103v 8 /.= .
002v1 =
-
Propagation du champ lectromagntique
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7
IV. VERIFICATION EXPERIMENTALE
Contrairement la majorit des dcouvertes scientifiques qui commencent par des
essais exprimentaux avant dtablir des lois thoriques (Loi de Coulomb, loi de Faraday), la
dmonstration mathmatique (thorique) de la propagation du champ lectromagntique tait
ralise bien avant que lexprience ne vienne confirmer la thorie de propagation du champ
lectromagntique.
Exprience de Hertz
Vers la fin du dix-neuvime sicle, le physicien allemand Heirich Hertz (1857 1894)
a prouv de manire indiscutable que le champ lectromagntique se propage bien dans le
vide. Laccumulation dinformations des ondes lectromagntiques concernant leur
production, leur propagation et leur absorption a ouvert la porte au monde merveilleux des
communications tel que nous le connaissons aujourdhui. Avant que Hertz nait effectu ses
expriences, lexistence des ondes lectromagntiques avait t prdite par Maxwell la suite
dune analyse dtaille des quations du champ lectromagntique.
Le systme form par les deux boules sphriques P1 et P2 aliment par une tension est
un oscillateur, chaque tincelle (arc) qui apparat entre les deux sphres circule un courant i
brusque et donc variable. Ce courant gnre un champ lectrique et un champ magntique.
Rsultat de lexprience :
Il apparat une tincelle aux bornes de la spire S1
Interprtation :
Lapparition de ltincelle montre quil existe une tension aux bornes de la spire S1 ,
en fait cest une f.e.m induite par le champ magntique H cre par loscillateur, et qui sest
propag jusqu S1. La spire S2 tant parallle au champ H, le flux magntique est nul et ne
peut pas induire une f.e.m.
Conclusion :
Quand le champ lectromagntique est variable, il devient une onde qui se propage dans
lair.
P2
P1
S2
O i
Z
X
Y
H
E
S1
Figure 4
-
Propagation du champ lectromagntique
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8
V. ONDE PLANE
Lexpression = f (t x) signifie qu un instant donn t, la fonction prend la
mme valeur en tout point ayant une mme coordonne x. Mais x = const reprsente un plan
perpendiculaire laxe des x (Figure). Par consquent, = f (t x) dcrit dans lespace une
onde plane se propageant paralllement laxe des x.
n est un vecteur unitaire dirig suivant laxe de propagation, appel vecteur de propagation.
Londe lectromagntique est plane lorsque E et H forment un plan qui se propage dans une
seule direction.
Remarque :
Les ondes lectromagntiques sont soit des ondes planes soit une combinaison dondes planes.
Si r est le vecteur position dun point quelconque P du front donde, on a x = n . r et lon peut
donc crire :
( )rn. = tf . Cette forme reste valable quelque soit la direction de n :
n = nx ux + ny uy + nz uz.
Dans le cas dune onde sinusodale se propageant dans une direction n quelconque, on crit :
.
Il est commode de dfinir un vecteur = n. il est habituellement nomm vecteur donde.
Remarque : si la propagation a lieu dans lespace trois dimensions lquation donde doit
tre modifie en consquence. Elle devient alors
2
2
22
2
2
2
2
21
tvzyx
=
+
+
(1)
Dans ce cas, on pose galement :
= x ux + y uy + z uz.
Pour une onde sinusodale, on obtient :
( )znynxnt zyx = sin0 (2) et,
x
X
n r
P
Y
Z
Vecteur de propagation
O
( )rn.sin0 = t
t=t1, x=x1 t2, x2 t3, x3
E
H
ux
Y
Z Figure 5 Figure 6
-
Propagation du champ lectromagntique
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9
2
2
2222
vzyx
=++= .
Remarque : en plus des ondes planes, il existe des ondes cylindriques, sphriques
Les ondes planes se propagent dans une seule direction (Figure 7). Les ondes cylindriques se propagent perpendiculairement laxe dun cylindre (Figure
8).
Les ondes circulaires qui se propagent dans toutes les directions suivant un plan (Figure 9).
Les ondes sphriques se propagent dans toutes les directions (Figure 9).
Remarque : londe circulaire qui se propage sur un plan est bi-dimensionnelle qui demande
seulement deux coordonnes despace. Lquation pour cette onde est donc :
2
2
22
2
2
21
tvyx
=
+
.
EXERCICE
Montrer que lquation (2) vrifie lquation diffrentielle de propagation (1).
Solution :
( )znynxnt zyx = sin0 ( )xt
t =
cos0 ; ( )xtt
=
sin02
2
2
(3)
O
X
Y
Z
n
Figure 7
Figure 8
Figure 9
-
Propagation du champ lectromagntique
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10
( )znynxntnx
zyxx =
cos0 ; ( ) ( )znynxntnx zyxx
=
sin022
2
2
(3)
par analogie avec lquation (3), on obtient :
( ) ( )znynxntny
zyxy
=
sin022
2
2
(4)
( ) ( )znynxntnz
zyxz
=
sin022
2
2
(5)
En remplaant les expressions (3), (4) et (5) dans lquation diffrentielle de propagation, on
obtient :
( )( )[ ]2220222
2
2
2
2
sin zyxzyx nnnznynxntzyx
++=
+
+
comme ( ) 1222 =++ zyx nnn ,
( )znynxntzyx
zyx
=
+
+
sin02
2
2
2
2
2
2
comme par ailleurs,
( )znynxntt
zyx =
cos0 ; ( )znynxntt zyx
=
sin02
2
2
on aboutit :
2
2
22
2
2
2
2
21
tvzyx
=
+
+
EXERCICE
Soit un champ sinusodal ( )tcosE0 uE= qui se propage suivant laxe des x. Rcrire les quations de Maxwell et lq
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