definisi dan notasi vektor ayu wulandari,m · 2019. 5. 12. · analisis vektor definisi dan notasi...
Post on 02-Dec-2020
33 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ANALISIS VEKTOR
Definisi dan notasi vektor
AYU WULANDARIMPD
Definisi Vektor
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya Segmen garis terarah tersebut dinamakan vektor Panjang segmen garis berarah menyatakan besar (panjang) vektor sedangkan arah vektor dinyatakan oleh kemiringan segmen garis dan anak panahnya
Vektor aDalam Fisika Perpindahan
Perpindahan diukur dengan menarik garis lurus dari titik awal ke titik akhir
Gaya
Gaya adalah tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu benda
Kecepatan
seberapa cepat benda berpindah disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter per sekon (ms)
Percepatan
percepatan adalah laju perubahan kecepatan tiap satuan waktu Percepatan yang bernilai negatif (-a) sering disebut dengan perlambatan
Momentum
momentum adalah besaran yang berhubungan dengan kecepatan dan massa suatu benda
Notasi Dan Penulisan Vektor
Kita dapat lebih memahami pengertian vektor dalam ilmu matematika dengan
melakukan beberapa langkah sebagai berikut
Menggambar sebuah garis
Beri tanda anak panah pada ujung garis tersebut
Sebutkan titik pangkal ruas garis sebagai titik A dan titik ujung ruas
garisnya sebagai titik B
Lalu ukur panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris
maka kita akan mendapati gambar seperti di bawah ini
AB
119861
B
A
Notasi Dan Penulisan Vektor
Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan
panjang vektor Karena titik pangkal garis
tersebut adalah titik A dan titik ujung garis
tersebut adalah titik B dan panah berada
pada titik B maka vektor tersebut
merupakan dibaca vektor AB
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Definisi Vektor
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya Segmen garis terarah tersebut dinamakan vektor Panjang segmen garis berarah menyatakan besar (panjang) vektor sedangkan arah vektor dinyatakan oleh kemiringan segmen garis dan anak panahnya
Vektor aDalam Fisika Perpindahan
Perpindahan diukur dengan menarik garis lurus dari titik awal ke titik akhir
Gaya
Gaya adalah tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu benda
Kecepatan
seberapa cepat benda berpindah disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter per sekon (ms)
Percepatan
percepatan adalah laju perubahan kecepatan tiap satuan waktu Percepatan yang bernilai negatif (-a) sering disebut dengan perlambatan
Momentum
momentum adalah besaran yang berhubungan dengan kecepatan dan massa suatu benda
Notasi Dan Penulisan Vektor
Kita dapat lebih memahami pengertian vektor dalam ilmu matematika dengan
melakukan beberapa langkah sebagai berikut
Menggambar sebuah garis
Beri tanda anak panah pada ujung garis tersebut
Sebutkan titik pangkal ruas garis sebagai titik A dan titik ujung ruas
garisnya sebagai titik B
Lalu ukur panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris
maka kita akan mendapati gambar seperti di bawah ini
AB
119861
B
A
Notasi Dan Penulisan Vektor
Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan
panjang vektor Karena titik pangkal garis
tersebut adalah titik A dan titik ujung garis
tersebut adalah titik B dan panah berada
pada titik B maka vektor tersebut
merupakan dibaca vektor AB
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor aDalam Fisika Perpindahan
Perpindahan diukur dengan menarik garis lurus dari titik awal ke titik akhir
Gaya
Gaya adalah tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu benda
Kecepatan
seberapa cepat benda berpindah disebut dengan kelajuan dan dinyatakan dalam satuan meter per sekon (ms)
Percepatan
percepatan adalah laju perubahan kecepatan tiap satuan waktu Percepatan yang bernilai negatif (-a) sering disebut dengan perlambatan
Momentum
momentum adalah besaran yang berhubungan dengan kecepatan dan massa suatu benda
Notasi Dan Penulisan Vektor
Kita dapat lebih memahami pengertian vektor dalam ilmu matematika dengan
melakukan beberapa langkah sebagai berikut
Menggambar sebuah garis
Beri tanda anak panah pada ujung garis tersebut
Sebutkan titik pangkal ruas garis sebagai titik A dan titik ujung ruas
garisnya sebagai titik B
Lalu ukur panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris
maka kita akan mendapati gambar seperti di bawah ini
AB
119861
B
A
Notasi Dan Penulisan Vektor
Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan
panjang vektor Karena titik pangkal garis
tersebut adalah titik A dan titik ujung garis
tersebut adalah titik B dan panah berada
pada titik B maka vektor tersebut
merupakan dibaca vektor AB
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Notasi Dan Penulisan Vektor
Kita dapat lebih memahami pengertian vektor dalam ilmu matematika dengan
melakukan beberapa langkah sebagai berikut
Menggambar sebuah garis
Beri tanda anak panah pada ujung garis tersebut
Sebutkan titik pangkal ruas garis sebagai titik A dan titik ujung ruas
garisnya sebagai titik B
Lalu ukur panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris
maka kita akan mendapati gambar seperti di bawah ini
AB
119861
B
A
Notasi Dan Penulisan Vektor
Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan
panjang vektor Karena titik pangkal garis
tersebut adalah titik A dan titik ujung garis
tersebut adalah titik B dan panah berada
pada titik B maka vektor tersebut
merupakan dibaca vektor AB
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Notasi Dan Penulisan Vektor
Panjang garis yang di ukur
menggunakan penggaris menunjukan
panjang vektor Karena titik pangkal garis
tersebut adalah titik A dan titik ujung garis
tersebut adalah titik B dan panah berada
pada titik B maka vektor tersebut
merupakan dibaca vektor AB
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Notasi Dan Penulisan Vektor
Dengan menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB ditulis sebagai vektor a dan panjang
vektornya ditulis AB atau 119834
Menggunakan huruf kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh
a b c dan sebagainya Misalkan vektor AB ditulis sebagai vektor a dan
panjang vektornya ditulis AB atau a
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Notasi Dan Penulisan Vektor
Vektor memiliki nilai positif dan negatif sesuai dengan arah vektor
Seperti contoh di bawah ini
a b c d
Gambar vektor a berada di kordinat 1 memiliki nilai positif (+)
Gambar vektor b berada di kordinat 3 memiliki nilai negatif (-)
Gambar vektor c berada di kordinat 2 memiliki nilai positif (-)
Gambar vektor d berada di kordinat 4 memiliki nilai negatif (+)
Gambar vektor a dan d memiliki nilai positif (+) dikarenakan berada di daerah sumbu x
positif dan gambar b dan c dikarenakan berada di daerah sumbu x negatif
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Macam-Macam Vektor 1 Vektor Posisi
Pada bidang koordinat cartesius setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor
119874119875 Vektor 119874119875 disebut vektor posisi dari titik P Koordinat titik P merupakan komponen-
komponen dari vektor 119874119875
2 Vektor Negatif
Vektor yang besarnya sama dengan vektor 119906 tetapi arahnya berlawanan disebut vektor
negatif dari 119906 dan ditulis sebagai minus119906
3 Vektor Nol
Yang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau mempunyai panjang
berupa titik Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu Vektor nol dilambangkan dengan
0 = 00
Pada koordinat cartesius vektor nol adalah titik 0 00
4 Vektor Satuan
Vektor yang mempunyai panjang (modulus) 1 satuan disebut vektor satuan
Kita dapat menentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 119881 menurut rumus berikut
119881
119881
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
vektor memiliki vektor satuan yang dinnyatakan dalam i j dan k
i adalah vektor satuan yang searah sumbu x (absis)
j adalah vektor satuan yang searah sumbu y (ordinat)
k adalah vektor satuan yang searah sumbu z (aplikat)
karena berada pada ruang dimensi 3 yang dapat dilihat dari segala sisi maka ketentuan penulisan vektor satuan i j dan k dapat berubah
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Contoh
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
Vektor AG = 119834 dapat dituliskan dengan
Penulisan dalam bentuk baris yaitu AG = 119834 = 119909119910 119911 atau 119894 119895119896 = (444)
Penulisan dalam bentuk kolom yaitu AG = 119834 = 119909yz atau
119894jk
= 444
119860119866 = 119938
x
y
k
j
i
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Digambar dengan menggunakan aplikasi geogebra
x
a2
B(b1b2)
b1
b2
a1
A(a1a2)
c
a b
O
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Panjang vektor a adalah 119834 = a12 + a2
2
Panjang vektor b adalah 119835 = b12 + b2
2
119836 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Panjang Vektor
Ruang dimensi dua
Jika arah vektor dibalik maka akan didapat vektor ndashc yaitu
sebuah vektor yang panjangnya sama dengan vektor c dengan arah
yang berlawanan Vektor ini disebut vekrot imvers dari vektor c
Jika ditulis dalam bentuk pasangan terurut vektor ndashc = (a1 minus
b1)2 (a2 minus b2)2 Panjang vektor ndashc adalah
minus119836 = (a1 minus b1)2 (a2 minus b2)2 = (b1 minus a1)2 + (b2 minus a2)2
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Panjang Vektor
Ruang dimensi tiga Dengan pemahaman yang sama seperti vektor pada bidang dimensi dua
(R2) kita dapat memahami vektor pada ruang dimensi tiga (R
3)
Bila vektor ditentukan oleh kordinat
A(x1 y1 z1)
B(x2 y2 z2)
AB = 1199092 minus 1199091 1199102 minus 1199101 1199112 minus 1199111
Panjang vektor AB adalah
AB = 1199092 minus 1199091 2 + 1199102 minus 1199101
2 + 1199112 minus 1199111 2
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Soal latihan
Gambarkan
1 a = 96
2 b = minus57
3 e = minus7minus6minus4
4 Gambarkan vektor AB jika vektor AB = 466
5 Tentukan modulus dari vektor 119860119861 jika 119860 (21) dan 119861(1minus3)
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PENYELESAIAN
1
1
a
x
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
2
b
y
x
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
3
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
4
DJ
j
i
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
5 1 Dik 119860 (21)
119861(1minus3)
Dit modulus vektor 119860119861
Jawab
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
= 1 minus 2 2 + minus3 minus 1 2
= minus1 2 + minus4 2
= 1 + 16 = 17
Jadi modulus vektor 119860119861 = 17 = 4123
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Kesimpulan
Dalam ilmu matematika vector adalah anggota dari ruang vektor yang merupakan besaran
yang mempunyai besar dan arah yang biasanya dinyatakan dengan segmen garis berarah atau ruas
garis dengan anak panah di salah satu ujungnya
Penulisan vektor dapat menggunakan huruf kecil yang bercetak tebal Contoh a b c dan
sebagainya Misalnya vektor AB AB ditulis sebagai vektor a Juga dapat menggunakan huruf
kecil yang di atasnya dibubuhi tanda panah contoh a b c Panjang vektor AB atau panjang AB
ditulis AB panjang dan vektor a ditulis a
Panjang 119860119861 dan disebut modulus vektor 119860119861 Berdasarkan Teorema Phytagoras maka
panjang 119860119861 dapat dihitung sebagai
119860119861 2
= (119896119900119898119901119900119899119890119899 ℎ119900119903119894119904119900119899119905119886119897)2 + (119896119900119898119901119900119899119890119899 119907119890119903119905119894119896119886119897)2 atau
119860119861 = 119883119861 minus 119883119860 2 + 119884119861 minus 119884119860 2
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Wassalamualaikum warohmatullahhiwabarakatuh
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Komponen-Komponen Vektor Di
Dalam Ruang Dimensi Dua ( R2 )
Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1) maka
didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik A yaitu
OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor posisi dari titik
A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan x1 dan y1 merupakan
komponen vektor
Dengan demikian suatu vektor yang bertitik pangkal O dengan titik
ujung suatu titik yang diketahui disebut vektor posisi Koordinat titik yang
diketahui itu merupakan komponen-komponen vektor posisinya
Komponen sebuah vektor adalah proyeksi vektor itu pada garis dalam ruang
yang diperoleh dengan menarik garis tegak lurus dari kepala vektor tersebut
ke garis tadi
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
VEKTOR KHUSUS
(VEKTOR POSISIVEKTOR NOLVEKTOR
SATUAN DAN VEKTOR BASIS)
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan
arahcontoh dari besaran ini misalnya
perpindahankecepatanpercepatangayadsbuntuk
menggambarkan vektor di gunakan garis berarah yang
bertitik pangkalpanjang garis sebagai nilai vektor dan
anak panah menunjukan arahnya
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
BCiri-Ciri Vektor Khusus
Grafik Vektor
Grafik dengan tipe vektor merupakan gambar yang dibentuk oleh objek berupa garis dan kurva
Kualitas hasil gambar dari tipe vektor tidak tergantung pada resolusi gambar
Dalam menyimpan file tipe vektor hanya memerlukan ruang penyimpanan yang relatif kecil
Format penyimpanan file umumnya terdiri dari wmf dan lain ndash lain
Pilihan grafik yang paling tepat untuk mengolah membuat gambar logo atau gambar setting percetakan
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
bGrafik Vektor
Pecah ketika diperbesar
Tersusun oleh sebaran bintik ndash bintik (pixel) yang
beragam warna Pixel tersebar dalam pola grid
Gradasi warna lebih luwes dan nyata
Semakin besar resolusi semakin tinggi kualitas foto
Nyaman dipakai untuk gambar ndash gambar dengan efek
bayangan yang halus
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
1Vektor posisi Posisi sebuah titik partikel terhadap sebuah titik acuan tertentu
dapat dinyatakan dengan sebuah vektor posisi Perhatikan gambar
13 di bawah ini
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor yang menempati posisi di bidang
kartesius
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
2Vektor Nol
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
3Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya
satu (1) satuan panjang Untuk memperoleh
vektor satuan dari sebuah vektor vektor
tersebut harus dibagi dengan modulusnya
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Misalkan dicari vektor satuan dari
vektor
Dicari terlebih dahulu modulusnya
Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesius
Contoh
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
4 Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama
dengan 1 satuan panjang Vektor basis dalam sistem
koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j
Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X
positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu
Y positif Sedangkan vektor basis dalam ruang
dinyatakan dalam vektor i j dan k berturut-turut
sejajar dengan sumbu X Y dan Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam
bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor i dan j merupakan vektor basis
dalam bidang (R2)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
Vektor i j dan k merupakan vektor basis dalam
ruang (R3)
i vektor satuan searah sumbu X positif
j vektor satuan searah sumbu Y positif
k vektor satuan searah sumbu Z positif
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Soal Latihan
1 Sebuah titik A berada dalam ruang kartesius
dan koordinat titik A adalah (3 2 1)
a Gambarlah vektor posisi titik A terhadap
titik O (titik potong sumbu x y dan z)
b Nyatakan vektor posisi titik A terhadap
titik O dalam vektor satuan
c Hitung besar dari vektor posisi titik A
terhadap titik O tersebut
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Penyelesaian
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Kesimpulan
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah Untuk menyatakan suatu vektor
dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang
koordinat Cartesius XOY dengan
menggambar ruas garis dengan anak panah di
salah satu ujungnya Panjang ruas garis
mewakili besar (panjang) vektor dan anak
panah mewakili arah vektor Vektor
disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan
huruf yang digaris bawahi
Jika untuk setiap nilai skalar u dikaitkan dengan
suatu vektor A maka A dinamakan suatu
fungsi u yang dilambangkan dengan A (u)
Dalam tiga dimensi ditulis A(u) = A1(u)i +
A2(u)j + A3(u)k
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Perhatikan gambar berikut
Vektor u dapat
dituliskan
U = AB =
AB
AB
yy
xx
dengan
A
A
y
xOA dan
B
B
y
xOB disebut komponen vektor
Sehingga vektor u pada gambar diatas dapat dinyatakan
u = AB =
AB
AB
yy
xx =
25
16 =
3
5
Sedangkan
2
1OA disebut vektor posisi titik A dan
5
6OB disebut
vektor posisi titik B
Panjang vektor u adalah 3492535 22 u
A(xAyA)
X
Y
u
O
B(xByB)
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Suatu vektor a dalam koordinat kartesius dapat dinyatakan
a = OA = (xy) =
y
x = x i + y j
i adalah vektor satuan pada sumbu X dan j merupakan vektor satuan pada
sumbu Y maka vektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dalam vektor i dan j
atau bentuk komponennya yaitu i =
0
1 dan j =
1
0
X
O
j a
i
A(xy)
Y
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Contoh
Vektor OA pada gambar berikut dapat dinyatakan
Vektor a = OA = 5 i + 3 j ( kombinasi linier dari i dan j ) atau
vektor a = OA =
3
5 ( bentuk komponen )
Komponen-komponen vektor menentukan besar dan arah vektor
Misal pada R2 vektor a = (53) berarti dari titik awal bergerak 5 satuan ke
kanan kemudian 3 satuan keatas
X O
3
a
5
A(53)
Y
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Panjang Vektor atau Modulus
Vektor Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Dari gambar di atas didapat hubungan
OR2 = OA2 + OB2
OR2 = x2 + y2
OR =
Dengan demikian panjang adalah
|OR| =
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Contoh permasalahan sederhana yang dapat membantu
meningkatkan pemahaman adalah
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
LATIHAN
1
Tentukan komponen vektor pada gambar di atas
2 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
3
Tentukan komponen vektor di atas
4 Berdasarkan gambar di atas tentukan panjang vektor
5 Jika vektor posisi sumbu x pada soal c bergeser 1 angka ke kanan maka berapakah panjang vektor
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
KESIMPULAN
1 Didalam bidang kartesius suatu vektor dapat dinyatakan dengan
pasangan bilangan berurutan misalnya diberikan sebuah titik A(x1y1)
maka didapatkan ruas garis berarah dari titik pusat sumbu O(00) ke titik
A yaitu OA Bentuk ruas garis berarah OA disebut sebagai vektor
posisi dari titik A sehingga didapatkan OA = (x1y1) =
1
1
y
x dengan
x1 dan y1 merupakan komponen vektor
2 Panjang atau besar dari ruang garis berarah dilambangkan dengan |r|
Jadi besar atau panjang vektor r dapat ditentukan dengan rumus
|r| =
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Vektor dan Skalar
Vektor dapat diartikan sebagai bilangan
yang memiliki nilai satuan dan memiliki
arah
Skalar juga dapat diartikan sebagai
bilangan yang memiliki nilai satuan tanpa
arah
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Pengertian VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
Atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y
OPERASI VEKTOR R2
Ada sejumlah operasi yang dapat diterapkan terhadap vektor diantaranya adalah
1 penjumlahan dua vektor 2 selisih dua vektor 3 perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar 4 dan perkalian dua vektor
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PENJUMLAHAN VEKTOR R2
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ALJABAR (DALAM MATRIKS KOLOM
Perhatikangambarberikut
Perhatikanbahwapadagambar di atasdiperlihatkanbahwavektor
119906 + 119907 mempunyaititikawal (00) dantitikujung ( a + c b + d ) dengandemikian
maka
119906 + 119907 = ( a + c b + d ) atau119906 + 119907 = 119886 + 119888119887 + 119889
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
CONTOH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PENGURANGAN VEKTOR R2
CONTOH
RUMUS penguranganvektor
Jika 119886 = 11988611198862
dan119887 = 11988711198872
maka119886 - 119887 = 1198861 minus 11988711198861 minus 1198872
Jika119886 = 1198861 1198862 dan119887 = 1198871 1198872 maka119886 - 119887 = 1198861 minus 1198871 1198862 minus 1198872
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Perkalian Vektor Dengan Skalar
SIFAT-SIFAT
RUMUS
CONTOH
Jika119907 = 11990711199072
maka k119907 =k11990711199072
=k1199071k1199072
Jika119907 = 1199071 1199072 maka k119907 =k 1199071 1199072 = k1199071k1199072
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
1) PerkalianskalarDuaVektor
Perkalianskalarvektor119886 denganvektor119887 didefinisikansebagaihasil kali
panjangvektor119886 danpanjangvektor119887dengankosinussudut yang
diapitolehvektor119886 danvektor119887
Contoh
Misal panjang vektor a = 12 satuan dan panjang vektor b = 5 satuan Jika
vektor a dan b membentuk sudut 60ordm tentukanlah a bullb
Jawab Diketahui Ia I = 12 Ib I = 5 dan (a b ) = α = 60ordm
Maka a bullb = Ia I Ib I cos α = 12(5) cos 60ordm = 30
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
AOperasi Vektor di Rsup3
PENJUMLAHAN
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( )
maka vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 43minus1
dan 119887 = 215 maka 119886 + 119887 =
4 + 23 + 1minus1 + 5
= 64minus4
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 +119887 = (2+3) 119894 +(1-5) 119895 +(4+1) 119896 = 5119894 -4119895 + 5119896
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PENGURANGAN VEKTOR R3
Misal vektor = dan vektor = sehingga vektor( = ndash ) maka
vektor ditentukan oleh
Contoh
a Jika 119886 = 671 dan 119887 =
321 maka (119886 minus 119887 ) =
6 minus 37 minus 21 minus 1
= 350
b Jika 119886 = 2119894 + 119895 + 4119896 dan 119887 = 3119894 -5119895 + 119896 maka
119886 minus 119887 = (2-3) 119894 +(1-(-5)) 119895 +(4-1) 119896 = minus119894 +6119895 + 3119896
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
PERKALIAN VEKTOR DENGAN SKALAR R3
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
CONTOH-CONTOH PENGGUNAAN
VEKTOR DALAM KEHIDUPAN
1 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari pesawat tempat ia jatuh tidak tepat dibawah pesawat tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin
3 Saat perahu menyeberangi sungai maka kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
4 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik panah dari busurnya sebenarnya arah gerak anak anah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut
5 Seseorang yang sedang bermain layang-layang sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
6 Pada saat anak bermain jungkat-jungkit pada bidang miring menggunakan gaya vektotr sehingga anak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu
7 Ketika upacara bendera di hari Senin pasukan paskibra mengibarkan bendera dari bawah ke atas Aplikasi vektor bendera seperti sudut 90 derajat
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
8 Dalam navigasi vektor berpengaruh besar contohnya pada GPS dan sistem navigasi pesawat terbang
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
Perhitungan Vektor
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
1 Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 180 m
dan kecepatan airnya 4 ms Bila perahu diarahkan menyilang
tegak lurus dengan kecepatan 3 ms tentukan panjang
lintasan yang ditempuh perahu hingga sampai ke seberang
sungai
Pembahasan
Asumsikan bahwa
perahu bergerak
lurus beraturan
menempuh lintasan
AD dan resultan
kecepatan perahu
dan air adalah 5
ms (gunakan
aturan Phytagoras)
Dengan
membandingkan
sisi-sisi segitiga
ABC dan ADE
119860119863
119863119864 =
119860119861
119861119862
AD = 119860119861
119861119862 x DE
AD = 5
3 x 180 m =
300 m
Jadi panjang
lintasan yang
ditempuh perahu
hingga sampai ke
seberang sungai
adalah 300 m
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
2 Seseorang yang memiliki tinggi 175 m menghasilkan
bayangan yang panjangnya 190 m Pada saat yang sama
suatu pohon yang berada beberapa meter dari orang
tersebut menghasilkan bayangan yang panjangnya 450 m
Berapakah ketinggian dari pohon tersebut
Pembahasan
Dengan menganggap bahwa orang dan pohon tegak lurus dengan tanah kita mendapatkan dua segitiga yang sebangun (menggunakan teorema kesebangunan) Menentukan tinggi pohon menggunakan perbandingan sisi-sisi segitiga yang bersesuaian
175
190 =
119909
450
450 175
190 = x
414 = x
Jadi tinggi pohon tersebut adalah 414 m
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
3 Seorang anak berada di suatu tempat kemudian berjalan
lurus 10 m ke barat kemudian belok ke selatan sejauh 12 m
dan belok lagi ke timur sejauh 15 m Perpindahan yang
dilakukan anak tersebut dari posisi awal adalah
Pembahasan
Perpindahan merupakan besaran vektor yang
diukur lurus dari titik awal ke titik akhir Untuk
memudahkan buatlah sketsa geraknya dari A-
B-C-D-E Sehingga
Jadi perpindahan yang dilakukan anak tersebut
adalah 13 m ke arah tenggara
TERIMA KASIH
TERIMA KASIH
top related