diszkrét matematika 1. középszint - 1. eloadásnudniq/hallgatoknak/dimat/...diszkrét matematika...

Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 1.

Diszkrét matematika 1. középszint1. előadás

Juhász Zsófiajzsofia@inf.elte.hujzsofi@gmail.com

Mérai László diái alapján

Komputeralgebra Tanszék

2019 tavasz

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 2.

Egy kis matematikai logika . . .

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 3.

Logikai műveletek

A logikában az állításokat logikai műveletekkel tudjuk összekapcsolni:Tagadás (negáció), jele: ¬A.És (konjunkció), jele: A ∧ B.Vagy (megengedő vagy/diszjunkció), jele: A ∨ B.Ha . . . , akkor . . . (implikáció), jele: A⇒ B.. . . pontosan akkor, ha . . . (ekvivalencia), jele: A⇔ B.

Igazságtáblázat

A B ¬A A ∧ B A ∨ B A⇒ B A⇔ BI I H I I I II H H H I H HH I I H I I HH H I H H I I

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 4.

Logikai műveletek: a vagy fajtái

A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat:

Megengedő vagy: A ∨ B pontosan akkor igaz, ha A és B közüllegalább az egyik igaz.Pl. „Átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,. . . "Kizáró vagy: A⊕ B pontosan akkor igaz, ha A és B közül pontosan azegyik igaz.Pl. „Most jobbra vagy balra kell fordulnunk."

Összeférhetetlen vagy: A||B pontosan akkor igaz, ha A és B közüllegfeljebb egyik igaz.Pl. „Iszik vagy vezet!"

A B A ∨ B A⊕ B A||BI I I H HI H I I IH I I I IH H H H I

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 5.

Logikai műveletek

Az implikáció (A⇒ B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit!

A B A⇒ BI I II H HH I IH H I

Példa2 · 2 = 4⇒ i2 = −12 · 2 = −3⇒ A kutya emlős állat.

Hamis állításból minden következik:

Példa2 · 2 = 5⇒ i2 = −2

Adott logikai művelet más módon is kifejezhető: (A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 6.

A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek

Állítás1 A ∨ A⇔ A, A ∧ A⇔ A (idempotencia)2 A ∨ (B ∨ C)⇔ (A ∨ B) ∨ C ,A ∧ (B ∧ C)⇔ (A ∧ B) ∧ C (asszociativitás)3 A ∨ B ⇔ B ∨ A,A ∧ B ⇔ B ∧ A (kommutativitás)4 A ∧ (B ∨ C)⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C),A ∨ (B ∧ C)⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

(disztributivitás)5 (A ∨ B) ∧ A⇔ A, (A ∧ B) ∨ A⇔ A (abszorpció, azaz elnyelési

tulajdonság)6 ¬(A ∨ B)⇔ ¬A ∧ ¬B,¬(A ∧ B)⇔ ¬A ∨ ¬B (De Morgan azonosságok)7 (A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A) (kontrapozíció tétele)8 ((A⇒ B) ∧ A)⇒ B (modus ponens)9 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ C))⇒ (A⇒ C) (szillogizmus)10 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ A))⇔ (A⇔ B)

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 7.

Bizonyítás.Példa:

3 A ∨ (B ∨ C)⇔ (A ∨ B) ∨ C (a logikai vagy asszociativitása)

A B C B ∨ C A ∨ (B ∨ C) A ∨ B (A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C

I I I I I I I II I H I I I I II H I I I I I II H H H I I I IH I I I I I I IH I H I I I I IH H I I I H I IH H H H H H H I

Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 8.

Kvantorok

Kvantorok∃ (egzisztenciális kvantor): „létezik", „van olyan".∀ (univerzális kvantor): „bármely", „minden".

Példák1 ∃x ∈ R : x2 = 5

„Van olyan x valós szám, melyre x2 = 5."

2 ∀x ∈ R : x2 ≥ 0„Minden x valós számra x2 ≥ 0."

3 ∀n ∈ Z ∃x ∈ R : x > n„Minden n egész számhoz létezik olyan x valós szám, amelyrex > n."

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 9.

Halmazok

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 10.

Egy nevezetes paradoxon a naív halmazelméletben

Russell paradoxon (Bertrand Russell, 1872 - 1970)

Nevezzünk minden olyan halmazt, amely nem elemeönmagának jó halmaznak, és minden olyan halmazt,amely eleme önmagának, rossz halmaznak. Legyen Aaz összes jó halmazok halmaza. Jó vagy rossz halmaz-eA?

A jó halmaz. ⇒ (A definíciója alapján) A eleme önmagának.⇒ A rossz halmaz. EA rossz halmaz. ⇒ (A definíciója alapján) A nem eleme önmagának.⇒ A jó halmaz. E

Körül kell bástyázni a halmazok definiálásának lehetséges módjait ⇒Axiomatikus halmazelmélet: Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 11.

Halmazok

Halmazelméletben az alapvető fogalmak (ún. predikátumok), nemdefiniáljuk őket:

Halmaz (rendszer, osztály, összesség, . . . ): Informálisan elképzelhetőúgy, mint elemeinek gondolati burka.x∈A, ha az x eleme az A halmaznak.

A halmazok alapvető tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk őket.

Példa

Meghatározottsági axióma.Egy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak.

Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 12.

Halmazok

Halmaz megadása elemei felsorolásával:Véges halmazt definiálhatunk elemei {} között történő felsorolásával.Például: Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése:{a}. Annak a halmaznak, melynek pontosan az a és b az elemei ajelölése: {a, b}. (Speciálisan, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.) . . .

Definíció (üres halmaz)Azt a halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele: ∅vagy {}.

MegjegyzésFigyelem! ∅ 6= {∅}.A meghatározottsági axióma alapján az üres halmaz egyértelmű.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 13.

Részhalmaz fogalma

Definíció (részhalmaz)Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A ⊆ B, ha A minden eleme B-nek iseleme, azaz

∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).Ha A ⊆ B-nek, de A 6= B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A ( B.

Megjegyzés:Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.Minden halmaz részhalmaza önmagának, de nem valódi részhalmaza.

Állítás (A részhalmaz reláció tulajdonságai; Biz. HF)

1 ∀A (A ⊆ A) (reflexivitás).2 ∀A,B,C ((A ⊆ B ∧ B ⊆ C)⇒ A ⊆ C) (tranzitivitás).3 ∀A,B ((A ⊆ B ∧ B ⊆ A)⇒ A = B) (antiszimmetria).

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 14.

Részhalmaz definiálása formula segítségével

Definíció (Részhalmaz axióma)Legyen A egy halmaz és F (x) egy formula (azaz F egy olyantulajdonság, amely leírható formálisan, a logika nyelvén). Ekkor létezik aza halmaz, amely A-nak pontosan azon x elemeit tartalmazza, melyekreF (x) igaz (azaz amelyekre az F tulajdonság teljesül). Ezt a halmazt{x ∈ A : F (x)} = {x ∈ A | F (x)} jelöli.

Megjegyzés: {x ∈ A : F (x)} helyett az {x : x ∈ A ∧F (x)} vagy {x : x ∈ A, F (x)}jelölés is szokásos.

Példa{n ∈ Z : ∃m (m ∈ Z ∧ n = m2)}: a négyzetszámok halmaza.{x ∈ R : x2 = 3}: az x2 = 3 egyenlet valós megoldásainak halmaza,azaz {

√3,−√3}.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 15.

Műveletek halmazokkal: halmazok uniója

Definíció (halmazok uniója)Az A és B halmazok uniója: A ∪ B az a halmaz, mely pontosan A és Bösszes elemét tartalmazza: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor

⋃A = ∪{A : A ∈ A } = ∪A∈A A az a halmaz,

mely A összes elemének elemeit tartalmazza:

∪A = {x | ∃A ∈ A : x ∈ A}.

Speciálisan: A ∪ B = ∪{A, B}.

Példák{a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}{x ∈ R : 0 < x} ∪ {x ∈ R : x < 0} = {x ∈ R : x 6= 0}

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 16.

Műveletek halmazokkal: az unió tulajdonságai

Állítás (Az unió tulajdonságai)Minden A, B, C halmazra:

1 A ∪ ∅ = A2 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (asszociativitás)3 A ∪ B = B ∪ A (kommutativitás)4 A ∪ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B

Bizonyítás.1 x ∈ A ∪ ∅ ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ ⇔ x ∈ A.2 x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇔ (x ∈

A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C3 2-höz hasonló.4 2-höz hasonló.5 ⇒: A ⊆ B ⇒ A ∪ B ⊆ B, de B ⊆ A ∪ B mindig teljesül, így A ∪ B = B.⇐: Ha A ∪ B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 17.

Műveletek halmazokkal: halmazok metszete

Definíció (halmazok metszete)Az A és B halmazok metszete: A ∩ B az a halmaz, mely pontosan az Aés B közös elemeit tartalmazza: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor ∩A = ∩{A : A ∈ A } = ∩A∈A A a következőhalmaz:

∩A = {x | ∀A ∈ A : x ∈ A}.

Speciálisan: A ∩ B = ∩{A, B}.

Példa{a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}.

Ha In = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n + 1}, ∀ n ∈ Z-re és I = {In : n ∈ Z}, akkor

I2 ∩ I3 = {3}I8 ∩ I11 = ∅In ∩ In+1 = {n + 1}∩I = ∅

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 18.

Diszjunkt és páronként diszjunkt halmazrendszerek

Definíció ((páronként) diszjunkt halmazrendszer)Ha A ∩ B = ∅, akkor A és B diszjunktak.Általánosabban: Ha A egy halmazrendszer, és ∩A = ∅, akkor Adiszjunkt, illetve A elemei diszjunktak.Ha A egy halmazrendszer, és A bármely két eleme diszjunkt, akkor Aelemei páronként diszjunktak.

PéldaAz {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak.Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronkéntdiszjunktak.Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.Ha In = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n + 1}, ∀ n ∈ Z-re és I = {In : n ∈ Z},akkor I diszjunkt halmazrendszer, de elemei nem páronkéntdiszjunktak.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 19.

Műveletek halmazokkal: a metszet tulajdonságai

Állítás (A metszet tulajdonságai; Biz. HF)Minden A, B, C halmazra:

1 A ∩ ∅ = ∅2 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asszociativitás)3 A ∩ B = B ∩ A (kommutativitás)4 A ∩ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 20.

Disztributivitás

Állítás (Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai)

1 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)2 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Bizonyítás.

1 x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C ⇔⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈C)⇔ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

2 HF. hasonló

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 21.

Halmazok különbsége, komplementere

Definíció (halmazok különbsége)Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x ∈ A : x /∈ B} halmaz.

Definíció (halmaz komplementere)Egy rögzített X alaphalmaz és A ⊆ X részhalmaz esetén az A halmazkomplementere az A = A′ = X \ A halmaz.

Állítás (Különbség kifejezése komplementer segítségével)A \ B = A ∩ B.

Bizonyítás.x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 22.

Komplementer tulajdonságai

Állítás (Komplementer tulajdonságai; Biz. HF)Legyen X az alaphalmaz. Ekkor minden A, B ⊆ X halmazra:

1 A = A;2 ∅ = X;3 X = ∅;4 A ∩ A = ∅;5 A ∪ A = X;6 A ⊆ B ⇔ B ⊆ A;7 A ∩ B = A ∪ B;8 A ∪ B = A ∩ B.

A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 23.

Komplementer tulajdonságai

Bizonyítás.Példa...

7 x ∈ A ∩ B ⇔ ¬(x ∈ A ∩ B)⇔ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)⇔⇔ ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪ B

...

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 24.

Halmazok szimmetrikus differenciája

Definíció (szimmetrikus differencia)Az A és B halmazok szimmetrikus differenciája az

A4B= (A \ B) ∪ (B \ A)

halmaz.

Állítás (Szimmetrikus differencia másik előállítása; Biz. HF)A4B = (A ∪ B) \ (B ∩ A).

Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 25.

Halmaz hatványhalmaza

Definíció (hatványhalmaz)Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosanaz A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2A-valjelöljük. (A P(A) jelölés is szokásos.)

A = ∅, 2∅ = {∅}A = {a}, 2{a} = {∅, {a}}A = {a, b}, 2{a,b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}

Jelölés: Egy véges A halmaz elemszámát |A| jelöli.

Állítás (Hatványhalmaz elemszáma; biz. később)Tetszőleges A véges halmazra: |2A| = 2|A|.