diszkrét matematika ii. gyakorlat -...

Diszkrt matematika II. gyakorlatAbsztrakt algebra

Bogya Norbert

Bolyai Intzet

2014. prilis 23.

Bogya Norbert (Bolyai Intzet) Diszkrt matematika II. gyakorlat 2014. prilis 23. 1 / 23

Tartalom

1 1. Feladatsor

2 2. Feladatsor


1.Feladat

Egy trsasg ngy frfibl s t nbl ll. Hnyflekppen lehetkzlk kt frfit s kt nt a nyittnchoz kivlasztani? (A sorrendnem szmt.)

! 54 44(94

)24 48 60 120 150 5! 4! egyik sem !

Megolds.1 Kt frfit hnyflekppen vlaszthatunk ki?

(42

)2 Kt nt hnyflekppen vlaszthatunk ki?

(52

)3 Hnyflekppen tncolhatnak?(

42

)(52

)= 6 10 = 60


1.Feladat


! 54 44(94

)24 48 60 120 150 5! 4! egyik sem !


(42

)

2 Kt nt hnyflekppen vlaszthatunk ki?(52


42

)(52

)= 6 10 = 60


1.Feladat


! 54 44(94

)24 48 60 120 150 5! 4! egyik sem !


(42


(52

)

3 Hnyflekppen tncolhatnak?(42

)(52

)= 6 10 = 60


1.Feladat


! 54 44(94

)24 48 60 120 150 5! 4! egyik sem !


(42


(52


42

)(52

)= 6 10 = 60


2. Feladat

Mint ismeretes, a (magyar) krtyapakliban 32 lap van: ngy szn(zld, piros, tk, makk) s mindegyik sznbl nyolc lap.Hnyflekppen lehet a paklibl ngy lapot kihzni gy, hogy akihzott lapok ne legyenek azonos sznek? (Azaz legalbb ktklnbz szn fellpjen. A sorrend nem szmt.)

!(32

4

)(84

) (244

)+(81

) (324

)(24

4

) (324

) 4

(84

)egyik sem !

Megolds.1 Hnyflekppen hzhatunk 4 lapot?

(324

)2 Hnyflekppen hzhatunk 4 egyforma lapot?

(41

)(84

)3 Vlasz: (

324

) 4

(84

)


2. Feladat


!(32

4

)(84

) (244

)+(81

) (324

)(24

4

) (324

) 4

(84

)egyik sem !


(324

)

2 Hnyflekppen hzhatunk 4 egyforma lapot?(41

)(84

)3 Vlasz: (

324

) 4

(84

)


2. Feladat


!(32

4

)(84

) (244

)+(81

) (324

)(24

4

) (324

) 4

(84

)egyik sem !


(324


(41

)(84

)

3 Vlasz: (324

) 4

(84

)


2. Feladat


!(32

4

)(84

) (244

)+(81

) (324

)(24

4

) (324

) 4

(84

)egyik sem !


(324


(41

)(84

)3 Vlasz: (

324

) 4

(84

)Bogya Norbert (Bolyai Intzet) Diszkrt matematika II. gyakorlat 2014. prilis 23. 4 / 23

3. FeladatAz x ismeretlen egsz szmrl az albbiakat tudjuk:

8x 1 (mod 17)20 < x < 38

Ikszelje be a tglalapban felsoroltak kzl azt az intervallumot,amelyik tartalmazza x-et!

! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35]

[36, 37] egyik sem !

Megolds.

I 8x 1 (mod 17)I 8x 17y = 1I lnko(8, 17) = 1I x0 = 2 s y0 = 1

I x = 2 17 t

I x 2 (mod 17)

I x = 2, 19, 36, ...



8x 1 (mod 17)20 < x < 38


! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35]


Megolds.

I 8x 1 (mod 17)

I 8x 17y = 1I lnko(8, 17) = 1I x0 = 2 s y0 = 1

I x = 2 17 t

I x 2 (mod 17)

I x = 2, 19, 36, ...



8x 1 (mod 17)20 < x < 38


! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35]


Megolds.

I 8x 1 (mod 17)I 8x 17y = 1

I lnko(8, 17) = 1I x0 = 2 s y0 = 1

I x = 2 17 t

I x 2 (mod 17)

I x = 2, 19, 36, ...



8x 1 (mod 17)20 < x < 38


! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35]


Megolds.

I 8x 1 (mod 17)I 8x 17y = 1I lnko(8, 17) = 1

I x0 = 2 s y0 = 1

I x = 2 17 t

I x 2 (mod 17)

I x = 2, 19, 36, ...



8x 1 (mod 17)20 < x < 38


! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35]


Megolds.

I 8x 1 (mod 17)I 8x 17y = 1I lnko(8, 17) = 1I x0 = 2 s y0 = 1

I x = 2 17 t

I x 2 (mod 17)

I x = 2, 19, 36, ...


4. Feladat

Hnyflekppen lehet sorba rakni a KUPAK sz betit, azaz hnytbets sz nyerhet a KUPAK betinek sszekeversvel?

! 24 36 48 60 72 120 180 240 egyik sem !

Megolds.I Ismtlses permutci.I Vlasz:

5!2!

= 5 4 3 = 60.


4. Feladat


! 24 36 48 60 72 120 180 240 egyik sem !

Megolds.I Ismtlses permutci.

I Vlasz:5!2!

= 5 4 3 = 60.


4. Feladat


! 24 36 48 60 72 120 180 240 egyik sem !

Megolds.I Ismtlses permutci.I Vlasz:

5!2!

= 5 4 3 = 60.


5. Feladat

A256

szmot maradkosan osztjuk 81-gyel. Mi az oszts maradka?

! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 81) = 1I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54I 256 = 254 22 4 (mod 81)


5. Feladat

A256


! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)

I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 81) = 1I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54I 256 = 254 22 4 (mod 81)


5. Feladat

A256


! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).

I lnko(2, 81) = 1I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54I 256 = 254 22 4 (mod 81)


5. Feladat

A256


! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 81) = 1

I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54I 256 = 254 22 4 (mod 81)


5. Feladat

A256


! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 81) = 1I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54

I 256 = 254 22 4 (mod 81)


5. Feladat

A256


! 0 1 2 3 4 9 25 27 egyik sem !

Megolds.I 256 x (mod 81)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 81) = 1I (81) = (34) = 34 33 = 81 27 = 54I 256 = 254 22 4 (mod 81)


6. Feladat

Mely tulajdonsgok rvnyesek az albbi grfra, ha EV, illetve zrtEV a van Euler-vonala, illetve van zrt Euler-vonala rvidtse?

? EV zrt EV pros grf skgrf van Hamilton-kre

fa egyik sem ?


7. Feladat

Legyen A = (A; +, ) egy tetszleges gyr, s legyen a, b, c A. Agyrre, illetve annak elemeire vonatkoz albbi kijelentsek kzlmelyek szksgkppen igazak?I Ha b 6= 0, akkor b-nek van multiplikatv inverze.I Az sszeads egysgeleme egyttal a szorzs zruseleme.I (A \ {0}; ) Abel-csoport.I bc cb = 0.

Megolds.I Hamis: az (Z4,+, ) gyrben a 2-nek nincs inverze.I IgazI Hamis: az (Rnn,+, ) gyr nem kommutatv.I Hamis: lsd elz.


7. Feladat


Megolds.I Hamis: az (Z4,+, ) gyrben a 2-nek nincs inverze.

I IgazI Hamis: az (Rnn,+, ) gyr nem kommutatv.I Hamis: lsd elz.


7. Feladat


Megolds.I Hamis: az (Z4,+, ) gyrben a 2-nek nincs inverze.I Igaz

I Hamis: az (Rnn,+, ) gyr nem kommutatv.I Hamis: lsd elz.


7. Feladat


Megolds.I Hamis: az (Z4,+, ) gyrben a 2-nek nincs inverze.I IgazI Hamis: az (Rnn,+, ) gyr nem kommutatv.

I Hamis: lsd elz.


7. Feladat


Megolds.I Hamis: az (Z4,+, ) gyrben a 2-nek nincs inverze.I IgazI Hamis: az (Rnn,+, ) gyr nem kommutatv.I Hamis: lsd elz.


8. FeladatAz egsz szmok (Z; +) additv csoportjnak nmagval vett direktszorzatban, azaz (Z2; +) csoportban tekintsk az

S = {(5x ,2x) : x Z}normlosztt. A tglalapban felsoroltak kzl melyek vannak bennea (2,1) elem S szerinti baloldali mellkosztlyban?

? 3 (12, 5) (2,1) (2, 1) (12,5)(0, 0) egyik sem ?

Megolds.

(2,1) + S = {(2,1) + (5x ,2x) : x Z}= {(2 + 5x ,1 2x) : x Z}

(2,1) : x = 0, (12,5) : x = 2


8. FeladatAz egsz szmok (Z; +) additv csoportjnak nmagval vett direktszorzatban, azaz (Z2; +) csoportban tekintsk az

S = {(5x ,2x) : x Z}normlosztt. A tglalapban felsoroltak kzl melyek vannak bennea (2,1) elem S szerinti baloldali mellkosztlyban?

? 3 (12, 5) (2,1) (2, 1) (12,5)(0, 0) egyik sem ?

Megolds.

(2,1) + S = {(2,1) + (5x ,2x) : x Z}= {(2 + 5x ,1 2x) : x Z}

(2,1) : x = 0, (12,5) : x = 2Bogya Norbert (Bolyai Intzet) Diszkrt matematika II. gyakorlat 2014. prilis 23. 10 / 23

9. FeladatTekintsk az albbi mvelettblzattal megadott A = (A; )grupoidot. A tglalapban felsorolt lltsok ezen grupoidra, illetveezen mveletre rtendk. Ikszeljk be a felsoroltak kzl az igazlltsokat. (Itt [X ], illetve [y ] a szokott mdon az X illetve{y} rszhalmaz ltal generlt rszgrupoidot jelli.)

a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a

? van zruselem van egysgelem c [b]c [{b, d}] egyik sem ?


10. Feladat

Tekintsk az elz feladatban mvelettblzattal megadottA = (A; ) grupoidot. Az albbi tglalapban megadott osztlyozsokkzl melyek azok, amelyekhez a flcsoport kongruenciarelciitartoznak?

? {{a, d}, {b, c}} {{a}, {b}, {c}, {d}} {{a, b, c , d}}{{a, c , d}, {b}} egyik sem ?


10. Feladat

Tekintsk az elz feladatban mvelettblzattal megadottA = (A; ) grupoidot. Az albbi tglalapban megadott osztlyozsokkzl melyek azok, amelyekhez a flcsoport kongruenciarelciitartoznak?

? {{a, d}, {b, c}}

{{a}, {b}, {c}, {d}}

{{a, b, c , d}}

{{a, c , d}, {b}} egyik sem ?


Tartalom

1 1. Feladatsor

2 2. Feladatsor


1. Feladat

Hnyflekppen lehet sorba rakni a KIFLI sz betit gy, hogy neI betvel kezdd szt kapjunk?

! 54 44(53

)18 24 36 48 5! 4!

5! 4! egyik sem !

Megolds. Sztszedjk, hogy mivel kezddhet.

1 K:4!2!

2 F:4!2!

3 L:4!2!

4 sszesen: 36



x 7 (mod 8)x 6 (mod 7)20 < x < 100


! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94)

[94, 100) egyik sem !

Megolds.

x 8y = 7x 7z = 6

7 + 8y 7z = 6 8y 7z = 1



x 7 (mod 8)x 6 (mod 7)20 < x < 100


! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94)

[94, 100) egyik sem !

Megolds.

x 8y = 7x 7z = 6

7 + 8y 7z = 6

8y 7z = 1



x 7 (mod 8)x 6 (mod 7)20 < x < 100


! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94)

[94, 100) egyik sem !

Megolds.

x 8y = 7x 7z = 6

7 + 8y 7z = 6 8y 7z = 1


3. Feladat

Egy ngytag trsasg a kvetkez haditervet dolgozza ki arra, hogymind a ngyen feljussanak a tetteraszra: ketten a (ktszemlyes)lifttel mennek egyszerre, ketten pedig egyms utn a villmhrtnmszva jutnak fel. Hny klnbz sorrendben rkezhetnek meg atetteraszra, ha feltesszk, hogy a liften utaz kt szemly egyszerrerkezik, de ezt leszmtva nincs egyidej rkezs?

!(62

) 5!3!

12 24 365!

3! 2!60 120 egyik sem !

Megolds.I 3 klnbz mozg objektum van, ezek sorrendje 3! lehetI a liftben

(42

)-flekppen lehetnek

I Vlasz:(42

) 3!


3. Feladat


!(62

) 5!3!

12 24 365!

3! 2!60 120 egyik sem !

Megolds.I 3 klnbz mozg objektum van, ezek sorrendje 3! lehet

I a liftben(42

)-flekppen lehetnek

I Vlasz:(42

) 3!


3. Feladat


!(62

) 5!3!

12 24 365!

3! 2!60 120 egyik sem !

Megolds.I 3 klnbz mozg objektum van, ezek sorrendje 3! lehetI a liftben

(42

)-flekppen lehetnek

I Vlasz:(42

) 3!


4. Feladat

A kisllatkereskednl hromfajta dszhalat rulnak mindegyikblvan bven. Hnyflekppen vsrolhatunk egyidejleg ngy halat azakvriumba? (Az egyidejsg miatt a sorrend nem szmt, snyilvn egyformkat is vehetnk.)

! 34 43 4!(43

) (73

) (64

) (63

)egyik sem !

Megolds.A hrom klnbz elembl kell kivlasztani 4-et, azaz ismtlseskombinci. (

3 + 4 14

)


4. Feladat


! 34 43 4!(43

) (73

) (64

) (63

)egyik sem !

Megolds.A hrom klnbz elembl kell kivlasztani 4-et, azaz ismtlseskombinci.

(3 + 4 1

4

)


4. Feladat


! 34 43 4!(43

) (73

) (64

) (63

)egyik sem !

Megolds.A hrom klnbz elembl kell kivlasztani 4-et, azaz ismtlseskombinci. (

3 + 4 14

)


5. FeladatA mobiltelefon memrijban egy 216 bjt mret terlet szolgl aki- s bemen hvsok naplzsra. Minden egyes zenetnaplzshoz pontosan 17 bjt szksges. Tegyk fel hogy amemrit csakis erre a clra hasznljuk s sose trljk. Amikorsok-sok hvs utn tovbbi naplzs nem lehetsges, hnykihasznlatlan bjt marad a memriban? (Msknt fogalmazva: milesz a maradk, ha a 216 szmot elosztjuk tizenhttel?)

! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 17) = 1I (17) = 16I 216 1 (mod 17)



! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)

I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 17) = 1I (17) = 16I 216 1 (mod 17)



! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).

I lnko(2, 17) = 1I (17) = 16I 216 1 (mod 17)



! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 17) = 1

I (17) = 16I 216 1 (mod 17)



! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 17) = 1I (17) = 16

I 216 1 (mod 17)



! 0 1 2 8 9 10 15 16 egyik sem !

Megolds.I 216 x (mod 17)I Euler-ttel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a(n) 1 (mod n).I lnko(2, 17) = 1I (17) = 16I 216 1 (mod 17)


6. Feladat

Magyar mdszerrel keresnk maximlis elemszm prostst azalbbi grfban. (A grfot kt pldnyban is lerajzoltuk, hogy legyenmin dolgozni, szmolni.) A {bq, ct, dp, ev , gr , hs, iu, jx} prostsig(azaz a vastag lek halmazig) jutottunk. A tglalapban felsoroltlek kzl melyek lesznek benne szksgkppen a magyar mdszerkvetkez lpse ltal szolgltatott prostsban?

p q r s t u v w x y

a b c d e f g h i j

? bq iu dp ex jx egyik sem ?


7. Feladat

Melyek a szksgkppen igazak az albbi kijelentsek kzl?(tmutat: a rtkeit rdemes kiszmolni.)I (102) = 2 (10), ahol az Euler-fle fggvny. hamisI (102) = (10)2, ahol az Euler-fle fggvny. hamisI Gyr additv egysgeleme egyttal multiplikatv zruselem. igazI Ha egy algebra test, akkor gyr is. igaz

Megolds.I Hamis: (10) = 4, (100) = 40I HamisI IgazI Igaz


7. Feladat


Megolds.I Hamis: (10) = 4, (100) = 40

I HamisI IgazI Igaz


7. Feladat


Megolds.I Hamis: (10) = 4, (100) = 40I Hamis

I IgazI Igaz


7. Feladat


Megolds.I Hamis: (10) = 4, (100) = 40I HamisI Igaz

I Igaz


7. Feladat


Megolds.I Hamis: (10) = 4, (100) = 40I HamisI IgazI Igaz


8. Feladat

A skvektorok (R2; +) additv csoportjban tekintsk azS = {(x , x) : x R} normlosztt s a b = (3, 4) elemet. Atglalapban felsoroltak kzl melyek vannak benne a b elem Sszerinti baloldali mellkosztlyban?

? (0, 0) (0, 1) (4, 4) (3, 4) (4, 5) egyik sem ?

Megolds.

(3, 4) + S = {(3, 4) + (x , x) : x R}= {(3 + x , 4 + x) : x R}

(0, 1) : x = 3, (3, 4) : x = 0, (4, 5) : x = 1


9. FeladatTekintsk az albbi mvelettblzattal megadott A = (A; )grupoidot. A tglalapban felsorolt lltsok ezen grupoidra, illetveezen mveletre rtendk. Ikszeljk be a felsoroltak kzl az igazlltsokat. (Itt [X ], illetve [y ] a szokott mdon az X illetve{y} rszhalmaz ltal generlt rszalgebrt jelli.)

A a b c da a b c db b c a ac c a b ad d d d d

? van zruselem kancellatv c [b] d [{b, c}]egyik sem ?


10. Feladat

Tekintsk az elz feladatban mvelettblzattal megadottA = (A; ) grupoidot. Az albbi tglalapban megadott osztlyozsokkzl melyek azok, amelyekhez a grupoid kongruenciarelciitartoznak?

? {{a, b}, {c , d}} {{a, b, c}, {d}} {{a, b, c , d}}{{a, c}, {b, d}} egyik sem ?


10. Feladat

Tekintsk az elz feladatban mvelettblzattal megadottA = (A; ) grupoidot. Az albbi tglalapban megadott osztlyozsokkzl melyek azok, amelyekhez a grupoid kongruenciarelciitartoznak?

? {{a, b}, {c , d}} {{a, b, c}, {d}} {{a, b, c , d}}

{{a, c}, {b, d}} egyik sem ?


1. Feladatsor2. Feladatsor

diszkrét matematika ii. gyakorlat -...

Documents