doĞrusal olmayan programlama...

1

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik

Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS

Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi

2011-2012 Öğretim Yılı

2

n  Gerçek hayatta karşılaşılan çoğu problem için geliştirilen karar modellerinin kısıtlarında ve amaç fonksiyonunda doğrusal ilişkileri gözlemek zordur.

n  Karar modelinin kısıtlarından en az biri veya amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı durumlar için geliştirilen kavram ve teknikler “Doğrusal Olmayan Programlama” başlığı altında incelenmektedir.

Doğrusal olmayan programlama

3

Doğrusal Olmayan Karar Modelinin Genel Yapısı n  X : Karar değişkenleri vektörü, X=(x1, x2, x3, …, xn), n  gi(x) : i. Kısıtın ifadesi (i=1,2,…,m), n  bi : i. Kısıtın sağ taraf sabiti (i=1,2,…,m), n  f(X) : Amaç fonksiyonu ve

en az bir gi(X) ve/veya f(X) doğrusal olmayan vektör fonksiyonları olmak üzere; f(X) fonksiyonunu eniyileyen X vektörünün bulunması.

)X(fZ  Enyi

altında  kısıtları

m1,2,...,i        b)X(g

ii

=

≥

==

≤

4

n  Doğrusal olmayan karar modellerinin çözümü için genel bir algoritma ve etkin bir yöntem geliştirilmemiştir.

n  Amaç fonksiyonu ve kısıtların yapılarına göre, özel modellerin çözüm teknikleri söz konusudur.

DİKKAT !

5

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 1

Uygun Çözüm Alanı

Eniyi nokta

6

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 2

Uygun Çözüm Alanı

Eniyi nokta

7

Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2

subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6

–x1 + x2 ≤ 3

x1 + x2 ≤ 7

2x1 – 3x2 ≤ 4

x11 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x2

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 3

8

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 4

9

Max f(x1, x2) = x1x2

s.t. 4x1 + x2 ≤ 8

x1, x2 ≥ 0

2

8

f(x1, x2) = 2

f(x1, x2) =1

x2

x1

Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 5

10

DIŞBÜKEY KÜME

n  Verilen bir S kümesinin farklı her iki noktasının dışbükey bileşimiyle bulunan nokta (farklı her iki noktayı birleştiren doğru parçası) S kümesinin bir öğesi ise, S’ye dışbükey küme denir.

n  xi, xj ∈ S, 0 ≤ λ ≤1 iken, x0 = λxi + (1- λ)xj, ∀ i ≠j için x0 ∈ S

x1 x2

x1 x1

x2

x2 •

•

•

• •

•

dışbükey dışbükey içbükey

11

Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2

subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6

–x1 + x2 ≤ 3

x1 + x2 ≤ 7

2x1 – 3x2 ≤ 4

x11 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x2

Dışbükey bir uygun çözüm alanı

12

x1

x2

S = {(x1, x2) : (0.5x1 – 0.6)x2 ≤ 1; 2(x1)2 + 3(x2)2 ≥ 27; x1, x2 ≥ 0}

Dışbükey olmayan bir uygun çözüm alanı

13

DIŞBÜKEY / İÇBÜKEY FONKSİYONLAR

14

DIŞBÜKEY FONKSİYON

n  X=(X1, X2, ..., Xn); f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon olsun.

n  ∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) dışbükey bir fonksiyondur.

f [λx1 + (1- λ)x2] ≤ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)

n  f [λx1 + (1- λ)x2] < λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,

“kesin dışbükey fonksiyon”

15

f [λX1 + (1- λ)X2] ≤ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)

X1 X2 λX1+(1- λ)X2

f(X1)

f(X2)

f(λX1+(1- λ)X2)

λf(X1)+(1- λ)f(X2)

16

17

İÇBÜKEY FONKSİYON

n  X=(X1, X2, ..., Xn) n  f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon. n  ∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen

eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) içbükey bir fonksiyondur. f [λx1 + (1- λ)x2] ≥ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)

n  f [λx1 + (1- λ)x2] > λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,

“kesin içbükey fonksiyon”

18

λf(X1)+(1- λ)f(X2)

f [λX1 + (1- λ)X2] ≥ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)

X1 X2 λX1+(1- λ)X2

f(X1)

f(X2)

f(λX1+(1- λ)X2)

19

x)x(f =

20

Ne dışbükey ne de içbükey olan fonksiyon

f(x)

x

21

ÇALIŞMA KONUSU !

n  f(X)=aX+b şeklinde verilen bir doğrusal fonksiyonun hem içbükey hem de dışbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.

n  f(X)=aX2 fonksiyonunun a’nın pozitif değerleri için dışbükey, negatif değerleri için içbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız. n  İPUCU

n  f(X1)=aX12 ; f(X2)=aX2

2

n  f [λX1+ (1- λ)X2]=a. ( λX1+ (1- λ)X2 )2

22

ÖZELLİKLER

n  Doğrusal bir fonksiyon hem içbükey, hem dışbükey bir fonksiyondur.

n  Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey bir fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükey bir fonksiyondur.

n  f(X) dışbükey iken, -f(X) içbükey bir fonksiyondur. n  f(X) içbükey iken, -f(X) dışbükeydir.

n  Bir fonksiyon, belirli bir alt kümede dışbükey iken, başka bir alt kümede içbükey olabilir.

23

YEREL ENİYİLERLE BÜTÜNSEL ENİYİLER ARASINDAKİ İLİŞKİ

24

DIŞBÜKEYLİK – ENİYİLİK İLİŞKİSİ

n  Doğrusal olmayan programlamada, ele alınan fonksiyonun dışbükey veya içbükey olduğunun belirlenebilmesi son derece önemlidir.

n  f(x)’in tanımlı olduğu S kümesi içinde, X0’in δ

komşuluğu A olsun. Bu durumda, 1.  Eğer f(x), X0’da yerel enküçük değerini

alıyorsa, f(X), A kümesinde dışbükeydir. 2.  Eğer f(x), X0’da yerel enbüyük değerini

alıyorsa, f(X), A kümesinde içbükeydir.

25

A

X0

f(x), A kümesi içerisinde X0’da yerel enbüyük değerini aldığından, f(X), A kümesinde içbükeydir.

26

TEOREM

n  X=(x1, x2, x3, …, xn) ve f(X) dışbükey bir kümede tanımlı fonksiyon olsun.

n  Eğer f(X) dışbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in yerel enküçük noktası ise, f(X), X0 noktasında bütünsel enküçük değerini alır.

n  Eğer f(X) içbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in yerel enbüyük noktası ise, f(X), X0 noktasında bütünsel enbüyük değerini alır.

27

Çok değişkenli içbükey bir fonksiyon, A noktası enbüyük nokta

28

Çok değişkenli dışbükey bir fonksiyon, B noktası enküçük nokta

29

Yerel eniyilerle bütünsel eniyiler arasındaki özellikler

n  Bu iki özellik, dışbükey kümede tanımlı bir fonksiyonun dışbükey veya içbükey olması halinde, yerel eniyi (enküçük veya enbüyük) noktanın bütünsel eniyi nokta olduğunu belirtmektedir.

n  Ancak, bunun tersi her zaman doğru değildir. Yani fonksiyonun bir yerel eniyi noktası varsa, bu nokta bütünsel eniyi olmayabilir, bu fonksiyon da dışbükey veya içbükey bir fonksiyon olmayabilir.

30

Fonksiyonun tanım aralığı içinde A, B ve C noktaları yerel enbüyük noktalar, C noktası bütünsel enbüyük nokta. Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey.

31

Tanım aralığı içinde bir bütünsel enbüyük ve bir bütünsel enküçük noktaya sahip fonksiyon,

fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.

32

Birden fazla enbüyük ve enküçük noktaya sahip fonksiyon, fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.

Min {f(x)= sin(x) : 0 ≤ x ≤ 5π}

33

n  Fonksiyon, her x için, dışbükey veya içbükey değildir. Belirtilen eniyi çözümler, X ∈S Eniyi f(X) modelinindir. Bu nedenle, bütünsel eniyi noktalar, fonksiyonun değil, modelin eniyi çözümleridir.

n  Fonksiyonun bütünsel eniyi çözümü olduklarını belirtebilmek için, eniyi çözümlerin, X ∈R Eniyi f(X) için geçerli olduğunun gösterilmesi gerekmektedir.

34

TÜREVİN ANLAMI (Hatırlatma)

35

36

37

Örnek: f(x)=x2+9x+3 fonksiyonunun x=7 noktasında türevi?

23

23h    lim

hh23hlim

h115]3)h963()hh1449[(lim

h]37.97[]3)h7(9)h7[(

limh

)7(f)h7(flim

0h

2

0h

2

0h

22

0h0h

=

+=

+=

−+++++=

++−++++=

−+

→

→

→

→→

38

Tanım

n  f(X) fonksiyonunun x=a’daki sağdan türevi soldan türevine eşitse fonksiyonun x=a’da türevi vardır.

39

n  f’(a) varsa, f fonksiyonu x=a’da sürekli fonksiyondur. n  Tersi doğru olmayabilir! n  x=a’da fonksiyon sürekli olup, türevi

olmayabilir. n  f fonksiyonu x=a’da sürekli değilse, türevli de

değildir.

40

Örnek: f(x)=|x| fonksiyonunun x=0 daki türevi ? (x=0’da türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)

     1hh

limh

)0()h0(lim

h0h0

limh

)0(f)h0(flim

       1hh

limh

)0()h0(lim

h0h0

limh

)0(f)h0(flim

0h0h0h0h

0h0h0h0h

−=−

=−+−

=−+

=−+

==−+

=−+

=−+

−→+→−→−→

+→+→+→+→

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<−=

0x;x

0x;xx

41

Örnek: f(x)=|x2-4| fonksiyonunun x=2 deki türevi ? (x=2’de türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)

     42)(xlim

)2x()2x)(2x(

lim

2x0)4x(

lim

2x

444xlim

2x)2(f)x(f

lim

2x

2x

2

2x

2

2x2x

=+=

−

+−=

−

−−=

−

−−−=

−

−

+→

+→

+→

+→+→

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

<−−=−

2x);4x(

2x);4x(4x

2

22

42)(x-­‐lim

)2x()2x)(2x(

lim

2x0)4x(

lim

2x

444xlim

2x)2(f)x(f

lim

2x

2x

2

2x

2

2x2x

−=+=

−

+−−=

−

−−−=

−

−−−=

−

−

−→

−→

−→

−→−→

42

Örnek: İşaretli noktada türevli değil, sürekli değil.

43

Birinci türev

a b c

(a, f(a))

(b, f(b))

(c, f(c))

f ′(a)=0

f ′(b)=0

f ′(c) YOK!

f′(x)>0 f ′(x)>0 f′(x)<0

a: Yerel enbüyük b: Dönüm noktası c: Yerel enküçük

y=f(x)

f′(x)<0

44

y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra eşitse ve;

n  Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken pozitiften negatife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enbüyük,

n  Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken negatiften pozitife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enküçük,

n  Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken işaret değiştirmiyorsa ne yerel enbüyük ne de yerel enküçük nokta vardır.

45

b noktasında • yerel enküçük • f′(b)=0 • f′′(b)>0

d noktasında • yerel enbüyük • f′(d)=0 • f′′(d)<0

ÖRNEK

46

[a,b] aralığında • f(x) azalan • f′(x)<0

[b,d] aralığında • f(x) artan • f′(x)>0

b noktasında • yerel enküçük • f′(b)=0

d noktasında • yerel enbüyük • f′(d)=0

47

[a,c] aralığında • f(x) dışbükey • f′′(x)>0

[c,∞] aralığında • f(x) içbükey • f′(x)<0

b noktasında • yerel enküçük • f′′(x)>0

d noktasında • yerel enbüyük • f′′(x)<0

48

f’(x)=0 eşitliğini sağlayan x0 değerine kritik değer (yerel enbüyük veya dönüm noktası olabilir), f(x0) değerine de durağan değer (durgunluk değeri) denir. A, B,C ve D noktalarında birinci türev sıfır olup, fonksiyon bu noktalarda birer durgunluk değerine sahiptir. Ancak tüm durgunluk noktaları, birer uç değer anlamına gelmez. Şekil (a) ve (b)’de birer durgunluk noktası olmasına rağmen, bir yerel eniyi yoktur. Buna karşın şekil (c) ve (d)’deki durgunluk noktalarında sırasıyla bir enküçük ve enbüyük vardır.

ÖRNEK

49

50

51

n  Üzerinde çalışılan y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve türevlenebilir olduğu varsayılmaktadır.Bazı durumlarda fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada da uçdeğer olabilir.

n  (a) şeklinde, A ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte bu noktada fonksiyonun tanımlı türevi yoktur.

n  (b) şeklinde ise C ve D noktalarında birer uçdeğer vardır ve bunu birinci ve ikinci türev sınamalarıyla anlayabiliriz.

ÖRNEK

52

(a)  Sabit fonksiyon. Fonksiyonun üzerinde farklı x değerlerine karşılık yer alan tüm y değerleri aynı olduğundan, bu değerleri eniyi değer olarak söyleyemeyiz.

(b)  D noktası enküçük noktadır. Fonksiyon monotonik artan olduğundan, bir enbüyük noktaya sahip değildir.

(c)  Fonksiyonun bir enbüyük noktası (E) bir de enküçük noktası (F), yani iki uç değeri vardır.

53

ÖRNEK

54

55

TEK DEĞİŞKENLİ

FONKSİYONLARIN

DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN

BELİRLENMESİ

56

Teorem

n  f(x), verilen bir S dışbükey kümesinde tanımlı ve ∀ x∈S için ikinci türevi alınabilir bir fonksiyon olsun.

n  f(x) dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≥0 n  f(x) kesin dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için

f’’(x)>0

n  f(x) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≤0 n  f(x) kesin içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için

f’’(x)<0

57

2

2 0d fdx

≥

2

2 0d fdx

≤

dışbükey

fonksiyon

f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon

içbükey

fonksiyon

58

Hem içbükey hem dışbükey

f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon

Ne içbükey

ne dışbükey

fonksiyon

59

ÖRNEK-1

n  f(x)=x2, S=R1 fonksiyonu

n  f’(x)=2x

n  f’’(x)=2

n  ∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur.

60

ÖRNEK-2

n  f(x)=ex, S=R1 fonksiyonu

n  f’(x)= ex

n  f’’(x)= ex

n  ∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon dışbükey bir fonksiyondur.

61

ÖRNEK-3

n  , S=(0,∞) fonksiyonu

n  ∀ x∈S için f’’(x) ≤0 olduğundan fonksiyon içbükey bir fonksiyondur.

x)x(f =

x21

)x('f = 2/3x41

)x(''f −−=

62

ÖRNEK-4

n  f(x)=ax+b, S=R1 fonksiyonu

n  f’(x)= a

n  f’’(x)= 0

n  ∀ x∈S için f’’(x) = 0 olduğundan fonksiyon hem dışbükey hem içbükey bir fonksiyondur.

63

ÖRNEK-5

n  f(x)=x(x-2)2 , ∀ x≥0

n  f’(x)=3x2-8x+4

n  f’’(x)=6x-8

n  Bazı x≥0 için f’’(x) ≥0, bazı x≥0 için f’’(x) ≤0 olduğundan fonksiyon ne içbükey ne dışbükey bir fonksiyondur.

64

ÇOK DEĞİŞKENLİ

FONKSİYONLARIN

DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN

BELİRLENMESİ

65

TANIM: Kısmi türev

n  X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun xi’ye göre kısmi türevi izleyen şekilde tanımlanır:

h)  x,  ...  ,  x...,  ,  x,f(x    -­‐    )  x...,  h,  x...,  ,  x,(x  f

Limx)x(f ni21ni21

0hi

+=

∂

∂→

66

TANIM: Hessian Matrisi

n  X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun Hessian matrisi izleyen şekilde tanımlanır.

nnji

2

f xxf

H×⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂=

67

nnji

2

f xxf

H×⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂=

nn2

n

2

2n

2

1n

2

n2

2

22

2

12

2n1

2

21

2

21

2

n21f

xf

...xxf

xxf

............xxf...

xf

xxf

xxf

...xxf

xf

)x,...,x,x(HH

×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

==

68

n  Eğer verilen bir noktada f(X)’in ikinci kısmi türevleri var ve f(X) bu noktalarda sürekli ise, ∀ i ve j için;

ij

2

ji

2

xxf

xxf

∂∂

∂=

∂∂

∂

n  Hf, simetrik ve kare bir matristir.

69

ÖRNEK: f(x1, x2)=x13+2x1x2+x2

2

212

22

11

x2x2xf

                           x2x3xf

+=∂

∂+=

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

22

2x6)x,x(H

121

70

Tanım: Asal minör

n  Bir nxn boyutlu kare matrisin k. asal minörü, son (n-k) satırın ve (n-k) sütunun matristen çıkarılmasıyla elde edilen (kxk) boyutlu matrisin determinantıdır.

71

ÖRNEK-1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

411

121

112

A

22A            minör  asal  Birinci 1 ==

31421

12A            minör  asal  İkinci 2 =−=

−

−=

6

411

121

112

A            minör  asal    Üçüncü 3 =

−−

−−

−−

=

72

ÖRNEK-2 f(x1, x2)=x1

3+2x1x2+x22

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

22

2x6)x,x(H

121

11211 x6x6)x,x(H ==Birinci asal minör

İkinci asal minör 4x1222

2x6)x,x(H 1

1212 −==

73

Tanım : Bir matrisin belirliliği

n  A, nxn boyutlarında kare ve simetrik bir matris olsun. n  A matrisi pozitif belirlidir ⇔ A’nın tüm asal minörleri >0 n  A matrisi pozitif yarı belirlidir ⇔ A’nın tüm asal

minörleri ≥0 n  A matrisi negatif belirlidir ⇔ A’nın k. mertebe asal

minörü (-1)k ile aynı işareti taşıyorsa (Asal minörlerin işareti (- , +, -, +, ...) şeklinde ise)

n  A matrisi negatif yarı belirlidir ⇔ A’nın her tek sıralı asal minörü ≤0 ve her çift sıralı asal minörün işareti ≥0 ise ( Sıfırdan farklı her asal minörün işareti (-1)k ile aynı)

n  Yukarıdakilerin dışında bir durum varsa, A matrisi belirsizdir.

74

Tanım: Çok değişkenli bir fonksiyonun dışbükey / içbükeyliği

n  X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan f(X) sürekli ve ∀ X∈S için ikinci derece kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun. n  f(X) dışbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf

pozitif belirli/pozitif yarı belirli ise.

n  f(X) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf

negatif belirli/negatif yarı belirli ise.

75

ÖRNEK-1: f(x1, x2 , x3)=x1

2 + x22 + 2x3

2- x1x2 - x2x3 - x1x3 ; S=R3

xxx4

xxx2

xxx2

xf

123

312

321

i⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=∂

∂

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=

411

121

112

H f

0  22H1 >==

0    31421

12H2 >=−=

−

−=

0  6

411

121

112

H3 >=

−−

−−

−−

=

∀ X∈ S için Hf pozitif belirli olduğundan f(X) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur.

76

ÖRNEK-2: f(x1, x2 )=-x12 -2x2

2 - x1x2 ; S=R2

 xx4

xx2

xf

12

21

i ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

−−=

41

12H f

0  22H1 <−=−=

0    71841

12H2 >=−=

−−

−−=

∀ X∈ S için Hf negatif belirli olduğundan f(X) fonksiyonu İÇBÜKEY bir fonksiyondur. (Asal minörlerin işareti : - , +)

77

ÖRNEK-3: f(x1, x2 )=x12 +2x2

2 -3x1x2 ; S=R2

 x3x4

x3x2

xf

12

21

i ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

43

32H f

0  22H1 >==

0  19843

32H2 <−=−=

−

−=

Asal minörlerin işareti : + , - olduğundan f(X) fonksiyonu belirli değildir. (Ne içbükey ne dışbükey)

78

ÖRNEK-4: f(x1, x2 )=x12 + 2x1x2 + x2

2 ; S=R2

 x2x2

x2x2

xf

21

21

i ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

+=

∂

∂

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

22

22H f

0  22H1 >==

04422

22H2 =−==

∀ X∈ S için Hf pozitif yarı belirli olduğundan f(X) fonksiyonu DIŞBÜKEY bir fonksiyondur.

79

ÖRNEK-5:

80

ÖRNEK-6:

H f =

−1x12 0

0 −20x22

"

#

$$$$$

%

&

'''''

81

ÖRNEK-7:

n  İkinci kısmi türevlerin hepsi sıfırdır. n  Hf(X) hem pozitif yarı belirli, hem de negatif yarı

belirli olduğundan, f(X) fonksiyonu hem içbükey hem dışbükey bir fonksiyon yani doğrusal bir fonksiyondur.