economia financeira unidade 4. medição da performance de um portefolio a partir do modelo capm...
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Economia FinanceiraUnidade 4
. Medição da performance de um portefolioa partir do modelo CAPM
Avaliação da performance:Selectivity
Market to Time
27-04-23 Economia Financeira - MEMBF/MEIE 1
27-04-23 Economia Financeira - Mestrado em Economia Carlos Arriaga Costa 2
Avaliação da Performance• Em que medida o resultados de um porfólio são anormalmente
elevados?
• O que se entende por anormalmente elevado ?– Mercado ajustado, ou modelo de mercado ajustado? – Rácio de Sharpe como medida de recompensa do risco.
• Problemas:
– Elevado número de medidas. – Diferentes medidas podem levar a diferentes implicações na
avaliação da performance.
Medição da performance de um portfolioa partir do modelo CAPM
e do modelo APT
• Medidas de Performance com risco ajustado.
• Sharpe Index• Jensen Index• Treynor Index•
• Medidas CAPM quando o índice de mercado é ineficiente.
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Medição da performance de um portfolioa partir do modelo CAPM
• Como determinar se um investidor obteve retornos elevados devido à sua “boa “ gestão ou apenas devido a uma situação de elevado risco? Como poderemos selecionar a performance de um investidor tendo em conta o risco ajustado?
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Três medidas de performance com risco ajustado baseado no CAPM
– Pressuposto: (1) A CML e a SML são aplicáveis ao preço dos títulos. (2) Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco. (3) A construção da CML e da SML é função da informação pública disponível.
– Dados os pressupostos indicados , os investidores poderão utilizar informação particular autorizada para identificar títulos que estejam sub avaliados ou sobre avaliados.
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Índice de Jensen (também designado por Jensen’s Alpha)
• O índice de Jensen é a distância vertical da SML.• Avaliação dos retornos esperados:
• Avaliação dos retornos passados
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SML na Esperados esperados Retornos Retornos
)β]r)[E(r(r )E(r J jFMFjj
]β)rr(r[rJ jFMFj
Índice de Jensen (2)
• O índice de Jensen é sensível à dimensão do excesso de retornos mas não à dimensão da variância residual (isto é, será que o portefolio se encontra bem diversificado?)
• Desde que o beta é uma medida de risco:– Apenas o risco sistemático é relevante e não a
a variância residual.– O índice de Jensen tanto pode ser utilizado
para títulos individuais como para portefolios. (Não se espera que o títulos individuais se encontrem diversificados)
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Índice de Jensen :
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02468
1012141618
0 1 2 3
Retornos esperados
SML
Beta
+Jj
-JjE(rM)
rF
Índice de Treynor
• O índice de Treynor é o declive da linha que passa pela taxa sem risco e pelo valor esperado do retorno do portfolio, dado um determinado risco. Pode ser assim definido como o prémio de risco ganho por cada unidade de risco, sendo o Beta a medida do risco.
• Avaliação dos retornos esperados:
• Avaliação dos retornos passados:
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Índice de Treynor - 2
• Semelhanças com o índice de Jensen : Sendo beta a medida de risco, o
índice de Treynor (tal como o índice de Jensen) ignora a variância residual– Sendo o beta a medida de risco, aplica-
se tanto a portefolios como a títulos individuais.
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Índice de Treynor :
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Retornos esperados
Beta
A
B
C
SML
TA > TB > TC
Índice de Treynor versus índice de Jensen
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0
4
8
12
16
20
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Retorno Esperado
Beta
A
C
B
SML
Vantagens do índice de Treynor relativamente ao índice de Jensen
• O índice de Treynor tem em conta o excesso de retornos quando se faz um ranking de alternativas (pois tem em conta o risco medido através do beta).
• Exemplo:– Um investidor pode pedir emprestado à taxa sem risco,
investindo no título (A) com vista à obtenção do portfolio (C). Nota: o portfolio (C) domina o título (B):
– E(rC) > E(rB) ainda que C = B
• Índice de Treynor Versus Índice deJensen :
– TA > TB embora JA = JB
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Índice de Sharpe
• O índice de Sharpe é o declive da linha que passa pela taxa sem risco e pelo valor esperado do retorno do portfolio, dado um determinado risco (tal como o indice de Treynor). No entanto, pode ser assim definido como o prémio de risco ganho por cada unidade de risco, sendo o risco do portfolio σ (p) a medida do risco.
• Avaliação dos retornos esperados:
• Avaliação dos retornos passados:
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Índice de Sharpe (Continuação)
O índice de Jensen é sensível à dimensão do excesso de retornos e à dimensão da varância residual (isto é, saber se o portefólio se encontra bem diversificado)
• Nota: Tendo em conta o desvio padrão, o índice de sharpe só faz sentido se aplicado a portfolios e não a títulos em termos individuais.
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Índice de Sharpe
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0
4
8
12
16
0 10 20 30
Retornos Esperados
Desvio padrão dos retornos σ(p)
CMLA M
B
SA > SM > SB
Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas não pedir emprestado à taxa sem risco.
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0
0,25
0 0,480
0,25
0 0,5 1 1,5
E(r) E(r)
(r)
E(rM) E(rM)
E(rZ) E(rZ)
SML
LM
X
rF
Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas não pedir emprestado à taxa sem risco
• A CML é: (rF para L, M e X)• De acordo com o índice de Sharpe :
Notar que Sp,( L) > Sp,(M) > Sp,(X)
ainda que, L, M, e X, se encontrem na mesma CML.
Por outro lado, o indice de Sharpe encontra-se enviesado em alta para portfolios de baixo risco e enviesado em baixa para portfolios de elevado risco . Por outro lado, não seencontra maneira de corrigir este roblema no índice de Sharpe.
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Medidas de CAPM quando se pode emprestar mas não pedir emprestado à taxa sem risco
• Se o índice de Sharpe é dificil de aplicar na correcção desta situação, o índice de Jensen e de Treynor pode ser modificado:
• Índice de Jensen revisto:
• Índice de Treynor revisto:
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)β)]E(r)[E(r)(E(r )E(r J jZMZjj
j
Zjj β
)E(r)E(rT
)β)]E(r)[E(r)(E(r )E(r J jZMZjj
Medidas do CAPM quando o índice de mercado é ineficiente
• O índice de mercado é ineficiente, na medida em que os títulos e portfolios se encontram acima ou abaixo da SML. Por outro lado, não se pode afirmar se a posição relativa à SML é devido à performance ou à ineficiência do índice de mercado.
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Medidas do CAPM quando o índice de mercado é ineficiente
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0
0,25
0 0,480
0,25
0 0,5 1 1,5
E(r)
E(rM)
E(rz)
M
(r)
E(rM)
E(rz)
E(r)
M’
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EficiênciaSerão os mercados realmente eficientes?• Alguns gestores conseguem ultrapassar as rentabilidade
de mercado por longos perio de tempo e os investidores encomtram-se dispostos a pagar caro as suas análises.
• Resultados anormais podem não ser muito elevados mas o suficiente para causar ruido. – Os mercados serão aproximadamente eficientes (“nearly
efficient”)• Há evidência empírica de situações anormais.• Efeito ano, efeito dimensão de empresa, efeito
momento,etc. • Também há evidência empírica de gestão activa.
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Market Timing• O que é market timing?
– Ajustar os ponderadores da carteira de acordo com uma antecipação (previsão) dos movimentos no período seguir. (EX) Modificação dos ponderadores entre acções, obrigações e instrumentos do mercado monetário.
– Resultados: rentabilidades mais elevadas, risco mais baixo.
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Alguns aspectos de Market Timing
• Timing (antecipação) é muito difícil de analisar.
• Timing (antecipação) pode adicionar risco ao investimento, no sentido em que potencia eventuais ganhos ou perdas.
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Hypothetical Returns and Market Timing
1 +10% +40% +40% +10%2 +8% -20% +8% -20%3 +12% +50% +50% +12%4 +6 -10% +6% -10%
Total +36% +60% +104% -8%Ave.
Return+9% +15% +26% -2%
Period Treasury bills
Common stocks
Correct guess
Incorrect guess
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rrff
rrff
rrMM
Rate of Return for a Perfect Market Timer
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Como analisar capacidade de timing ?• Longo horizonte de tempo • Analisar as respetivas proporções do
portefólio. – Quer em Bull markets quer em bear market – Observar se os gestores ajustam os portefólios
quer nos movimentos de subida quer nos movimentos de descida.
– Baixas rentabilidades de mercado baixo ßeta– Elevadas rentabilidades de mercado elevado
ßeta
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Example of Market Timing
***
*
**
*
*
*
**
**
******
* ***
rrpp - r - rff
rrmm - r - rff
= Steadily increasing the beta= Steadily increasing the betaas the market moves upas the market moves up
Gestão de portefólio activa. selectivity
• Considerar os investimentos em acções sub-avaliadas, ou atividades sub-avaliadas.
• O procedimento de seleção ativa resultará na tomada de um risco não sistemático adicional.
• Equilibrar o portefólio entre um portefólio ativo e passivo.
(Ex) Modelo Treynor/Black
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Treynor-Black Model • Modelo utilizado para melhor combinar portefólios
ativos e pasivos.
– Encontrar uma combinação ótima através de uma medida de combinação valor esperado-risco tal como o índice de Sharpe
– Pressupostos:– Capacidade limitada de escolha de ativos sub-avaliados – Os gestores poderão estimar a rentabilidade esperada e o
risco quer para a carteira ativa quer para a passiva.
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Reward-to-Variability Measure
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Passive Portfolio Passive Portfolio :: Squared Sharpe ratio
m
rfrmESm
2
2
Appraisal Ratio
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Active Portfolio Active Portfolio :: Squared Abnormal return
= Alpha for the active portfolio= Alpha for the active portfolio
= Unsystematic standard= Unsystematic standard deviation for activedeviation for active
eA
eA
2
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M (market: passive)
A (active)PE(r)E(r)
CMLCMLCALCAL
Combined portfolio’s Squared Sharpe ratio
Rf
eA
A
m
rfrmES P
22
2
Treynor-Black Model• Então, o rácio de sharpe pode ser aumentado com esta
capacidade de saber selecionar ativos sub-avaliados. • Declive da nova CAL > CML
(rp-rf)/p > (rm-rf)/p
– P será a carteira que melhor combinará um portefólio passivo e ativo.
– A carteira combinada terá uma rentabilidade eperada mais elevada para o mesmo nível de risco.
– Capacidade baseada numa capacidade de seleção de ativos (selectivity).
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TPC 4• Vários portefólios apresentam as seguintes características:
• Taxa de juro sem risco é igual a 3% e o portefólio de mercado oferece uma rentabilidade esperada de 7,5% com um desvio padrão de 7,5%.
• A. Quer portefólio deverá escolher segundo o rácio de sharpe?• B. Avalie os retornos esperados segundo o índice de Treynor.• C. Avalie os portefólios segundo o índice de Jensen.• D. Faça um comentário sobre os portefólios apresentados.
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R Esperada Desvio padrão Rentabilidade observada
A 6% 5,66% 8%
B 7% 7% 6%
C 8% 9,31% 9%
D 9% 12,06% 8%
E 10% 15% 10%
Conclusão
• Um dos problemas do CAPM é não se poder determinar se a performance é derivada da habilidade do investidor ou à ineficiência do índice de mercado.
• Capacidade de antecipar o mercado e seleccionar ativos pode se revelar uma importante capacidade de gestão de ativos financeiros num mercado imperfeito.
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