economia politica esercizi svolti - didatticaweb
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ECONOMIA POLITICA โ ESERCIZI SVOLTI
1. Elasticitร
1.1) Si consideri il seguente mercato delle palle da golf, in cui domanda ed offerta sono
rispettivamente:
๐๐ = 90 โ 2 ๐ โ 2 ๐
๐๐ = โ9 + 5 ๐ โ 2,5๐บ
dove T รจ il prezzo del titanio, un metallo utilizzato per costruire palle da golf, P รจ il prezzo delle palle
da golf e G รจ il prezzo della gomma.
a) Se G = 2 and T = 10, calcolare il prezzo e le quantitร di equilibrio.
b) Ai valori di equilibrio, calcolare l'elasticitร al prezzo della domanda e l'elasticitร al prezzo
della offerta.
Soluzione
a) Una volta effettuate le opportune sostituzioni con i valori assegnati di G e T, le funzioni di
domanda e offerta diventano:
๐๐ = 70 โ 2 ๐
๐๐ = โ14 + 5 ๐
Aggiungiamo inoltre la condizione di equilibrio alle due equazioni precedenti, ovvero:
๐๐ = ๐๐
per cui eguagliando domanda e offerta otteniamo:
70 โ 2 ๐ = โ14 + 5 ๐
84 = 7 ๐
quindi,
๐โ =84
7= 12
e, sostituendo nella funzione di domanda o di offerta, Y* = 70 โ 2 (12) = 46
b) Lโelasticitร al prezzo della domanda รจ definita dalla seguente equazione:
ํ๐ =๐%๐๐
๐%๐=
๐๐๐ ๐๐โ
๐๐ ๐โ=
๐๐๐
๐๐
๐
๐๐
Pertanto, ํ๐ = โ2 (12
46) = โ
24
46= โ0,52
Lโelasticitร al prezzo della domanda รจ definita dalla seguente equazione:
ํ๐ =๐%๐๐
๐%๐=
๐๐๐ ๐๐ โ
๐๐ ๐โ=
๐๐๐
๐๐
๐
๐๐
Pertanto, ํ๐ = 5 (12
46) =
60
46= 1,3
1.2) Supponete che la curva di domanda di mercato del bene Y sia Y = 10 - P.
a) Disegnare la curva di domanda, specificandone le intercette.
b) Calcolare l'elasticitร della domanda al prezzo in due punti distinti della curva di domanda,
ipotizzando che il prezzo di mercato sia P = 4 (punto A) e P = 8 (punto B).
Soluzione
a) Per rappresentare la curva di domanda ponendo il prezzo in ordinata e la quantitร in ascissa,
occorre invertire la funzione di domanda diretta in forma, appunto, inversa:
P = 10 โ Y
Graficamente:
Con intercette P, Y = (10, 10)
b) Se il prezzo รจ pari a 4 (quindi la quantitร domandata รจ pari a 6) lโelasticitร della domanda al
prezzo in tale punto sarร :
ํ๐ =๐%๐๐
๐%๐=
๐๐๐ ๐๐โ
๐๐ ๐โ=
๐๐๐
๐๐
๐
๐๐= โ1 (
4
6) = โ0,66
Se il prezzo รจ pari a 8 (quindi la quantitร domandata รจ pari a 2) lโelasticitร della domanda al
prezzo in tale punto sarร :
ํ๐ =๐%๐๐
๐%๐=
๐๐๐ ๐๐โ
๐๐ ๐โ=
๐๐๐
๐๐
๐
๐๐= โ1 (
8
2) = โ4
1.3) Calcolare il valore dellโelasticitร della domanda al prezzo, per la seguente funzione: ๐ =30
๐
Soluzione
Lโelasticitร al prezzo della domanda รจ definita dalla seguente equazione:
ํ๐ =๐%๐๐
๐%๐=
๐๐๐ ๐๐โ
๐๐ ๐โ=
๐๐๐
๐๐
๐
๐๐
Pertanto,
ํ๐ = โ30
๐2
๐
๐๐= โ
30
๐2
๐
30๐
= โ1
1.4) Calcolare il valore delle elasticitร della domanda rispetto a P1, P2, I (I = reddito), data la funzione
di domanda:
Y = 2000 โ 5 P1 + 2 P2 + 0,02 I con P1 = 300, P2 = 250, I = 5000
Soluzione
Con i dati dellโesercizio, la quantitร domandata รจ pari a:
๐๐ = 2000 โ 5(300) + 2(250) + 0,02(5000) = 1100
Lโelasticitร al prezzo della domanda รจ pari a:
ํ๐๐/๐1 =๐๐๐
๐๐1
๐1
๐๐= โ5
300
1100= โ
1500
1100= โ1,36
Lโelasticitร incrociata della domanda รจ pari a:
ํ๐๐/๐2 =๐๐๐
๐๐2
๐2
๐๐= 2
250
1100=
500
1100= +0,45
e i beni sono sostituti tra loro.
Lโelasticitร della domanda al reddito รจ pari a:
ํ๐๐/๐ผ =๐๐๐
๐๐ผ
๐ผ
๐๐= 0,02
5000
1100=
100
1100= +0,09
e il bene รจ normale.
1.5) Un bene inferiore ha una elasticitร della domanda rispetto al reddito pari a 0,5 in valore assoluto.
Partendo da un punto in cui il reddito I = 10 e la quantitร Y = 20, si ipotizzi una variazione positiva
del reddito pari a 5. Quale รจ il nuovo valore di Y?
Soluzione
Lโelasticitร della domanda al reddito รจ pari a:
ํ๐๐/๐ผ =๐๐๐
๐๐ผ
๐ผ
๐๐
Un bene inferiore รจ caratterizzato da una elasticitร al reddito negativa, perchรฉ se il reddito aumenta,
il consumatore abbandona questa tipologia di beni, ad esempio perchรฉ puรฒ permettersi lโacquisto di
altri beni o semplicemente perchรฉ si ha la possibilitร di accedere ad altri beni. Pertanto, per i beni
inferiori, ํ๐1/๐ผ < 0 = โ0,5. Utilizzando i dati dellโesercizio:
ํ๐1/๐ผ = 0,5 =ฮ๐
5
10
20
ฮ๐ = โ0,5(10) = โ5
Quindi il nuovo valore del bene รจ Y = 15.
2. Funzioni di utilitร - Curve di Indifferenza - Saggio Marginale di Sostituzione
2.1) Data una funzione Cobb Douglas ๐(๐1, ๐2) = ๐1๐ผ๐2
๐ฝ
a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).
b) Nel caso in cui ๐ผ = ๐ฝ = 1, quindi ๐(๐1, ๐2) = ๐1๐2, trovare l'equazione che definisca le
curve di indifferenza.
Soluzione
a) Il Saggio Marginale di sostituzione indica il coefficiente angolare della curva di indifferenza ed รจ
pari al rapporto tra la variazione del consumo del bene 2 (ฮY2) e la variazione del consumo del bene
1 (ฮY1). Lungo una curva di indifferenza, dove lโutilitร totale di diversi, infiniti, panieri di beni รจ la
stessa, le due variazioni, di segno opposto, si compensano esattamente. La variazione di utilitร ,
conseguente alla riduzione (aumento) del consumo del bene 2 รจ esattamente compensata
dallโincremento (riduzione) del consumo del bene 1:
๐๐๐ =ฮ๐2
ฮ๐1
Poichรฉ lโutilitร marginale del bene 1 รจ pari alla variazione di utilitร totale che deriva dalla variazione
del consumo del bene 1, ossia: ๐๐1 =ฮU
ฮ๐1 e, allo stesso modo, lโutilitร marginale del bene 2 รจ pari
alla variazione di utilitร totale che deriva dalla variazione del consumo del bene 2, ossia: ๐๐2 =ฮU
ฮ๐2,
possiamo scrivere che la variazione dellโutilitร totale รจ pari alla variazione della quantitร consumata
del bene 1 moltiplicata per la variazione di utilitร che ne consegue, ฮU = ๐๐1ฮ๐1 e, allo stesso modo
per il bene 2 ฮU = ๐๐2ฮ๐2.
Muovendoci lungo una curva di indifferenza, lโutilitร totale non cambia, quindi ฮU = 0, pertanto la
somma di queste due variazioni รจ nulla:
0 = ๐๐1ฮ๐1 + ๐๐2ฮ๐2
Con semplici passaggi algebrici possiamo quindi indicare il Saggio Marginale di Sostituzione
alternativamente come il rapporto tra le variazioni di quantitร o come il rapporto (inverso) fra le
variazioni di utilitร :
๐๐๐ =ฮ๐2
ฮ๐1= โ
๐๐1
๐๐2
Ora, data una funzione di utilitร generica ๐ = ๐(๐1, ๐2), lโutilitร marginale corrisponde alla derivata
parziale di questa funzione rispetto al bene oggetto di analisi:
๐๐
๐๐1=
๐๐(๐1, ๐2)
๐๐1
Nel caso del nostro esercizio, la funzione di utilitร รจ ๐(๐1, ๐2) = ๐1๐ผ๐2
๐ฝ, quindi le derivate parziali di
questa funzione rispetto a Y1 e a Y2 sono rispettivamente pari a:
๐๐1 =๐๐(๐1,๐2)
๐๐1= ๐ผ๐1
๐ผโ1๐2๐ฝ
๐๐2 =๐๐(๐1,๐2)
๐๐2= ๐ฝ๐1
๐ผ๐2๐ฝโ1
Il rapporto tra queste due derivate parziali corrisponde al saggio marginale di sostituzione (SMS):
๐๐๐ = โ๐ผ๐1
๐ผโ1๐2๐ฝ
๐ฝ๐1๐ผ๐2
๐ฝโ1
E, con semplici operazioni algebriche sugli esponenti otteniamo:
๐๐๐ = โ๐ผ
๐ฝ
๐ฆ2
๐ฆ1
b) Nel caso in cui ฮฑ = ฮฒ = 1, il ๐๐๐ = โ๐2
๐1. Lโequazione che descrive la curva di indifferenza indica
un livello di utilitร costante pari a k per le diverse combinazioni dei due beni, pertanto otteniamo:
๐1๐2 = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
Esplicitando lโequazione per Y2, lโequazione diventa:
๐2 =๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐1 .
2.2) Data una funzione Cobb Douglas ๐(๐1, ๐2) = ๐11 3โ
๐22 3โ
a) Calcolare il saggio marginale di sostituzione (SMS).
b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza.
Soluzione
a) Ripetendo il ragionamento dellโesercizio precedente, il SMS รจ:
๐๐๐ = โ1
2
๐2
๐1
b) La curva di indifferenza Cobb-Douglas ha equazione:
๐11 3โ
๐22 3โ
= ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
che, esplicitata per Y2 diventa:
๐2 = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ3 2โ
๐1โ1 2โ
2.3) Un consumatore ha una funzione ๐(๐1, ๐2) = ๐1 + 2๐2
a) Come definiamo i beni Y1 e Y2?
b) Trovare l'equazione che definisca le curve di indifferenza e fornire una
rappresentazione grafica.
c) Calcolare il saggio marginale di sostituzione.
Soluzione
a) In questo caso i beni sono perfetti sostituti e sono rappresentati da una curva di indifferenza
che evidenzia una relazione di sostituibilitร costante (lineare) fra i due beni.
b) Lโequazione che descrive la curva di indifferenza indica un livello di utilitร costante k per le
combinazioni dei due beni: ๐1 + 2๐2 = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ . Esplicitando lโequazione per Y2 diventa:
๐2 =๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
2โ
1
2๐1
Come detto, questa equazione (di primo grado) indica una relazione lineare tra Y1 e Y2, ovvero
le preferenze del consumatore esprimono una sostituibilitร costante tra i due beni.
La rappresentazione grafica delle curve di indifferenza, con valori di utilitร rispettivamente
pari a ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 10 e ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 20 รจ:
c) il Saggio Marginale di Sostituzione corrisponde al coefficiente angolare della retta espressa
al punto precedente, ed รจ:
๐๐๐ =๐๐2
๐๐1= โ
1
2
2.4) Un consumatore ha una funzione del tipo ๐(๐1, ๐2) = ๐๐๐{2๐1, ๐2}
a) Quali sono le caratteristiche dei beni ๐1 ๐ ๐2?
b) Calcolare il SMS della funzione.
c) Rappresentare graficamente la generica curva di indifferenza.
Soluzione
a) In questo caso i beni sono perfetti complementi e sono rappresentati da una curva di
indifferenza che evidenzia la relazione di complementarietร tra i due beni. Qualsiasi paniere
che contenga una quantitร maggiore di uno dei due beni, non offre utilitร maggiore al
consumatore. Ad esempio, nel caso in cui lโindividuo desideri due cucchiaini di zucchero per
ogni tazza di caffรจ, avere a disposizione una quantitร maggiore di zucchero, dato che dispone
di unโunica tazza di caffรจ, non aumenta lโutilitร dellโindividuo e rappresenta uno spreco.
Quindi il rapporto con cui utilizzerร i due beni (zucchero e caffรจ) รจ costante.
b) L'utilitร marginale del bene 1 รจ: ๐๐1 = {0 ๐ ๐ 2๐ฆ1 > ๐ฆ2
2 ๐ ๐ 2๐ฆ1 < ๐ฆ2
L'utilitร marginale del bene 2 รจ: ๐๐2 = {1 ๐ ๐ 2๐ฆ1 > ๐ฆ2
0 ๐ ๐ 2๐ฆ1 < ๐ฆ2
Il SMS รจ: ๐๐๐ = {0 ๐ ๐ 2๐ฆ1 > ๐ฆ2
โ ๐ ๐ 2๐ฆ1 < ๐ฆ2
c) Le curve di indifferenza hanno forma ad L:
3. Effetto Prezzo, Effetto Sostituzione, Effetto Reddito
3.1) Le preferenze di un consumatore sono rappresentate dalla funzione di utilitร di tipo Cobb
Douglas ๐(๐1, ๐2) = ๐11 2โ
๐21 2โ
. Il reddito disponibile รจ I = 100 ed i prezzi dei beni 1 e 2 sono P1 = 10
e P2 = 10.
a) Si calcolino le generiche funzioni di domanda;
b) Si calcoli il paniere ottimo con i dati forniti;
c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso P1โ = 5;
d) Nel passaggio dal paniere ottimo del punto b) al paniere ottimo del punto c) si calcoli
l'effetto prezzo e lo si scomponga nellโeffetto di sostituzione e di reddito
e) Rappresentare graficamente lโesercizio
Soluzione
a) Le generiche funzioni di domanda si ottengono risolvendo il problema di massimizzazione
vincolato del consumatore, dove la scelta ottima deve consentire il massimo livello di utilitร
derivante dal consumo dei beni che possiamo acquistare con un dato reddito a disposizione e
con prezzi di mercato dei beni che lโindividuo non puรฒ modificare. In altri termini occorre
risolvere il seguente problema:
๐๐ด๐ ๐(๐1, ๐2) = ๐1๐ผ๐2
(1โ๐ผ)
๐ ๐ข๐ ๐ผ = ๐1๐1 + ๐2๐2
Dalla prima espressione ricaviamo la curva di indifferenza, mentre la seconda esprime il
vincolo di bilancio. Se uguagliamo lโinclinazione della curva di indifferenza con quella del
vincolo di bilancio e poniamo a sistema questa uguaglianza con il vincolo di bilancio, stiamo
rispettando la condizione di equilibrio per cui le preferenze relative del consumatore nella
scelta dei due beni, indicate dal saggio marginale di sostituzione, debbano eguagliare il saggio
di sostituzione fra i due beni per il mercato, dato dal rapporto tra i prezzi dei beni. Poichรฉ i
prezzi dei beni sono dati (e quindi รจ fissato anche il loro rapporto), nel caso in cui P1 = 2 e P2
= 1 (quindi โ๐1
๐2= โ2), il consumatore troverebbe conveniente modificare la combinazione
prescelta, se ad esempio fosse disposto a rinunciare a 4 unitร di Y2 per ottenere una unitร
aggiuntiva di Y1 (quindi ๐๐๐ =โ๐2
โ๐1= โ4). Infatti, rinunciare ad acquistare 4 unitร di Y2
permette di risparmiare 4 euro, con cui poter comprare 2 unitร di Y1 (piรน di quanto
accetterebbe in base alle sue preferenze). La corrispondenza grafica di questo ragionamento
consiste nel cosiddetto vincolo di tangenza, in cui la retta di bilancio e la curva di indifferenza
sono tangenti fra loro, cioรจ hanno lo stesso coefficiente angolare. Dobbiamo perรฒ aggiungere
anche il vincolo di bilancio come condizione di livello, perchรฉ tale vincolo rappresenta tutti i
panieri di beni che il consumatore puรฒ acquistare dati i prezzi dei beni e il reddito nominale
(la quantitร di moneta) a disposizione. Il sistema di due equazioni e due incognite รจ quindi
dato da:
{๐๐๐ =
๐1
๐2
๐ผ = ๐1๐1 + ๐2๐2
{
๐ผ
1 โ ๐ผ
๐1
๐2=
๐1
๐2
๐ผ = ๐1๐1 + ๐2๐2
e, risolvendo per sostituzione, ossia esplicitando Y1 dalla prima equazione e sostituendola
nella seconda otteniamo le funzioni di domanda:
๐1โ = ๐ผ
๐ผ
๐1 ๐2
โ = (1 โ ๐ผ)๐ผ
๐2
b) Con i dati a disposizione il paniere ottimo รจ:
๐1โ = 0,5
100
10= 5 ๐2
โ = 0,5100
10= 5
c) Nel caso P1โ = 5, il paniere ottimo diventa:
๐1๐ = 0,5
100
5= 10 ๐2
๐ = 0,5100
10= 5
d) Lโeffetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del suo prezzo
P1:
EP = ๐1๐ โ ๐1
โ = 10 โ 5 = 5
Al variare di P1, tuttavia, si modificano contemporaneamente sia il rapporto tra i prezzi dei
beni (๐1
๐2), sia il reddito reale (la quantitร di beni che puรฒ essere acquistata con una data somma
monetaria). Pertanto ipotizziamo, seguendo il ragionamento di Slutzky, che il reddito
monetario del consumatore subisca una variazione tale da lasciare invariato il reddito reale.
In questo caso, dato che P1 diminuisce, passando da 10 a 5, il reddito monetario sufficiente ad
acquistare le quantitร corrispondenti allโequilibrio iniziale diminuirร anchโesso. Il reddito
compensato (Iโ) sarร quindi pari a:
Iโ = 5 * 5 + 10 * 5 = 75
Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1โ = 5 e Iโ = 75 sarร pari a:
๐1๐ = 0,5
75
5= 7,5
Lโeffetto sostituzione corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del solo
prezzo relativo (๐1
๐2) ed รจ pari a:
ES = ๐1๐ โ ๐1
โ = 7,5 โ 5 = 2,5
Dato lโeffetto prezzo e lโeffetto sostituzione possiamo trovare per differenza lโeffetto reddito:
ER = EP โ ES = 5 โ 2,5 = 2,5
e)
3.2) Un consumatore ha una funzione ๐(๐1, ๐2) = ๐1 + ๐2. Il reddito disponibile รจ I=100 ed i prezzi
dei beni 1 e 2 sono P1=10 e P2=20.
a) Si calcolino le generiche curve di indifferenza generate da tale funzione;
b) Si calcoli il paniere ottimo con i dati forniti;
c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso P1โ = 15;
d) Determinare l'effetto prezzo e la sua scomposizione in effetto sostituzione ed effetto
reddito
e) Si calcoli un nuovo paniere ottimo nel caso P1โ = 25;
f) Determinare l'effetto prezzo e la sua scomposizione in effetto sostituzione ed effetto
reddito
3.2)
a) Le generiche curve di indifferenza, nel caso di perfetti sostituti, sono date da:
๐2 =๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐ผโ
1
๐ผ๐1
in questo caso, la curva di indifferenza รจ data dalla funzione:
๐2 = ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ โ ๐1
con coefficiente angolare (SMS) pari a -1.
b) Qui la sostituibilitร fra i due beni รจ costante non solo per il mercato ma anche nelle preferenze
del consumatore (questo individuo รจ ugualmente soddisfatto da una pallina di pistacchio o da
una pallina di malaga, per cui sarebbe indifferente di fronte ad un cono con due palline di
pistacchio o due palline di malaga o una di malaga e una di pistacchio). Quindi SMS = -1,
mentre ๐1
๐2= โ
10
20= โ
1
2, ossia Y1 costa la metร di Y2 e verrร acquistato solo Y1. Il paniere
ottimo รจ:
๐1โ = 10, ๐2
โ = 0
c) Con P1โ = 15, il rapporto tra i prezzi diventa ๐1
๐2= โ
15
20= โ
3
4, e ancora Y1, che il consumatore
รจ disposto a scambiare in rapporto uno ad uno con Y2, costa meno di Y2 per cui lโindividuo
vorrร acquistare ancora solo Y1, pur potendone comprare una quantitร inferiore. Il nuovo
paniere ottimo nel caso P1โ = 15 sarร pari a:
๐1๐ = 6,6, ๐2
๐ = 0
d) Lโeffetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del suo prezzo
P1:
๐ธ๐ = ๐1๐ โ ๐1
โ = 6,6 โ 10 = 3,3
Come nel caso dellโesercizio precedente, il reddito compensato (Iโ) che consente di acquistare
il paniere iniziale con il nuovo livello dei prezzi sarร pari a:
Iโ = 15 * 10 + 20 * 0 = 150
Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1โ = 15 e Iโ = 150 sarร pari a:
๐1๐ =
150
15= 10
Lโeffetto sostituzione corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y1 al variare del solo
prezzo relativo (๐1
๐2) ed รจ pari a:
ES = ๐1๐ โ ๐1
โ = 10 โ 10 = 0
Dato lโeffetto prezzo e lโeffetto sostituzione possiamo trovare per differenza lโeffetto reddito:
Effetto reddito = Effetto prezzo โ Effetto sostituzione = ER = -3,3
e) Con P1โ = 25, il rapporto tra i prezzi diventa ๐1
๐2= โ
25
20= โ
5
4, e adesso Y1, che il consumatore
รจ sempre disposto a scambiare in rapporto uno ad uno con Y2, dato il suo SMS, costa piรน di
Y2 per cui lโindividuo vorrร acquistare ancora solo Y2, modificando la propria scelta e
sostituendo completamente Y1 con Y2. Il nuovo paniere ottimo nel caso P1โ = 25 รจ:
๐1๐ = 0, ๐2
๐ = 5
Ripetendo il ragionamento fatto in precedenza, lโeffetto prezzo sarร pari a:
๐ธ๐ = ๐1๐ โ ๐1
โ = 0 โ 10 = โ10
il reddito compensato (Iโ) che consente di acquistare il paniere iniziale con il nuovo livello
dei prezzi sarร pari a:
Iโ = 25 * 10 + 20 * 0 = 250
Il livello di consumo ottimale di Y1 con P1โ = 25 e Iโ = 250 sarร pari a:
๐1๐ = 0
Lโeffetto sostituzione รจ pari a:
๐ธ๐ = ๐1๐ โ ๐1
โ = 0 โ 10 = โ10
Lโeffetto reddito, pari alla differenza tra effetto prezzo ed effetto sostituzione รจ quindi:
ER = 0
3.3) Un consumatore ha una funzione del tipo ๐(๐1, ๐2) = ๐๐๐{๐1, 2๐2}.
a) Si calcolino le generiche funzioni di domanda;
b) Si calcoli il paniere ottimo con reddito disponibile รจ I = 360 e prezzi dei beni 1 e 2,
rispettivamente, P1 = 80 e P2 = 20
c) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso Iโ = 450
d) Si calcoli il nuovo paniere ottimo nel caso Iโ = 450 e P1โ = 65
e) Si calcoli l'effetto prezzo e lo si scomponga nellโeffetto di sostituzione e di reddito nel caso in
cui Iโ = 360, P1 = 80, P2โ = 80
Soluzione
a) Nel caso di beni complementari, dove la funzione di utilitร รจ:
๐(๐1, ๐2) = ๐๐๐{๐1, ๐ผ๐2}
il consumatore sceglierร una combinazione costante di beni, dove ๐1 = ๐ผ๐2, perchรฉ ogni unitร
di Y1 si accompagna sempre con ฮฑ unitร di Y2. La scelta ottima di un consumatore che voglia
massimizzare la propria utilitร si trova ponendo a sistema questo rapporto costante tra i due
beni con il vincolo di bilancio:
{๐1 = ๐ผ๐2
๐ผ = ๐1๐1 + ๐2๐2
e, risolvendo per sostituzione, troviamo le generiche funzioni di domanda per i due beni:
๐1โ =
๐ผ๐ผ
๐ผ๐1+๐2 ๐2
โ =๐ผ
๐ผ๐1+๐2
Data la funzione di utilitร dellโesercizio:
๐(๐1, ๐2) = ๐๐๐{๐1, 2๐2}
le generiche funzioni di domanda per i due beni sono quindi pari a:
๐1โ =
2๐ผ
2๐1+๐2 ๐2
โ =๐ผ
2๐1+๐2
b) Sostituendo i valori del reddito disponibile (I = 360) e dei prezzi dei beni (P1 = 80 e P2 = 20),
il paniere ottimo รจ dato da:
๐1โ =
2(360)
2(80)+20=
720
180= 4 ๐2
โ =360
2(80)+20=
360
180= 2
c) Nel caso in cui il reddito aumenti e sia pari a Iโ = 450, il paniere ottimo diventa:
๐1๐ =
2(450)
2(80)+20=
900
180= 5 ๐2
๐ =450
2(80)+20=
450
180= 2,5
Entrambi i beni possono essere definiti beni normali perchรฉ allโaumentare del reddito,
aumenta il loro consumo.
d) Nel caso Iโ = 450 e P1โ = 65, il paniere ottimo รจ:
๐1๐ ๐ =
2(450)
2(65)+20=
900
150= 6 ๐2
๐ ๐ =450
2(65)+20=
450
150= 3
e) Considerando il caso rappresentato al punto b, e modificando il prezzo del bene 2, quindi con
Iโ = 360, P1 = 80 P2โ = 80, il paniere ottimo diventa:
๐1๐ =
2(360)
2(80)+80=
720
240= 3 ๐2
๐ =360
2(80)+80=
360
240= 1,5
Lโeffetto prezzo corrisponde alla variazione nel consumo del bene Y2 al variare del suo prezzo
P2:
๐ธ๐ = ๐2๐ โ ๐2
โ = 1,5 โ 2 = โ0,5
il reddito compensato (Iโ) che consente di acquistare il paniere iniziale con il nuovo livello
dei prezzi sarร pari a:
Iโ = 80 * 4 + 80 * 2 = 480
Il livello di consumo ottimale di Y2 con P1โ = 80 e Iโ = 480 sarร pari a:
๐2๐ =
480
2(80) + 80=
480
240= 2
Lโeffetto sostituzione รจ pari a:
๐ธ๐ = ๐2๐ โ ๐2
โ = 2 โ 2 = 0
Nel caso di beni complementari, il consumatore non sostituisce i beni fra loro, ma li consuma
sempre in rapporto costante, pertanto lโeffetto sostituzione รจ sempre nullo.
Lโeffetto reddito, pari alla differenza tra effetto prezzo ed effetto sostituzione รจ quindi:
๐ธ๐ = ๐ธ๐ โ ๐ธ๐ = โ0,5 โ 0 = โ0,5
4. Massimizzazione del profitto / Minimizzazione di costo
4.1) Una piccola azienda agricola produce parmigiano, YP, che vende al prezzo PP=12, allevando
mucche da latte. Per nutrire le mucche utilizza foraggio (F) e (insilato di) mais (M). La funzione di
produzione di questa azienda รจ di tipo Cobb-Douglas e viene rappresentata come:
๐๐ = 0,5๐น0,5๐0,5
Per rappresentare i costi di produzione, avendo a disposizione un budget di 2300 euro al mese,
lโazienda sostiene spese fisse pari a 500 euro, mentre Foraggio e Mais vengono acquistati con prezzi
rispettivamente pari a PF = 1 e PM = 4. Determinare:
a) la funzione di isocosto di questa azienda
b) il prodotto marginale dei due fattori produttivi
c) il saggio marginale di sostituzione tecnico
d) la quantitร di foraggio e mais che deve essere acquistata per massimizzare il profitto
e) la quantitร di parmigiano che lโazienda produce
f) il profitto complessivo ottenuto da questa azienda
Soluzione
a) la funzione di isocosto di questa azienda si ricava dal totale delle spese sostenute
dallโimpresa che includono i costi fissi, che abbiamo ipotizzato pari a 500, e i costi
variabili dovuti allโimpiego dei fattori produttivi (foraggio e mais) il cui costo unitario
รจ pari a PF = 1 e PM = 4. Pertanto:
2300 = 500 + F + 4 M
Costo totale = 2300
Costo fisso = 500
Costo variabile = PF F + PM M
1800 = F + 4M
๐ = 450 โ1
4๐น
b) Indicando con Y la quantitร di un dato bene prodotta da unโimpresa e con X1 e X2 le
quantitร di fattori produttivi (input) che vengono impiegate per produrre il bene stesso,
il prodotto marginale del fattore produttivo foraggio รจ pari al rapporto tra la variazione
della produzione totale e la variazione dellโimpiego del fattore, ossia: ๐๐๐น =ฮY
ฮF e,
allo stesso modo, il prodotto marginale del fattore produttivo mais รจ pari alla
variazione della produzione totale conseguente alla variazione dellโimpiego del
fattore, ossia: ๐๐๐ =ฮY
ฮM. Data la funzione di produzione ๐๐ = 0,5๐น0,5๐0,5, il
prodotto marginale corrisponde alla derivata parziale della funzione per il singolo
fattore, quindi:
๐๐๐น =1
4๐นโ0,5๐0,5
๐๐๐ =1
4๐น0,5๐โ0,5
c) Ipotizzando che lโimpresa possa modificare liberamente (ossia senza incorrere in costi
dovuti al cambiamento del mix di tecniche produttive utilizzate) lโimpiego dei suoi
input, possiamo costruire una relazione che rappresenti le diverse possibilitร
produttive rispettando la condizione per cui ogni combinazione di input produca lo
stesso livello di output. Questa relazione viene chiamata isoquanto e, poichรฉ la
metodologia utilizzata per descrivere la massimizzazione del profitto dellโimpresa รจ la
stessa usata per il modello della scelta ottima di consumo, cโรจ corrispondenza con la
curva di indifferenza elaborata in precedenza per il consumatore. Il saggio marginale
di sostituzione tecnico indica pertanto il coefficiente angolare dellโisoquanto ed รจ dato
dal rapporto tra la variazione dellโimpiego di un input (ฮF) e la variazione
dellโimpiego dellโinput alternativo (ฮM). Lungo uno stesso isoquanto le due
variazioni, di segno opposto, si compensano esattamente e il livello di produzione รจ
invariato, per cui possiamo rappresentare il saggio marginale di sostituzione tecnico
alternativamente come il rapporto tra le variazioni dei fattori produttivi oppure come
il rapporto (inverso) fra le variazioni dei prodotti marginali:
๐๐๐๐ =ฮM
ฮF= โ
๐๐๐น
๐๐๐
Nel nostro caso:
๐๐๐๐ = โ
14 ๐นโ0,5๐0,5
14 ๐น0,5๐โ0,5
= โ๐นโ1
๐โ1= โ
๐
๐น
d) Dato il vincolo di costo, lโimpresa acquisterร una quantitร di input tale che la
combinazione tecnica dei fattori determinata dal saggio di sostituzione sia coerente
con il costo dei fattori produttivi determinati dal mercato. Deve cioรจ valere anche il
vincolo di tangenza tra il SMST e il rapporto tra i prezzi dei fattori, che graficamente
si rappresenta come tangenza tra curva di isoquanto e retta di isocosto. Risolvendo per
sostituzione il seguente sistema:
{๐
๐น=
1
41800 = ๐น + 4๐
Otteniamo F* = 900, M* = 225
e) la quantitร di parmigiano che lโazienda produce si ricava sostituendo i valori degli
input nella funzione di produzione ed รจ quindi pari a:
๐๐ = 0,5โ225โ900 = 225
f) il profitto complessivo ottenuto da questa azienda รจ pari a:
๐ = 12 โ 225 โ 2300 = 2700 โ 2300 = 400
4.2) Unโimpresa รจ caratterizzata da una funzione di produzione Cobb-Douglas (ฮฑ = 0,5):
๐ = ๐ฟ๐ผ๐พ1โ๐ผ
Nel breve periodo lo stock di capitale รจ fisso e pari a ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = 400, il saggio di salario รจ pari a W = 10, il
prezzo di vendita del bene รจ P = 2 e il tasso di interesse che lโimpresa deve corrispondere sui prestiti
bancari รจ r = 0,05. Calcolare:
a) la funzione del profitto di questa impresa
b) la quantitร di lavoro che massimizza il profitto
c) la quantitร di output prodotta in equilibrio
d) il livello di profitto
e) Rappresentare graficamente i risultati
Soluzione
a) Dato che un fattore produttivo, il capitale, รจ fisso, stiamo considerando un problema
di massimizzazione del profitto nel breve periodo, in cui lโimpresa sceglie solo la
quantitร ottimale dellโaltro fattore produttivo, il lavoro. Si dovrร risolvere il seguente
problema di ottimo vincolato:
๐๐ด๐ ๐ = ๐๐ โ ๐ค๐ฟ โ ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐ ๐ข๐ ๐(๐ฟ, ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) = ๐ฟ๐ผ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ1โ๐ผ
Inserendo il vincolo nella funzione del profitto otteniamo:
๐๐ด๐ ๐ = ๐๐ฟ๐ผ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ1โ๐ผ โ (๐๐ฟ + ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ) = 2๐ฟ0,5โ400 โ [10๐ฟ + 0,05(400)]
b) la quantitร di lavoro che massimizza il profitto si ottiene derivando la funzione del
profitto per L e svolgendo alcune operazioni algebriche sugli esponenti delle potenze:
๐ฟ๐
๐ฟ๐ฟ= 40 โ 0,5๐ฟโ0,5 โ 10 = 0
๐ฟโ0,5 =1
2
๐ฟโ = 4
c) la quantitร di output prodotta in equilibrio si ottiene sostituendo L* nella funzione di
produzione:
๐ = 40,54000,5 = 40
d) il livello di profitto si ottiene sostituendo i valori trovati in precedenza:
๐ = 2โ4โ400 โ [10 โ 4 + 0,05(400)] = 80 โ 40 โ 20 = 20
e) La rappresentazione grafica puรฒ combinare la funzione di produzione (che, per
costruzione ipotizziamo concava e con produttivitร marginale decrescente) con le rette
di isoprofitto (che indicano la relazione tra Y ed L che consente di ottenere lo stesso
livello di profitto). Questโultima sarร data da:
๐ = ๐๐ โ (๐๐ฟ + ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ)
๐ =๏ฟฝฬ ๏ฟฝ + ๐๏ฟฝฬ ๏ฟฝ
๐+
๐ค
๐
4.3) Unโimpresa รจ caratterizzata da una funzione di produzione del tipo:
๐ = 2๐ฟ + ๐พ
Il salario corrisposto ai lavoratori รจ pari a W = 1, il prezzo di vendita del bene รจ P = 2, il saggio di
interesse che lโimpresa deve corrispondere sui prestiti bancari รจ r = 0,2, i costi totali sostenuti
dallโimpresa nel processo produttivo sono pari a CT = 80. Determinare:
a) il prodotto marginale dei due fattori produttivi
b) il saggio marginale di sostituzione tecnico
c) la quantitร di input che deve essere acquistata per massimizzare il profitto
d) la quantitร di output prodotto dallโimpresa
e) il livello di profitto complessivo
Soluzione
a) il prodotto marginale dei due fattori produttivi รจ:
๐๐๐ฟ =โ๐
โ๐ฟ= 2
๐๐๐พ =โ๐
โ๐พ= 1
b) il saggio marginale di sostituzione tecnico รจ:
๐๐๐๐ = โ๐๐๐ฟ
๐๐๐พ= โ2
c) dato che
๐๐๐๐ = โ2 <๐
๐=
1
0,2= 5
lโimpresa produrrร utilizzando solamente lโinput K. La quantitร di K utilizzata dallโimpresa
sarร pari a ๐ถ๐
๐=
80
0,2= 400.
d) la quantitร di output prodotto dallโimpresa รจ:
Y* = 400
e) il livello di profitto complessivo รจ:
๐ = 2 โ 400 โ 0,2 โ 400 = 800 โ 80 = 720
5. Mercati
5.1) In un mercato concorrenziale le curve di domanda e di offerta di breve periodo sono le seguenti:
๐๐ = 5000 โ 1,25๐
๐๐ = 1,25๐
Nel mercato operano n piccole imprese, identiche, tutte con la funzione di costo:
๐ถ๐(๐ฆ๐) = 250 + 250๐ฆ๐2, ๐ = 1,2, โฆ , ๐
Calcolare:
a) i valori di equilibrio di mercato,
b) il surplus del consumatore corrispondente al prezzo di equilibrio,
c) la quantitร prodotta dalla singola impresa in equilibrio,
d) i profitti che realizza ogni singola impresa,
e) il numero di imprese operanti nel mercato nel breve periodo,
f) rappresentate graficamente i risultati ottenuti,
g) il prezzo di equilibrio, la quantitร prodotta da ogni singola impresa e il numero di imprese nel
lungo periodo.
Soluzione
a) lโequilibrio di mercato si ottiene eguagliando le funzioni di domanda e di offerta del mercato,
risolvendo cioรจ il seguente sistema:
{๐๐ = 5000 โ 1,25๐
๐๐ = 1,25๐
๐๐ = ๐๐
Da cui:
5000 โ 1,25๐ = 1,25๐
Quindi Y* = 2.000
E, sostituendo tale quantitร in una delle due funzioni di domanda o di offerta, P* = 2.500
b) il surplus del consumatore (SC) รจ pari alla differenza fra quanto i consumatori sarebbero
disposti a spendere per ottenere 2000 unitร di prodotto e quanto effettivamente spendono:
๐๐ถ =(5000 โ 2500)2000
2= 2500000
c) la quantitร prodotta dalla singola impresa in equilibrio si ottiene risolvendo il problema della
massimizzazione del profitto, considerando che in un mercato di concorrenza perfetta la
singola impresa รจ price-taker. Infatti, poichรฉ la numerositร delle imprese che operano in
concorrenza รจ elevata e tutte producono un bene omogeneo, non vi sono differenze qualitative
fra i beni prodotti in questo mercato, il prezzo viene determinato dalla interazione impersonale
fra i (tanti) consumatori e le (tante) imprese che abbiamo rappresentato al punto a). Risolvendo
il seguente problema:
๐๐ด๐ ๐๐ = ๐โ๐ฆ๐ โ ๐ถ๐(๐ฆ๐) = 2500๐ฆ๐ โ (250 + 250๐ฆ๐2)
mediante lโuso della derivata parziale:
๐ฟ๐๐
๐ฟ๐ฆ๐= 2500 โ 500๐ฆ๐ = 0
Otteniamo
๐ฆ๐โ = 5
d) i profitti che realizza ogni singola impresa sono
๐๐ = 2500(5) โ [250 + (250)2] = 6000
e) ogni impresa produce yi = 5, mentre la quantitร complessiva prodotta nel mercato dalle n
imprese รจ pari a Y = 2000, quindi il numero di imprese nel breve periodo รจ:
๐ =๐โ
๐ฆโ=
2000
5= 400
f) la rappresentazione grafica รจ data da:
g) nel lungo periodo, lโingresso di altre imprese, attratte dallโextraprofitto ottenuto dalle imprese
giร presenti sul mercato comporterร un incremento dellโofferta di beni (graficamente ciรฒ
corrisponde ad uno spostamento verso destra della curva S) con una conseguente riduzione
del prezzo di vendita del bene e della domanda per la singola impresa. Questo processo
continua fino ad annullare lโextraprofitto, quando cioรจ il bene viene venduto ad un prezzo pari
al costo unitario di produzione. La condizione che deve essere rispettata in questo caso รจ che
il costo unitario sia minimo, oppure che il costo unitario uguagli il costo marginale. Data la
funzione di costo totale:
๐ถ๐(๐ฆ๐) = 250 + 250๐ฆ๐2
Il costo marginale รจ:
๐ถ๐ =โ๐ถ๐(๐ฆ๐)
โ๐ฆ๐= 500๐ฆ๐
Il costo unitario รจ:
๐ถ๐ =๐ถ๐(๐ฆ๐)
๐ฆ๐=
250
๐ฆ๐+ 250๐ฆ๐
Pertanto, eguagliando le due funzioni:
500๐ฆ๐ =250
๐ฆ๐+ 250๐ฆ๐
๐ฆ๐2 = 1
๐ฆ๐ = ยฑ1
๐ฆ๐๐ฟ๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
= 1
il prezzo di equilibrio si ottiene sostituendo la quantitร prodotta nel lungo periodo nella
funzione del costo unitario o del costo medio:
PLP = 500
La quantitร domandata dal mercato sarร quindi pari a:
๐๐ = 5000 โ 1,25๐
500 = 5000 โ 1,25๐
๐๐ฟ๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ =4500
1,25= 3600
E il numero di imprese nel lungo periodo sarร :
๐ =๐๐ฟ๐
๐ฆ๐ฟ๐=
3600
1= 3600
5.2) Unโimpresa ha costi di produzione rappresentati dalla seguente funzione:
CT(y) = 2y2 + 98
a) Ricavate il costo unitario (costo medio) e il costo marginale;
b) Se lโimpresa vuole massimizzare i profitti quando p = 40, ricavare quantitร e profitto
ottimali
c) Ricavare la combinazione efficiente di quantitร e prezzo
Soluzione
a) il costo unitario รจ ๐ถ๐ = 2๐ฆ +98
๐ฆ
il costo marginale รจ ๐๐ถ = 4๐ฆ
b) Se lโimpresa vuole massimizzare i profitti quando p = 40, la quantitร di equilibrio รจ:
p = MC 40 = 4๐ฆ y* = 10
e il profitto
๐ = 40(10) โ 2(10)2 โ 98 = 102
c) La combinazione efficiente prevede una quantitร corrispondente al costo unitario minimo.
Questo valore viene ottenuto quando il costo unitario uguaglia il costo marginale:
2๐ฆ +98
๐ฆ= 4๐ฆ
๐ฆ2 =98
2= 49
๐ฆ = ยฑ7
๐ฆ๐ธ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ = 7
Con prezzo pari al costo unitario:
๐ = 2๐ฆ +98
๐ฆ= 2(7) +
98
7= 28
5.3) Unโimpresa in monopolio fronteggia la seguente curva di domanda:
๐ = 120 โ 10๐
Il costo marginale รจ pari a:
๐๐ถ = 10๐
a) Trovare il prezzo e la quantitร prodotta dallโimpresa tale che il profitto sia massimo
b) Trovare il prezzo e la quantitร prodotta se il mercato fosse di concorrenza perfetta
c) Determinare la perdita secca subita dal mercato nel passaggio da un mercato di concorrenza
perfetta ad un mercato di monopolio.
Soluzione
a) Lโimpresa in monopolio rispetta la condizione di massimo profitto MR = CM (ricavo
marginale = costo marginale). Data una domanda lineare (come in questo caso) il ricavo
marginale si ottiene costruendo una funzione con pendenza doppia rispetto alla funzione di
domanda:
๐๐ = 120 โ 20๐
Pertanto:
120 โ 20๐ = 10๐
e la quantitร che massimizza il profitto in monopolio sarร :
๐๐ =120
30= 4
Con prezzo:
๐๐ = 120 โ 10(4) = 80
b) se il mercato fosse di concorrenza perfetta, la condizione di massimo profitto diventa P = CM
(prezzo = costo marginale), perchรฉ in concorrenza, il prezzo di vendita del bene รจ dato, non
varia con la quantitร . Pertanto:
120 โ 10๐ = 10๐
e la quantitร che massimizza il profitto in monopolio sarร :
๐๐ =120
20= 6
Con prezzo:
๐๐ = 120 โ 10(6) = 60
c) La perdita secca subita dal mercato nel passaggio da un mercato di concorrenza perfetta ad un
mercato di monopolio puรฒ essere ricavata graficamente considerando i due punti di equilibrio
trovati in precedenza:
La perdita di surplus del consumatore รจ pari a:
๐๐๐ถ =(80 โ 60)(6 โ 4)
2= 20
La perdita di surplus del produttore รจ pari a:
๐๐๐ =(60 โ 40)(6 โ 4)
2= 20
La perdita di surplus complessiva รจ quindi pari a 40.
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