ejercicio 1

EJERCICIO 5.83. Una barra delgada de peso 𝑊 y longitud 𝐿 se apoya sobre un semicilindro fijo.

¿Cuál es la aceleración angular inicial de la barra cuando se suelta desde el reposo en la posición

indicada? Se desprecia el remozamiento.

SOLUCION:

i. Haciendo el D.C.L. de la barra.

ii. Planteando las ecuaciones de movimiento.

∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦

𝑅2 + 𝑅1 ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦 … (1)

∑ 𝐹𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑥

𝑅1 ∗ sin 𝛼 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑥 … (2)

∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 ∗ 𝛼

−𝑅1 ∗ (𝑎

tan 𝛼−

𝐿

2) + 𝑅2 ∗

𝐿

2∗ cos 𝛼 =

1

12𝑚 ∗ 𝐿2 ∗ 𝛼 … (3)

iii. Por cinemática de cuerpos rígidos.

𝑎𝐺 = 𝑎𝐵 + 𝛼 × 𝑟𝐵/𝐺 + 𝜔2 ∗ 𝑟𝐵/𝐺 (𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑜)

𝑎𝐺 = 𝛼 × 𝑟𝐵/𝐺

𝑎𝐺 = 𝛼𝑘 ×𝐿

2(− cos 𝛼 𝑖 + sin 𝛼 𝑗)

𝑎𝐺 = (−𝐿 ∗ 𝛼

2sin 𝛼) 𝑖 + (−

𝐿 ∗ 𝛼

2cos 𝛼) 𝑗

𝑎𝐺𝑥 = −𝐿 ∗ 𝛼

2sin 𝛼 … (4)

𝑎𝐺𝑦 = −𝐿 ∗ 𝛼

2cos 𝛼 … (5)

iv. Reemplazando la ecuación (4) en (2) se tiene:

𝑅1 ∗ sin 𝛼 = 𝑚 ∗ −𝐿 ∗ 𝛼

2sin 𝛼

𝑅1 = −𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼

2… (6)

v. Reemplazando la ecuación (6) en (3) se tiene:

− (−𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼

2) ∗ (

𝑎

tan 𝛼−

𝐿

2) + 𝑅2 ∗

𝐿

2∗ cos 𝛼 =

1

12𝑚 ∗ 𝐿2 ∗ 𝛼

𝑅2 = (1

cos 𝛼) ∗ (

𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼

6+

𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼

2−

𝑚 ∗ 𝛼 ∗ 𝑎

tan 𝛼)

𝑅2 =𝑚 ∗ 𝛼

6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼) … (7)

vi. Reemplazando las ecuaciones (6),(7) y (5) en (1) se tiene lo siguiente:

𝑅2 + 𝑅1 ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑎𝐺𝑦 𝑚 ∗ 𝛼

6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼) + (−

𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼

2) ∗ cos 𝛼 − 𝑊 = 𝑚 ∗ (−

𝐿 ∗ 𝛼

2cos 𝛼)

𝑚 ∗ 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2−

𝑚 ∗ 𝛼

6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼) + 𝑊 = 𝑚 ∗ (

𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2)

𝑊𝑔

∗ 𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2−

𝑊𝑔

∗ 𝛼

6 ∗ cos 𝛼(4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼) + 𝑊 =

𝑊

𝑔∗ (

𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2)

𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔−

𝛼

6 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼∗ (4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼) + 1 =

𝐿 ∗ 𝛼 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔… (8)

vii. Despejando de la ecuación (8) la aceleración angular 𝛼 se tiene:

1 = 𝛼 ∗ (𝐿 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔−

𝐿 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔+

1

6 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼∗ (4 ∗ 𝐿 −

6 ∗ 𝑎

tan 𝛼))

1 = 𝛼 ∗ (𝐿 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔−

𝐿 ∗ cos 𝛼

2 ∗ 𝑔+

2 ∗ 𝐿

3 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼−

𝑎

𝑔 ∗ sin 𝛼)

Homogenizando las fracciones se tiene:

1 = 𝛼 ∗ (2 ∗ 𝐿 ∗ sin 𝛼 − 3 ∗ 𝑎 ∗ cos 𝛼

3 ∗ 𝑔 ∗ cos 𝛼 ∗ sin 𝛼)

𝛼 =3 ∗ 𝑔 ∗ sin 𝛼

2 ∗ 𝐿 ∗ tan 𝛼 − 3 ∗ 𝑎