el concepto de límite: 11.1 un enfoque numérico y gráfico · 2012-02-09 · el método de la...
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DEFINITION INFORMAL:
El límite de una función es el “valor esperada” de la función
para un valor de x específico.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
¿Cuál es el “valor
esperado” de f(x)
para x = a?
x = a
y = L
El “valor esperado” de
f(x) para x = a es L.
y = f(x)
¿Cómo determinamos el “valor esperada” de la
función para un valor de x específico?
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
1. Por inspección determinamos
que el valor de y que
corresponde a x = a es L.
x = a
y = L y = f(x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
¿Cuál es el valor “esperado” de f(x) para x = 1?
𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑓(𝑥) = 5
f(x)
DEFINICION:
A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L,
si todos los valores de f (x) están cercanos a L para valores
de x muy cercanos a, pero no iguales a a.
limxaf (x) L,
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
¿Cómo determinamos el “valor esperado” de la función
para un valor de x específico?
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
1. Por inspección determinamos
que el valor de y que
corresponde a x = a es L.
2. Observamos los valores
correspondientes a los valores
de x que están antes o después
de x = a.
x = a
y = L
TEOREMA:
A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L, si
• el límite por la izquierda existe
• el límite por la derecha existe y
• ambos límites son iguales a L.
Esto es, si
1)
2) entonces
limxa
f (x) L,
limxa
f (x) L, limxaf (x) L,
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 1
Sea
a) ¿Cuánto es ?
b) ¿Cuál es el límite de a medida que se acerca a ?
2 9( )
3
xf x
x
(3)f
f x 3
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 1: Solución parte a
1.) Como , sustituiremos por , que nos da
la nueva ecuación
2.) Resolvemos ,
Por lo tanto, no existe.
2 9( )
3
xf x
x
3x
23 9(3) .
3 3f
(3)f23 9 9 9 0
(3) .3 3 3 3 0
f
(3)f
2 9( )
3
xf x
x
Limites: Un enfoque numérico y gráfico Práctica 1: Solución parte b)
Primero se acerca a por la izquierda: (examinamos valores menores que 3)
Los valores de la tabla reflejan que es .
Luego dejamos que se acerque a por la derecha: (por valores mayores que 6).
Los valores de la tabla reflejan que es .
Por lo tanto, .
x 3
3x
( )f x
2.5 2.9 2.9992.99
5 5.5 5.9 5.99 5.999
3lim ( )x
f x
6
x 3
43x
( )f x
3.5 3.1 3.01 3.001
7 6.5 6.1 6.01 6.001
3lim ( )x
f x
6
3lim ( ) 6x
f x
2
¿ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3𝑥2−9
𝑥−3 ?
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Observemos la gráfica de
2 9( )
3
xf x
x
f(3) no existe, pero . 3
lim ( ) 6x
f x
Ejemplo 1: Considere la función H dada por
Grafique la función, y determine cada límite, si existe.
a)
limx1H (x) lim
x3H (x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
b)
a) Determinando el límite numéricamente
Primeramente, dejamos que x se acerque a 1 por la
izquierda (o sea por valores menores que -1):
De la tabla observamos que
0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999
H(x)
1x
limx1H (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
2 3 3.6 3.8 3.98 3.998
limx1H (x)Determinar el para
a) Determinar el límite numéricamente (cont.)
Ahora, dejamos que x se acerque a 1 por la derecha
(valores que son mayores que 1):
Observamos que, aparentemente,
2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001
H(x)
1x
limx1H (x) 2.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998
limx1H (x)Determinar el para
a) Determinar el límite numéricamente (conclusión)
Como 1)
y
2)
Podemos concluir que , NO existe.
limx1H (x) 4
limx1H (x) 2
limx1H (x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
limx1H (x)Determinar el para
El Método de la “Pared” :
Si tenemos la gráfica de una función, una alternativa para determinar
el límite es, dibujar una “pared” atravesando el valor donde
queremos determinar el límite.
Luego, seguimos la curva de izquierda a derecha hasta que
choquemos con la pared y escribimos una marca en ese lugar.(×)
Luego, seguimos la curva de derecha a izquierda, marcando
nuevamente la localización donde chocamos con la pared. (×)
Si las localizaciones son iguales, tenemos el límite. De otro modo, el
límite NO existe.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
a) Determinar el límite gráficamente
NO existe.
b) Determinar gráficamente: si
limx1H (x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
limx1H (x)
limx1H (x) 4
limx1H (x) 2
b) Determinar el límite numéricamente
Primeramente, dejamos que x se acerque a –3 por la
izquierda:
Observamos que, aparentemente,
–4 –3.5 –3.1 –3.01 –3.001
H(x)
3x
limx3
H (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
–6 –5 –4.2 –4.02 –4.002
limx3
H (x)Para determinar
b) Determinar el límite numéricamente (cont.)
Luego, dejamos que x se acerque a –3 por la derecha:
Observamos que, aparentemente
–2 –2.5 –2.9 –2.99 –2.999
H(x)
3x
limx3
H (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
–2 –3 –3.8 –3.98 –3.998
limx3
H (x)Para determinar
b) Determinar el límite numéricamente
(conclusión)
Dado que 1)
y
2)
Concluímos que ,
limx3
H (x) 4
limx3
H (x) 4
limx3
H (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
limx3
H (x)Para determinar
Determinar gráficamente para
limx3
H (x) 4
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
limx3
H (x)
limx3
H (x) 4 limx3
H (x) 4
Ejemplo 2: Considerar la función f dada por
Trace la gráfica de f, y use la gráfica para
determinar si los siguientes límites existen o no.
a)
limx3f (x) lim
x2f (x)
f (x) 1
x 2 3
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
b)
a) Determinar el límite numéricamente:
Dejar que x se acerque a 3 por la izquierda y por la
derecha:
Por lo tanto,
2.1 2.5 2.9 2.99
f (x)
3x
3.5 3.2 3.1 3.01
f (x)
3x
4.11 4.01
3.66 3.83 3.9090 3.9900
limx3
f (x) 4
limx3
f (x) 4
limx3f (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
13 5
f (x) 1
x 2 3
limx3f (x)
a) Determinar el límite gráficamente
Observe en la gráfica que:
1)
y
2)
Por lo tanto,
limx3
f (x) 4
limx3
f (x) 4
limx3f (x) 4.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Dada determinar
b) Determinar el límite numéricamente
Dejar que x se acerque a 2 por la derecha y la izquierda:
Por lo tanto, no existe.
1.5 1.9 1.99 1.999
f (x)
2x
2.5 2.1 2.01 2.001
f (x)
2x
limx2f (x)
limx2
f (x)
limx2
f (x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
1 –7 –97 –997
5 13 103 1003
f (x) 1
x 2 3 lim
x2f (x)
b) Determinar el límite graficamente
Se observa en la gráfica que
1)
2)
Por lo tanto,
no existe.
limx2
f (x)
limx2f (x)
limx2
f (x)
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
×
×
Ejemplo 3: Considerar, nuevamente, la función f
dada por
Determinar
limxf (x).
f (x) 1
x 2 3
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Determinar el límite numéricamente
Note que acercarse a ∞ implica asignarle a x valores
cada vez mayores:
Por lo tanto,
5 10 100 1000
f (x)
x
3.3
limxf (x) 3.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
3.125 3.0102 3.001
f (x) 1
x 2 3 lim
xf (x).Dada determinar
Determinar el límite graficamente
Se observa en la gráfica que
si x asume valores que
son cada vez mayores,
la gráfica se queda alrededor
de y = 3
Por lo tanto,
limxf (x) 3.
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Prácticas Adicionales
Calcule los siguientes límites basado en la gráfica de
a.)
b.)
c.)
.f
2lim ( )x
f x
2lim ( )x
f x
2lim ( )x
f x
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 2 Solución
2lim ( )x
f x
x
2lim ( )x
f x
2lim ( ) 3x
f x
2lim ( ) 3x
f x
2lim ( ) 3x
f x
a.) : Observando la gráfica, a
medida que se acerca a 2 por la
izquierda,
b.) : Observando la gráfica
observamos que a medida que x se
acerca a 2 por la derecha , .
c.) Basado en las soluciones a las partes
a.) y b.), sabemos que .
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3
Sea Determine los siguientes límites
numéricamente. Luego verifique, gráficamente:
a.)
b.)
c.)
1( ) 6.
1h x
x
lim ( )x
h x
1lim ( )x
h x
2lim ( )x
h x
Limites: Un enfoque numérico y gráfico Práctica 3 Solución
a.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 1:
Límite por la izquierda
Como the Left-Hand Limit por la izquierda se va para goes to y el límite por la derecha
se va para , el NO existe.
1lim ( )x
h x
1
1x ( )h x
0
0.5
0.9
0.99
0.999
( )h x
7
8
16
106
1006
1x
2
1.5
1.1
1.01
1.001
5
4
4
94
994
Límite por la dercha
1lim ( )x
h x
Limites: Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3 Solución (cont.)
b.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 2:
.
Límite por la izquierda
Como ambos límites son iguales, tenemos que
2lim ( )x
h x
2x ( )h x
1.1
1.5
1.9
1.99
1.999
4
4
4.8
4.98
4.998
2x ( )h x
3
2.5
2.1
2.01
2.001
5.5
5.3
5.09
5.0099
5.000999
2lim ( ) 5.x
h x
Límite por la derecha
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