elementi simetrije

Elementi simetrijeElementi simetrije

ososaa simetrije simetrije – linearno i – linearno izzometrijsko preslikavanje ometrijsko preslikavanje rotacijom rotacijom zza odrea određeni ugao pri čemu granični elementi đeni ugao pri čemu granični elementi dolaze u položaj substitucije n – putadolaze u položaj substitucije n – puta

- preslikavanje za ugao od 60preslikavanje za ugao od 60o o - osa šestog stepena- osa šestog stepena- preslikavanje za ugao od 90preslikavanje za ugao od 90oo – osa četvrtog stepena – osa četvrtog stepena- preslikavanje za ugao od 120preslikavanje za ugao od 120oo – osa trećeg stepena – osa trećeg stepena- preslikavanje za ugao od 180preslikavanje za ugao od 180oo – osa drugog stepena – osa drugog stepena

- glavne ose glavne ose ∆∆- sporedne ose Lsporedne ose L

3∆3∆44

6L6L22

koeficijent (broj osa) indeks (stepen ose)koeficijent (broj osa) indeks (stepen ose)

Ose simetrijeOse simetrije

osa četvrtog stepenaosa četvrtog stepena

osa drugog stepenaosa drugog stepena

ravni simetrijeravni simetrije – ravan koja deli kristal na dva jednaka dela– ravan koja deli kristal na dva jednaka delakoji se ogledaju kao predmet i lik u ogledalukoji se ogledaju kao predmet i lik u ogledalu

glavne ravni (glavne ravni (ππ)) – normalne na glavne ose simetrije – normalne na glavne ose simetrijesporedne ravni (P) – normalne na sporedne ose simetrijesporedne ravni (P) – normalne na sporedne ose simetrije

33ππ 6P 6P

centar simetrijecentar simetrije (C) – zamišljena tačka u kristalu od koje su (C) – zamišljena tačka u kristalu od koje su identični parovi graničnih elemenata na suprotnim stranamaidentični parovi graničnih elemenata na suprotnim stranamajednako udaljeni jednako udaljeni

Međusobno delovanje elemenata simetrijeMeđusobno delovanje elemenata simetrije

1. Ako se na kristalu dve ravni simetrije seku pod uglom 1. Ako se na kristalu dve ravni simetrije seku pod uglom φφ, onda , onda se u njihovom preseku stvara osa simetrije sa uglom obrtomse u njihovom preseku stvara osa simetrije sa uglom obrtom

αα = 2 = 2φφ

2. Ako na kristalu postoji osa parnog stepena i normalna na nju 2. Ako na kristalu postoji osa parnog stepena i normalna na nju ravan simetrije, tada tačka prodora ose kroz ravan simetrije ravan simetrije, tada tačka prodora ose kroz ravan simetrije uvek odgovara centru simetrijeuvek odgovara centru simetrije

3. Ako je na kristalu prisutna osa L3. Ako je na kristalu prisutna osa Lnn stepena i ako je na nju stepena i ako je na nju

normalna osa Lnormalna osa L22, onda je na kristalu prisutno ukupno n osa L, onda je na kristalu prisutno ukupno n osa L22

koje su normalne na Lkoje su normalne na Lnn

4. Ako je na kristalu prisutna osa simetrije L4. Ako je na kristalu prisutna osa simetrije Lnn koja leži u ravni koja leži u ravni

simetrije, onda je na kristalu prisutno ukupno n ravni simetrije, onda je na kristalu prisutno ukupno n ravni simetrijesimetrije

Parametri i indeksi pljosniParametri i indeksi pljosni

parametri pljosni:parametri pljosni:

OA = 1 = pOA = 1 = pOB = 1 = qOB = 1 = qOC = 1 = rOC = 1 = r

Indeksi pljosni:Indeksi pljosni:

1/p = h1/p = h1/q = k1/q = k1/r = l1/r = l

OA’ = p = 1 OA’ = p = 1 OB’ = q = OB’ = q = 0.50.5OC’ = r = OC’ = r = 0.50.5mmnonoženjem sa 2 dobijamo:ženjem sa 2 dobijamo:

{{pqrpqr}} = = {{211211}}{{hklhkl}} = = {{122122}}

- ako pljosan ne seče osu onda je parametar ∞, a indeks 0- ako pljosan ne seče osu onda je parametar ∞, a indeks 0

Kristalne sistemeKristalne sisteme

7 kristalnih sistema7 kristalnih sistema 32 klase simetrije32 klase simetrije

- teseralnateseralna - holoedrije (puna simetrija)- holoedrije (puna simetrija)- tetragonalnatetragonalna - hemiedrije- hemiedrije- heksagonalnaheksagonalna - antihemiedrije - antihemiedrije - romboedarska- romboedarska (bez centra simetrije)(bez centra simetrije)- rombičnarombična- monokliničnamonoklinična- trikliničnatriklinična

Teseralna sistemaTeseralna sistema

holoedrija:holoedrija: 3 3∆∆44 4L 4L33 6L 6L22 C 3 C 3ππ 6P 6P

a=b=c a=b=c x=y=z=x=y=z=∆∆4 4

αα==ββ==γγ=90=90oo

1 1 - heksaedar (kocka) 6 - heksaedar (kocka) 6 {{1∞∞1∞∞} } {{100100}}

2 2 - oktaedar 8 - oktaedar 8 {{111111} {} {111111}}

3 3 - rombdodekaedar 12 - rombdodekaedar 12 {{11∞11∞} {} {110110}}

4 4 - ikositetraedar 24 - ikositetraedar 24 {{122122} {} {211211}}

5 5 - trioktaedar 24 - trioktaedar 24 {{112112} {} {221221}}

6 6 - tetraheksaedar 24 - tetraheksaedar 24 {{12∞12∞} {} {210210}}

7 7 - heksaoktaedar 48 - heksaoktaedar 48 {{123123} {} {321321}}

1

Teseralna sistemaTeseralna sistemaholoedrija:holoedrija: 3 3∆∆44 4L 4L33 6L 6L22 C 3 C 3ππ 6P 6P

2 3 4

5 6 7

Teseralna sistemaTeseralna sistemaparahemiedrija:parahemiedrija: 3∆ 3∆22 4L 4L33 C 3 C 3ππ

1 - 1 - pentagondodekaedar 12 pentagondodekaedar 12 {{12∞12∞} } {{210210}}

2 2 - dijakizdodekaedar 24 - dijakizdodekaedar 24 {{113113} {} {321321}}

antihemiedrija:antihemiedrija: 3∆ 3∆22 4L 4L33 6P 6P

- tetraedar 4 - tetraedar 4 {{111111} } {{111111}}

a=b=c a=b=c x=y=z=x=y=z=∆∆22

αα==ββ==γγ=90=90oo

21

Tetragonalna sistemaTetragonalna sistema

holoedrija:holoedrija: ∆ ∆44 2L 2L2 2 2L2L''22 C C ππ 2P 2P 2P 2P''

- tetragonalna prizma 4 - tetragonalna prizma 4 * {* {pp∞∞∞∞} } {{h00h00}} – deftero – deftero * {* {pp∞pp∞} {} {hh0hh0}} – proto – proto

- baza 2 baza 2 {{∞∞r∞∞r} {} {00l00l}}- tetragonalna bipiramida 8- tetragonalna bipiramida 8

* {* {p∞rp∞r} {} {h0lh0l}} – deftero – deftero * {* {pprppr} {} {hhlhhl}} – proto – proto-- ditetragonalana prizma 8 ditetragonalana prizma 8 {{pq∞pq∞} {} {hk0hk0}}- ditetragonalana bipiramida 16 - ditetragonalana bipiramida 16 {{pqrpqr} {} {hklhkl}}

a=ba=b≠≠c, x=y=Lc, x=y=L22ili Lili L22’ z=∆’ z=∆44

αα==ββ==γγ=90=90oo

Tetragonalna sistemaTetragonalna sistemaholoedrija:holoedrija: ∆ ∆44 2L 2L2 2 2L2L''22 C C ππ 2P 2P 2P 2P''

tetragonalna prototetragonalna protoprizma sa bazomprizma sa bazom

tetragonalna defterotetragonalna defteroprizma sa bazomprizma sa bazom

ditetragonalna prizmaditetragonalna prizma sa bazom sa bazom

ditetragonalna bipiramidaditetragonalna bipiramidatetragonalna proto bipiramida tetragonalna proto bipiramida tetragonalna deftero bipiramida tetragonalna deftero bipiramida

antihemiedrija:antihemiedrija: ∆ ∆22 2L 2L2 2 2P2P

- sfenoedar 4 sfenoedar 4 {{pprppr} {} {hhlhhl}}

a=ba=b≠≠c, x=y=Lc, x=y=L2 2 z=∆z=∆22

αα==ββ==γγ=90=90oo

Tetragonalna sistemaTetragonalna sistema