equilibrium (평형msjoun.gnu.ac.kr/note/2009/statics/static_equilibrium_… ·  ·...

Metal Forming CAE Lab.

Department of Mechanical Engineering

Gyeongsang National University, Korea

Metal Forming CAE Lab., Gyeongsang National University

Equilibrium (평형) Ⅰ

역학의 구성 요소와 정역학 및 고체역학

그라운드(Ground) 또는 지지대(Support)

부분 계(Subsystem) - 부분 계가 하나일 때 : 3 장에서 취급- 부분 계가 두 개 이상일 때 : 4 장에서 주로 취급

전체 계의 구성

전체 계의 분리

그라운드(Ground) 또는 지지대-부분 계의 분리는 필수 부분 계(Subsystem) 간에는 필요 시 분리

-분리 시 평형조건식의 수가 미지수의 수보다 많이 증가할 때: 4 장에서 취급-내부에 작용하는 힘을 알고 싶을 때: 5 장에서 굽힘모멘트 및 전단력 계산 등에서 공부함

벡터역학, 뉴턴역학 : 벡터량으로 역학현상을 규명함 해석역학

구성요소 정역학 고체역학

힘 힘의 평형조건 힘의 평형조건, 평형방정식, 운동방정식

변형 강체 변형의 기하학적 적합성, 변형과 변위의 관계

재료 강체변형가능체 : 탄성변형 – 후크법칙

소성변형 - 소성유동법칙

경계조건 역학적 경계조건 기하학적 경계조건, 역학적 경계조건

ground

ground

부분 계1

부분 계1 부분 계2

정역학 문제의 구성

한정벡터임힘은모든

내력 부과된 에절점

의하여 절점에 번째

합외력의작용하는에 질점

집합질점들의개의무한대

i

j

i

ij

i

:

:

R

F

힘(force)

내력 action and reaction force

외력표면력 하중, 반력

체적력 자중

평형조건식

• 평형조건식은 작용점 위반 문제를 아직 해결하지

못했음

• 평형조건식은 물체 전체계뿐만 아니라 물체로부터

분리된 모든 부분계에 대해서 성립해야 함

미분방정식(평형방정식) 등으로 수식화됨

0RF ij

j

i

jiijRR

정지하고 있는 물체

R

r

R

r

• 작용선 위반 문제의 해결

0Fr i

ii

0RFr

ij

j

ii

i

0Rr ij

ii j

ji

j

ij

iRrRr

또는 0F

0F

i

0Fr i

ii

0M 또는

연속체(Continuum)

,,,j,i 21

평형조건식뉴톤의 운동법칙

제1법칙하나의 질점에 작용하는 힘의 합이 0일(힘의 평형상태) 경우, 그 질점은 정지해 있거나 직선상에서 일정한 속도로 운동한다. (관성의 법칙)

제2법칙

하나의 질점에 작용하는 모든 힘의 합 f는 그 질점의 질량 m과 가속도 a의 곱과 동일하다. 즉, f = ma이다. (가속도의 법칙)

제3법칙두 질점 사이에 작용하는 두 내력(작용과 반작용 힘)은 크기가 같고 방향이 반대이며, 작용선은 동일하다. (작용과 반작용의 법칙)

작용선 위반작용점 위반

모든 힘은 내력임

F 0i

i ij

i j F R 0

R42

R24

뉴턴의 운동법칙과 평형조건식

F

F

F

F

F

R

R

R

RR

RR

RR

R

RRR

RR

R

R R

RR

F

0F

0AM

평형조건식만으로 해결할 수 있는 문제 : 정정계(Statically determinate system)

평형조건식 (Requirements on Equilibrium )

뉴톤의 운동법칙

평형조건식

평형조건식은 전체 계는 물론, 임의의 부분 계에 대해서 성립해야 함

(강체의 평형방정식)

미소요소(선분, 면적, 체적)에 평형조건식을 적용시키면 미분방정식이 유도됨

0

0 0

0

x

y

z

F

F F

F

2차원 평면 및 3차원 공간에서 힘의 평형조건식

,

,

,

0

0 0

0

A x

A A y

A z

M

M M

M

2차원 평면 3차원 공간

00

0

x

y

FF

F

,0 0

A zAM M

방정식 3 개 방정식 6 개

평형조건식의 정리

평형조건식의 적용, 방향

비고

x,y,z 방향 대신임의의 독립적인방향을 선택할수 있음

x,y,z 방향 대신임의의 독립적인방향을 선택할수 있음

D

B

E

F

C2L2L

2L

P

A

AR

BR

W

x

y

45 45

BDf

D DFf

ADf

'x

'y

정역학에서 사용되는 힘의 벡터

반력을 구하고자 할 경우 : 미끄럼벡터

부재력을 구하고자 할 경우 : 한정벡터

A

CB

P

A

CB

D

B

E

F

C

2L2L

2L

P

A

D

B

E

F

C

2L2L

2L

P

A

P

A AB B

i ir r r

0

0

i

A

A i i

i

F

M r F?

BM

평형조건식의 적용 시의 유의점

( )

0

0, 0 0

0, 0 0

B

B i i

i

A AB

i i

i

A AB

i i i

i i

A AB

i

A B

A B

M r F

r r F

r F r F

M r F

F M M

M M F

,

A B

i ir rAB

r

는 점 i 에 따라 변하지만,

는 고정되어 있음

A B

AB

r

B

irA

ir

i iF

1F

1

A

r 1

B

r

nF

2F

(If )ABr F

자유물체도란? 역학 해석을 위하여 분리된 대상 물체의 역학적 뼈대에 작용하는

모든 외력(external force)을 나타낸 선도

하중(exerted load), 자중(weight), 반력(reaction), 자력(magnetic force) 등

평형조건식의 적용과 자유물체도

평형조건식은 어디에 적용하는가? 자유물체도(Free-body diagram)

자유물체도 그릴 때 유의사항

대상 물체를 어떻게 분리해야 하는가?

외력(External force)이란?

물체의 역학적 뼈대(Skeleton)란?

힘의 전달 통로가 표시될 수 있는 최소한의 역학적 구조

기본원칙 준수(상세 교육함), 역학적 상식 활용(훈련, 즉 많은 문제 풀이 필요)

역학적 뼈대를 사실에 입각하여 작성함(실물과 1:1 치수 유지 등)

지지로부터 완전 분리하고, 그 흔적을 남기지 않음

미지의 하중(주로 반력)은 특별한 사유가 없는 한 +좌표축의 방향이 +값이 되도록 설정함

가급적 역학적으로 불필요한 부분은 자유물체도에서 삭제함

미지의 하중, 미지수의 표현: 가급적 통일 유지, 예 : , , , , , ,A B A A A AR R X Y H V

예 : 단순지지보

자유물체도 작성 및 평형조건식 적용 예: 정정계

0 ; 0( / )

0 ; 0 0( / )

0; 0

y A B

A

x

B

A B

F R R PR b L P

FR a L P

M L R a P

F.B.D. No. 1

F.B.D. No. 2

0 ; 0 0

0 ; 0 ( / )

( / )0; 0

y A B A

x A A

BA B

F V V P H

F H V b L P

V a L PM LV a p

F.B.D. No. 3

F.B.D. No. 5

0; 0( / )

0 ; 0 0( / )

0; 0

A B

A

x

B

B A

M L R a PR b L P

FR a L P

M L R b P

힘의 평형조건

P

L

ba

F.B.D. No. 6

F.B.D. No. 4

P

BVAR

a

P

BRAR

a b

P

BRAR

a b

b

P

BYAR

a b

P

( )

A

A

H

X ( )B BV Y( )A AV Y

a b

( )

A

A

H

X

P

( )B BV Y( )A AV Y( )

B

B

H

X

a b

No. 1

No. 2

No. 3

0 ; 0 0

0 ; 0

0 ; 2 ( / 2) 0

0 ; ( / 2) 0

0 ; 2 (3/ 2) 0

x

y A B C

A B C

B A C

C A B

F

F R R R P

M L R L R L P

M LR LR L P

M LR LR L P

자유물체도와 부정정계

①

③

④

⑤

식 ① ~ ⑤ 에서 독립적인 식은 2개 밖에 없음

임의의 점에서 모멘트 합이 0이라는 조건으로부터

무수히 많은 식을 유도할 수 있음

미지의 수 > 식의 수 ⇒ 부정정계 문제

부정정계 문제는 정역학적으로 반력을 결정할 수

없음

예 : 3 점 지지보- 부정정계

F.B.D.

힘의 평형조건

※ 부정정계 문제는 역학의 3요소를 모두 고려해야 하며, 이에 관한 내용은 고체역학에서 취급함

P

LA B/ 2L/ 2L

P

AR BR CR

②

전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙

전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙 (계속)

xR

yR

xR

yR

M

전체 계로부터 대상 부분 계의 분리 원칙 (계속)