factorización de polinomios

Factorizacion de polinomios

Christiam Huertas R.w3.xhuertas.blogspot.com

Universidad de Ciencias y Humanidades

Christiam Huertas R. w3.xhuertas.blogspot.com Factorizacion de polinomios

Introduccion: Factorizacion de numeros naturales

En matematicas, un numero primo es un numero natural que tieneunicamente dos divisores naturales distintos: el mismo y el 1.

Ejemplos:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; · · ·

Euclides demostro alrededor del ano 300 a.n.e. que existeninfinitos numeros primos.

Euclides fue un matematico y geometragriego, que vivio alrededor del ano 300a.n.e., (325 a.n.e.) - (265 a.n.e.). Se leconoce como ”El Padre de la Geometrıa”.Su obra los Elementos se utilizaron comotexto durante 2000 anos, e incluso hoy.

Introduccion: Factorizacion de numeros naturales

En matematicas (teorıa de numeros), el teorema fundamental de laAritmetica o teorema de factorizacion unica afirma que todoentero positivo se puede representar de forma unica como productode factores primos o sus potencias.

Ejemplos:

18 = 2 · 9 No esta factorizado

18 = 3 · 6 No esta factorizado

18 = 2 · 32 Si esta factorizado

6936 = 23.3.172

1200 = 24.3.52

Una vez que se conoce la factorizacion de un numeros, se puedenhallar facilmente sus factores y factores primos. Por ejemplo, losfactores de 18 son: 1; 2; 3; 6; 12; 18 y sus factores primos son: 2 y 3.

Factorizacion de polinomios

Idea general y conceptos previos

Un polinomio esta completamente factorizado, si esta escrito comoun producto de sus factores primos o sus potencias.

factorizacion−−−−−−−−−−−−→

x3 − x2 ≡ x2(x − 1)

←−−−−−−−−−−−−−multiplicacion

El proceso inverso de desarrollar una multiplicacion es lafactorizacion.

Polinomio definido sobre Z

Un polinomio esta definido sobre Z, si todos sus coeficientes sonenteros.

Ejemplos:

1 Dado el polinomio P(x) = 3x2 − 5x + 8.

Como {3;−5; 8} ⊂ Z, entonces, P(x) esta definido sobre Z.

2 Dado el polinomio Q(x) = 4x3 − 7x2 +√

3x − 2.

Como√

3 /∈ Z, entonces, Q(x) no esta definido sobre Z

3 Dado el polinomio R(x ;y) = 9x2 − 4y2 +1

4/∈ Z, enotnces, R(x ;y) no esta definido sobre Z

Factor algebraico

Diremos que el polinomio f(x) (no constante) es factor algebraico

del polinomio P(x), si y solo si, la divisionP(x)

f(x)es exacta; es decir,

el resto es cero: R(x) = 0.

Ejemplos:

1 f(x) = x + 1 es factor algebraico de P(x) = x2 − 1.

En efecto, la divisionx2 − 1

x + 1es exacta, ya que R(x) = 0

2 Dado el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).

Sus factores algebraicos son:

(x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)

3 Dado el polinomio P(x ;y) = x .y2

Sus factores algebraicos son: x , y , x .y , y2 y x .y2

Aplicacion 1

¿Es f(x) = x − 2 un factor algebraico de P(x) = x3 − x − 6?

Para que f(x) sea un factor algebraico de P(x), la divisionP(x)

debe ser exacta (R(x) = 0).

Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:

PRIMERO:

f(x) = x − 2 = 0→ x = 2

SEGUNDO:

lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,

R(x) = P(2) = 23 − 2− 6 = 0

→ R(x) = 0

Por lo tanto, x − 2 es factor algebraico de P(x)

Aplicacion 2

Si 2x − 1 es un factor algebraico del polinomio

P(x) = 8x4 − 2x3 + 7x2 + 4x − a2, determine el menor valor de a.

Como 2x − 1 es un factor algebraico de P(x), la divisionP(x)

2x − 1debe ser exacta (R(x) = 0).

Calculemos el resto utilizando el teorema del resto:

PRIMERO: 2x − 1 = 0→ x = 12

SEGUNDO: Lo reemplazamos en el dividendo para obtener el resto,

R(x) = P( 12) = 8(1

2)4 − 2(12)3 + 7(1

2)2 + 4(12)− a2

→ 0 =8

16− 2

2− a2 ↔ a2 =

2− 1

↔ a2 = 4 ↔ a = 2 ∨ a = −2

Por lo tanto, el menor valor de a es −2.

Polinomio reductible

Es aquel polinomio que admite descomposicion en la multiplicacionde factores algebraicos (sobre Z).

Ejemplos:

1 Dado el polinomio P(x) = 4x2 − 1.

P(x) = 4x2 − 1 = (2x)2 − 12 = (2x + 1)(2x − 1)

Entonces, P(x) es reductible sobre Z2 Dado el polinomio M(x) = x3 + 1.

M(x) = x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1)(x2 − x + 1)

Entonces, M(x) es reductible sobre Z3 Dado el polinomio N(x ;y) = x2 + y2.

N(x ;y) = x2 + y2 6= ( )( )

Entonces, N(x ;y) no es reductible sobre Z.

Polinomio primo

Un polinomio es primo o irreductible si no es reductible; es decir,no admite descomposicion.

Ejemplos:

1 P(x ;y) = x2 + y2.

2 Q(x) = x2 + 1 6= ( )( ), entonces es primo.

3 R(x) = x2 + x + 1 6= ( )( ), entonces es primo.

4 M(x) = x2 − x + 1 6= ( )( ), entonces es primo.

5 N(x ;y) = x2 + xy + y2 6= ( )( ), entonces es primo.

6 F(x ;y) = x2 − xy + y2 6= ( )( ), entonces es primo.

7 G(x) = 3x − 8 6= ( )( ), entonces es primo.

Teorema

Todo polinomio lineal (o de grado uno) de coeficientes enterossiempre es primo.

Ejemplos:

1 P(x) = 5x − 4

2 Q(x) = 6x + 9 = 3(2x + 3) es un polinomio primo.

3 S(x ;y) = 3x + 4y − 2

4 T(x ;y ;z) = 2x − y + 8z + 3

5 M(a;b) = a− 3b + 1

6 N(a;b;c) = a + 2b + 3c − 4

Son polinomios primos de grado uno.

Factor primo

Diremos que el polinomio f(x) es factor primo del polinomio P(x) sise cumple lo siguiente:

1. f(x) es factor algebraico.

2. f(x) es polinomio primo.

3. Sus coeficientes son PESI (primos entre si).

Ejemplos:

1 Para el polinomio P(x) = (x + 2)(x + 3).

Sus factores algebraicos son: (x + 2), (x + 3) y (x + 2)(x + 3)

Luego, sus factores primos son: (x + 2) y (x + 3).

2 Para el polinomio P(x ;y) = x .y2

Sus factores algebraicos son: x , y , x .y , y2 y x .y2

Luego, sus factores primos son: x , y .

Factorizacion

Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como unamultiplicacion indicada de sus factores primos (o potencias de susfactores primos). Es decir,

P(x) = (primo)m(primo)n · · · (primo)p

Ejemplos:1. Dado el polinomio P(x) = (4x − 1)3.(x2 + 1)5.(x2 − 9)

Vemos que P no esta factorizado, pues x2 − 9 = (x + 3)(x − 3)

Luego, P(x) = (4x − 1)3.(x2 + 1)5.(x + 3).(x − 3) (Factorizado)

Tiene 4 factores primos (lineales: 3 y cuadraticos: 1)

2. Dado el polinomio

Q(x ;y) = (x − 2y)2.(3x + 1)4.(x2 − xy + y2).(x2 + y2)

Vemos que Q si esta factorizado. Total FP: 4 (FPL: 2 y FPC: 2)Christiam Huertas R. w3.xhuertas.blogspot.com Factorizacion de polinomios

Obtencion de factores comunes

El primer paso en la factorizacion de un polinomio es sacar factores

comunes de sus terminos utilizando la propiedad distributiva.

Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.

1 P(x) = x3 + x = x(x2 + 1) Factores primos: 2

2 Q(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2) Factores primos: 2

3 R(a;b) = a3b + ab3 = ab(a2 + b2) Factores primos: 3

4 S(x) = (2x + 4)(x − 3)− 5(x − 3)

= (x − 3)(2x + 4− 5)

= (x − 3)(2x − 1) Factores primos: 2

5 T(x ;y) = 8x2y2 + 6xy3 − 10xy2 = 2xy2(4x + 3y − 5)

Factores primos: 3

Factorizacion de la diferencia de cuadrados

Recuerde que: a2 − b2 = (a + b)(a− b)

1 P(a;b) = x2 − 9 = x2 − 32 = (x + 3)(x − 3)

2 Q(x) = 25x2 − 36 = (5x)2 − 62 = (5x + 6)(5x − 6)

3 R(x ;y) = 4x2 − (y + 3)2

= (2x)2 − (y + 3)2

= [2x + (y + 3)][2x − (y + 3)]

= (2x + y + 3)(2x − y − 3)

4 S(x) = x4 − 1 =(x2

)2 − 12 = (x2 + 1)(x2 − 1)

= (x2 + 1)(x + 1)(x − 1)

Factorizacion de trinomios cuadrados perfectos

Recuerde que: a2 ± 2.a.b + b2 = (a± b)2

1 P(x) = x2 + 8x + 16 = x2 + 2(x)(4) + 42 = (x + 4)2

2 Q(x) = 9x2 + 6x + 1 = (3x)2 + 2(3x)(1) + 12 = (3x + 1)2

3 R(x ;y) = x2 − 4xy + 4y2 = x2 − 2.(2x).y + (2y)2 = (x − 2y)2

4 S(x ;y) = 4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 − 2.(2x).(3y) + (3y)2

= (2x − 3y)2

Factorizacion de la suma y la diferencia de dos cubos

Recuerde que: a3 + b3 = (a + b)(a2 − a.b + b2)

Tambien: a3 − b3 = (a− b)(a2 + a.b + b2)

Ejemplos. Factorice los siguientes polinomios.

1 P(x) = x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 − x .2 + 22)

= (x + 2)(x2 − 2x + 4)

2 Q(x) = x3 − 64 = x3 − 43 = (x − 4)(x2 + x .4 + 42)

= (x − 4)(x2 + 4x + 16)

3 R(x) = 8x3+27 = (2x)3+33 = (2x+3)((2x)2 − (2x)(3) + 32

)= (2x + 3)(4x2 − 6x + 9)

Factorizacion de un trinomio en x : Aspa simple

Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.

P(x) = Ax2 + Bx + C

En general: P(x) = Ax2n + Bxn + C

Seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Descomponer los extremos convenientemente.

2. Se comprueba que el termino central es igual a la suma de los

productos parciales en forma de aspa.

3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos

de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los

elementos de la segunda fila.

Ejemplos

1 P(x) = 3x2 + 10x + 83x 4x 2

→ P(x) = (3x + 4)(x + 2)

2 Q(x) = 12x2 − 25x + 123x −44x −3

→ Q(x) = (3x − 4)(4x − 3)

3 R(x) = x4 − 13x2 + 36x2 −4x2 −9

→ R(x) = (x2 − 4)(x2 − 9) = (x + 2)(x − 2)(x + 3)(x − 3)

Factorizacion de un trinomio en x e y : Aspa simple

Se utiliza para factorizar a los polinomios de la siguiente forma.

P(x ;y) = Ax2 + Bxy + Cy2

En general: P(x ;y) = Ax2n + Bxnyn + Cy2n

Seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Descomponer los extremos convenientemente.

2. Se comprueba que el termino central es igual a la suma de los

productos parciales en forma de aspa.

3. Luego, P tiene como primer factor a la suma de los elementos

de la primera fila y, como segundo factor a la suma de los

elementos de la segunda fila.

Ejemplos

1 P(x ;y) = 6x2 + 17xy + 5y2

3x y2x 5y

→ P(x ;y) = (3x + y)(2x + 5y)

2 Q(x ;y) = 12x2 − 23xy + 10y2

3x −2y4x −5y

→ Q(x ;y) = (3x − 2y)(4x − 5y)

3 R(x) = (x2 + 2x)2 − 2(x2 + 2x)− 3(x2 + 2x) −3(x2 + 2x) 1

→ R(x) = (x2 + 2x − 3)(x2 + 2x + 1) = (x + 3)(x − 1)(x + 1)2

Factorizacion por agrupacion

Observe que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd . Si unpolinomio con cuatro terminos es el producto de dos binomios,podemos agrupar terminos para factorizar.

1 P(x) = x3 + x2 + 4x + 4 =(x3 + x2

)+ (4x + 4)

= x2(x + 1) + 4(x + 1)

= (x + 1)(x2 + 4)

2 Q(x) = x3 − 2x2 − 3x + 6 =(x3 − 2x2

)− (3x − 6)

= x2(x − 2)− 3(x − 2)

= (x − 2)(x2 − 3)

= (x − 2)(x2 −

√32)

= (x − 2)(x +√

x −√

Factorizado sobre R.

Factorizacion de an − 1

Se sabe que

a2 − 1 = (a− 1)(a + 1)

a3 − 1 = (a− 1)(a2 + a + 1)

a4 − 1 = (a− 1)(a3 + a2 + a + 1)

Y asi sucesivamente

1 P(x) = x5 − 1 = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

2 Q(x) = x6 − 1 = (x − 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

3 R(x) = x7 − 1 = (x − 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

Aplicaciones

Factorice los siguientes polinomios.

1 M(x ;y) = −7x4y2 + 14xy3 + 21xy4

2 N(x ;y) = (2x + y − 3)2 − (x − 2x + 1)2

3 F(x ;y) = x6 − 8y3

4 P(a;b;c) = a3 + a2c − a2b − abc

5 Q(a;b;c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2)

6 R(x) = abx2 + (a2 + b2)x + ab

7 S(x ;y) = x2 + y2 + 1 + 2xy + 2(x + y)

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