ケプラー軌道方程式のまとめ -...
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宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
1
ケプラー軌道方程式のまとめ
注意1)詳細は下記の引用文献を参照。
James R. Wertz, Mission Geometry; Orbit and Constellation Design and Management, Space Technology
Library, Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.835-852.
注意2)記号は、慣用とは異なる場合があるので、それぞれ定義を確認すること。
中心物体の重力定数(gravitational constant) について:
重力定数は GM と定義されるが、その値自身は、それぞれ質量 Mや万有引力定数 G = 6.673
e-11 m3/s2/kg 単独の計測値よりもはるかに正確に求められている。なお、万有引力定数 G の計測
値は、独立した質量そのものを高精度に計測することが困難であることもあり、基礎物理定数の
中で最も精度が低い。
中心物体 軌道速度 周期 脱出速度
23 s/m s/m 5.1 km/s min km/s
太陽(表面) 1.327 124 38 e+20 11,520,088,436 436.822 167.0 617.760
(1 AU) 29.716 529,642 42.024
水星 2.203 4 e+13 4,694,000 3.005 85.0 4.250
金星 3.249 e+14 18,020,000 7.327 86.5 10.362
地球 3.986 004 41 e+14 19,964,980.4 7.905 84.5 11.180
月 4.902 798 98 e+12 2,214,226.5 1.680 108.3 2.376
火星 4.283 200 00 e+13 6,544,616.1 3.551 100.2 5.022
木星 1.266 9 e+17 355,935,000 42.097 177.8 59.534
土星 3.793 4 e+16 194,767,000 25.088 251.6 35.480
天王星 5.795 1 e+15 76,125,600 15.058 177.8 21.295
海王星 6.835 4 e+15 82,676,500 16.614 156.1 23.496
冥王星 8.7 e+11 9.33 e+5 0.852 146.9 1.205
[小惑星]
セレス 7.83 e+10 2.80 e+5 0.414 115.4 0.586
パラス 1.46 e+10 1.21 e+5 0.236 115.9 0.334
ベスタ 1.59 e+10 1.26 e+5 0.252 104.0 0.357
イトカワ G*(3.510+-0.105) e+10
(注意: 141041004986.314e41004986.3 )
共通記号:
:真近点離角 true anomaly 近点から軌道物体までの角度。 とも書く。
M:平均近点離角(平均近点角)mean anomaly )( TtnM
t:観測時刻 the time of observation
T:近点通過時刻 the time of perifocal passage pt とも書く。
n:平均(角)運動 mean (angular) motion
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ケプラー軌道方程式のまとめ
2
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5
1. 円軌道 circular orbits
円軌道の物理量であることを強調するために頭に C.を付ける
C.定義パラメータ: a = 長半径(長半径)semimajor axis = r = 半径 radius
C.幾何方程式: 222 ayx
C.焦点からの距離, r: r = a
C.比エネルギーspecific energy, (単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く):
r
V
a
22
2
C.比角運動量 specific angular momentum, h(cとも書く): ah h
C.角運動量ベクトル, h(cとも書く): Vrh ( rrc とも書く)
C.ノード(交線)ベクトル node vector, N: hhzhzN ˆˆˆ
C.軌道傾斜角 inclination, i: hhi zarccos
C.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω: ),(2arctanΩ xy NN
C.飛行経路角 flight path angle, fpa ( , とも書く): 0fpa
C.近点距離 perifocal distance, q: q = a
C.半直弦 semi-parameter, p: p = a
C.長半径(長半径)semimajor axis, a: a = r
C.離心率 eccentricity, e: e = 0
C.平均運動 mean motion, n: Pa
n
23
C.平均近点離角(平均近点角)mean anomaly, M: ntMM 0
C.真近点離角 true anomaly, : M
C.真近点離角レート, : n
C.軌道周期 orbital period, P: 32/2 anP
)(太陽;
)(火星;
)(月;
)(地球;
]km[],[10178228996.1
]km[[min],10211429059.5
]km[[min],10413569495.1
]km[[min],10010669658.1
10
4
3
42/3
adaysP
aP
aP
aPaP
C.軌道速度 orbital velocity, V: anaV
C.レンジ・レンジレート range・range rate, rr: 0rr
C.面積速度 areal velocity, A: naaA 25.05.0
C.脱出速度 escape velocity, EV : VaVE 22
C.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '
E :
in
in
E
Ecos
sinarctan'
(火星)
(月)
(地球)
ート中心物体の慣性回転レ
sdeg/249061004.0
sdeg/450521000.0
sdeg/074178004.0
E
C.オイラー回転レート Euler rotation rate, E : innin EEEE cos2sin/sin 22'
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
6
C.角半径 angular radius, : )/arcsin( aRE (球を仮定。)
(火星)
(月)
(地球)
中心物体の半径
km3397
km2.1738
km140.6378
ER
C.水平面までの距離 distance to the horizon, D: 22arccos ERaD
C.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max : )/cos(arcdeg90max aRE
C.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA: )cos1( max AKIAA
(火星)
(月)
(地球)
]km[10550250.7
]km[10363898.1
]km[1087041556.2
][deg62480.626,20)2/(360
]steradians[311185283.62
27
27
28
22
AK
C.アクセス面レート area access rate, AAR: P
KAAR Amaxsin
2
C.最大可視時間 maximum time in view, maxT : deg180/maxmax PT
C.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max :
)(
deg360max
ERaP
a
C. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2ΩJ :
)(火星、
)(月、
)(地球、
]km[]daycalender[deg/cos10483.3
]km[]daycalender[deg/cos10220.3
]km[]daycalender[deg/cos1074064.2
coscos)/(5.1Ω
2/731
2/711
2/714
2/7
2
2
22
aia
aia
aia
iaKiaRnnJ JEJ
C.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi :
)(火星、
)(月、
)(地球、
]km[)101.505arccos(
]km[)10061.3arccos(
]km[)107773.4arccos(
360arccos
2/741
2/712
2/715
2
2/7
aa
aa
aa
SPK
ai
J
ss
SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]
C.1日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d:
対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1回転する間の軌道周回数
)(火星、
)(月、
)(地球、
[min]/38.774,1
[min]/343,39
[min]/07.436,1
/
PP
PP
PP
PDayev/dR
Day =中心物体の恒星日 sidereal day
C.ノード間隔 node spacing, N :
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ケプラー軌道方程式のまとめ
7
)(火星、
)(月、
)(地球、
[min]675243.0
[min]3150009.0
[min]684250.0
)/deg(360
PP
PP
PP
DayPN
C.最大日食時間 maximum eclipse, ET : deg180/)/arcsin(deg180/ aRPPT EE
C.明暗界線のための太陽角条件, ' : 90'90
は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
C.天体座標が既知の宇宙機の通過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
known, T: GSTLT
ここで、:赤径、L:観測者東経 observer east longitude、GST:グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
2. 楕円軌道 elliptical orbits
楕円軌道の物理量であることを強調するために頭に E.を付ける
E.定義パラメータ: a = 長半径(半長径)semimajor axis
b = 短半径(半短径)semiminor axis
E.幾何方程式: 12
2
2
2
b
y
a
x
E.焦点からの距離, r: cos1
)1(
cos1)cos1(
cos1
)1(
e
er
e
pEea
e
eqr a
E.比エネルギーspecific energy, (単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く):
022
2
ar
V
E.比角運動量 specific angular momentum, h(cとも書く):
ppaafpa VrVrrrVph 2cosh
E.角運動量ベクトル, h(cとも書く): Vrh ( rrc とも書く)
E.ノード(交線)ベクトル node vector, N: hhzhzN ˆˆˆ
E.離心率ベクトル eccentricity vector(ラプラス・ルンゲベクトル), e(fとも書く):
r
rhVe
E.軌道傾斜角 inclination, i: hhi zarccos
E.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω: ),(2arctanΩ xy NN
E.飛行経路角 flight path angle, fpa ( , とも書く):
)/arccos()sin,(cos2arctan rVpfpafpafpa
Ee
e
Ee
Eefpafpa 22
2
22 cos1
1cos,
cos1
sinsin
E.近点距離 perifocal distance, prq :
p
a
a
a
apV
Vr
r
b
e
er
e
pearq
2
1
1
1)1(
E.半直弦 semi-parameter, p:
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ケプラー軌道方程式のまとめ
8
222 )1()cos1()1(
h
a
beqereap
E.遠点距離 radius of apoaxis, ar :
ca
b
e
eq
r
braear
p
pa
22
1
12)1(
E.長半径(長半径)semimajor axis, a:
3/1
22 21112
ne
p
e
r
e
rrra appa
E.短半径(短半径)semiminor axis, b:
hprrapeab pa 21
E.離心率 eccentricity, e: 0 < e <1
a
c
a
r
a
r
rr
rr
a
bahe
pa
pa
pa
11
21
22
2
2
e
E.平均運動 mean motion, n: Pa
n
23
E.平均近点離角(平均近点角)mean anomaly, M: EeEntMM sin0
E.離心近点離角 eccentric anomaly, E:
pra
ra
b
r
ae
ra
e
eEEE
arccossinarcsinarccos
2tan
1
1arctan2)sin,arctan(cos
cos1
1sinsin,
cos1
coscos
2
e
eE
e
eE
Mから Eの逐次解法: 0E を初期推定値、例えば ME 0 Eの i番目の推定値 iE
i
ii
iiEe
EeEMEE
cos1
sin1
E.真近点離角 true anomaly, :
Ee
eE
e
rp
E
e
e
cos1
cosarccos
1/arccos
2tan
1
1arctan2)sin,arctan(cos
eE
eE
Ee
eE
cos
1sinsin,
cos1
coscos
2
Mに関する展開:
4332 3sin12
13sin
4
12sin
4
5sin2 eOMeMeMeMeM
E.真近点離角レート, :
2
2
2
2221 e
r
na
r
rV
r
rV
r
paapp
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ケプラー軌道方程式のまとめ
9
E.軌道周期 orbital period, P: 32/2 anP
)(太陽;
)(火星;
)(月;
)(地球;
]km[],[10178228996.1
]km[[min],10211429059.5
]km[[min],10413569495.1
]km[[min],10010669658.1
10
4
3
42/3
adaysP
aP
aP
aPaP
E.軌道速度 orbital velocity, V:
fpar
p
e
e
rrarV
coscos1
122
2 2
a
p
p
a
r
r
V
V
a
p
pa
aa
p
a
a
p
aa
p
ppap
a
p
p
r
rV
a
r
rar
re
rV
r
rV
a
r
rrrr
re
rV
21
22
1
E.アジマス速度 azimuthal velocity, azV : rVV fpaaz cos
E.動径速度 radial velocity, rV :
cos1
sinsinsin
e
er
q
eVVV azfpar
E.レンジ・レンジレート range・range rate, rr: Eaerr sin
E.面積速度 areal velocity, A: 22 5.0)1(5.0 reaA
E.脱出速度 escape velocity, EV : rVE 2
E.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '
E :
i
i
E
Ecos
sinarctan'
(火星)
(月)
(地球)
ート中心物体の慣性回転レ
sdeg/249061004.0
sdeg/450521000.0
sdeg/074178004.0
E
E.オイラー回転レート Euler rotation rate, E : ii EEEE cos2sin/sin 22'
E.角半径 angular radius, : )/arcsin( aRE (球を仮定。)
(火星)
(月)
(地球)
中心物体の半径
km3397
km2.1738
km140.6378
ER
E.水平面までの距離 distance to the horizon, D: 22cos ERarD
E.水平面までの距離の最大値 maximum distance to the horizon, maxD :
22
minmax cos Eaa RrrD
E.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD :
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ケプラー軌道方程式のまとめ
10
22
maxmin cos Epp RrrD
E.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max : )/cos(arcdeg90max rRE
E.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA: )cos1( max AKIAA
(火星)
(月)
(地球)
]km[10550250.7
]km[10363898.1
]km[1087041556.2
][deg62480.626,20)2/(360
]steradians[311185283.62
27
27
28
22
AK
E.アクセス面レート area access rate, AAR: maxsin
AKAAR
E.最大可視時間 maximum time in view, maxT : /2 maxmax T
E.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max :
ERr
r
max
E. 2J 項によるノード歳差レート node precession rate due to 2J , 2ΩJ :
)(火星、
)(月、
)(地球、
]km[]daycalender[deg/cos)1(10483.3
]km[]daycalender[deg/cos)1(10220.3
]km[]daycalender[deg/cos)1(1074064.2
cos)1(cos)1()/(5.1Ω
222/731
222/711
222/714
222/7
2
222
22
aiea
aiea
aiea
ieaKieaRnJ JEJ
E.太陽同期傾斜角 Sun-synchronous inclination, ssi :
)(火星、
)(月、
)(地球、
]km[))1(101.505arccos(
]km[))1(10061.3arccos(
]km[))1(107773.4arccos(
)1(
360arccos
222/741
222/712
222/715
22
2
2/7
aea
aea
aea
SPeK
ai
J
ss
SP = 恒星周期 sidereal period [calendar day]
E. 2J 項による近点回転レート periapsis rotation rate due to 2J , 2J :
ieaKieaRnJ JEJ
2222/7
2
2222
22 sin2
52)1(sin
2
52)1()/(5.1
E.1日当りの回転数 revolutions per day, Rev/d:
対象とする惑星が恒星に対して自転軸周りに 1回転する間の軌道周回数
)(火星、
)(月、
)(地球、
[min]/38.774,1
[min]/343,39
[min]/07.436,1
/
PP
PP
PP
PDayev/dR
Day =中心物体の恒星日 sidereal day
E.ノード間隔 node spacing, N :
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
11
)(火星、
)(月、
)(地球、
[min]675243.0
[min]3150009.0
[min]684250.0
)/deg(360
PP
PP
PP
DayPN
E.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET :
)/arcsin()/2(/2 rRT EE
E.明暗界線のための太陽角条件, ' : 90'90
は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
E.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
known, T: GSTLT
ここで、:赤径、L:観測者東経 observer east longitude、GST:グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
3. 放物線軌道 parabolic orbits
放物線軌道の物理量であることを強調するために頭に P.を付ける
P.定義パラメータ: p = 半直弦 semi-latus rectum = semiparameter
q= 近点距離 perifocal distance
P.幾何方程式: qyx 42
P.焦点からの距離, r: 2cos1
)1(
cos1
2Dq
e
eqpr
P.比エネルギーspecific energy, (単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く): 0
P.比角運動量 specific angular momentum, h(cとも書く):
ppfpa VrrrVph 2cosh
P.角運動量ベクトル, h(cとも書く): Vrh ( rrc とも書く)
P.ノード(交線)ベクトル node vector, N: hhzhzN ˆˆˆ
P.離心率ベクトル eccentricity vector(ラプラス・ルンゲベクトル), e(fとも書く):
r
rhVe
P.軌道傾斜角 inclination, i: hhai zcos
P.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω: ),(2arctanΩ xy NN
P.飛行経路角 flight path angle, fpa ( , とも書く): )/arccos(2/ rVpfpa
P.近点距離 perifocal distance, prq : 2
prq p
P.半直弦 semi-parameter, p:
2
)cos1(2h
rqp
P.長半径(長半径)semimajor axis, a: a
P.短半径(短半径)semiminor axis, b: b
P.離心率 eccentricity, e: e = 1
P.平均運動 mean motion, n:
2tan
3
1
2tan
12 3
3
tpn
tは近点通過後の経過時刻
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
12
P.平均近点離角(平均近点角)mean anomaly, M: 6/3
0 DqDntMM
P.放物線近点離角 parabolic anomaly, D: 2
tan2
qD
P.真近点離角 true anomaly, : )sin,arctan(cos
qr
DpE
r
rp
2sin,cos
P.真近点離角レート, : 22 r
rV
r
p pp
P.軌道周期 orbital period, P: P
P.軌道速度 orbital velocity, V:
fpa
Er
p
rVV
cos
2
P.近点速度 velocity at periapsis, pV :
p
pr
V2
P.放物線速度 = 脱出速度 escape velocity, EV : rVE 2
P.アジマス速度 azimuthal velocity, azV : rVV fpaaz cos
P.動径速度 radial velocity, rV :
cos1
sinsinsin
e
er
qVVV azfpar
P.レンジ・レンジレート range・range rate, rr: Drr
P.面積速度 areal velocity, A: 25.02/ rqA
以下は双曲線軌道と同じ。
4. 双曲線軌道 hyperbolic orbits
双曲線軌道の物理量であることを強調するために頭に H.を付ける
H.定義パラメータ: a = 半横断軸 semi-transverse axis (a < 0)
b = 半共役軸 semi-conjugate axis
H.幾何方程式: 12
2
2
2
b
y
a
x
H.焦点からの距離, r:
cos1sin
tan11
cos)cosh1(
cos1
)1( 2
e
pHea
H
eaFea
e
eqr
H.比エネルギーspecific energy, (単位質量あたりの全エネルギー、hとも書く):
022
2
ar
V
H.比角運動量 specific angular momentum, h(cとも書く):
ppfpa VrrrVph 2cosh
H.角運動量ベクトル, h(cとも書く): Vrh ( rrc とも書く)
H.ノード(交線)ベクトル node vector, N: hhzhzN ˆˆˆ
H.離心率ベクトル eccentricity vector(ラプラス・ルンゲベクトル), e(fとも書く):
r
rhVe
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
13
H.軌道傾斜角 inclination, i: hhi zarccos
H.昇交点赤径 right ascension of the ascending node, Ω: ),(2arctanΩ xy NN
H.飛行経路角 flight path angle, fpa ( , とも書く): )/arccos(2/ rVpfpa
H.双曲線補助角 auxiliary angle of the hyperbola, H: /1
arccosarccosrh
e
ra
eH
H.曲折角 turn angle, :
fpapp VrVVb
a
qVe
cosarctan2arctan2arcsin2
/1
1arcsin2
1arcsin2
2
H.近点距離 perifocal distance, prq :
)1()1(1
)1(22
eV
eVe
pearq
p
p
H.半直弦 semi-parameter, p:
222 )1()cos1()1(
h
a
beqereap
H.長半径(長半径、半横断軸)semimajor axis, semi-transverse axis, a: a < 0
112 22
3/1
2
e
p
e
q
Vna
H.短半径(短半径、半共役軸)semiminor axis, semi-conjugate axis, b:
)2/tan(
12
ar
V
Vhpapeab p
p
H.離心率 eccentricity, e: 0 < e <1
222
2
2
1112
1
Vr
a
r
a
p
a
bahe
pa
e
H.平均運動 mean motion, n: 3a
n
H.平均近点離角(平均近点角)mean anomaly, M: FFentMM sinh0
H.双曲線近点離角 hyperbolic anomaly, F:
2tan
1
1harctan2)sinh,(coshharctan
e
eFFF
cos1
1sinsinh,
cos1
coscosh
2
e
eF
e
eF
Mから Fの逐次解法:0F を初期推定値 F の i番目の推定値 iF
1cosh
sinh1
i
ii
iiFe
FFeMFF
H.真近点離角 true anomaly, :
2tan
1
1arctan2tan1arcsin2
2tanh
1
1arctan2)sin,arctan(cos
2 H
e
eHe
r
a
F
e
e
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
14
Fe
eFv
Fe
eFv
cosh1
1sinhsin,
cosh1
coshcos
2
H.真近点離角レート, : 22 r
rV
r
p pp
H.軌道周期 orbital period, P: P
H.軌道速度 orbital velocity, V: 22
cos
2 V
rr
p
arV
fpa
H.近点速度 velocity at periapsis, pV : er
Vr
Vpp
p 12 2
H.双曲線無限点速度 hyperbolic excess velocity, V :
)1(22 22 e
rb
Vr
rV
rVV
p
pp
p
p
H.規準打ち上げエネルギーreference launch energy, 3C :
2
3 VC
H.アジマス速度 azimuthal velocity, azV : rVV fpaaz cos
H.動径速度 radial velocity, rV :
cos1
sinsinsin
e
er
q
eVVV azfpar
H.レンジ・レンジレート range・range rate, rr: Faerr sinh
H.面積速度 areal velocity, A: 22 5.0)1(5.0 reaA
H.脱出速度 escape velocity, EV : rVE 2
H.オイラー軸補緯度角 Euler axis co-latitude, '
E :
i
i
E
Ecos
sinarctan'
(火星)
(月)
(地球)
ート中心物体の慣性回転レ
sdeg/249061004.0
sdeg/450521000.0
sdeg/074178004.0
E
H.オイラー回転レート Euler rotation rate, E : ii EEEE cos2sin/sin 22'
H.角半径 angular radius, : )/arcsin( rRE (球を仮定。)
(火星)
(月)
(地球)
中心物体の半径
km3397
km2.1738
km140.6378
ER
H.最大角半径 maximum angular radius, max : )/arcsin(max pE rR
H.水平面までの距離 distance to the horizon, D: 22cos ERarD
H.水平面までの距離の最小値 minimum distance to the horizon, minD :
22
maxmin cos Epp RrrD
H.最大地球中心角 maximum Earth central angle, max :
)/cos(arcdeg90max rRE
宇宙工学基礎(松永)
ケプラー軌道方程式のまとめ
15
H.瞬間アクセス面 instantaneous access area, IAA: )cos1( max AKIAA
(火星)
(月)
(地球)
]km[10550250.7
]km[10363898.1
]km[1087041556.2
][deg62480.626,20)2/(360
]steradians[311185283.62
27
27
28
22
AK
H.アクセス面レート area access rate, AAR: maxsin
AKAAR
H.最大可視時間 maximum time in view, maxT : /2 maxmax T
H.地表から見た最大角速度 maximum angular rate seen from ground, max :
ERr
r
max
H.指定された真近点離角における最大日食時間 maximum eclipse, ET :
)/arcsin()/2(/2 rRT EE
H.明暗界線のための太陽角条件, ' : 90'90
は大気屈折を考慮した太陽不可視角、暗角 dark angle
H.天体座標が既知の宇宙機の経過時間 transit time of a spacecraft whose celestial coordinates are
known, T: GSTLT
ここで、:赤径、L:観測者東経 observer east longitude、GST:グリニッジ恒星時 Greenwich Sidereal
time
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