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Capıtulo 1:
FORMULARIO
ALGEBRA
TEORIA DE EXPONENTES
Expresiones algebraicas
E
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
EA
8
>
>
<
>
>
:
EAR
8
<
:
EARE −→ Z+0
EARF −→ Z−
EAI −→ Q
ET
Teoremas de exponentes:
1) aman = am+n
2)am
an= am−n , a 6= 0
3) (a · b)n = anbn
4)
�
a
b
�n
=an
bn, b 6= 0
5)
�
am�n
= amn =
�
an�m
6)
��
am�n�p
= amnp
7) a−1 =1
a, a 6= 0
8) a−n =1
an, a 6= 0
9)
�
a
b
�−n
=
�
b
a
�n
, a 6= 0, b 6= 0
Teoremas de radicales:
Sean a, b, m, n, p ∈ R, m 6= 0, n 6= 0, p 6= 0
10) n√ab = n
√a n√b
11) n
É
a
b=
n√a
n√b, b 6= 0
12) m
È
n√a = mn
√a
13) p
q
m
È
n√a = pmn
√a
14) n√a = a1/n
15) n√am = am/n = ( n
√a)m
16) n√am
p= amp/n
17) am. n√ap = n
√amn.ap
Casos especiales:
18)m
q
xr n
È
ysp√zt = mnp
p
xrnp.ysp.zt
19)n
É
xn
q
xn
È
x . . . n√x
| {z }
m radicales
=
nm
Ê
x
nm − 1
n− 1
20)
É
x3
q
x2 4È
x3 . . .n√xn−1 =
n!√xn!−1
Ecuaciones exponenciales
1) Si ax = ay ⇒ x = y ⇔ a > 0 y a 6= 1
2) Si ax = bx ⇒ a = b ⇔ a > 0 y b > 0
3) Si xx = aa ⇒ x = a
4) Si x√x = a
√a ⇒ x = a
5) Si ax = by ⇒ x = y = 0, para todo a, b ∈ R.
1
2 Algebra Walter Arriaga Delgado
Formas indeterminadas:
1)m
q
xn m
È
xn m√xn . . .∞ = m−1
√xn
2)m
q
xn ÷ m
È
xn ÷ m√xn ÷ . . .∞ = m+1
√xn
3)q
n(n+ 1) +È
n(n+ 1) + . . .∞ = n+ 1
4)q
n(n+ 1)−È
n(n+ 1)− . . .∞ = n
5) n√n
n√n
n√n...∞
= n
6) xxx...∞
= n ⇒ x = n√n
GRADOS
Sean los polinomios P (x) de grado m, y Q(x) de
grado n (con m > n), entonces:
Operacion Grado
P (x)±Q(x) m
P (x).Q(x) m+ n
P (x)
Q(x)m− n
[P (x)]k m.k
k
È
P (x)m
k, k 6= 0
Si P (x) es completo, entonces NT = GA+ 1
Si P (x, y) es completo, homogeneo y ordenado
entonces NT = GA+ 1
P
coef. de P (x) = P (1)
T.I. de P (x) = P (0)
PRODUCTOS NOTABLES
Cuadrado de un binomio
1) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
2) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
3) (a− b)2b = (b− a)2b
Suma por su diferencia
4) (a+ b)(a− b) = a2 − b2
5) (an + bn)(an − bn) = a2n − b2n
Cubo de un binomio
6) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3
7) (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b)
8) (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
9) (a− b)3 = a3 − b3 − 3ab(a− b)
Binomio por trinomio
10) (a+ b)(a2 − ab+ b2) = a3 + b3
11) (a− b)(a2 + ab+ b2) = a3 − b3
Suma y diferencia de potencias n-esimas
12) (a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−· · ·+bn−1) = an+bn
13) (a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+· · ·+bn−1) = an−bn
Cuadrado de un trinomio
14) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
15) (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc)
16) (a+ b− c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc
17) (a− b+ c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab+ 2ac− 2bc
18) (a− b− c)2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc
19) (a− b− c)2 = (b + c− a)2
20) (ab+ac+ bc)2 = a2b2+a2c2+ b2c2+2abc(a+ b+ c)
Cubo de un trinomio
21) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a +
b2c+ c2a+ c2b) + 6abc
22) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(a+ c)(b + c)
23) (a + b + c)3 = 3(a + b + c)(a2 + b2 + c2) − 2(a3 +
b3 + c3) + 6abc
24) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ ac+
bc)− 3abc
Identidades de Stevin: Producto de binomios
con un termino comun
25) (x+ a)(x + b) = x2 + (a+ b)x+ ab
Walter Arriaga Delgado Algebra 3
26) (x− a)(x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab
27) (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a+ b + c)x2 + (ab +
ac+ bc)x+ abc
28) (x − a)(x − b)(x − c) = x3 − (a+ b + c)x2 + (ab +
ac+ bc)x− abc
Identidades de Legendre
29) (a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2)
30) (a+ b)2 − (a− b)2 = 4ab
31) (a+ b)4 − (a− b)4 = 8ab(a2 + b2)
Identidades de Lagrange
32) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax+ by)2 + (ay − bx)2
33) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 +
(ay − bx)2 + (az − cx)2 + (bz − cy)2
Identidades de Argand
34) (x2 + x+ 1)(x2 − x+ 1) = x4 + x2 + 1
35) (x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
36) (x2m + xmyn + y2n)(x2m − xmyn + y2n) = x4m +
x2my2n + y4n
Identidades auxiliares
37) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab−bc− ac) (Equivalencia de Gauss)
38) a3 + b3 + c3 − 3abc =1
2(a + b +
c)�
(a− b)2 + (a− c)2 + (b − c)2�
39) (a + b + c)3 + 2(a3 + b3 + c3) = 3(a + b + c)(a2 +
b2 + c2) + 6abc
40) (a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(a2 + b2 +
c2)− 3abc
41) (a− b)3+(b− c)3+(c− a)3 = 3(a− b)(b− c)(c− a)
42) (a+ b)(a+ c)(b+ c)+abc = (a+ b+ c)(ab+ bc+ ca)
43) a3 =
�
a(a+ 1)
2
�2
−�
a(a− 1)
2
�2
Igualdades condicionales
1) Si a+ b+ c = 0 entonces:
a) a2 + b2 + c2 = −2(ab+ ac+ bc)
b) a3 + b3 + c3 = 3abc
c) a4 + b4 + c4 = 2�
a2b2 + a2c2 + b2c2�
d) a5 + b5 + c5 = −5abc(ab+ ac+ bc)
e) a6 + b6 + c6 = 3(abc)2 − 2(ab+ ac+ bc)3
f) a7 + b7 + c7 = 7abc(ab+ ac+ bc)2
g)�
a2 + b2 + c2�2
= 2�
a4 + b4 + c4�
h) (ab+ ac+ bc)2 = a2b2 + a2c2 + b2c2
i)
�
a2 + b2 + c2
2
��
a3 + b3 + c3
3
�
=a5 + b5 + c5
5
j)
�
a2 + b2 + c2
2
��
a5 + b5 + c5
5
�
=a7 + b7 + c7
7
2) Si a2 + b2 + c2 = ab+ ac+ bc ⇒ a = b = c
3) Si a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a = b = c
4) Si (a+b+c)3 = a3+b3+c3 ⇒ (a+b+c)2n+1 =
a2n+1 + b2n+1 + c2n+1
COCIENTES NOTABLES
CASOS Condicion (r = 0)
xn − yn
x− yC.N. ∀n ∈ N
xn − yn
x+ yC.N. ∀n par
xn + yn
x+ yC.N. ∀n impar
xn + yn
x− yNo es C.N.
Dado el cociente notable:
xm ± yn
xp ± yq
1)m
p=
n
q= (NT)
2) Tk = (signo)(xp)NT−k(yq)k−1
3) Tk←
= (signo)(yq)NT−k(xp)k−1
4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:
k1 =NT
2k2 =
NT
2+ 1
4 Algebra Walter Arriaga Delgado
5) Si NT es impar, existe un termino central:
k =NT+ 1
2
MCD y MCM
A×B = MCD(A,B) ×MCM(A,B)
Siax+ by + c
px+ qy + r, es constante o independiente de
x e y, entoncesa
p=
b
q=
c
r
Si x → 1 entoncesxn − 1
xm − 1=
n
m
POTENCIACION
Coeficiente binomial
Si n ∈ R, r ∈ Z+0 , entonces:
�
n
r
�
=n(n− 1)(n− 2) . . . (n− r + 1)
r!
Si n, r ∈ Z+0 y r ≤ n, entonces:
�
n
r
�
= Cnr
Numero combinatorio
1) Cnr =
n!
r!(n − r)!
2) Cn1 = n
3) Cnn = 1
4) Cn0 = 1
5) Cnr = Cn
n−r
6) Cnr + Cn
r+1 = Cn+1r+1
7) Cnr =
n
rCn−1
r−1
8) Cnr =
n
n− rCn−1
r
9) Cnr =
n− r + 1
rCn
r−1
10) Cnp = Cn
q ⇔
8
<
:
p = q
p+ q = n
11) Cn0 + Cn
1 + Cn2 + · · ·+ Cn
n = 2n
Binomio de Newton
Dado el binomio de Newton:
(axp + byq)n
1) NT = n+ 1
2) Tk+1 = Cnk (ax
p)n−k(byq)k
3) Tk+1←
= Cnk (by
q)n−k(axp)k
4) Si NT es par, existe dos terminos centrales:
k1 = NT2 k2 = NT
2 + 1
5) Si NT es impar, existe un termino central:
k = NT+12
6) Suma de coeficientes:P
coef = (a+ b)n
7) Suma de exponentes:P
expo =(p+ q)n(n+ 1)
2
8) Si u y v son los lugares de dos terminos equidistan-
tes, entonces: u+ v = n+ 2
9) NTRF = NTR−NTRE
10) NTI = NT−NTR
Triangulo de Pascal
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Dada la expresion:
(a1 + a2 + · · ·+ ar)n
NT = Cn+r−1n =
(n+ r − 1)!
n!(r − 1)!
Walter Arriaga Delgado Algebra 5
Analisis combinatorio
1) Permutacion: Pn = n!
2) Permutacion circular: PCn = (n− 1)!
3) Permutacion con repeticion:
PRα1,α2,...,αmn =
n!
α1!α2! . . . αm!
4) Variaciones: V nr =
n!
(n− r)!
5) Variaciones con repeticion de n elementos tomados
de m en m: V Rmn = nm
6) Combinaciones: Cnr =
n!
r!(n− r)!
7) V nn = Pn
8) V nr = r!Cn
r
RADICACION
Radicales dobles
1)È
A±√B =
É
A+ C
2±É
A− C
2donde: C =
√A2 −B
2)È
A±√B =
È
a+ b± 2√ab =
√a±
√b, a > b
3)È
a+ b+ c+ 2√ab+ 2
√ac+ 2
√bc =
√a+
√b+
√c
Racionalizacion
Para hallar el denominador racionalizado DR
Fraccion DRN
2n√a± 2n
√b
a− b
N2n+1
√a± 2n+1
√b
a± b
N
3√a2 − 3
√ab+ 3
√b2 a+ b
N
3√a2+ 3
√ab+ 3
√b2 a− b
MATRICES Y DETERMINANTES
Matrices
AB 6= BA
(A±B)T = AT ±BT
(λA)T = λAT
((A)T )T = A
(AB)T = BTAT
Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:
Traz(A±B) = Traz(A)± Traz(B)
Traz(λA) = λTraz(A)
Traz(AB) = Traz(BA)
Traz(A) = Traz(AT )
A es simetrica si y solo si AT = A
A es antisimetrica si y solo si AT = −A
A es involutiva si y solo si A2 = I
A es nilpotente si y solo si Ak = 0
A es idempotente si y solo si A2 = A
Determinantes
Sean las matrices A,B ∈ Mn×n, se cumple:
|AB| = |A||B|
|AT | = |A|
|An| = |A|n
|kA| = kn|A|
Adj(A) = [cofact(A)]T
A−1 =Adj(A)
|A| ; |A| 6= 0
(AB)−1 = B−1A−1
|Adj(A)| = |A|n−1
6 Algebra Walter Arriaga Delgado
ECUACIONES
Ecuaciones
8
>
>
<
>
>
:
E. Compatibles
8
<
:
E. C. Determinadas
E. C. Indeterminadas
E. Incompatibles
Dada la ecuacion cuadratica:
ax2 + bx+ c = 0
1) x =−b±
√b2 − 4ac
2a
2) ∆ = b2 − 4ac
3) Suma de raıces: x1 + x2 = − b
a
4) Producto de raıces: x1x2 =c
a
5) Diferencia de raıces: x1 − x2 =
√∆
a
6) Suma de inversas de raıces:1
x1+
1
x2= −b
c
7) Raıces simetricas: x1 + x2 = 0 o b = 0
8) Raıces recıprocas: x1x2 = 1 o a = c
9) Raıces iguales: x1 − x2 = 0 o ∆ = 0
10) Si ∆ > 0, las raıces son reales y diferentes.
11) Si ∆ = 0, las raıces son reales e iguales.
12) Si ∆ < 0, las raıces son complejas y conjugadas.
INECUACIONES
Desigualdades
1) Para a < b < c
Si a > 0, entonces a2 < b2 < c2
Si c < 0, entonces c2 < b2 < a2
Si a < 0, ∧ c > 0, entonces
0 ≤ b2 < (max{|a|, |c|})2
Inecuaciones exponenciales
1) Si b > 1 entonces:
bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)
bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)
2) Si 0 < b < 1 entonces:
bP (x) > bQ(x) ⇒ P (x) < Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x)
bP (x) < bQ(x) ⇒ P (x) > Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x)
Inecuaciones irracionales
0 ≤ x ≤ y ⇔ 0 ≤ √x ≤ √
y
0 < x < y ⇔ 0 <√x <
√y
2n√a > 0 ⇔ a ≥ 0
2n√a = 0 ⇔ a = 0
2n√a ≤ 2n
√b ⇔ 0 ≤ a ≤ b
2n+1√a ≥ 0 ⇔ a ≥ 0
2n+1√a < 0 ⇔ a < 0
2n+1√a ≤ 2n+1
√b ⇔ a ≤ b
2n√a+ 2n
√b ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 ∧ b ≥ 0
2n√a+ 2n
√b ≤ 0 ⇔ a = 0 ∧ b = 0
√a ≤ b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a ≤ b2)
√a < b ⇔ a ≥ 0 ∧ (b > 0 ∧ a < b2)
√a ≥ b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a ≥ b2)]
√a > b ⇔ a ≥ 0 ∧ [b < 0 ∨ (b ≥ 0 ∧ a > b2)]
Walter Arriaga Delgado Algebra 7
Inecuaciones con valor absoluto
|x| =
8
<
:
x , x ≥ 0
−x , x < 0
|x| ≥ 0 ∀x ∈ R
|x| = 0 ⇔ x = 0
|x|2 = x2
|x| =√x2
|x| = | − x|
|xy| = |x||y|�
�
�
�
x
y
�
�
�
�
=|x||y| y 6= 0
|a| = b ⇔ b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
|a| = |b| ⇔ a2 = b2
|a+ b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdad triangular)
|a| < b ⇔ b ≥ 0 ∧ −b < a < b
|a| ≤ b ⇔ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b
|a| > b ⇔ a > b ∨ a < −b
|a| ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b
LOGARITMOS
1) logb 1 = 0
2) logb b = 1
3) logb an = n logb a
4) logb bn = n
5) logbm an =n
mlogb a
6) logbm bn =n
m
7) logb(xy) = logb x+ logb y
8) logb
�
x
y
�
= logb x− logb y
9) logb a =logx a
logx b
10) logb a loga c = logb c
11) logb a = logbn an
12) logb a = log n√b
n√a
13) cologba = − logb a
14) antilogba = ba
15) antilogb logb a = a
16) logb antilogba = a
17) cologbantilogba = −a
18) ln a = loge a
19) Si b > 1 entonces:
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U
U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0
20) Si 0 < b < 1 entonces:
logb P (x) > logb Q(x) ⇒ P (x) < Q(x) ∧ U
logb P (x) ≥ logb Q(x) ⇒ P (x) ≤ Q(x) ∧ U
logb P (x) < logb Q(x) ⇒ P (x) > Q(x) ∧ U
logb P (x) ≤ logb Q(x) ⇒ P (x) ≥ Q(x) ∧ U
U = P (x) > 0 ∧ Q(x) > 0
RAZONAMIENTO MATEMATICO
SERIES Y SUCESIONES
1) Numero de terminos de una sumatoria.nX
k=r
ak tiene (n− r) + 1 terminos.
2)nX
k=1
cak = cnX
k=1
ak ; c: constante.
3)nX
k=r
c = c(n− r + 1) ; c: constante.
8 Algebra Walter Arriaga Delgado
4)nX
k=r
(ak − ak−1) = an − ar−1
5)nX
k=1
(ak + bk − ck) =nX
k=1
ak +nX
k=1
bk −nX
k=1
ck
6)nX
k=1
ak =mX
k=1
ak +nX
k=m+1
ak ; ∀n > 1
7)nX
k=0
ak =n+hX
k=h
ak−h ; h ∈ Z
8)nX
k=1
k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2
9)nX
k=1
2k = 2nX
k=1
k = 2(1+2+3+ · · ·+n) = n(n+1)
10)nX
k=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2
11)nX
k=1
k2 = 12+22+32+ · · ·+n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
12)nX
k=1
k3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
�
n(n+ 1)
2
�2
13) S = a1+a2+a3+ · · ·+an+ · · · = a11− r
, r : razon
geometrica.
14)nX
k=1
k(k+1) = 1×2+2×3+3×4+ · · ·+n(n+1) =
n(n+ 1)(n+ 2)
3
15)nX
k=1
k(k+1)(k+2) = 1× 2× 3+2× 3× 4+3× 4×
5+ · · ·+ n(n+1)(n+ 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)
4
16)mX
k=n
1
k(k + r)=
1
r
�
1
n− 1
m+ r
�
17)nX
k=1
1
k(k + 1)=
1
1
�
1
1− 1
n+ 1
�
18)nX
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)=
1
2
�
1
1× 2− 1
(n+ 1)(n+ 2)
�
19)nX
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)=
1
3
�
1
1× 2× 3− 1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)
�
FRACCIONES
Dada la descomposicion canonica de N :
N = Aa ×Bb × Cc × · · ·
la cantidad de numeros menores que N que son PESI
con el esta dado por:
∅(N) = n(1− 1/A)(1− 1/B)(1− 1/C) . . .
Razones y proporciones:
Razon aritmetica: a− b = r
Razon geometrica:a
b= r
Tipos de proporcion:
Discreta: terminos medios diferentes
Proporcion Proporcion
aritmetica geometrica
a− b = c− da
b=
c
d
d = 4◦ diferencial d = 4◦ proporcional
de a, b y c de a, b y c
d = b+ c− a d =bc
a
Continua: terminos medios iguales
Proporcion Proporcion
aritmetica geometrica
a− b = b− ca
b=
b
c
c = 3◦ diferencial c = 3◦ proporcional
de a y b de a y b
c = 2b− a c =b2
a
b = media diferencial b = media proporcio-
de a y b nal de a y b
b =a+ c
2b =
√ac
Propiedades: Si:
a1b1
=a2b2
=a3b3
= · · · = anbn
= k
entonces:
1) a1 = b1k; a2 = b1k; a3 = b3k; . . . an = bnk
Walter Arriaga Delgado Algebra 9
2)a1 + a2 + a3 + · · ·+ anb1 + b2 + b3 + · · ·+ bn
= k
3)am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnbm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn
= km
4)mp
am1 + am2 + am3 + · · ·+ amnmp
bm1 + bm2 + bm3 + · · ·+ bmn= k
5)a1 × a2 × a3 × · · · × anb1 × b2 × b3 × · · · × bn
= kn
6)a1 ± b1
b1=
a2 ± b2b2
= · · · = an ± bnbn
= k ± 1
7)a1 ± b1
a1=
a2 ± b2a2
= · · · = an ± bnan
=k ± 1
k
8)a1 + b1a1 − b1
=a2 + b2a2 − b2
= · · · = an + bnan − bn
=k + 1
k − 1
Porcentajes
Propiedades:
a%N =a
100×N
(a± b)%N = a%N ± b%N
a%b = b%a
Descuentos sucesivos:
Du = 100%−(100−D1)%(100−D2)% . . . (100−Dn)%
Aumentos sucesivos:
Au = (100+A1)%(100+A2)% . . . (100+An)%−100%
Aplicaciones:
Pv = Pc+G
Pv = Pc− P
Pv = PL(100 + A1)%(100 + A2)% . . . (100 +
An)%
Pv = PL(100 − D1)%(100 − D2)% . . . (100 −Dn)%
LOGICA MATEMATICA
Variables Negacion Conjuncion Disyuncion Condicional Bicondicional Disyuncion
inclusiva exclusiva
p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q p∆ q
V V F V V V V F
V F F F V F F V
F V V F V V F V
F F V F F V V F
1. Idempotencia:
a) p ∧ p ≡ p
b) p ∨ p ≡ p
2. Conmutativa:
a) p ∧ q ≡ q ∧ p
b) p ∨ q ≡ q ∨ p
c) p ↔ q ≡ q ↔ p
d) p ∆q ≡ q∆p
3. Asociativa:
a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
b) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
c) (p ↔ q) ↔ r ≡ p ↔ (q ↔ r)
d) (p ∆q)∆r ≡ p ∆(q ∆r)
4. Distributiva:
a) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
b) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
c) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)
d) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)
5. Identidad:
a) p ∧ V ≡ V ∧ p ≡ p
b) p ∧ F ≡ F ∧ p ≡ F
c) p ∨ V ≡ V ∨ p ≡ V
10 Algebra Walter Arriaga Delgado
d) p ∨ F ≡ F ∨ p ≡ p
6. Complemento:
a) ∼∼ p ≡ p
b) p ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ p ≡ F
c) p ∨ ∼ p ≡ ∼ p ∨ p ≡ V
d) p → p ≡ V
e) p ↔ p ≡ V
f) ∼ (p ∧ ∼ p) ≡ V
g) ∼ V ≡ F
h) ∼ F ≡ V
7. Morgan:
a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
8. Absorcion:
a) p ∧ (p ∨ q) ≡ p
b) p ∨ (p ∧ q) ≡ p
c) p ∧ (∼ p ∨ q) ≡ p ∧ q
d) p ∨ (∼ p ∧ q) ≡ p ∨ q
9. Implicacion:
a) p → q ≡ ∼ p ∨ q
b) p → q ≡ ∼ (p ∧ ∼ q)
c) p → q ≡ ∼ q → ∼ p
10. Doble Implicacion:
a) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
b) p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q)
11. Diferencia Simetrica:
a) p ∆q ≡ ∼ (p ↔ q)
b) p ∆q ≡ (p ∧ ∼ q) ∨ (q ∧ ∼ p)
12. Expansion Booleana:
a) p ≡ p ∧ (q ∨ ∼ q)
b) p ≡ p ∨ (q ∧ ∼ q)
13. Transposicion:
a) p → q ≡ ∼ q → ∼ p
b) p ↔ q ≡ ∼ q ↔ ∼ p
14. Exportacion:
a) (p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)
b) (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) → r ≡ (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧pn−1) → (pn → r)
CONJUNTOS
1) n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)
2) Numero de subconjuntos de A: n[P (A)] = 2n(A)
3) Numero de subconjuntos propios de A: 2n(A) − 1
4) Numero de subconjuntos binarios de A: Cn(A)2
5) Numero de subconjuntos ternarios de A: Cn(A)3
Leyes del algebra de conjuntos
1. Reflexivas:
a) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A
2. Conmutativas:
a) A ∪B = B ∪ A
b) A ∩B = B ∩ A
c) A∆B = B∆A
3. Asociativas:
a) A ∪ (B ∪C) = (A ∪B) ∪ C
b) A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C
c) A∆(B∆C) = (A∆B)∆C
4. Distributivas:
a) A ∪ (B ∩C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
b) A ∩ (B ∪C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
c) (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
d) (A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
5. Inclusion:
Si A ⊂ B entonces:
8
>
>
<
>
>
:
A ∪B = B
A ∩B = A
A−B = φ
A∆B = B −A
6. Exclusion:
Si A ∩B = φ entonces:
¨
A−B = A
A∆B = A ∪B
7. Elemento neutro:
a) A ∪ φ = A
b) A ∩ φ = φ
c) A ∪ U = U
d) A ∩ U = A
8. Complemento:
a) (A′)′ = A
b) A ∪ A′ = U
Walter Arriaga Delgado Algebra 11
c) A ∩ A′ = φ
d) φ′ = U
e) U ′ = φ
9. Diferencia:
a) A− B = A ∩B′
b) A− B = B′ −A′
10. Diferencia simetrica:
a) A∆B = (A ∪B)− (A ∩B)
b) A∆B = (A−B) ∪ (B −A)
11. Morgan:
a) (A ∪B)′ = A′ ∩B′
b) (A ∩B)′ = A′ ∪B′
12. Absorcion:
a) A ∪ (A ∩B) = A
b) A ∩ (A ∪B) = A
c) A ∪ (A′ ∩B) = A ∪B
d) A ∩ (A′ ∪B) = A ∩B
NUMERACION
8
<
:
(1a)(1b)
(1c)
. . .(1z)(n)
= n+ a+ b + c+ · · · z
8
<
:
(a1)(a1)
(a1)
. . .(a1)(n)
= akn + ak−1 + ak−2 +
· · ·+ a2 + a+ 1
Operaciones combinadas
1) N◦ mayor =S +D
2N◦ menor =
S −D
2
2) N◦ mayor =SQ
Q+ 1N◦ menor =
S
Q+ 1
3) N◦ mayor =DQ
Q− 1N◦ menor =
D
Q− 1
4) N◦ mayor =S +
√∆S
2N◦ menor =
S −√∆S
2
5) N◦ mayor =
√∆D +D
2N◦ menor =
√∆D −D
2donde:S = suma, D = diferencia, Q = cociente, P = pro-ducto, ∆S = S2 − 4P , ∆D = D2 + 4P ,
CONTEO DE FIGURAS
1. Segmentos
A B C D E F
1 2 3 4 · · · n
N◦ de segmentos =n(n+ 1)
2
2. Triangulos
1 2 3 4 · · · n
N◦ de triangulos =n(n+ 1)
2
1 2 3 4 · · · n
2
3
...
m
N◦ de triangulos =
�
n(n+ 1)
2
�
m
1 2 3 4 · · · n
2
3
...
m
N◦ de triangulos =nm(n+m)
2
3. Cuadrilateros
1 2 3 4 · · · n
2
3
4
..
.
m
N◦ de cuadrilateros =n(n+ 1)
2× m(m+ 1)
2
4. Cuadrados
12 Algebra Walter Arriaga Delgado
1 2 3 4 · · · n
2
3
4
..
.
n
N◦ de cuadrados =n(n+ 1)(2n+ 1)
6
1 2 3 4 · · · n
2
3
4
..
.
m
N◦ de cuadrados = nm + (n − 1)(m − 1) + (n −2)(m− 2) + · · ·
5. Semicırculos
N◦ semicırculos = 2(N◦ diametros)(N◦ cırculos)
DIVISIBILIDAD
1) Si A =◦n y B =
◦n ⇒ A±B =
◦n
2) Si A =◦n y B =
◦n ⇒ AB =
◦n
3) Si A =◦n+r1 ; B =
◦n+r2 ; ⇒ A+B =
◦n+r1+r2
4) Si A =◦n+r1 ; B =
◦n+r2 ; ⇒ AB =
◦n+r1r2
5) Si A =◦n1 +r; A =
◦n2 +r; ⇒ A =
◦MCD(n1, n2)+r
6) Si A =◦n ⇒ Ak =
◦n , k ∈ Z
7) Si A =◦n ⇒ kA =
◦n , k ∈ Z
8) Si A =◦n+r ⇒ Ak =
◦n+rk , k ∈ Z
9) Teorema de Wilson: Si p es un numero primo:
(p− 1)! =◦p−1
Divisores
Dado el numero
N = aαbβcγ
1) CDN = (α+ 1)(β + 1)(γ + 1)
2) CDN = 1 + CDprimos + CDcompuestos
3) SDN =aα+1 − 1
a− 1× bβ+1 − 1
b− 1× cγ+1 − 1
c− 1
4) SIDN =SDN
N
5) PDN =√NCDN
RELOJES
Hora real = Hora marcada – Adelanto
Hora real = Hora marcada + Atraso
θ = ±11m
2∓ 30H
RELACIONES Y FUNCIONES
Producto cartesiano:
Si A 6= B, entonces A×B 6= B ×A
A×B = B ×A ⇐⇒ A = B.
A× φ = φ×A = φ.
A×B = φ ⇐⇒ A = φ o B = φ.
A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C)
A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)
A× (B − C) = (A×B)− (A× C)
(A×B)× C 6= A× (B × C)
A ⊂ B =⇒ (A× C) ⊂ (B × C)
A ⊂ C y B ⊂ D ⇐⇒ (A×B) ⊂ (C×D)
(A′ ×B′) ⊂ (A×B)′
(A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)
(A×B) ∪ (C ×D) ⊂ (A ∪ C)× (B ∪D)
Dominio y rango:
Dom(R) = {a ∈ A / ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R} ⊂ A
Ran(R) = {b ∈ B / ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R} ⊂ B
Dom(R1 ∪R2) = Dom(R1) ∪Dom(R2)
Dom(R1 ∩R2) ⊂ Dom(R1) ∩Dom(R2)
Dom(R1 −R2) ⊃ Dom(R1)−Dom(R2)
Ran(R1 ∪R2) = Ran(R1) ∪ Ran(R2)
Walter Arriaga Delgado Algebra 13
Ran(R1 ∩R2) ⊂ Ran(R1) ∩Ran(R2)
Ran(R1 −R2) ⊃ Ran(R1)− Ran(R2)
Clases de relaciones:
R es reflexiva ⇔ (x, x) ∈ R, ∀x ∈ A
R es simetrica ⇔ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ RR es transitiva ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒(x, z) ∈ RR es de equivalencia si es reflexiva, simetrica ytransitiva.
R es antisimetrica ⇔ (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ⇒x = y
R es de orden si es reflexiva, antisimetrica ytransitiva.
Linea recta:
R = {(x, y) / Ax+By + C = 0}m = −A/B
La parabola:
De forma implicita:
R = {(x, y) ∈ R2 /Ax2 +Dx+ Ey + F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 /Cy2 +Dx+ Ey + F = 0}
De forma explicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx+ c}
vertice=
�−b
2a,4ac− b2
4a
�
Si a > 0 la grafica se orienta hacia arriba.
Si a < 0 la grafica se orienta hacia abajo.
R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay2 + by + c}
vertice=
�−b
2a,4ac− b2
4a
�
Si a > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.
Si a < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.
Completando trinomios cuadrados perfectos:
R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x− h)2}vertice= (h, k)
Si p > 0 la grafica se orienta hacia arriba.
Si p < 0 la grafica se orienta hacia abajo.
R = {(x, y) ∈ R2 / x− h = 4p(y − k)2}vertice= (h, k)
Si p > 0 la grafica se orienta hacia la derecha.
Si p < 0 la grafica se orienta hacia la izquierda.
La circunferencia:
R = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 +Dx+Ey+ F = 0}R = {(x, y) ∈ R2 / (x− h)2 + (y − k)2 = r2}radio= r, centro= (h, k)
La elipse:
R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2
a2+
(y − k)2
b2= 1}
radio= r, centro= (h, k)
La hiperbola:
R = {(x, y) ∈ R2 /(x− h)2
a2− (y − k)2
b2= 1}
radio= r, centro= (h, k)
PROMEDIOS
1) Promedio aritmetico:
Pa =x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn
n=
nX
i=1
xi
n
Media aritmetica: Ma =a+ b
2
Promedio aritmetico ponderado:
Pp =a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · ·+ anxn
x1 + x2 + x3 + · · ·+ xn
2) Promedio geometrico:
Pg = n√x1x2x3 . . . xn
Media geometrica: Mg =√a× b
3) Promedio armonico:
Ph =n
1
x1+
1
x2+
1
x3· · ·+ 1
xn
=n
nX
i=1
1
xi
Media armonica: Mh =2ab
a+ b
Propiedades:
Ph < Pg < Pa
a× b = Ma ×Mh
M2g = Ma ×Mh
GEOMETRIA
14 Algebra Walter Arriaga Delgado
SEGMENTOS Y ANGULOS
Segmentos
A B C DE F
x
x =AC +BD
2
A B C D
AB2+AD
2= 2(AC
2+BC
2)
Angulos
Angulo nulo o perigono: α = 0◦
Angulo convexo: 0◦ < α < 180◦
Angulo agudo: 0◦ < α < 90◦
Angulo recto: α = 90◦
Angulo obtuso: 90◦ < α < 180◦
Angulo llano: α = 180◦
Angulo concavo: 180◦ < α < 360◦
Angulo de una vuelta: α = 360◦
Angulos complementarios: α+ β = 90◦
Angulos suplementarios: α+ β = 180◦
Angulos formados por dos rectas paralelas cor-
tadas por una secante
L1
L2
b1b2
b3 b4
b5b6
b7 b8
1) Angulos internos:
Alternos internos Conjugados internosb3 ∼= b6 b4 + b6 = 180◦
b4 ∼= b5 b3 + b5 = 180◦
2) Angulos externos:
Alternos externos Conjugados externosb2 ∼= b7 b2 + b8 = 180◦
b1 ∼= b8 b1 + b7 = 180◦
3) Angulos correspondientes:
b1 ∼= b5 b2 ∼= b6b3 ∼= b7 b4 ∼= b8
a
b
c
d
e
f
L2
L1
a+ b+ c = d+ e+ f
TRIANGULOS
B
A C
x
x = 90◦ +ÒB
2
B
A C
x
x = 90◦ −bA
2
B
A C
xx =
ÒB
2
B
A C
x
θ
x+ θ = 180◦
B
A C
x
θα
H M
BH = altura
BM = mediana
α > θ
x = α− θ
Walter Arriaga Delgado Algebra 15
B
A C
x
θα
H P
BH = alturaα > θ
x =α− θ
2
B
A C
xα θ
β
x = α+ β + θ
xα β
x =α+ β
2
B
A C
x
α
β
x =α+ β
2
Triangulos rectangulos notables
a2a
a√3
60◦
30◦
aa√2
a
45◦
45◦
3a5a
4a
53◦
37◦
24a25a
7a
16◦
74◦
3a
√10a
a
18◦30′
71◦30′
a
√5a
2a
63◦30′
26◦30′
CUADRILATEROS
B
b
mm =
B + b
2
B
b
P Q PQ =B − b
2
a
b
x
α 90− α
x =a− b
2
b
a
xm n
2m 2nx =
2a+ b
3
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
x α
A
B
x = α
x α
A
B
x =α
2
16 Algebra Walter Arriaga Delgado
x
α
A
P
x =α
2
x αβ
A
B
C
D
x =α+ β
2
x
αβ
A
BC
x =α− β
2
x
α
β
A
BC
Dx =
α− β
2
xα
β
A
B
x =α− β
2
β
x
αA
B x =α+ β
2
d
b
c
a
Teorema de Steiner
a− c = d− b
x
x = 90◦
b
c
R
a
Teorema de Poncelet
a+ b = c+ 2R
RELACIONES METRICAS
h
c
a b
m nB
C
A
a2 + b2 = c2
h2 = mn
a2 = cm
b2 = cn
ab = ch
1
h2=
1
a2+
1
b2
AREA DE REGIONES PLANAS
h
b
A =bh
2
l lh
l
A =l2√3
4
A =h2
√3
3
a
b
θ
A =ab
2sen θ
Walter Arriaga Delgado Algebra 17
a
b
c
A =È
p(p− a)(p− b)(p− c)
p =a+ b+ c
2
p = semiperımetro
B
A CH P
A∆ABP
A∆PBC=
AP
PC
Mediana
A1 = A2A1 A2
Ceviana
A1
A2=
m
nA1 A2
m n
bc
bc
Baricentro
A A
A A
AA
a
b
cr A =
abc
4r
r
A = p× r
p = semiperımetro
m n
A = m× n
A
B
C
D
θ A =AC ×BD
2sen θ
B
A C
D
A =AC ×BD
2
Da
a
A =d2
2= a2
a
b
h A =
�
a+ b
2
�
h
b
h A = bh
a
b
θ
A = ab sen θ
18 Algebra Walter Arriaga Delgado
a
A =3√3a2
2
R
A = πR2
R
R
α A =πR2α
360◦
R
R
α A =πR2α
360◦− R2 senα
2
R
rA = π(R2 − r2)
R
rα A =
π(R2 − r2)α
360◦
B
A C
A1
A2 A∆ABC = A1 +A2
GEOMETRIA DEL ESPACIO
AL : Area lateral
A : Area total o Area de la superficie
Ab : Area de la basePb : Perımetro de la basea : aristah : alturaV : volumenD : diagonal
Tetraedro regular
h =a√6
3
A = a2√3
V =a3√2
12
ha
Hexaedro regular o cubo
D = a√3
V = a3
AL = 4a2
A = 6a2
a
Ortoedro
D =√a2 + b2 + c2
V = abc
A = 2(ab+ ac+ bc) a
b
c
Prisma recto
a = h
AL = Pb × h
A = AL + 2Ab
V = Ab × h
h
Esfera
A = 4πr2
A = πD2
V =4
3πr3
r
Cono circular recto
A = πr2 + πrg,g =
√h2 + r2
V =1
3πr2h
r
h
Walter Arriaga Delgado Algebra 19
Tronco de cono
g2 = (r1 − r2)2 + h2
AL = π(r1 + r2)g
A = A1 +A2 +AL
π[r21 + r22 + (r1 + r2)g]
V =1
3πr2h
r1
r2
h g
Cilindro recto
AL = Pb × hAL = 2πrh
A = AL + 2Ab
A = 2πrh+ 2πr2
V = πr2hr
h
Poliedros regulares
Nombre Caras Vertices AristasTetraedro 4 4 6Exaedro 6 8 12Octaedro 8 6 12Dodecaedro 12 20 30Icosaedro 20 12 30
TRIGONOMETRIA
Razones trigonometricas
A
B
C
a
b
c
θ
sen θ =a
ccot θ =
b
a
cos θ =b
csec θ =
c
b
tan θ =a
bcsc θ =
c
a
Signos de las razones trigonometricas
Cuadrante I II III IVsenα + + – –
cosα + – – +
tanα + – + –
cotα + – + –
secα + – – +
cscα + + – –
Razones trigonometricas de angulos notables
π/6 π/3 π/430◦ 60◦ 45◦ 37◦ 53◦
senα 1/2√3/2
√2/2 3/5 4/5
cosα√3/2 1/2
√2/2 4/5 3/5
tanα√3/3
√3 1 3/4 4/3
cotα√3
√3/3 1 4/3 3/4
secα 2√3/3 2
√2 5/4 4/5
cscα 2 2√3/3
√2 4/5 5/4
Razones trigonometricas de angulos cuadranta-
les
0 π/2 π 3π/2 2π0◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦
senα 0 1 0 −1 0cosα 1 0 −1 0 1tanα 0 ∞ 0 ∞ 0cotα ∞ 0 ∞ 0 ∞secα 1 ∞ −1 ∞ 1cscα ∞ 1 ∞ −1 ∞
Identidades trigonometricas
1) Identidades recıprocas:
senx · cscx = 1
cosx · secx = 1
tanx · cotx = 1
2) Identidades de cociente:
tanx =senx
cosx
cotx =cosx
senx
3) Identidades pitagoricas:
sen2 x+ cos2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
Identidades auxiliares
sen4 x+ cos4 x = 1− 2 sen2 x cos2 x
sen6 x+ cos6 x = 1− 3 sen2 x cos2 x√1± 2 senx± cosx = | senx± cosx|
sec2 x+ csc2 x = sec2 x csc2 x
(senx± cosx)2 = 1± 2 senx cos x
tan2 x− sen2 x = tan2 x sen2 x
1 + senx
cosx=
cosx
1− senx
1− cosx
senx=
senx
1− cosx
20 Algebra Walter Arriaga Delgado
Formulas elementales
1) sen(α+ β) = senα cosβ + cosα senβ
2) sen(α− β) = senα cosβ − cosα senβ
3) cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ
4) cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ
5) tan(α+ β) =tanα+ tanβ
1− tanα tanβ
6) tan(α− β) =tanα− tanβ
1 + tanα tanβ
7) cot(α+ β) =cotα cotβ − 1
cotα+ cotβ
8) cot(α− β) =cotα cotβ + 1
cotα− cotβ
9) sen(α+β+θ) = senα cosβ cos θ+cosα senβ cos θ+cosα cosβ sen θ − senα senβ sen θ
10) cos(α+β+θ) = senα cosβ cos θ−cosα senβ sen θ−senα cosβ sen θ − senα senβ cos θ
11) sen(α+ β) sen(α− β) = sen2 α− sen2 β
12) cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 α− cos2 β
13) tanα+ tanβ =sen(α+ β)
cosα cosβ
14) tanα− tanβ =sen(α− β)
cosα cosβ
15) cotα+ cotβ =sen(α+ β)
senα senβ
16) cotα− cotβ =sen(β − α)
senα senβ
17) sen 2x = 2 senx cos x
18) sen 2x =2 tanx
1 + tan2 x
19) cos 2x = cos2 x− sen2 x
20) cos 2x = 1− 2 sen2 x
21) cos 2x = 2 cos2 x− 1
22) cos 2x =1− tan2 x
1 + tan2 x
23) tan 2x =2 tanx
1− tan2 x
24) 2 sen2 x = 1− cos 2x
25) 2 cos2 x = 1 + cos 2x
26) 8 sen4 x = 3− 4 cos 2x+ cos 4x
27) 8 cos4 x = 3 + 4 cos 2x+ cos 4x
28)√1 + sen 2x = | senx+ cosx|
29)√1− sen 2x = | senx− cosx|
30) cotx+ tanx = 2 csc 2x
31) cotx− tanx = 2 cot 2x
32) 1 + sec 2x =tan 2x
tanx
33)�
�
�
senx
2
�
�
�
=
É
1− cosx
2
34)�
�
�
cosx
2
�
�
�
=
É
1 + cosx
2
35)�
�
�
tanx
2
�
�
�
=
É
1− cosx
1 + cosx
36)�
�
�
cotx
2
�
�
�
=
É
1 + cosx
1− cosx
37) tanx
2= cscx− cotx
38) cotx
2= cscx+ cotx
39) cotx
2+ tan
x
2= 2 cscx
40) cotx
2− tan
x
2= 2 cotx
41)�
�
�
senx
2+ cos
x
2
�
�
�
=√1 + senx
42)�
�
�
senx
2− cos
x
2
�
�
�
=√1− senx
43) sen 3x = 3 senx− 4 sen3 x
44) cos 3x = 4 cos3 x− 3 cosx
45) tan 3x =3 tanx− tan3 x
1− 3 tan2 x
46) sen 3x = senx(2 cos 2x+ 1)
47) cos 3x = cosx(2 cos 2x− 1)
48) 4 senx sen(60− x) sen(60 + x) = sen 3x
49) 4 cosx cos(60− x) cos(60 + x) = cos 3x
50) tanx tan(60− x) tan(60 + x) = tan 3x
Walter Arriaga Delgado Algebra 21
Transformaciones trigonometricas
1) Si x > y, entonces:
senx+ sen y = 2 senx+ y
2cos
x− y
2
senx− sen y = 2 cosx+ y
2sen
x− y
2
cosx+ cos y = 2 cosx+ y
2cos
x− y
2
cos y − cosx = 2 senx+ y
2sen
x− y
22 senx cos y = sen(x+ y) + sen(x− y)
2 cosx sen y = sen(x+ y)− sen(x− y)
2 cosx cos y = cos(x+ y) + cos(x− y)
2 senx sen y = cos(x− y)− cos(x+ y)
2) Si x+ y + z = 180◦, entonces:
senx+ sen y + sen z = 4 cosx
2cos
y
2cos
z
2
cosx+ cos y + cos z − 1 = 4 senx
2sen
y
2sen
z
2
3) Si x+ y + z = 360◦, entonces:
2 senx+ sen y + sen z = 4 senx
2sen
y
2sen
z
2
cosx+cos y+cos z+1 = −4 cosx
2cos
y
2cos
z
2
Triangulos oblicuangulos:
1) Ley de senos:
A
B Ca
bca
senA=
b
senB=
c
senC
A
B Ca
bc
r
a
senA=
b
senB=
c
senC= 2r
2) Ley de cosenos:
A
B Ca
bc
a2 = b2 + c2 − 2bc cosA
b2 = a2 + c2 − 2ac cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC
3) Ley de tangentes:
A
B Ca
bc
a+ b
a− b=
tan A+B2
tan A−B2
b+ c
b− c=
tan B+C2
tan B−C2
a+ c
a− c=
tan A+C2
tan A−C2
4) Ley de proyecciones:
A
B Ca
bc
a = b cosC + c cosB
b = a cosC + c cosA
c = a cosB + b cosA
Razones trigonometricas de los semiangulos in-
ternos:
A
B Ca
bc
P = semiperımetro.
P =a+ b + c
2
senA
2=
r
(P − b)(P − c)
bc
senB
2=
r
(P − a)(P − c)
ac
senC
2=
r
(P − a)(P − b)
ab
cosA
2=
r
P (P − a)
bc
cosB
2=
r
P (P − b)
ac
cosC
2=
r
P (P − c)
ab
Ley de cosenos para un cuadrilatero inscripti-
ble:
22 Algebra Walter Arriaga Delgado
A
B
C
Da
b
c
dcosA =
a2 + d2 − b2 − c2
2(ad+ bc)
cosB =a2 + b2 − c2 − d2
2(ab+ cd)
cosC =b2 + c2 − a2 − d2
2(ad+ bc)
cosD =c2 + d2 − a2 − b2
2(ab+ cd)
FISICA
Analisis Dimensional
L : LongitudM : MasaT : Tiempoθ : Temperatura termodinamicaI : Intensidad de corriente electricaJ : Intensidad luminosaN : Cantidad de sustancia
Cinematica
MRU:
d = vt
MRUV:
v = v0 + at
v2 = v20 + 2ad
d = v0t+12 at
2
r = r0 + v0t +12 at
2, r indica el eje de movi-miento.
dn = v0 +12 a(2n− 1), distancia recorrida en el
enesimo segundo.
Caıda libre:
v = v0 ± gt
v2 = v20 ± 2gh
h = v0t+12 gt
2
h =�v0 + v
2
�
t
hn = v0 ± 12 g(2n− 1)
tvuelo =2v0g
, tiempo de vuelo
hmax =v202g
, altura maxima
Movimiento parabolico:
v0x = cte
vx = v0x = v0 cos θ, componente horizontal dela velocidad es constante
x = (v0 cos θ)t, desplazamiento horizontal
A =v20 sen 2θ
g, alcance horizontal
T =2v0 sen θ
g, tiempo de vuelo
|ay| = cte
v0y = v0 sen θ, componente vertical de la velo-cidad
vy = v0 sen θ − gt, velocidad vertical
y = v0t sen θ − 12 gt
2, desplazamiento vertical
QUIMICA
Elementos
S=Sımbolo G=Grupo Pe=PerıodoA=Atomo M=Masa P=ProtonesN=Neutrones E=Electrones F=Familia
Gases
Elemento S Elemento S Elemento SHidrogeno H Nitrogeno N Oxıgeno OFluor F Cloro Cl Helio HeNeon Ne Argon Ar Cripton KrXenon Xe Radon Rn
Walter Arriaga Delgado Algebra 23
S G Pe A M P N EH 1 1 1 1 1 0 1N 15 2 7 14 7 7 7O 16 2 8 16 8 8 8F 17 2 9 19 9 10 9Cl 17 3 17 36 17 19 17He 18 1 2 4 2 2 2Ne 18 2 10 20 10 10 10Ar 18 3 18 40 18 22 18Kr 18 4 36 84 36 48 36Xe 18 5 54 131 54 77 54Rn 18 6 86 222 86 136 86
Lıquidos
Elemento S Elemento S Elemento SCesio Cs Francio Fr Mercurio HgGalio Ga Bromo Br
S G Pe A M P N ECs 1 6 55 133 55 78 55Fr 1 7 87 223 87 136 87Hg 12 6 80 201 80 121 80Ga 13 4 31 70 31 39 31Br 17 4 35 80 35 45 35
Preparados de transicion
Elemento S Elemento SRutherfordio Rf Dubnio DbSeaborgio Sg Tecnecio TcBohrio Bh Hassio HsMeitnerio Mt Darmstadtio DsRoentgenio Rg Copernicio CnUnuntrio Uut Ununcuadio UuqUnunpentio Uup Ununhexio UuhUnunseptio Uus Ununoctio Uuo
S G Pe A M P N ERf 4 7 104 261 104 157 104Db 5 7 105 262 105 157 105Sg 6 7 106 263 106 157 106Tc 7 5 43 99 43 56 43Bh 7 7 107 262 107 155 107Hs 8 7 108 265 108 157 108Mt 9 7 109 266 109 157 109Ds 10 7 110 271 110 161 110Rg 11 7 111 272 111 161 111Cn 12 7 112 272 112 160 112Uut 13 7 113 283 113 170 113Uuq 14 7 114 285 114 171 114Uup 15 7 115 288 115 173 115Uuh 16 7 116 289 116 173 116Uus 17 7 117 291 117 174 117Uuo 18 7 118 293 118 175 118
Preparados lantanidos y actınidos
Elemento S Elemento SPrometio Pm Neptunio NpPlutonio Pu Americio AmCurio Cm Berkelio BkCalifornio Cf Einstenio EsFermio Fm Mendelevio MdNobelio No Laurencio Lr
S Pe A M P N EPm Lantanido 61 147 61 86 61Np Actınido 93 237 93 144 93Pu Actınido 94 244 94 150 94Am Actınido 95 243 95 148 95Cm Actınido 96 247 96 151 96Bk Actınido 97 247 97 150 97Cf Actınido 98 251 98 153 98Es Actınido 99 252 99 153 99Fm Actınido 100 257 100 157 100Md Actınido 101 258 101 157 101No Actınido 102 259 102 157 102Lr Actınido 103 262 103 159 103
Solidos alcalinos y alcalinoterreos
Elemento S Elemento S Elemento SLitio Li Sodio Na Potasio KRubidio Rb Berilio Be Magnesio MgCalcio Ca Estroncio Sr Bario BaRadio Ra
S G Pe A M P N ELi Alcalino 2 3 7 3 4 3Na Alcalino 3 11 23 11 12 11K Alcalino 4 19 39 19 20 19Rb Alcalino 5 37 86 37 49 37Be Alcalinoterreo 2 4 9 4 5 4Mg Alcalinoterreo 3 12 24 12 12 12Ca Alcalinoterreo 4 20 40 20 20 20Sr Alcalinoterreo 5 38 88 38 50 38Ba Alcalinoterreo 6 56 137 56 81 56Ra Alcalinoterreo 7 88 226 88 138 88
Solidos de la familia del escandio, titanio y va-
nadio
Elemento S Elemento S Elemento SEscandio Sc Itrio Y Lantano LaActinio Ac Titanio Ti Circonio ZrHafnio Hf Vanadio V Niobio NbTantalio Ta
24 Algebra Walter Arriaga Delgado
S F Pe A M P N ESc Escandio 4 21 45 21 24 21Y Escandio 5 39 89 39 50 39La Escandio 6 57 139 57 82 57Ac Escandio 7 89 227 89 138 89Ti Titanio 4 22 48 22 26 22Zr Titanio 5 40 91 40 51 40Hf Titanio 6 72 179 72 105 72V Vanadio 4 23 50 23 27 23Nb Vanadio 5 41 93 41 52 41Ta Vanadio 6 73 181 73 108 73
Dedicatoria
Para mis padres, Martha y Elıas; parami adorable esposa, Flor Angela y pa-ra los mas grandes tesoros de mi vida,mis hijas Alessandra Anghely y StefanyGrace.
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