formule trigonometriche. le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate...

FORMULE TRIGONOMETRICHE

FORMULE TRIGONOMETRICHE

Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo

Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30°

altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45° . . . La tangente di 45° è 1 mentre quella

di 90° è !!!!!

FORMULE TRIGONOMETRICHE

E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli

Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a

–

cos( – )

se si conoscono cos e cos

FORMULE TRIGONOMETRICHE

La risposta è

cos( – ) = sen sen + cos cos

Come si ottiene questa relazione?

FORMULE TRIGONOMETRICHE

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

P’

x

y

0 ACoseno della differenza tra due angoli

cos( – )

P’

P’ (cos; sen)

x

y

0 A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

Quest’angolo in verde è

-

-

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

-

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

-

Scriviamo l’espressione della distanza P’P

A

RIPASSO

DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI

x

y

0

A

B

A (xa; ya) B(xb; yb)

A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

-

Scriviamo l’espressione della distanza P’P

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

-

Costruiamo lo stesso angolo ( – partendo dal punto A

A

P

P’ (cos; sen)

x0

y

P’P

P (cos; sen

-

Costruiamo lo stesso angolo – partendo dal punto A

Ax

P

x0

y

- A

x

KP’P

P

0

y

- A

x

KP’P

A (1; 0) K [cos( – ); sen( – )]

La distanza AK è data da

P

0

y

- A

x

KP’P

PP’ = AK

Coseno della somma tra due angoli

cos( + )

cos( + ) = cos[ – (- )]

Applicando la relazione trovata in precedenza

cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )

e, poiché

sen(- ) = - sen

e

cos(- ) = cos

x

y

cos( + ) = cos[ – (- )]

Applicando la relazione trovata in precedenza

cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )

e, poiché

sen(- ) = - sen

e

cos(- ) = cos

x

y

cos( + ) = cos[ – (- )]

Applicando la relazione trovata in precedenza

cos[ – (- )] = sensen(- ) + coscos(- )

e, poiché

sen(- ) = - sen

e

cos(- ) = cos

x

y

cos( + ) =

sensen + coscossensen + coscos

quindi

Seno della somma tra due angoli

sen( + )

Seno della differenza tra due angoli

sen( - )

FORMULE DI DUPLICAZIONE

sen2=

cos2=

cotg2=

tg2=

FORMULE DI DUPLICAZIONE

sen2=sencossensencos

sen2sencos

FORMULE DI DUPLICAZIONE

cos2=coscoscossensen

cos2cos2sen2

FORMULE DI DUPLICAZIONE

cos2cos2sen2

Esercizio

Utilizzando

sen2sencos

Ricavare le formule di duplicazione per:tg2e cotg2

FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE

sen(sencossencos

cos(sensencoscos

FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE

sen(sencossencos

cos(sensencoscos

FORMULE DI ADDIZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE

sen(sencossencos

cos(sensencoscos

FORMULE DI SOTTRAZIONEESEMPIO DI APPLICAZIONE

sen(sencossencos

cos(coscossensen