frm lecture 2

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Управление финансовыми рискамиЗанятие 2

А.В. Сурков

Факультет экономикиЕвропейский университет в Санкт-Петербурге

18 апреля 2011 г.

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Содержание

Модели ценности под рискомМетоды расчета ценности под рискомПроверка адекватности моделей ценности под рискомРазвитие моделей ценности под рискомНедостатки моделей ценности под риском иальтернативные меры риска

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Содержание

Модели ценности под рискомМетоды расчета ценности под рискомПроверка адекватности моделей ценности под рискомРазвитие моделей ценности под рискомНедостатки моделей ценности под риском иальтернативные меры риска

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Общий обзор методов

I Аналитические методы – методы локальной оценкиI Линейные моделиI Нелинейные модели

I Численные методы – методы полной переоценкиактива

I Метод Монте-КарлоI Расчет по исторической информацииI Bootstrapping

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Локальный метод (1)

I ПустьI фактор риска S имеет какое-то распределениеI ценность инвестиции V монотонно зависит от S ,I мы можем определить изменение VaRα(δS) для

заданной доверительной вероятности α, такое что,более экстремальные значения δS , приводящие ктаким же или большим убыткам, могутреализоваться лишь с вероятностью 1− α

I Тогда

VaRα(δV ) =

∣∣∣∣∂V∂S∣∣∣∣ · VaRα(δS)

I Достоинства:I ПростотаI Распределение ценности инвестиции имеет тоже

распределение, что и фактор риска

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Локальный метод (2)

I Достоинство: в случае нормального распределениялегко обобщается портфель из нескольких активов ина несколько факторов риска – дельта-нормальныйметод

I Недостаток: локальный метод не учитываетнелинейные эффекты

I Учет следующего члена – метод дельта-гамма

VaRα(δV ) =

∣∣∣∣∂V∂S∣∣∣∣ · VaRα(δS)− 1

2

∂2V

∂S2· [VaRα(δS)]2

I Недостаток: не учитывает экстремальные сценарии

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Методы полной переоценки актива

I Локальный метод не учитывает нелинейные эффектыI Метод полной переоценки актива

δV = V (S0 + δS)− V (S0)

I Метод Монте-КарлоI Расчет по исторической информацииI Bootstrapping

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Метод Монте-Карло

I Выбираем случайный процесс, управляющийдвижением цен базового актива. Например:

dS/S = µdt + σdW

I Моделируем достаточное количество реализаций втечение интересующего периода времени

δS/S = µδt + σφ√δt, φ ∼ N(0, 1)

I Рассчитываем финальную стоимость производногофинансового инструмента для всех реализаций

I Определяем VaR для заданной доверительнойвероятности

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример: $100 в индекс РТС на 1 день

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Метода Монте-Карло: достоинства инедостатки

Достоинства:I Факторы риска могут иметь произвольное поведениеI Возможно моделирование портфелей из разных

инструментовI Допускаются нелинейные платежи и платежи,

зависящие от истории изменения ценI Возможен учет экстремальных сценариев

Недостатки:I Требовательность к вычислительным мощностямI Чувствительность к предположениям относительно

случайных процессов и их корреляций

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Расчет по исторической информации

I Ближайшее будущее похоже на прошлое!?I Предполагаем, что в будущем доходности портфеля

будут такими же, как и в прошломI Строим гистограмму и вычисляем VaRI Возможность взвешивать наблюдения: например,

если есть сезонность, можно данным из сезона, накоторый осуществляется прогноз приписыватьбольший вес

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Расчет по исторической информации:достоинства и недостаткиДостоинства:

I ПростотаI Возможность моделирования экстремальных

событий в будущем, если они уже происходили впрошлом

I Нет предположений относительно распределений икорреляций

Недостатки:I Зависимость от периода, за который имеются

данныеI Замедленная реакция на структурные сдвигиI Невозможность учета экстремальных событий, если

их еще не былоI Как быть с производными инструментами?

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Bootstrapping

I Историческая информация: доходности n базовыхактивов в определенные моменты в прошлом

I Извлекаем вектор доходностей n базовых активов вслучайный момент времени

I Используем для построения первого шагатраекторий всех n базовых активов в будущем

I Снова извлекаем вектор доходностей n базовыхактивов в случайный момент времени

I Так строим траектории цен базовых активов донужного временного горизонта

I Повторяем процесс для получения нужного числареализаций

I Рассчитываем VaR по итоговым ценностям портфеля

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Bootstrapping: достоинства и недостатки

Достоинства:I Факторы риска могут иметь произвольное поведениеI Возможно моделирование портфелей из разных

инструментовI Допускаются нелинейные платежи и платежи,

зависящие от истории изменения ценI Нет предположений относительно распределений и

корреляцийНедостатки:

I Зависимость от периода, за который имеютсяданные

I Необходимость большого объема историческойинформации для генерации достаточного количестватраекторий, однако чем больше объем, тем большезависимость от старых данных

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Почему оценки VaR могут содержать ошибки

I Неточности в исторических данных или в оценкепараметров

I Отклонение от предположений аналитическоймодели: распределение, нелинейности

I Генерация сценариев методом Монте-Карло, несоотвествующих заявленным характеристикам

I Недостаточное количество данных для расчета поисторической информации или bootsrapping

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Backtesting

Как проверить, насколько хорошо то значение VaR, чтомы получили с помощью нашей модели?

I Пусть VaR определяется для доверительнойвероятности α.

I Тогда p0 = 1− α – вероятность превышения VaR,если VaR откалибрована правильно.

I Подсчитываем количество превышений VaR n̂ в Nнаблюдениях

I H0: VaR откалибрована правильно, p = p0.I Пусть n̂ > Np0. H1: VaR откалибрована неправильно

и p > p0I H ′1: VaR откалибрована неправильно и p 6= p0

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Биномиальное распределение

При H0 распределение количества превышений x ввыборке из N наблюдений

fN,p0(x) = C xn px0 (1− p0)

N−x

C xn =

N!

x!(N − x)!, x = 0, 1, . . . ,N

I Ex = Np0I Vx = Np0 (1− p0)

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Плотность биномиального распределения

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

N = 500, p0 = 0.05

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Функция распределения

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

N = 500, p0 = 0.05

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Квантили биномиального распределения (1)

Зададимся уровнем значимости α′ 6≡ α.I Верхняя односторонняя квантиль для уровня

значимости α′ – это B+N,p0

(α′):

N∑x=B+

N,p0(α′)

fN,p0(x) ≤ α′,

N∑x=B+

N,p0(α′)−1

fN,p0(x) > α′

I Нижняя односторонняя квантиль для уровнязначимости α′ – это B−N,p0(α

′):

B−N,p0(α′)∑

x=0

fN,p0(x) ≤ α′,

B−N,p0(α′)+1∑

x=0

fN,p0(x) > α′

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Квантили биномиального распределения (2)

I Распределение не меняется при одновременнойзамене

p0 → 1− p0, x → N − x

I B+N,p0

(α′) = N − B−N,1−p0(α′)

I Функция Excel БИНОМ.ОБР(N; p0;α′) возвращает

B−N,p0(α′) + 1.

I B−N,p0(α′) =БИНОМ.ОБР(N; p0;α

′)− 1I B+

N,p0(α′) = N−БИНОМ.ОБР(N; 1− p0;α

′) + 1

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Квантили биномиального распределения (3)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

N = 500, p0 = 0.05, B−N,p0(0.01) = 13, B+N,p0

(0.01) = 38

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительноодносторонней альтернативы H1 : p > p0

I Если n̂ ≤ B+N,p0

(α′)− 1, то H0 отвергнуть не можем.

I Если n̂ ≥ B+N,p0

(α′), то H0 отвергаем в пользу H1.I Или через p-value π

π =N∑

x=n̂

fN,p0(x)

I Если π > α′, то H0 отвергнуть не можемI Если π ≤ α′, то H0 отвергаем в пользу H1

I Excel: π = 1−БИНОМ.РАСП(n̂ − 1;N; p0; 1)

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Проверка гипотезы H0 : p = p0 относительнодвусторонней альтернативы H ′1 : p 6= p0

I Если B−N,p0(α′/2) + 1 ≤ n̂ ≤ B+

N,p0(α′/2)− 1, то H0

отвергнуть не можем.I Если n̂ ≥ B+

N,p0(α′/2) или n̂ ≤ B−N,p0(α

′/2), то H0

отвергаем в пользу H ′1.I Или через p-value π (point-probability method)

π = fN,p0(n̂) +∑

x :fN,p0 (x)<fN,p0 (n̂)

fN,p0(x)

I π > α′, то H0 отвергнуть не можем.I π ≤ α′, то H0 отвергаем в пользу H1.

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример

I Для портфеля из индекса РТС стоимостью $100VaR95% = 4.2.

I Пусть из N = 500 наблюдений, в n̂ = 29 случаяхпревышен порог потерь.

I Верно ли, что p = 1− 95%? Пусть α′ = 0.1.I B+

N,p0(α′) = 32; 29 ≤ 31; π = 0.23; H0 против H1

отвергнуть не можемI B−N,p0(α

′/2) = 16; B+N,p0

(α′/2) = 34; 17 ≤ 29 ≤ 33; H0

против H ′1 отвергнуть не можем

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Борьба с отсутствием нормальности

I Использование распределения СтьюдентаI Использование смеси нормальных распределенийI Отказ от предположения i.i.d.

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Кластеризация волатильности

I Сегодняшняя волатильность положительнокоррелирует с вчерашней

I Имеет смысл рассматривать условную волатильность– волатильность при условии ближайшего прошлого

I EWMA – exponentially weighted moving averageI GARCH – generalised autoregressive conditional

heteroscedasticity

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример: дневной доходность индекса РТС

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

04.09.1995

04.09.1996

04.09.1997

04.09.1998

04.09.1999

04.09.2000

04.09.2001

04.09.2002

04.09.2003

04.09.2004

04.09.2005

04.09.2006

04.09.2007

04.09.2008

04.09.2009

04.09.2010

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

EWMA

I Сегодняшняя оценка волатильности

σ̂2t = (1− λ) r2t−1 + λσ̂2t−1, 0 ≤ λ ≤ 1

I RiskMetrics: λ = 0.94 для дневных данныхI Или, более практично:

σ̂2t =

n∑τ=1

(1− λ)τ r2t−τn∑τ=1

(1− λ)τ

I λ = 0.94, C = 0.002, λn < C ⇒ n = 100

I Для ковариации

σ̂2ij ,t = (1− λ) ri ,t−1rj ,t−1 + λσ̂2ij ,t−1

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример: сглаженная волатильность дляиндекса РТС

-0,2

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0,2

04.09.1995

04.09.1996

04.09.1997

04.09.1998

04.09.1999

04.09.2000

04.09.2001

04.09.2002

04.09.2003

04.09.2004

04.09.2005

04.09.2006

04.09.2007

04.09.2008

04.09.2009

04.09.2010

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Отступление: RiskMetrics

I Бесплатная услуга, предлагавшаяся в 1994 г.JPMorgan для продвижения VaR

I RiskMetrics Technical Document + обновляющаясяковариационная матрица для нескольких сотенфакторов риска

I Затем отдельная фирма – консалтинг и программноеобеспечение

I 2010: Morgan Stanley Capital International (MSCI,http://www.msci.com/, рассчитывает MSCI GlobalEquity Indices) приобретает RiskMetrics за $1.55 млрд.

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

GARCH

I Методом максимального правдоподобияоцениваются уравнения

rt = c+θ(L)rt−1+φ(L)εt , σ2t = ω+α(L)ε2t−1+β(L)σ2t−1

I Пример: доходность индекса РТС

r̂t(s.e.)

= 0.002(3·10−4)

+ 0.13(0.02)

rt−1

σ̂2t(s.e.)

= 1.4 · 10−5(10−6)

+ 0.15(8·10−3)

ε2t−1 + 0.84(8·10−3)

σ2t−1

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример: EWMA vs. GARCH

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

05.09.1995

05.09.1996

05.09.1997

05.09.1998

05.09.1999

05.09.2000

05.09.2001

05.09.2002

05.09.2003

05.09.2004

05.09.2005

05.09.2006

05.09.2007

05.09.2008

05.09.2009

05.09.2010

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Применение EWMA и GARCH

I Аналитическая модель VaRI Моделирование по историческим данным с

использованием стандартизированных доходностей(деленных на волатильность)

I Моделирование методом Монте-Карло ссоответствующими ковариационными матрицами

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Недостатки VaR

I Не описывает наибольших убытков: дневная VaR95%

превышается в среднем в один день из 20I Не описывает распределение потерь в «хвосте»:

разные распределения могут давать одинаковыезначения VaR

I Измеряется с ошибкой и подвержена модельномуриску

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Требования к мере риска ρ(X )

I Монотонность: X1 ≤ X2 ⇒ ρ(X1) ≥ ρ(X2)

I Трансляционная инвариантность:ρ(X + k) = ρ(X )− k

I Однородность: ρ(bX ) = bρ(X )

I Субаддитивность: ρ(X1 + X2) ≤ ρ(X1) + ρ(X2)

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Почему VaR не всегда субаддитивна?

I Если доходности распределены нормально –субаддитивность есть.

I Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.События дефолта независимы.

I Для каждой из облигаций VaR99% =?

I Для каждой из облигаций VaR99% = $0

I Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Почему VaR не всегда субаддитивна?

I Если доходности распределены нормально –субаддитивность есть.

I Пример, когда ее нет: пусть есть три облигации A, B,C номиналом $100 и вероятностью дефолта 0.5%.События дефолта независимы.

I Для каждой из облигаций VaR99% =?I Для каждой из облигаций VaR99% = $0

I Для портфеля из трех облигаций VaR99% =?

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример: VaR не всегда субаддитивна

Состояние Вероятность ПотериНет дефолта 0.9850749 $01 дефолт 0.0148504 $1002 дефолта 0.0000746 $2003 дефолта 0.0000001 $300

VaR99% = $100

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Альтернативные меры риска (1)

I Все распределение ⇒ набор VaR для возрастающихдоверительных вероятностей

I Условная VaR – ожидаемые потери, при условии, чтоони превосходят VaR.

CVaRα = E [X |X < −VaRα ] =1

1− α

−VaRα∫−∞

xf (x) dx

I СубаддитивнаI Пример: для $100 в индексе РТС ожидаемые потери

сверх VaR95% = 4.2 равны CVaR95% = $6.6.

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример

I Пусть даны 30 доходностей за период (в %):

−16,−14,−10,−7,−7,−5,−4,−4,−4,−3,−1,−1, 0,0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21

I VaR90% =?, CVaR90% =?

I VaR90% = 10, CVaR90% = 15

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Пример

I Пусть даны 30 доходностей за период (в %):

−16,−14,−10,−7,−7,−5,−4,−4,−4,−3,−1,−1, 0,0, 0, 1, 2, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 12, 14, 18, 23, 21

I VaR90% =?, CVaR90% =?I VaR90% = 10, CVaR90% = 15

Управлениефинансовыми

рисками

А.В. Сурков

Модели VaRРасчет VaRАдекватностьмоделейРазвитиемоделейНедостатки иальтернативы

Альтернативные меры риска (2)

I Стандартное отклонение

SD =

√√√√ 1

N − 1

N∑i=1

(xi − EX )2

I СубаддитивнаI Учитывает все наблюдения, а не только в хвосте.I Недостаток: не отличает прибыли от убытков

I Полустандартное отклонение – учитывает толькопотери

SDL =

√√√√ 1

NL

N∑i=1

[min (xi , 0)]2

I Менее популярна, чем VaR