física i - edisciplinas.usp.br · energia potencial o trabalho está associado a transferência de...
Post on 08-May-2018
215 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Física I
2º Semestre de 2013
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 5 Energia Potencial e Conservação de energia
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdirg@if.usp.br Fone: 3091.7104
Energia Potencial
O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.
Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.
Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.
As forças externas que atuam no sistema sãoproduzidas pela pessoa: Força de contato dasmãos sobre o haltere, força de contato dos péscom a Terra e a força gravitacional.
Destas forças, apenas a de contato sobre ohaltere pode produzir deslocamentos e realizartrabalho. Como esta força é igual a P=mg (m=massa do haltere), o trabalho é mgh.
A energia transferida para o sistema é armazenada na forma de energia potencial gravitacional.
Outro sistema que armazena energia é uma mola.
Se a mola é comprimida por uma força F2, a mola resiste com uma forçaoposta F1. Se F1=F2 não existe variação da energia cinética. O trabalhorealizado pela força F2 é armazenado na forma de energia potencialelástica. Como o deslocamento é no mesmo sentido da força, o trabalhorealizado pela força F2 é positivo.
2
1
P
P
ldFW
Energia Potencial
O trabalho está associado a transferência de energia devido a uma força.
Trabalho realizado sobre uma partícula, transfere energia cinética.
Para um sistema de corpos, parte da energia transferida pode ser armazenada na forma de energia potencial.
O Trabalho da força peso
Dois esquiadores partem de um mesmo ponto em uma colina e chegam nabase da colina, através de caminhos diferentes.
22
2
1
2
1iftotal mvmvW
Os esquiadores podem ser tomados comopartículas, portanto vale o TeoremaTrabalho-Energia Cinética.
Não depende do caminho. Apenas da altura h.
Temos a força peso e a força normal.
gntotal WWW
0
0
n
nn
W
ldFdW
mghhmgW
yymgymgW
jyixjmglFW
ldFdW
g
ifg
gg
gg
)0(
)(
)ˆˆ(ˆ
Forças conservativas
Quando voce é transportado por um elevador até o topo de um edifício de altura h, o trabalho realizado pela força peso é
WP=-mgh.
Ao retornar ao solo o trabalho realizado pela força peso é
WP=+mgh.
Se este movimento de subida e descida fosse feito através de uma escada rolante, o trabalho da força peso seria o mesmo. Ele independe do caminho seguido, dependendo apenas das
posições inicial e final.
Forças que realizam trabalho que não dependem docaminho são chamadas de Forças Conservativas.
O trabalho realizado por uma forçaconservativa sobre uma partícula éindependente do caminho percorridopela partícula de um ponto ao outro.
Uma força é conservativa se otrabalho que ela realiza sobre umapartícula é zero quando a partículapercorre qualquer caminho fechado,retornando à posição inicial.
C
ldFW 0
Integral em um Caminho Fechado
2
1
P
P
ldFW
Trabalho
Integral em um Caminho Fechado
Calcule o trabalho realizadosobre o caminho fechado deuma força F=ax.
2
1
P
P
ldFW
CCCCC
ldFldFldFldFldFW
4321
4321
dd
C
AdxdxAidxiAxldF0
2
0
12
1ˆˆ
1
42
4
0
2 0ˆˆ
C
h
C
ldFjdyiAxldF
0
2
0
32
1ˆˆ
3 ddC
AdxdxAidxiAxldF
C
ldF 0
Este é o caso da
força elástica
d
h
iAxF ˆ
Funções Energia Potencial
Esta propriedade pode ser usada para definir a FunçãoEnergia Potencial U para uma força conservativa.
Ou
UldFW
P
P
2
1
Para um deslocamento infinitesimal
2
1
12
P
P
ldFUUU ldFdU
Quando voce desce do topo de um edifício, o trabalho realizado pelagravidade diminui a energia potencial do sistema. Portanto, definimos aFunção Energia Potencial U de forma que o trabalho realizado pelaforça conservativa é igual à redução da Função Energia Potencial.
O trabalho realizado por uma força conservativa nãodepende do caminho, mas apenas dos pontos extremos docaminho.
Energia Potencial Gravitacional
Para a força gravitacional, temos:
Integrando, temos
jmgF ˆ
Para um deslocamento infinitesimal
2
1
2
1
y
y
U
U
mgdydU
ldFdU
mgdykdzjdyidxjmgdU )ˆˆˆ()ˆ(
mgyUU 0
Energia Potencial Gravitacional próximo da superfície da Terra.
Genericamente
U2=mgy
U1=U0
U0 é uma constante arbitrária, a ser definida convenientemente.
1212 mgymgyUU
Energia Potencial Elástica
Se voce aplica uma força sobre o bloco ao ladoe o desloca da posição x=0 até a posição x1, Otrabalho realizado pela mola é negativo.
Se voce permite que o bloco volte a posiçãoinicial, o trabalho da força da mola é positivo.
O trabalho total realizado pelas forças namola é nulo.
Integrando, temos
1
0
1
0
x
x
U
U
kxdxdU
ldFdU
kxdxidxikxdU )ˆ()ˆ(2
2
1kxU
U0 é uma constante arbitrária, aser definida convenientemente.Podemos escolher U0= 0 (paraelongação nula da mola).
ikxF
com
UU
xx
U
x
1
1
0
0
0
0
Força mola F=-kx
2
0
2
1012
1
2
1kxkxUU
Podemos definir a energia potencial elástica:
Energia Potencial
Considere o sistema constituido pelo jogador debasquete (m= 110kg), o aro e a Terra. Suponhaque a energia potencial do sistema seja zeroquando o jogador está no solo. Encontre aenergia potencial total quando o jogador estádependurado no aro.
Suponha que o centro de massa do jogadorpassou de 80 cm do solo, para 130 cm quandodependurado.
A constante elástica do aro é 7,2 kN/m.
22
2
)15.0()/7200(2
1)50.0()/8.9()110(
2
1
mmNmsmkgU
kxmgyUUU
total
cmelgtotal
mNxmNmNmNUtotal .102,6.620.81.539 2
2
1
P
P
ldFUW
ldFdU
dl
dUF
Relação energia potencial e força
Conservação da Energia Mecânica
Definimos a energia mecânica de um sistema como sendo asoma da energia cinética com a energia potencial do sistema.
sistsistmec UKE
A energia mecânica de um sistema de partículas é conservada(Emec=constante) se o trabalho total realizado por todas asforças externas e por todas as forças internas não-conservativasfor nulo.
ncmecext WEW
0
0
nc
ext
W
W 0 UKEmecpara
Exemplos
Próximo à borda da laje de um prédio de 12 mde altura, uma bola é chutada com umarapidez inicial de 16 m/s a um ângulo de 60°.Desprezando a resistência do ar, encontre (a)a altura máxima atingida pela bola e (b) suarapidez ao tocar o solo.
Tomamos a bola + Terra, como o sistema.
ncmecext WEW
Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. Como não existem forças internas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.
00 mecE
0 sistsistmec UKE
altolaje mecmec EE
altoaltolajelaje mgymvmgymv 22
2
1
2
1
vlaje=16m/s
ylaje=0
valto= vlajecosθ
mg
v
g
vvy
lajealtolaje
alto 8,92
)cos1(
2
2222
solomecmec EElaje
solosololajelaje mgymvmgymv 22
2
1
2
1ylaje=0
vlaje=16m/s
ysolo= -12 m sololajesolo gyvv 222 smgyvv sololajesolo /2222
altoaltolajelaje UKUK
solosololajelaje UKUK
ExemplosUm pêndulo consiste de bola de massa mpresa a um fio de comprimento L. A bolaé largada do repouso, com o fio fazendoum ângulo θ0. Quando passa pelo pontoinferior,
(a) qual a rapidez da bola
(b) a tensão no fio.
Despreze a resistência do ar.
ncmecext WEW
Como não existem forças externas ao sistema, Wext= 0. A tensão no fio éuma força interna não-conservativa, mas como esta força é perpendicular àtrajetório, Wnc=WT= 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema se conserva.
0 sistsistmec UKEifmec EEE 0
)cos1( 0 Lh
Pi
Pf U0
ffii mgymvmgymv 22
2
1
2
1
yi=Lcosθ0, vi=0 e yf= L
)cos1(2 0
2 gLv f
)cos1(2 0 gLv f
L
vmmamgT
f
cp
2
)]cos1(2[)( 0
2
ggmL
vgmT
f
)cos23( 0mgT
No ponto final
Rapidez final
Tensão no fio
iiff
if
KUKU
EE
Exemplos
Um bloco de massa 2kg, em uma superfície sem atrito é empurrado 30 cmcontra uma mola (K= 500N/m). O bloco é liberado e a mola se descomprime.O bloco desliza e sobe um plano sem atrito, com ângulo de 45°. Qual é aaltura final atingida pelo bloco sobre a rampa, ao parar.
sistsistmec UKE
Sistema: elementos da figura + Terra
ncmecext WEW
Como não existem forças externas aosistema, Wext= 0. Não existem forçasinternas não-conservativas, Wnc= 0. Portanto,a Energia Mecânica do sistema se conserva.
0 mecE fi EE
sistsistmec UKE
2222
2
1
2
1
2
1
2
1fffiii kxmgymvkxmgymv
vi=0, yi=0, vf=0, e xf= 0
fi mgykx 2
2
1m
mg
kxy i
f 51,02
2
fi EE
fmolapffimolapii UUKUUK __
Exemplos
O carrinho em uma montanha russa parte de uma altura H. Quando eleestá entrando no loop, cai um saco de areia sobre ele, que reduz avelocidade em 25%. Considere que o loop tem metade da altura inicial edespreze os atritos. O carrinho conseguirá completar o loop?
ncmecext WEW
Wext= 0 e Wnc= 0 e a Energia Mecânica do sistema se conserva.
2
2
21
2
12
1
2
1mgymvmgymv
2
22
14 mvRmg Rgv 82 Rgvv 875,075,0 22
21 EE
P1
P2
P3
Rgvv 875,075,0 22
3
2
32
2
22
1
2
1mgymvmgyvm
Rmgmvvm 22
1
2
1 2
3
2
2
RgRgRgv 5,04875,0 22
3
0nF
32 EE
O carrinho não completa o loop !!!
R
vmmgF
topo
n
2
gRvtopo 2
para completar o loop !!!
22
3 topovv como
P1
P2
P3
Um trenó está deslizando no plano com uma rapidez inicial de 4,0 m/s. Se o coeficiente de atrito cinético for 0,14, que distância o trenó percorrerá?
Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a Energia Mecânica do sistema não se conserva.
0 ncmecext WEW
0 mgxKWUK cnc
0)(2
1 22 mgxvvm cif
2
2
1ic vgx m
g
vx
c
i 8,52
2
mgxxfW ccnc
Uma criança com 40 kg desce por umescorregador de 4 m de altura, cominclinação de 30°. O seu coeficiente deatrito cinético é 0,35. Partindo dorepouso no topo, qual é a suavelocidade ao chegar na base?
Wext= 0 e Wnc 0. Portanto, a
Energia Mecânica do sistema
não se conserva.
0 ncmecext WEW
0 atnc WUKWUK
222
2
1)(
2
1fif mvvvmK
mghUUU if
sincos
hmgsfW ccat
0fU
mghUi
0 atWUK
2
2
1fmvK mghU
sincos
hmgW cat
)sin
cos1(22
cf ghv
0sin
cos2
1 2
h
mgmvmgh cf
top related