funciones trigonomÉtricas

1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2

CONTENIDO

1. Funciones trigonométricas de números reales2. Arcos de referencia sobre el circulo unitario.

3. Función sen().4. Análisis de la función sen().5. Función cos().6. Análisis de la función cos().7. Representación grafica de la función tan().8. Análisis de la función tan().9. Transformaciones de las funciones

trigonométricas.

3

Funciones trigonométricas de números reales

Las razones trigonométricas sobre triángulos rectángulos son:

co

θca

hsen θ= csc θ=

cos θ= sec θ=

tan θ= cot θ=

co

hca

hco

ca

h

coca

hca

co

Una función es una regla que asigna a cada número real otro número real.

4

Funciones trigonométricas de números realesPara una longitud de arco s en radianes sobre el círculo

unitario con punto inicial (1,0) y punto final P(x,y), se define:

-1 1

-1

1

x

y

P(x,y)

x

y sx = cos s

y = sen s

s longitud del arco del círculo en

radianes

Trabajaremos inicialmente sobre longitudes de arcos subtendidos por ángulos de 0°, 30°, 45°, 60° 90°,

180°. 0 0 radianes

30° = radianes6

s

s

45 radianes4

60 radianes3

s

s

90 radianes2

180 radianes

s

s

3270 radianes

2360 2 radianes

s

s

1

5

ARCOS DE REFERENCIA SOBRE EL CÍRCULO UNITARIO

En el primer cuadrante del círculo, están los arcos de referencia para 0, /6 , /4 ,/3 y /2,con sus posiciones

(x,y) sobre el círculo así:

x

y

(0,1) /2

/4,

1 3,

2 2

3 1,

2 2

/6

2 2,

2 2

/3,

(1,0) 012

12

22

22

32

32

x

1

1

2 2 1x y

6

A partir de la asociación de ángulos de referencia con las coordenadas sobre la circunferencia de radio uno podemos asignar nombres especiales a cada una de las coordenadas del punto dado. Así, para cada uno de estos ángulos () que tiene asociado el punto con coordenadas ( x, y ) definimos las siguientes relaciones:

seno de , que se representa por sen ()

coseno de que se representa por cos ()

tangente de que se representa por tan ()

siempre que x 0

y= y

1x

= x1

y

x

Así mismo, teniendo en cuenta que la circunferencia es de radio uno y que la ecuación asociada a ella está dada por

podemos afirmar que

2 2x + y = 1 ( ) ( )sen 2 2 1cos

7

x

y

7/4

2 2,

2 2

Ejemplo

Si =

22

22

7/4

1

Los valores de las relaciones trigonométricas serán:

sen() =

cos() =

tan() =

8

x

y

Función f() = sen()

Por definición y=sen(), siendo y la ordenada del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano.

/2

/4

/6

/3,

2

12

2

2

31

2

2

2

32

1

,2

1 2

3

,

2

3

2

1

2

2

2

2

1

0

9

Representación gráfica de la función f ()=sen()

0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

sen() 0 1 032

32

22

22

12

12

x

y

x

y

10

Representación gráfica de la función f

()=sen() 0 -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π

sen() 0

– 1 032

32

22

22

12

12

x

y

x

y

11

x

y

Análisis de la función f () = sen()

Dominio:

Rango o recorrido:

Cortes con los ejes

Valores máximo y valor mínimo

Intervalos en los que crece la función:

Intervalos en los que decrece la función:

Tipo de paridad: es una función impar

1,1

y = 1 y = -1

x = … - 2π, -π, 0, π, 2π... y = 0

3 32 , , ,2

2 2 2 2

3 3, ,

2 2 2 2

R

12

Período de la función f() = sen()

PERÍODO

Menor longitud del intervalo en el cual la función repite su comportamiento.

Para f() = sen(), P=2

x

y

13

Amplitud de la función f()=sen()

AMPLITUD

La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo

x

y valor máximo

valor mínimo

Para f() = sen(), A=1

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Función f()=cos()

Recordemos que, por definición:

x= cos(), siendo x la abscisa del punto terminal de los arcos en el plano cartesiano.

x

y

(0,1)/2

/4

/6

/3,

(1,0) 0

2

12

22

3

1

2

2

2

3

2

1

,

2

3

,

2

2

,2

1

2

3

2

2

2

1

15

Representación gráfica de la función f

()=cos() 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

cos() 1 0 -132

32

22

22

12

12

x

y

x

y

16

Representación gráfica de la función f

()=cos() 0 -π/6 -π/4 -π/3 -π/2 -2π/3 -3π/4 -5π/6 -π

cos() 1

0 032

32

22

22

12

12

x

y

x

y

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Análisis de la función f () = cos()

Dominio:

Rango o recorrido:

Cortes con los ejes

Valor máximo y valor mínimo

Intervalos en los que crece la función:

Intervalos en los que decrece la función:

Tipo de paridad: es una función par

1,1

y = 1 y = -1

3π π π 3πx = … - , - , , ... y = 1

2 2 2 2

, 0 ,2

x

y

2 , 0,

R

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Período de la función f() = cos()

PERÍODO

Longitud menor del intervalo en la cual la función repite su comportamiento.

Para f() = cos(), P=2

x

y

19

x

y

Amplitud de la función f()=cos()

AMPLITUD

La mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo

valor máximo

valor mínimo

Para f() = cos(), A=1

20

Representación gráfica de la función f(α)=tan (α)

Si en el círculo unitario, al ser racional, tiene asíntotas verticales en x=0. En términos de las funciones esto es en

sen

tancos

αα =

α

x

y

πα = + kπ con k

2 ¢

tany

α =x

21

k2

¡

Análisis de la función f(α)=tan (α), en (- /2, /2)

x

y

Dominio:

Rango:

P=

Corte eje y y eje x (0,0)

Asíntota vertical:

x=/2

x= -/2

Crece para todo el dominio.

¡

R

R

22

Contracciones y dilataciones horizontales

f(α)=Cos α g(α)=f(4 α)

g(α)=Cos(4 α);

x

y

Periodo de g(α)=/2

f(α)=Tan α g(α)=f(α /4)

g(α)=Tan(α /4);

x

y

Periodo de g(α)= 4

g(α)g(α)

Transformación de funciones trigonométricas

f(α)

f(α)

23

Reflexiones sobre los ejes

f (α)=Tan (α) g(α)=-f (α)

g(α)=- Tan(α);

x

y

f (α)=Sen(α) g(α)=f (- α)

g(α)=Sen(- α):

x

y

Reflexión sobre eje y

Reflexión sobre el eje x

g(α)

g(α)

Transformación de funciones trigonométricas

f(α)f(α)

24

Desplazamientos horizontales

Trazar g(α)=Sen(α +/4) a partir de f (α)=Sen α

g(α)=f (α+/4)

x

y

x

y Desfase de /4 a la izquierda.

g(α)

Transformación de funciones trigonométricas

f(α)

25

Dilatación y contracción vertical

g(t)=3 Sen(t); f (t)=Sen(t)

g(t)=3f (t)

x

y

Amplitud g(t)=3

g(t)=1/3 Cos(t); f (t)=Cos(t)

g(t)=1/3f(t)

x

y

Amplitud g(t)=1/3

g(t)

g(t)

Transformación de funciones trigonométricas

f(t)

f(t)

26

Trazar g(t)=1+Cos(t) a partir de f (t)=Cos(t)

g(t)=f (t)+1

x

y

Desplazamientos verticales

1

g(t)

Transformación de funciones trigonométricas

f(t)

27

Transformación de funciones trigonométricas

Generalidades:Si se tiene una función trigonométrica:

tTan

tCos

tSen

tf )(

La función: dcbxfatg )()(

Expresada como transformación de f(t): d

b

cxbfatg

)(

Se tiene:

Amplitud= a

Período:Para seno y coseno:

bP

2

Para tangente:b

P

Desplazamiento horizontal: b

c

Desplazamiento vertical:d

28

g(t)= -1/2 f(2(t-3/2)) +1

Representar gráficamente la función

g(t)= -1/2 Cos( 2t-3)+1 Si f (t)=Cos (t)

Transformación de funciones trigonométricas

ATENCIÓN: El orden de las transformaciones es:

a. g(t)=f (2t)b. g(t)=f (2(t-3/2) )

c. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2))

d. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1

29

g(t)=-1/2f (2(t-3/2))+1

t

Cos t

Contracción horizontal

g(t)

Transformación de funciones trigonométricas

a. g(t)=f (2t)

Periodo:

30

t

Cos t

t

Cos tDesplazamiento horizontal de 3/2 a la derecha

Transformación de funciones trigonométricas

b. g(t)=f (2(t-3/2))

Desface: 3/2

31

t

Cos t

Contracción vertical ½

t

Cos t

Reflexión sobre el eje x

c. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2))

Transformación de funciones trigonométricas

A=1/2Crece(3/2)

Decrece(2,7)

32

t

Cos t

t

Cos t

t

Cos t

Transformación de funciones trigonométricas

d. g(t)=-1/2 f (2(t-3/2)) +1

Desplazamiento: 1 unidad arriba

33

t

Cos t

t

Cos t

Análisis de la función trazada: g(t)=-1/2 Cos(2t-3)+1

P=

Ciclo fundamental=(3 /2,5 /2)

Desfase 3/2 derecha

Desplazamiento 1 arriba

D: R

R: [1/2,3/2]

No corta eje x

No corta con eje y

Crece(3/2,2)

Decrece(2,5/2)

A=1/2