fungsi dan limit - miamtk.files.wordpress.com · fungsi dan limit r e l a s i Ω definisi relasi...
Post on 22-Sep-2020
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
1 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
FUNGSI DAN LIMIT
R E L A S I
Ω Definisi
Relasi himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan
anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Contoh :
Himpunan anak yang beranggotakan : Aris, Bari, Cecep, Darla dan Fira.
Himpunan makanan yang beranggotakan : soto ayam, sate, gado-gado,
rawon, nasi goreng dan sop.
Dari kedua himpunan tersebut dapat dibuat dua relasi yang berbeda yaitu:
Relasi “makanan kesukaannya” : Aris → sate, Bari → gado-gado, Cecep →
nasi goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → soto ayam,
Fira → nasi goreng.
Relasi “makanan pesanannya” : Aris → sate, Aris→ soto ayam, Bari → nasi
goreng, Cecep → rawon, Cecep → sate, Darla → sop, Fira → gado-gado.
Ω Himpunan Pasangan Berurutan
Relasi dapat dinyatakan ke dalam himpunan pasangan berurutan dengan
dua langkah:
1. Mendaftarkan masing-masing anggota himpunan.
Himpunan A = , , , ,
Himpunan B = , , − , , ,
2. Memasangkan anggota di himpunan A dengan anggota himpunan B
dengan relasi dalam bentuk (, ) dengan ∈ dan ∈ .
Relasi “makanan kesukaannya” himpunan A ke himpunan B dinyatakan
dengan himpunan pasangan berurutan sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ),,,,,),
,(,,,,,,,,
gorengnasiFiraayamsotoFirasopDarlagoreng
nasiCeceprawonCecepsateCecepgadogadoBarisateArisRBA −=
Ω Diagram Panah
Diagram panah dapat digunakan untuk memperlihatkan relasi dari
himpunan A ke himpunan B. Langkah-langkah menyatakan relasi ke dalam
diagram panah sebagai berikut:
1. Membuat dua lingkaran elips untuk meletakkan himpunan A dan B.
A B
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
2 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
2. Anggota himpunan A diletakkan di lingkaran A dan anggota himpunan B
di lingkaran B.
3. Anggota himpunan A dihubungkan ke himpunan B dengan anak panah.
Arah anak panah menggambarkan relasi dua himpunan.
Diagram Cartesius
F U N G S I
Ω Definisi
Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan tiap obyek
dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah
nilai tunggal () dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan
A B
Aris
Bari
Cecep
Darla
Fira
ayamsoto
sate
rawon
gorengnasi
sop
gadogado −
A B
Aris
Bari
Cecep
Darla
Fira
ayamsoto
sate
rawon
gorengnasi
sop
gadogado −
Aris Bari Cecep Darla Fira
Sop
gorengnasi
rawon
gadogado −
sate
ayamsoto
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
3 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
(kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dinamakan daerah hasil
(range).
Ω Notasi Fungsi
Penamaan fungsi menggunakan sebuah huruf tunggal seperti atau , sehingga () dapat dibaca “ dari ” yang menunjukkan nilai yang diberikan oleh kepada . Nilai dari biasanya dituliskan pula sebagai , atau = () Nilai akan bergantung pada berapapun nilai yang dipilih dari daerah
asalnya, sehingga dapat dinamakan variabel bebas (independen) dan
sebagai variabel tak bebas (dependen).
Contoh :
Untuk () = ! − 2, cari dan sederhanakan
a. (4)
b. (ℎ + 4) c. (()*+),((+)) Jawab :
a. (4) = 4! − 2(4) = 16 − 8 = 8
b. (ℎ + 4) = (ℎ + 4)! − 2(ℎ + 4) = ℎ! + 8ℎ + 16 − 2ℎ − 8 = ℎ! + 6ℎ + 8
c. (()*+),((+)) = 0)1*2)*34,3) = )1*2)) = )()*2)) = 6 + ℎ
Ω Daerah Asal dan Daerah Hasil
Daerah asal (domain) fungsi adalah himpunan elemen-elemen di mana
fungsi dapat terdefinisi. Daerah hasil (range) fungsi adalah himpunan nilai
yang diperoleh dari mendefinisikan pada .
Contoh :
Jika () = ! + 2 ditentukan daerah asalnya adalah ( = −1,0,1,2,3 maka
daerah hasilnya adalah 7( = 2,3,6,11.
Jika fungsi tersebut tidak ditentukan daerah asalnya maka ( = ℝ =(−∞, ∞), dan daerah hasilnya adalah 7( = : ≥ 2
Contoh :
Tentukan daerah asal dan hasil dari () = √9 − ! !
Jawab :
Daerah asal ( = : − 3 ≤ ≤ 3
Daerah hasil 7( = : 0 ≤ ≤ 3
Ω Grafik Fungsi
Jika daerah asal dan hasil sebuah fungsi merupakan bilangan real, fungsi
tersebut dapat dibayangkan dengan menggambarkan grafiknya pada suatu
koordinat. Grafik fungsi adalah grafik dari persamaan = ().
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
4 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Contoh :
Sketsalah grafik-grafik dari
a. () = ! − 2
b. () = !?,@
Jawab :
a.
Grafik fungsi () = ! − 2 mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan
real dan daerah hasilnya yaitu : ≥ −2.
b.
Grafik fungsi () = !?,@ mempunyai daerah asal yaitu semua bilangan real
kecuali = 0 dan daerah hasilnya yaitu semua bilangan real kecuali = 0.
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
5 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Ω Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Genap
Jika (−) = () untuk semua , maka grafik simetri terhadap sumbu-.
Fungsi ini juga disebut fungsi genap.
Contoh :
Selidiki apakah () = ! − 2 merupakan fungsi genap !
Jawab :
Jika () = maka daerah hasil 7( = : ≥ 0. Ini berarti meskipun
negatif () selalu positif sehingga fungsi ini adalah fungsi genap. Berikut
adalah grafiknya.
Fungsi Ganjil
Jika (−) = −() untuk semua x, maka grafik simetri terhadap titik-asal (0,0). Fungsi ini disebut fungsi ganjil.
Contoh :
Selidiki () = A − 2 adalah fungsi ganjil !
Jawab : (−) = (−)A − 2(−) = −A + 2 = −(A − 2) = −()
Maka () adalah fungsi ganjil.
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
6 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Fungsi Nilai Mutlak
() = || = C DE ≥ 10− DE < 0 G
Fungsi nilai mutlak ini merupakan fungsi genap karena meskipun x negatif () akan selalu positif sehingga grafiknya simetri terhadap sumbu-y
Fungsi Bilangan Bulat Terbesar () = HI = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan .
Contoh : H−3,1I = −4 H3,1I = 3 H4,7I = 4
Contoh :
Jika () = HI dengan = K−3,4) maka pada interval tersebut terdapat
beberapa interval bilangan bulat lainnya yaitu K−3, −2), K−2, −1), K−1,0), K0,1), K1,2), K2,3), K3,4)
Pada K−3, −2) maka nilai () adalah −3
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
7 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Pada K−2, −1) maka nilai () adalah −2
Pada K−1,0) maka nilai () adalah −1
Pada K0,1) maka nilai () adalah 0
Pada K1,2) maka nilai () adalah 1
Pada K2,3) maka nilai () adalah 2
Pada K3,4) maka nilai () adalah 3
Fungsi Konstanta () = E dengan E konstanta (bilangan real)
Contoh :
Misalkan E = 2 maka grafiknya adalah
Fungsi Identitas () = dengan adalah bilangan real.
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
8 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Fungsi Polinomial
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan identitas dengan
menggunakan operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Bentuk
fungsi polinomial adalah () = LL + L,@L,@ + L,!L,! + ⋯ + @ + N
dengan adalah bilangan bulat. Jika L ≠ 0 maka derajat fungsi
polinomial.
Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 1 ( ≤ 1) maka fungsi
tersebut adalah fungsi linear. () = + P
Jika pangkat pada variabel paling besar adalah 2 ( ≤ 2) maka fungsi
tersebut adalah fungsi kuadrat. () = ! + P +
Fungsi Rasional
Fungsi yang diperoleh dari hasil-bagi fungsi-fungsi polinomial.
() = LL + L,@L,@ + L,!L,! + ⋯ + @ + NPQQ + PQ,@Q,@ + PQ,!Q,! + ⋯ + P@ + PN
Fungsi Aljabar Eksplisit
Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstanta dan fungsi identitas
melalui lima operasi yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian,
pembagian, dan penarikan akar.
Contoh : () = 3! R⁄ = 3T!U
() = ( + 2)√A + √! − 1V
Ω Operasi Aljabar pada Fungsi
Meskipun fun gsi bukan bilangan, operasi aljabar (jumlah, selisih, kali, bagi, dan pangkat) dapat pula diterapkan pada fungsi. Jika (), () adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada daerah asal masing-masing, dan ∈ ℝ , maka : a. ( + )() = () + () (*W = ( ∩ W
b. ( − )() = () − () (,W = ( ∩ W
c. ( ⋅ )() = () ⋅ () (⋅W = ( ∩ W
d. (/)() = ()/() (/W = ( ∩ W
e. L() = 0()4L ([ = (
dengan n adalah bilangan bulat positif Contoh :
Jika () = √ + 1\ dan () = √9 − !, maka:
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
9 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( + )() = () + () = √ + 1\ + T9 − ! ( − )() = () − () = √ + 1\ − T9 − ! ( ⋅ )() = () ⋅ () = √ + 1\ ⋅ T9 − !
(/)() = ()/() = √ + 1\√9 − !
( = K−1, ∞) W = K−3,3] ( ∩ W = K−1,3] A() = 0√ + 1\ 4A = ( + 1 )V\ ( = K−1, ∞) (V = K−1, ∞) = (
Catatan :
Pada fungsi () = 0 T^ [ 4Q, jika = maka ([ ≠ (
karena () menjadi terdefinisi pada bilangan real. Ω Komposisi Fungsi
Jika f bekerja pada untuk menghasilkan () dan kemudian g bekerja
pada () untuk menghasilkan (()), maka dapat dikatakan bahwa kita
telah mengkomposisikan dengan . Fungsi yang dihasilkan disebut
komposisi fungsi dengan , dinyatakan oleh ∘ . Jadi, ( ∘ )() = 0()4
Dua fungsi atau lebih dapat dikomposisikan/digabung. Range dari fungsi
pertama akan menjadi domain fungsi kedua, range dari fungsi kedua akan
menjadi domain fungsi ketiga, dan seterusnya. Sehingga urutan berbeda
dari fungsi yang saling berkomposisi akan memberikan hasil berbeda-beda.
Contoh :
Jika () = ?,A! dan () = √ maka kedua fungsi dapat dikomposisikan
dengan dua cara, yaitu:
( ∘ )() = 0()4 = ` − 32
( ∘ )() = 0()4 = √ − 32
Ini menunjukkan bahwa ( ∘ )() ≠ ( ∘ )() yang berarti pada
komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.
Untuk ( ∘ )(), misalkan = 4 merupakan salah satu anggota dari daerah
asal fungsi () maka (4) = √4 = 2. 2 menjadi salah satu anggota daerah
asal () sehingga
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
10 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( ∘ )() = 0()4 = 2 − 32 = − 12 Ω Fungsi Trigonometri
Secara umum, fungsi trigonometri didefinisikan berdasarkan lingkaran
satuan. Lingkaran satuan () adalah lingkaran yang mempunyai jari-jari 1
dan titik pusatnya adalah titi asal (0,0) sehingga persamaannya adalah ! + ! = 1.
Misalkan titik adalah (1,0) dan bilangan positif. Maka terdapat satu titik
tunggal a(, ) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga panjang busur a, yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari
adalah .
Keliling lingkaran C adalah 2b. Jadi jika = b, maka titik a tepat setengah
jalan mengelilingi lingkaran mulai dari titik , dalam kasus ini a adalah titik (−1,0). Jika = A! b, maka a adalah titik (0, −1) dan jika = 2b, maka a
adalah titik . Jika > 2b, maka diperlukan lebih dari satu putaran lengkap
dari lingkaran untuk menelusuri busur a. Jika < 0 dan menelusuri lingkaran dalam arah putaran jarum jam. Akan
terdapat titik tunggal a(, ) pada lingkaran sedemikian rupa sehingga
panjang busur yang diukur dalam arah putaran jarum jam dari adalah .
Sehingga definisi dari fungsi sinus dan kosinus dapat ditentukan sebagai
berikut.
Ω Definisi fungsi sinus dan kosinus
Misalkan bilangan real yang menentukan titik a(, ) maka sin = cos =
C
)0,1(A
ty
x
),( yxP
t
11
Grafik Fungsi Sinus d
Grafik Sinus
Grafik Kosinus
Empat hal dapat diper
1. dan kedu
2. Kedua grafik berula
3. Grafik = sin
terhadap sumbu
kosinus adalah fung
4. Grafik = sam
Ω Empat Fungsi Trigo
1. tan = jkl mnoj m 2. sec = @noj m 3. cot = noj mjkl m
4. cosec = @jkl m
[FUNGSI DAN LIMIT] KAL
Mia Fit
nus dan Kosinus
at diperhatikan dari grafik-grafik tersebut:
keduanya berkisar dari −1 sampai 1.
k berulang pada interval yang berdampingan di se
simetri terhadap titik asal (0,0), dan =mbu . Jadi fungsi sinus adalah fungsi ganji
lah fungsi genap.
sama seperti = cos , tetapi digeser q! satua
i Trigonometri yang Lain
KALKULUS 1
ia Fitria, S.Si, M.Pd
an di sepanjang 2b. = cos simetri
ganjil dan fungsi
satuan ke kanan.
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
12 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Contoh :
Perlihatkan fungsi tangen adalah fungsi ganjil !
tan(−) = sin (−)cos (−) = −sin cos = − tan
Ω Hubungan Terhadap Trigonometri Sudut 180° = b radian ≈ 3,1415927 1 radian ≈ 57,29578° 1° ≈ 0,0174533 radian
Ω Daftar Identitas-identitas Penting
Identitas ganjil-genap Identitas ko-fungsi Identitas Pythagoras sin (– ) = − sin sin vb2 − w = cos sin! + cos! = 1
cos (−) = cos cos vb2 − w = sin 1 + tan! = sec!
cos (−) = − tan tan vb2 − w = cot 1 + cot! = cot!
Identitas Penambahan Identitas sudut ganda sin ( + ) = sin cos + cos sin sin 2 = 2 sin cos cos ( + ) = cos cos − sin sin
tan ( + ) = tan + tan 1 − tan tan
cos 2 = cos! − sin! = 2 cos! + 1 = 1 − 2 cos!
Identitas Jumlah
Identitas Setengah Sudut
sin + sin = 2 sin x + 2 y cos v − 2 w v2w = ±`1 − cos 2
cos + cos = 2 cos x + 2 y cos v − 2 w v2w = ±`1 + cos 2
Identitas Hasil-kali
sin sin = − 12 Kcos( + ) − cos( − )] cos cos = 12 Kcos( + ) + cos( − )] sin cos = 12 Ksin( + ) + sin( − )] Contoh :
Sederhanakanlah : (1 + sin )(1 − sin )! Jawab : (1 + sin )(1 − sin ) = 1 − sin + sin − sin! = 1 − sin! = cos!
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
13 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
L I M I T
Ω Definisi
Misalkan suatu fungsi:
() = A − 1 − 1
Jelaslah bahwa = 1 tidak termasuk dalam daerah domainnya karena akan
menghasilkan 0
0 yang tidak memiliki arti. Jika = 1 tidak termasuk daerah
domain dari (), apakah () akan mendekati suatu bilangan tertentu
bilamana mendekati 1? Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat
dilakukan dengan mencari nilai () sedekat-dekatnya dengan 1 namun
tidak pernah mencapai 1, atau dengan mensketsakan grafik () di
sekitar = 1. ~() = − −
, 3,812500000 , 3,310000000 , 3,152500000 , 3,030100000 , 3,003001000 , 3,000300000 ↓ ↓ , ? ↑ ↑ . 2,997001000 . 2,970100000 . 2,738100000 . 2,710000000 . 2,572500000 . 2,466100000
Pada tabel perhitungan diperoleh bahwa jika nilai didekati dari kiri ( < 1) maka diperoleh nilai () yang mendekati 3. Demikian juga dengan
nilai yang didekati dari kanan ( > 1) maka diperoleh nilai () yang
mendekati 3. Selain dengan menggunakan tabel, grafik berikut juga
menunjukkan nilai yang sangat dekat 1 dari kiri ataupun kanan
menghasilkan nilai () yang mendekati 3.
14
Mencari nilai () dap
ini.
lim?→@ () = lim?→@A − −
Sehingga dapat dibuatlim?→ () = , bera() mendekati .
Contoh:
Carilah )54(lim3
−→
xx
!
Jawab :
Ketika mendekati
Contoh :
Carilah 3
lim2
3 −
−−
→ x
xx
x
[FUNGSI DAN LIMIT] KAL
Mia Fit
dapat juga dilakukan dengan perhitungan al
− 11 = lim?→@( − 1)(! + + 1)( − 1)
= lim?→@ ! + + 1 = 1! + 1 + 1 = 3
t dibuat sebuah definisi intuitif dari limit bahwa:
, berarti bahwa ketika mendekati tetapi
!
ekati 3, maka 4 − 5 mendekati 4(3) − 5 = 7. Se
7)54(lim3
=−→
xx
6!
KALKULUS 1
ia Fitria, S.Si, M.Pd
ngan aljabar berikut
ahwa:
tetapi ≠ , maka
. Sehingga
15
Jawab :
3
62
−
−−
x
xxtidak akan t
yang sangat dekat
cara perhitungan aljab
yang didekati oleh
lim2
3 −
−
→ x
x
x
Jadi diperoleh bahw
3
62
−
−−
x
xx sangat deka
Ω Limit-limit Satu-Sis
Jika suatu fungsi didek
arah, yaitu dari sebela = , maka dapat
sebelah kanan , at
mengetahui nilai lim
untuk menguji kek
digambarkan.
Definisi
Untuk lim?→ ()dari kiri. Demikian ju
jika mendekati dar
Teorema lim?→ () = jika d
Artinya : nilai limit fun
Contoh :
[FUNGSI DAN LIMIT] KAL
Mia Fit
akan terdefinisi pada = 3. Sehingga kita perlu
dekat dengan 3. Akan tetapi, jika kita dapat m
an aljabar maka akan lebih memudahkan untuk
3
62
−
−−
x
xx.
23)2(lim3
)2)(3(lim
3
6
33
+=+=−
+−=
−
−
→→
xx
xxx
xx
bahwa nilai yang sangat dekat dengan
at dekat dengan 5.
Sisi
si didekati pada suatu titik , maka ia dapat dide
i sebelah kiri dan sebelah kanan. Misalkan (dapat didekati dari sebelah kiri , ditulis
, atau → *. Limit-limit sepihak ini ber
ilai limit fungsi-fungsi yang mempunyai lompa
ji kekontinuan fungsi meskipun grafik f
( ) = berarti bahwa () mendekati jika
ikian juga lim?→ () = berarti bahwa (dari kanan.
jika dan hanya jika lim?→ () = dan lim?limit fungsi akan ada jika limit kiri sama dengan li
KALKULUS 1
ia Fitria, S.Si, M.Pd
ta perlu mecari nilai
dapat menggunakan
untuk mencari nilai
52 =
engan 3, membuat
pat didekati dari dua ) didekati pada → ,, dan dari
ini berguna untuk
i lompatan ataupun
rafik fungsi tidak
jika mendekati ) mendekati
?→ () = .
engan limit kanan.
16
Berdasarkan grafik fun
a) (−4) b)
e) (1) f)
i) (6) j)
Jawab :
a) (−4) tidak ada. K = −4. b) lim?→,+ () = 2c) lim?→,+ () =d) lim?→,+ () = 2−4, yaitu 2. e) (1) = 4 f) lim?→@ () = 4. K
g) lim?→@ () = −h) lim?→@ () tidak a
pada = 1. i) (6) = 2 j) lim?→2 () = 5k) lim?→2 () = 5l) lim?→2 () = 5. Lim
Ω Teorema Limit
Misalkan bilangan b
fungsi yang mempuny
1. kkcx
=→
lim
2. cxcx
=→
lim
3. lim)(lim fkxfkcxcx →→
=
[FUNGSI DAN LIMIT] KAL
Mia Fit
rafik fungsi tersebut, tentukan:
b) lim?→,+ () c) lim?→,+ () d) limf) lim?→@ () g) lim?→@ () h) limj) lim?→2 () k) lim?→2 () m) lim
ada. Karena tidak ada titik yang melalui 2. Karena () mendekati 2 pada = −4 2. Karena () mendekati 2 pada = −4 2. Karena limit kiri sama dengan limit kan
. Karena () mendekati 4 pada = 1 dari k−2. Karena () mendekati −2 pada = 1tidak ada. Karena limit kiri tidak sama dengan
5. Karena () mendekati 5 pada = 6 dari k5. Karena () mendekati 5 pada = 6 dari k
. Limit kiri sama dengan limit kanan pada
angan bulat positif, E konstanta, serta dan mpunyai limit di maka:
)(xf
KALKULUS 1
ia Fitria, S.Si, M.Pd
lim?→,+ () lim?→@ () lim?→2 ()
() pada saat
dari kiri. dari kanan.
it kanan pada =dari kiri. 1 dari kanan.
dengan limit kanan
dari kiri. dari kanan. = 6, yaitu 5.
adalah fungsi-
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
17 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
4. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→
±=±
5. [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→
⋅=⋅
6. 0)(asalkan ,)(lim
)(lim
)(
)(lim ≠=
→
→
→xg
xg
xf
xg
xf
cx
cx
cx
7. [ ] [ ]ncx
n
cxxfxf )(lim)(lim
→→=
8. genap ketika0)(limasalkan ,)(lim)(lim nxfxfxfcx
ncx
n
cx>=
→→→
Contoh :
Carilah lim?→A 2+ !
Jawab : lim?→A 2+ = 2 lim?→A + = 2 lim?→A + = 2K3]+ = 162
Contoh :
Carilah lim?→+(3! − 2) !
Jawab : lim?→+(3! − 2) = lim?→+ 3! − lim?→+ 2 = 3 lim?→+ ! − 2 lim?→+
= 3 lim?→+ ! − 2 lim?→+ = 3K4]! − 2K4] = 40
Ω Teorema Subtitusi
Jika fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka lim?→ () = ()
Asalkan () terdefinisi dan untuk fungsi rasional nilai penyebut pada =
tidak nol.
Contoh :
Carilah lim?→! ?U,@N?\,@A?*2A?1,2?,3 !
Jawab :
lim?→!7R − 10+ − 13 + 63! − 6 − 8 = 7K2]R − 10K2]+ − 13K2] + 63K2]! − 6K2] − 8 = − 112
Ω Limit Fungsi Trigonometri
Untuk setiap bilangan real c di dalam daerah asal fungsi.
1. limm→ sin = sin
2. limm→ cos = cos
3. limm→ tan = tan
4. limm→ sec = sec
5. limm→ csc = csc
6. limm→ cot = cot
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
18 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Ω Limit Trigonometri Khusus
1. limm→N jkl mm = 1
2. limm→N @,noj mm = 0
Contoh :
Carilah masing-masing limit.
lim?→Nsin 3
limm→N1 − cos
lim?→Nsin 4tan
Jawab :
lim?→Nsin 3 = 33 lim?→N
sin 3
= 3 lim?→Nsin 33 = 3 ∙ 1 = 3
limm→N1 − cos sin = limm→N
(1 − cos ) v@mw(sin ) v@mw
= limm→N@,noj mmjkl mm
= 01 = 0
lim?→Nsin 4tan = lim?→N
sin 4jkl ?noj ?
= lim?→Nsin 4 ∙ cos sin
= lim?→N@! Ksin 5x + sin 3x]sin
= 12 lim?→NvKjkl R*jkl A] w
vjkl ?? w
= 12 lim?→NvR jkl RR w
vjkl ?? w + lim?→NvA jkl AA w
vjkl ?? w
= 12 5 lim?→Nvjkl RR wvjkl ?? w + 3 lim?→N
vjkl AA wvjkl ?? w
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
19 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
= 12 5 11 + 3 11 = 12 K5 + 3] = 82 = 4
Ω Kekontinuan Fungsi
Definisi kontinuitas di satu titik
Misalkan terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung .
dikatakan kontinu di , jika lim?→ () = ()
Gambar (1) : lim?→ () ada tetapi ≠ (), lim?→ () = (),
Jadi lim?→ () tidak ada.
Gambar (2) : lim?→ () ada tetapi ≠ (), lim?→ () ada tetapi ≠ (),
Jadi lim?→ () ada akan tetapi lim?→ () ≠ (). Gambar (3) : lim?→ () = () ada, lim?→ () = (), Jadi lim?→ () = ().
Syarat kontinuitas di satu titik adalah:
1. lim?→ () ada
2. () ada (limit kiri = limit kanan)
3. lim?→ () = ()
Contoh :
Misalkan () = ?1,+?,! , ≠ 2. Bagaimana seharusnya didefinisikan di = 2 agar kontinu di titik itu?
lim?→!! − 4 − 2 = lim?→!
( − 2)( + 2) − 2 = lim?→!( + 2) = 2 + 2 = 4
Agar kontinu pada = 2 maka didenisikan sebagai berikut
() = ! − 4 − 2 ≠ 24 = 2G
adatidak )(lim xfcx→
)()(lim
tetapiada,)(lim
cfxf
xf
cx
cx
≠→
→)()(lim cfxf
cx=
→
( )1 ( )2 ( )3
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
20 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
L A T I H A N
Ω Latihan 1
1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan: a. Aturan relasi: alat transportasi = PE , P , E , P , E , ℎ^ = , ^ , ^ b. Aturan relasi: faktor prima dari = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14
2. Himpunan pasangan berurutan berikut merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Daftarkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B serta tulis aturan relasi yang mungkin.
a. BA R = (E , ), (P , ), ( , ), (E , ) , (P^ , ) b. BA R = (7 , 3) , (6 , 2) , (5 , 1) , (4 , 0) , (3 , – 1) , (2 , – 2) , (1 , – 3)
3. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram panah dengan aturan relasi : “tiga kurangnya dari” = | – 2 ≤ < 5 , ∈ P P^ = | 0 ≤ ≤ 10 , ∈ P ℎ
4. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan diagram Cartesius dengan aturan relasi: lebih dari. a. = P E^ 10 D = P E^ 12
5. Diketahui himpunan = 0 , 4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 Relasi 7 dari himpunan ke himpunan dengan aturan “kelipatan dari” a. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan himpunan pasangan berurutan b. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram panah c. Nyatakan relasi 7 tersebut dengan diagram cartesius
Ω Latihan 2 1. Untuk () = A + 3, carilah masing-masing nilai dari.
a. 0√24 b. (−3)
c. v @A)w
d. (2,5) e. (1 + ℎ) f. (2 + ℎ) − (2)
2. Tentukan apakah fungsi-fungsi berikut ini fungsi genap atau ganjil. a. () = −4 b. () = 2 + 1 c. () = 3
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
21 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
d. () = ?V3
e. () = |2| f. () = −| + 3|
3. Jika () = A + 2 dan () = @?, carilah masing-masing nilai
a. ( + )() b. ( ∘ )()
c. ( ∘ )(√83 )
d. !() + @W(?) e.
(W () f. ( ⋅ )0√164 g. ( − 5)(5)
4. Carilah domain dari fungsi-fungsi berikut ini.
a. () = @?
b. () = √! − 16
c. () = −√81 − 3
d. () = +,?1?1*+?*+
e. () = √
5. Konversikan ukuran berikut ini.
a. 2 b radian = °
b. 46° = radian
c. 30° = radian
d. 6,28 radian = °
6. Sederhanakanlah :
a. v @ ¡ ? − 1w v @ ¡ ? + 1w
b. 2 −12
c. 2 +2 2
Ω Latihan 3 1. Carilah limit fungsi berikut ini.
a. ?→A( − 5) b. m→,@(! − !) c. ?→!(! + 2 − 1) d. ?→@ √2 + 2 e. ?→R √5
22
f. ?→,@ ?,@!?*@ g. ?→¢1 4 cos 2h. ?→N ¡£L ?!? i. m→N +,+ ¡ m!mj. ?→N ¡ ??*@
2. Carilah nilai limit
maka maka lakuk
mengubah bentuk f
a. ?→! 0?1,+4?,! b. ?→,m 0?1,m14?*mc. ?→ T(?,)V?, d. ?→+ ?1*!?,!+?,+e. ?→,! ?1*?*?*!f. ?→¤ ?,¤√?,A g. ?→! ?1,R?*2?1,?,!h. ?→@ ?1,!?*@?1,@i. ?→N ?V,@2??1*+ j. ?→! ?1,3?*@!?1,!
3. Grafik grafik beriku
Berikan alasannya.
[FUNGSI DAN LIMIT] KAL
Mia Fit
2 . sin m
i limit yang diberikan dengan pemeriksaan, jik
a lakukan dengan beberapa perhitungan al
entuk fungsinya. 44
) !+ *@N 2 @ @!
berikut ini, tentukan apakah () kontinu di
annya.
KALKULUS 1
ia Fitria, S.Si, M.Pd
saan, jika tidak ada
gan aljabar untuk
u di −2, 0, dan 3.
[FUNGSI DAN LIMIT] KALKULUS 1
23 Mia Fitria, S.Si, M.Pd
4. Nyatakan apakah fungsi berikut ini kontinu atau tidak kontinu di = 2
dan berikan alasannya. a. () = 4! − 2 + 12 b. () = @?,! c. () = ?V
!,? d. () = √ − 3 e. () = √! − 5 f. () = ,3*!?*?1
!,? g. () = R?,@N?,! h. () = ¥!?,+?,! ≠ 22 = 2G i. () = ¦ + 3 < 2! + 1 ≥ 2 G j. () = ¦−2 + 4 ≤ 2−2 > 2G
5. Fungsi-fungsi berikut ini tidak kontinu di titik tertentu. Definisikan
fungsi-fungsi tersebut agar menjadi kontinu. a. () = ?1,@2?,+ b. () = !?,@√!?,@ c. () = +?1,¤!?,A
6. Di titik manakah fungsi-fungsi berikut ini menjadi tidak kontinu. a. () = √ − 5 b. () = ?1,@?,@ c. () = !?!?1,!? d. () = √4 − 4 e. () = !?*A?1,?,2 f. () = @√+,? g. () = !?*√?*R h. () = ?!?1,?,@ i. () = C√ + 1 ≥ 1 < 1 G j. () = ! < 0− 0 < ≤ 1 > 1 G
top related