fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Post on 11-Aug-2015
192 Views
Preview:
TRANSCRIPT
LOGO
Matematika-wajib Kelas XI MIA/ IIS
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
INVERS
Oleh: Any Herawati, M.Pd.
3.2 Memahami konsep fungsi dan menerapkan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) pada fungsi
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
3.3 Menganalisis konsep dan sifat suatu fungsi dan melakukan manipulasi aljabar dalam menentukan invers fungsi dan fungsi invers.
MATERI
KOMPETENSI DASAR
4.2 Mengolah data masalah nyata dengan menerapkan aturan operasi dua fungsi atau lebih dan menafsirkan nilai variabel yang digunakan untuk memecahkan masalah.
3.4 Memahami dan menganalisis sifat suatu fungsi sebagai hasil operasi dua atau lebih fungsi yang lain.
4.3 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam memecahkan masalah nyata terkait fungsi invers dan invers fungsi.
KOMPETENSI DASAR
KOMPETENSI DASAR
3.5 Memahami konsep komposisi fungsi dengan menggunakan konteks sehari-hari dan menerapkannya.
4.4 Merancang dan mengajukan masalah dunia nyata yang berkaitan dengan komposisi fungsi dan menerapkan berbagai aturan dalam menyelesaikannya.
MATERI YANG DIPELAJARI
Sifat-sifat fungsi
Aljabar fungsi
Macam-macam fungsi khusus
Fungsi komposisi
Fungsi invers
Fungsi invers dari fungsi komposisi
Pengertian Relasi dan Fungsi
Jika A dan B masing-masing menyatakan himpunan yang tidak kosong, maka produk Cartesius himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan dan , ditulis
Ax By
}dan ),{( ByAxyxBA
PRODUK CARTESIUS
{1,2}Bdan },,{ cbaA
)},2(),,2(),,2(),,1(),,1(),,1{(
)}2,(),1,(),2,(),1,(),2,(),1,{(
cbacbaAB
ccbbaaBA
Misalkan maka:
RELASI
RELASI
Relasi Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian dari
A B.
Notasi: R (A B).
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a dihubungkan dengan b oleh R
a R b adalah notasi untuk (a, b) R, yang artinya a tidak dihubungkan oleh b oleh relasi R.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari R, dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.
FUNGSI
FUNGSI
Fungsi Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
f : A B
yang artinya f memetakan A ke B.
A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.
Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.
Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A
dihubungkan dengan elemen b di dalam B.
J ik a f(a ) = b , m ak a b d in am ak an b a y a n g a n ( im a g e ) d a ri a d an a d in am ak an p ra -b a y a n g a n (p re -im a g e ) d a ri b .
H im p u n an yan g b eris i sem u a n ila i p em etaan f d iseb u t je la ja h
(ra n g e ) d a ri f. P erh a tik an b ah w a je la jah d ari f ad a lah h im p u n an b ag ian (m u n g k in p ro p er su b se t) d a ri B .
a b
A B
f
Fungsi adalah relasi yang khusus: 1. Tiap elemen di dalam himpunan A harus digunakan oleh
prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f. 2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B”
berarti bahwa jika (a, b) f dan (a, c) f, maka b = c.
Materi
Notasi FungsiSuatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan denganhuruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B
A disebut domainB disebut kodomain
Materi
Range atau Daerah HasilJika f memetakan
x A ke y Bdikatakan y adalah peta dari x
ditulis f: x → y atau y = f(x).Himpunan y B
yang merupakan peta dari x Adisebut range atau daerah hasil
Materi
contoh 1Perhatikan gambar pemetaan 1 f : A → B
a 2 domain adalah
b 3 A = {a, b, c, d}
c 4 kodomain adalah
d 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}
A B range adalah
R = {2, 3, 4, 5}
Vertical Line Test: Suatu relasi adalah fungsi jika suatu garis vertikal digambar melalui grafik tersebut berpotongan hanya di satu titik.
Contoh: manakah dari kedua grafik tersebut yang merupakan fungsi?
Berpotongan hanya di satu titik
Berpotongan di dua titik
Grafik tersebut adalah fungsi
Grafik tersebut bukan fungsi
Dari Grafik dibawah ini, manakah yang merupakan fungsi?
x 2 + y 2 = 1 y = x 2
Bukan Fungsi Fungsi
y 2 = x
a) b) c)
Bukan Fungsi
d)e)
x = | y – 2|
Bukan Fungsi FungsiBukan Fungsi
f)x=1
y=1
Apakah diagram berikut merupakan fungsi atau bukan?
Gambar 1
1234
abcd
A B
1234
abcd
A B
Gambar 2
Gambar 1 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B
Gambar 2 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B
LANJUTAN
Gambar 3
1234
abcd
A B
Gambar 4
1234
abc
d
A B
Gambar 3 bukan fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B dan ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu
Gambar 4 bukan fungsi ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B
LANJUTAN
Gambar 5
1234
abcd
A B
Gambar 6
1234
abcd
A B
Gambar 5 bukan fungsi, karena ada anggota A memiliki pasangan lebih dari satu di B
Gambar 6 adalah fungsi karena setiap anggota A memiliki pasangan tepat satu di B
SIFAT-SIFAT
FUNGSI
SIFAT-SIFAT
FUNGSI
SIFAT – SIFAT FUNGSI ITU
APA SAJA YA ??
a. Fungsi Injektif (Fungsi satu-satu)adalah fungsi yang setiap elemen yang berbeda pada daerah asal dipetakan dengan elemen yang berbeda pada daerah kawan atau didefinisikan “untuk setiap a1, a2 ε A dan a1≠ a2 berlaku f(a1) ≠ f(a2)
Contoh DiagramFungsi Injektif
Sifat-sifat Fungsi
Terminology
F adalah fungsi satu-satu (atau Injektif) jika dan hanya jika x1,x2 X , F(x1) = F(x2) x1=x2
atau x1,x2 X x1≠x2 F(x1) ≠ F(x2)
F bukan fungsi satu-satu jika dan hanya jika
x1,x2X, (F(x1) = F(x2)) (x1 ≠ x2)
Teorema: Horizontal Line TestJika garis horizontal memotong grafik fungsi f hanya di satu titik, maka f adalah fungsi satu-satu (injektif).
Gunakan sketsa grafik untuk menentukan apakah fungsiadalah fungsi satu-satu (injektif)
Bukan fungsi injektif
Gunakan sketsa grafik untuk menunjukkan fungsi adalah fungsi injektif.
Fungsi injektif
b. Fungsi Surjektif (Fungsi Onto atau Fungsi Kepada)adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan daerah kawan. Jika suatu fungsi dengan daerah hasil merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B, maka disebut fungsi into atau fungsi kedalam.
Af
B
d
bc
1
23
d4
a
e
Af
B
d
ab
123
c4
Contoh DiagramFungsi Into
Contoh DiagramFungsi Onto
Terminology
F adalah fungsi Onto (atau Surjektif) jika dan hanya jika
y Y xX, F(x) = y
F adalah fungsi Into jika dan hanya jika
yY x X, F(x) y
c. Fungsi Bijektifadalah fungsi yang bersifat injektif sekaligus bersifat surjektif, biasa dinamakan korespondensi satu-satu
Contoh DiagramFungsi Bijektif
Af
B
d
a
b1
2
3 c
RANGKUMAN SIFAT FUNGSI
Surjektif(kepada)
Into(ke dalam)
Injektif(satu-satu)
Bijektif(pasangan)
Tiap elemen di Bpunya
pasangan di A
Ada elemen di Byg tidak punya pasangan di A
Tiap elemen di Bpunya pasangan
tepat satu di A
Tiap elemen di Bberpasangan
satu-satu dgn A
A B
abc
ef
abc
efg
abc
efgi
abc
efg
LATIHAN
Diketahui himpunan A = {a, b, c, d, e}, B = {0, 2, 4, 6} yang didefinisikan oleh f : A → B.
Manakah yang merupakan fungsi surjektif?
a. {(a,0), (b,0), (c,2), (d,4), (e,6)}
b. {(a,0), (b,0), (c,0), (d,2), (e,4)}
c. {(a,0), (b,2), (c,4), (d,6), (e,6)}
d. {(a,2), (b,2), (c,2), (d,4), (e,6)}
PENYELESAIAN
a. b.
Surjektif Into
c. d.
Surjektif Into
abcde
0246
abcde
0246
abcde
0246
abcde
0246
Manakah yang merupakan fungsi, fungsi injektif, surjektif atau pun bijektif ?
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
– 2
– 2
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
– 2
– 2
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
y
x
2
2
– 2
– 2
2
2
4
4
– 2
– 2
– 4
– 4
DOMAIN ASAL ALAMI
DOMAIN ASAL ALAMI
NO BENTUK SYARAT TERDEFINISI
1
2
3
MENENTUKAN DOMAIN ALAMI
)(xfy
)(
1
xfy
)(
1
xfy
0)( xf
0)( xf
0)( xf
Selain 3 bentuk di atas, }R|{D xxf
CONTOH 1
Tentukan DOMAIN ALAMI dari
5.1 xy7
1.2
xy
Syarat terdefinisi :
05 x
5x
Jadi, Domain Alami :
}5|{DA xx
Syarat terdefinisi :
07 x
7x
Jadi, Domain Alami :
}7|{DA xx
CONTOH 2: TENTUKAN DOMAIN ALAMI
9.3 2 xy6
1.4
2
xxy
Syarat terdefinisi :
092 x0)3)(3( xx
Jadi, Domain Alami :
}3atau 3|{DA xxx
Syarat terdefinisi :
0)3)(2( xx
Jadi, Domain Alami :
-3 3
+ - +
062 xx
+ - +
-2 3
}3atau 2|{DA xxx
LATIHAN
Tentukan DOMAIN ALAMI dari masing-masing fungsi berikut:
2.1 xy
12.2 xy
3
1.3
xy
62
1.4
xy
4.5 2 xy
xy 3.6
xy 24.7
xy
2
1.8
43
1.9
xy
23.10 2 xxy
ALJABAR FUNGSIALJABAR FUNGSI
ALJABAR FUNGSI
Definisi:
Misalkan fungsi f(x) dan fungsi g(x) masing-masing dengan daerah asal D dan D maka:
jumlah fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f + g)(x) = f(x) + g(x) dengan daerah asal D = D D ,
selisih fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,
perkalian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah (f g)(x) = f(x) g(x) dengan daerah asal D = D D ,
pembagian fungsi f(x) dan fungsi g(x) adalah dengan daerah asal D - = D D dan g(x) 0.
f + g
gf
f g
f gf g
f gf g
fg
=fg
f(x)g(x)
(x)
fg
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan domain alaminya.a.(f + g) (x)b.(f – g) (x)c.(f x g) (x) d.(f/g)(x)e.f3 (x)
CONTOH
1x2 xg
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan a.(f + g) (x) =
Domain asal alami Df+g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan b. (f – g) (x) =
Domain asal alami Df-g = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan c. (f x g) (x) =
Domain asal alami Dfxg = {x|x ≥ ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2102 x
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan d. (f/g) (x) =
Domain asal alami Df/g = {x|x > ½, x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
1x2
102
x
Diketahui fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus f (x) = 2x – 10 dan e. f3 (x) =
Domain asal alami Df³ = {x|x ε R}
PEMBAHASAN
1x2 xg
10008001608102 233 xxxx
MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS
MACAM-MACAM FUNGSI KHUSUS
Notasinya : f(x) = k Apabila terdapat fungsi f : AB, Fungsi f disebut
fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama
Misalkan : f(x) = 2 dan x bil real Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar
sumbu x
FUNGSI KONSTAN
FUNGSI IDENTITAS
F(x) = xContoh f(x) = 1
FUNGSI LINIER Notasinya : f(x) = mx+n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan
gradien m dan melalui titik (0,n)
GRAFIK FUNGSI LINEARDiketahui :
f(x) = x+1 dimana domain dan kodomain berupa bil realMenuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
GRAFIK FUNGSI LINEAR
Diketahui :f(x) = 2x dimana domain dan kodomain berupa bil riilMenuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius
LATIHAN SOALDiketahui :
1. f(x) = 2x-12. f(x) = -2x - 2 dimana domain { x | -3 ≤ x ≤ 3, x R }
Ditanya : 1. Tuliskan fungsi dalam bentuk tabel2. Tuliskan fungsi dalam grafik kartesius
FUNGSI KUADRAT
GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Diketahui :f(x) = 2x² dimana domain dan kodomain berupa bil riil
Menuliskan fungsi dalam tabel
Menuliskan fungsi dalam grafik Kartesius :
x -2 -1 0 1 2
f(x) 8 2 0 2 8
FUNGSI KUBIKFungsi kubik: .
0,)( 3012
23
3 aaxaxaxaxf
FUNGSI PECAH
FUNGSI IRASIONAL
1. y = 2x
x -2 -1 0 1 2
y 1/4 1/2 1 2 4
2. y = 2x–1 + 4
Nilai dari 2x tidak mungkin nol atau negatif. Artinya 2x > 0.
Grafik y = 2x–1 bisa di gambar dulu lalu sumbu x di geser vertikal ke bawah 4 satuan untuk mendapatkan grafik y = 2x–1 + 4
½ 4,5
x -2 -1 0 1 2
2x–1 1/8 1/4 1/2 1 2
FUNGSI EKSPONEN
1. Fungsi floor (floor = lantai) : f(x) = x
x = menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari x
2. Fungsi ceiling (ceiling = langit-langit) : f(x) = x x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari x
x
x
x
x
FUNGSI FLOOR DAN FUNGSI CEILING
Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi, y = f(x) dikatakan:Genap, jika f(-x)=f(x)Ganjil, jika f(-x) = - f(x)
Contoh:Fungsi Genap
Grafik fungsi genap y = f(x) simetris terhadap sumbu y
Fungsi Genap dan Ganjil
Fungsi GanjilGrafik fungsi ganjil y = f(x) simetris
terhadap titik asal.
INVERS SUATU
FUNGSI
INVERS SUATU
FUNGSI
Fungsi Invers dan Invers Fungsi
a b
f
g
Jika ada fungsi g sedemikian hingga a = g(b) maka fungsi f mempunyai fungsi invers. f -1(x) = g(x).
Invers suatu fungsi hasilnya tidak selalu merupakan fungsi. Jika merupakan fungsi maka invers fungsi tersebut disebut FUNGSI INVERS.
FUNGSI INVERS
Suatu fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f-1 : B → A,jika dan hanya jika merupakan fungsi bijektif ( berkorespondensi satu-satu)
a.b.c.d.
.1
.2
.3
.4
.a
.b
.c
.d
1.2.3.4.
A B AB
INVERS FUNGSI Misalkan f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A. dengan kata lain,y = f(x) ↔x = f -1 (y)
Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.
A B
b=f(a)
f(a)
f -1(b)
f -1(b)=a
a.b.c.
CONTOH
Diketahui fungsi ƒ sebagai berikut: A B
Ditanyakan:1. Apakah ƒ-1 ada? Mengapa?2. Carilah (ƒ-1○ƒ)(a), dan (ƒ-1○ƒ)(b)3. Apakah ƒ-1○ƒ = I?Mengapa?
.1
.2
.3
1. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
2. CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifmaka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.
Contoh
Jawab
Selidiki apakah g(x) = merupakan fungsi invers bagi f(x) = .
2x +1 x
1x 2
(g f)(x) = g(f(x)) = g = 1
x 2 1
x 2
1
x 22 + 1
=2 + x 1
x 2
1
x 2
= x = I(x)
(f g)(x) = f (g(x)) = g = 2x +1 x
1
2x +1
x
21=
2x +1 2 x
x
= x = I(x)
(g f)(x) = (f g)(x) = x = I(x), maka g(x) = 2x +1
xadalah fungsi invers dari
f(x) = 1
x 2
Menentukan Rumus Fungsi Invers
1. Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.
2. Bentuk x sebagai fungsi y pada langkah 1 dinamai dengan f-1(y).
3. Gantilah y pada f-1(y) dengan x untuk mendapatkan f-
1(x)
f-1(x) adalah rumus fungsi invers dari fungsi f(x).
ContohTentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 6
1
3 f 1(x) = g(x) = (x 6).
y = f(x) = 3x + 6, maka x= (y 6) 1
3
x = f 1(y) = g(y) = (y 6) 1
3
y = f 1(x) = g(x) = (y 6) 1
3
Catatan:
Untuk memeriksa kebanaran bahwa f 1(x) yang diperoleh adalah fungsi invers dari f(x), maka cukup ditunjukkan bahwa (f f)(x) = (f f 1)(x) = x = I(x).
Jawab
GRAFIK FUNGSI INVERS
GRAFIK FUNGSI INVERS
Grafik fungsi invers
Tidak semua fungsi memiliki invers. Ada juga fungsi yang dapat memiliki invers jika terpenuhi syarat tertentu. Grafik fungsi invers dapat digambarkan dengan cara :a.dengan menentukan fungsi inversnya
terlebih dahulu,b.melalui pencerminan terhadap fungsi
identitas I(x) = x, cara ini didasarkan pada sifat fungsi identitas yang memiliki invers tetap.
Contoh Gambarlah grafik fungsi 1)( 2 xxf
Untuk semua nilai x, fungsi ini tidak memiliki invers, maka diberikan syarat dengan domain yang terbatas :
Pembahasan
RxxxD f ,0
1 2
2
4
1)(
:
1
1
1
2
xxf
berarti
yx
xy
Fungsi invers untuk domain ini memenuhi :
1 2
2
4
4
12 xy
1 xy
FUNGSI KOMPOSI
SI
FUNGSI KOMPOSI
SI
Pengertian Fungsi Komposisi
Fungsi g memetakan x menjadi g(x), kemudian fungsi f mengolah g(x) menjadi f(g(x)). Fungsi f(g(x)) ini adalah komposisi fungsi g dan fungsi f disebut sebagai fungsi komposisi yang dilambangkan oleh (f g)(x) dengan (f g)(x) = f(g(x)).
mesin l mesin ll x g(x) f(g(x))
FUNGSI KOMPOSISI
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:g : A B ditentukan dengan rumus g(x)f : B C ditentukan dengan rumus f(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi
(f g)(x) = f(g(x))Catatan:
Fungsi komposisi atau fungsi majemuk (f g)(x) = f(g(x)) seringkali juga disebut sebagai “fungsi bersusun” atau “fungsi dari fungsi”.
x
Mesin f
f(x)
Mesin g
g(f(x))
misal :mesin fungsi f adalah f : x 2x – 4 mesin fungsi g adalah g : x x2 + 1Jika nilai x = 3 maka : mesin f akan memproses 3 sebagai f : 3 2(3) – 4 = 2 mesin g akan memproses 2 sebagai g : 2 22 + 1 = 5
Proses 2 mesin dapat diringkas menjadi proses satu mesin sebagai berikut :(g ○ f)(x) = g(f(x)) = g(2x–4) = (2x–4)2+1 = 4x2–16x+17, maka (g ○ f)(2) = g(f(3)) = 4.(3)2 – 16(3) + 17 = 5
Hal yang sama berlaku untuk lebih dari dua mesin.Perhatikan bahwa urutan proses mesin diperhatikan, artinya tidak komutatif.
f ○ g ≠ g ○ f
lebih jelasnya…..
Definisi:
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:f : A B ditentukan dengan rumus f(x)g : B C ditentukan dengan rumus g(x)maka komposisi dari fungsi g dan fungsi f ditentukan oleh rumus fungsi komposisi
(g f)(x) = g(f(x))Catatan:1. Nilai fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) untuk x = a
ditentukan dengan aturan• (f g)(a) = f(g(a))• (g f)(a) = g(f(a))
2. Fungsi komposisi (f g)(x) dan (g f)(x) disebut fungsi komposisi diri, yaitu fungsi komposisi yang disusun dari dua buah fungsi yang sama.
KOMPOSISI FUNGSI Misalkan g: A B dan f: B C. Komposisi
fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A C dengan (f ◦ g)(x) = f(g(x)).
Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.
A B C
⊂
g f
f◦g
x A dipetakan oleh f ke y Bditulis f : x → y atau y = f(x)
y B dipetakan oleh g ke z Cditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
A
x
C
z
B
yf g
KOMPOSISI FUNGSI
A B C
x zyf g
g o f
maka fungsi yang memetakanx A ke z C
adalah komposisi fungsi f dan gditulis (g o f)(x) = g(f(x))
KOMPOSISI FUNGSI
contoh 1
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
Jawab:f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120 p = 60
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Tidak komutatif
Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif f : A→ B dan g : B→ C, maka fog ≠ gof
CONTOH SOAL
Diketahui: ƒ(x)=2x + 1 dan g(x)=x2-3. Periksalah apakah (g○ƒ)(x)=(ƒ○g)(x)
Jawab:
(g○ƒ)(x) =g(ƒ(x) =g(2x+1) =(2x+1)2-3 =4x2 +4x –
2
(ƒ○g) (x) = ƒ(g(x)) = ƒ (x2-3) =2(x2-3) +
1 = 2x2 – 6 +
1 = 2x2 – 5
Dari contoh di atas ditunjukkan bahwa (g○ƒ) ≠ (ƒ○g) (x)
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Assosiatif
Komposisi Fungsi bersifat asosiatif,yaitu
jika f : A → B dan g : B → C, dan h :C → D, maka h ○(g○f)=(h○g)○f
CONTOHFungsi ƒ,g,dan h didefinisikan sebagai
berikut : ƒ (x) =x + 2, g (x) =3x, dan h (x)=x. Tentukan :h○(g○ƒ) dan (h○g)○ƒ (x)
PENYELESAIAN
(g○ƒ) (x) =g(ƒ(x)) =g(x + 2) =3(x +2) =3x + 6 h ○(g○ƒ) (x) =h(3x + 6) =(3x + 6)2
=9x2 + 36x +36 ….1)
LANJUTAN …
(h ○ g) (x) = h(g(x))
= h(3x) =(3x)2
=9x2
(h○g)○ƒ (x) =(h ○ g)(ƒ(x)) =(h ○ g)(x +2) =9(x + 2)2
=9(x2 +4x+4) =9x2 +36x +36 ….2)
Dari persamaan 1) dan 2) disimpulkan bahwa: h○(g○ƒ) (x) = ((h○g)○ƒ) (x)
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Sifat IdentitasJika I (x)=x, dan f (x) adalah suatu
fungsi, maka I ○f = f○I = f
Contoh : Diketahui :I(x) = x dan f(x) = x2
+ 1. Carilah:a.(I ○f)(x)b.(f○I) (x)c.Kesimpulan apakah yang dapat
kamu kemukakan?
PENYELESAIAN
a. (I○f)(x) =I(f(x) =I(x2 + 1) = x2 + 1b. (f○I)(x) =f(I(x)) =f(x) =x2 + 1c. I○f = f○I = f untuk setiap f
xg(x)
x g(x)f(g(x))
g f
f(g)
Domain dari g
Domain dari f
Range dari g Range dari f
Range dari f(g)
Perhatikan diagram berikut:
Syarat fungsi f dan g dapat dikomposisikan
untuk fog
Rg Df ≠ { }
D(fog) Dg
R(fog) Rf
Next …
untuk gof
Rf Dg ≠ { }
D(gof) Df
R(gof) Rg
Contoh
Misalkan fungsi f: R R dan g : R R di tentukan dengan aturan: f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x,Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)
.
a. Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
3x – 1 2x
(fog)(x) = f(g(x))=f( )=f ( )2x
= .3 - 1
(fog)(x) = 6x - 1
Penyelesaian
Jawab:
Jika di tentukan f(x) = dan g(x) = 2x ,Maka dengan rumus (gof)(x) = g(f(x)) didapat
a. (gof)(x) = g(f(x))
3x – 1
=g3x – 1
)(=g (
2x
2 =
.(gof)(x) = 6x - 2
b. 3x – 1
)
.
3x – 1
( )
MENENTUKAN FUNGSI
JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
LAIN DIKETAHUI
MENENTUKAN FUNGSI
JIKA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI
LAIN DIKETAHUI
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
f(x) dan g(x)(f g)(x) atau(g f)(x)
f (x) dan (f g)(x) f (x) dan (g f)(x) g (x) dan (f g)(x) g(x) dan (g f)(x)
g (x)
g (x)
f (x)
f (x)
DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN
DIKETAHUI DAPAT DITENTUKAN
ContohFungsi komposisi (f g)(x) = 2x +3 dan fungsi f(x) = 4x – 1. Jawab
f (g(x) = (f g)(x) 4 g(x) – 1 = 2x + 3 sebab f(x) = 4x – 1
4 g(x) = 2x + 4
g(x) = 2x + 44
= 12
x + 1
Contoh
Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4x - 5dan f(x) = 2x + 1,Carilah fungsi g(x)
PENYELESAIANFungsi komposisi (fog)(x) = dan f(x) = 2x + 1,Maka dengan rumus (fog)(x) = f(g(x)) didapat
(fog)(x) = 4x - 5f(g(x))
= 4x - 5
f(g(x)) = 4x - 5
2 + 1 = 4x - 5
2 g(x) + 1 = 4x – 5 -
2 = 4x - 6
g(x) = 4x - 6
g(x) = 2x - 3
2 g(x)
Misalkan fungsi Komposisi (fog)(x)= 4 - 2x
dan g(x) = 6x + 1,
Carilah fungsi f(x)
Contoh soal:
PENYELESAIAN(f o g)(x) = 4 – 2x dan g(x) = 6x + 1
(f o g)(x) = 4 – 2x
↔ f(g(x)) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = -2x + 4
↔ f(6x + 1) = (-⅓(6x + 1) + ⅓) + 4
↔ f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓
karena f(6x + 1) = - ⅓(6x + 1) + 4⅓ maka
f(x) = - ⅓x + 4⅓
Jadi, fungsi f(x) =- ⅓x + 4⅓
CONTOH
Diketahui fungsi (f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan fungsi f(x)
PENYELESAIAN
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 dan f(x) = x – 1
(f o g)(x) = x2 – 6x + 3 ↔ f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Untuk menentukan fungsi f(x)
ada dua cara
Cara 1Dari relasi f(x - 1) = x2 – 6x + 3 Ruas kiri dapat diubah menjadi
f(x - 1) = {(x – 1)2 – 2x - 1} – 6x + 3↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4x + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – {4(x – 1) + 4} + 2↔ f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2Karena f(x - 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) – 2 maka f(x) = x2 – 4x - 2 Sehingga, f(x) = x2 – 4x - 2
Cara 2
Dari relasi (x - 1) = x2 – 6x + 3 Misalkan p = x – 1 → x = p + 1Ruas kanan kita ganti variabel x dengan x = p + 1, diperoleh:f(p) = (p + 1)2 – 6(p + 1) + 3 ↔ f(p) = p2 + 2p + 1– 6p – 6 + 3↔ f(p) = p2 – 4p - 2 Jadi, f(x) = x2 – 4x - 2
FUNGSI INVERS
DARI FUNGSI
KOMPOSISI
FUNGSI INVERS
DARI FUNGSI
KOMPOSISI
(f g) 1Berdasarkan gambar maka dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f 1(x) (bertindak sebagai pemetaan pertama) dan g 1(x) (bertindak sebagai pemetaan kedua).
Dengan demikian, diperoleh hubungan:
Fungsi invers dari fungsi komposisi ditentukan oleh
(f g)1(x) = (g1 f 1(x)
(g f)1(x) = (f1 g 1(x)
x y z
g f
(f g)
x y z
g 1
(f g) 1
f 1
FUNGSI INVERS DARI FUNGSI KOMPOSISI
Invers dari Fungsi Komposisi
(g○ƒ)-1 (x)= (ƒ-1○ g-1)(x)
(ƒ○ g)-1 (x)= (g-1○ ƒ-1)(x)
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa fungsi invers dari komposisi fungsinya yaituDapat pula diperoleh dengan cara menentukan fungsi komposisi dan sehingga berlaku hubungan :
)()( 1 xfg
)(1 xg )(1 xf
Contoh 1,
1
1)(
x
xxfDiketahui dan 2)( xxg
)()( 1 xfg Tentukan .
)()( 1111 gffgh
Pembahasan
))(()( xfgxh
1,1
32
21
1
1
1
xx
x
x
xg
2
3
3)2(
321
32
y
yx
yyx
xyyxx
xy
)()()( 1 xfgxh
2,2
3)(1
xx
xxhberarti
Jika ditentukan terlebih dahulu masing – masing dan didapatkan :
)(1 xf
)(1 xg
x
xxf
y
yx
yyxx
y
xxf
1)(
1
11
11
1)(
1
2)(
2
2
2)(
1
xxg
yx
xy
xxg
LOGO
Don’t forget to review today’s topic at home …
top related