fungsi naik turun
Post on 26-Sep-2015
137 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
-
KALKULUS: DIFERENSIASI
1
Oleh:
Adhi Setiawan
Program Studi Teknik Kimia
Fakultas Teknik
Universitas Negeri Semarang
-
Garis singgung dan Laju Perubahan
Banyak fenomena fisis yang melibatkan
perubahan besaran seperti laju suatu roket,
inflasi nilai tukar, jumlah bakteri, jumlah
bakteri dalam jaringan, intensitas guncangan,
tegangan listrik dan sebagainya. Pada bagian
ini akan dijelaskan konsep dasar matematika
yang menghubungkan antara masalah garis
singgung dan laju perubahan tersebut
2
-
Kemiringan Garis Singgung
3
Misalkan, titik A berkoordinat (a, f(a)) maka titik B berkoordinat
(a+x,f(a+x)). Garis yang melalui A dan B mempunyai
gradien (kemiringan):
-
4
Kemiringan Garis Singgung
Jika titik B bergerak sepanjang kurva y=f(x) mendekati
Titik A maka nilai x semakin kecil. Jika nilai x
mendekati nol maka titik B akan berimpit dengan titik A.
Akibatnya, garis singgung (jika tidak tegak lurus pada
sumbu-x)adalah garis yang melalui A(a,f( f a)) dengan
gradien
-
5
Kecepatan sesaat
-
Laju Perubahan Rata-Rata dan Sesaat
6
sesaat
-
Contoh Soal
Misalkan y= x2 + 1
a)Dapatkan laju perubahan rata-rata y terhadap
x pada selang [3,5]
b)Laju perubahan sesaat dari y terhadap x di
titik x=-4
c)Dapatkan laju perubahan sesaat dari y
terhadap x pada titik x=xo
7
-
Turunan fungsi
8
-
Contoh soal
Tentukan
a)Turunan terhadap x untuk f(x)=x
b) Kemiringan garis singgung pada grafik y=x
di x=9
c) Laju perubahan sesaat untuk y=x terhadap
x di x=5
9
-
Existensi Turunan
Turunan suatu fungsi dikatakan ada di xo apabila
f(x) dapat diturunkan di xo atau f mempunyai
turunan di xo. Jika untuk setiap x (a,b), f ada
maka dapat dikatakan f dapat diturunkan pada
selang terbuka (a,b). Pada titik dimana f tidak dapat
diturunkan dikatakan turunan f tidak ada
Klasifikasi titik-tik dimana f tidak dapat diturunkan:
titik yang memuat sudut tajam, titik yang memuat
garis singgung vertikal, dan titik-titik diskontinyu
Jika f dapat diturunkan di suatu titik xo, maka f juga
kontinyu di xo
10
-
Contoh soal
Fungsi f(x)= |x| kontinyu di semua x
a)Tunjukkan bahwa f(x)= |x| tak dapat
diturunkan di x=0
b) Dapatkan f (x)
11
-
TEKNIK DIFERENSIASI
Jika f suatu fungsi konstan, sebut f(x) = c untuk setiap x,
maka f(x) = 0; yaitu,
=
(Aturan pangkat). Jika n bilangan bulat positif, maka
=
Jika c suatu konstanta dan f fungsi terdiferensial maka c.f(x)
juga fungsi terdiferensial dengan
=
[ ]
12
-
Jika f dan g terdiferensial di x, maka f + g juga terdiferensial
di x sehingga
+ =
+
[ ]
(Aturan perkalian). Jika f dan g terdiferensial di x, maka f.g
juga terdiferensial di x
=
+
[ ]
Aturan pembagian
=
.()
[()]
13
TEKNIK DIFERENSIASI
-
Contoh
14
-
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
BERIKUT INI BENTUK TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI YANG
UMUM DIGUNAKAN:
1.
[ ] = 6.
[ ] =
2.
[ ] =
3.
[ ] =
4.
[ ] =
5.
[ ] =
15
-
soal
Dapatkan f (x) jika f(x)=x2 tan x
Dapatkan f (x) jika y=sin
1+
Misalkan suatu sinar matahari terbit mengenai gedung
yang tingginya 100 kaki secara langsung dan misalkan
adalahsudut elevasi matahari. Berapakah laju
perubahan panjang bayangan gedung x terhadap
ketika = 45o. Nyatakan jawaban dalam satuan
kaki/derajat 16
-
TURUNAN TINGKAT TINGGI
17
-
ATURAN RANTAI
Turunan Komposisi
Diberikan fungsi-fungsi terdiferensial f dan g,
dengan komposisi
y= (f o g)(x) = f (g(x))
Jika u= g(x) maka y= f(u) dengan turunan-
turunannya adalah
dy/du= f(u) dan du/dx= g(x)
Bagaimana menentukan dy/dx bila diketahui
dy/du dan du/dx? 18
-
(Aturan rantai) jika g terdiferensial di titik x dan f
terdiferensial di titik g(x), maka komposisi f o g (x)
terdiferensial di titik x dengan:
=
19
ATURAN RANTAI
-
Contoh
20
-
DIFENSIASI IMPLISIT
Seringkali peubah tak bebas dan peubah bebas tak dapat
dipisahkan sehingga hanya dapat dinyatakan sebagai
bentuk f(x,y)=0. Fungsi yang demikian disebut dengan
fungsi implisit. Untuk fungsi implisit, diferensiasi
dilakukan pada kedua sisi dengan memandang y sebagai
fungsi dari x
Contoh dapatkan dy/dx dari 6y3 + cos y = x3
Dapatkan garis singgung di titik (4,0) dari kurva
7y4+x3y+x=4
21
-
Latihan soal Dapatkan f(x) dari:
1. f(x)= (x3+2x)37
2. f(x)= (x3-7/x)-2
3. f(x)= (4+3x)
4. f(x)= sin (1/x2)
5. f(x)= cos(cosx)
6. f(x)= (2x+3)3/(4x2-1)8
7. f(x)= cos3 (sin 2x)
22
-
Soal latihan
Dapatkan persamaan garis singgung pada titik
1. Y=xcos 3x, x=
2. Y= sin(1 + X3), x=-3
Dapatkan diferensial implisit dari
1. 3xy=(x3 + y2)3/2
2. x4-y3= 6xy
3. x2 = cot y/ (1+ csc y)
23
-
APLIKASI TURUNAN
Dalam aplikasinya masalah turunan banyak
diterapkan dalam problem yang berhubungan
dengan laju-laju perubahan yang berkaitan,
yaitu akan ditentukan laju besaran tertentu
yang berhubungan dengan besaran lain yang
laju perubahannya diketahui
24
-
TAHAP-TAHAP PENYELESAIAN
1. Gambarlah dan beri label besaran yang berubah
2. Identifikasi laju-laju yang perubahannya diketahui
dan laju yang dicari perubahannya
3. Tentukan persamaan yang mengaikan kuantitas
yang laju perubahannya dicari dengan kuantitas
yang laju perubahannya diketahui
4. Turunkan dua sisi persamaan terhadap waktu
5. Evaluasi turunan pada titik yang dimadsud 25
-
Contoh
Diasumsikan minyak tumpah yang berasal dari tangker yang
pecah dan menyebar dalam bentuk lingkaran yang jari-jarinya
bertambah dengan konstan 2 m/s. seberapa cepatkah laju
daerah tumpahan bertambah jika jari-jari pancaran 60 m?
26
r
minyak
-
Tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada dinding
tergelincir sedemikian hingga bagian bawahnya bergerak
menjauhi dinding dengan kecepatan 2 m/s ketika bagian
bawah berjarak 4 m dari dinding. Berapa cepat bagian atas
turun ke bawah?
27
Contoh
x
y
Tangga 5 m
2 m/s
-
Suatu cairan pembersih sedimen dituangkan melalui filter
berbentuk kerucut. Diasumsikan ketinggian kerucut 16 cm
dan jari-jari dasar kerucut 4 cm. jika cairan keluar dari kerucut
dengan laju 2 cm3/menit, ketika ketinggian 8 cm seberapa
cepatkah kedalaman cairan berubah saat itu?
28
Contoh
16 cm
x cm
4 cm
y cm
-
SELANG NAIK DAN SELANG TURUN; KECEKUNGAN
FUNGSI
Fungsi Naik dan Fungsi Turun Istilah naik, turun, dan konstan digunakan untuk
menggambarkan sifat fungsi pada suatu selang dari kiri ke
kanan sepanjang grafik.
29 x2 x1
f(x) naik f(x) turun
x1 x2 x2 x1
konstan
-
FUNGSI NAIK DAN TURUN
Dimisalkan f suatu fungsi kontinyu pada selang tertutup [a,b]
dan dapat diturunkan pada selang terbuka (a,b).
Jika f(x)>0 untuk setiap x dalam (a,b) f naik pada [a,b]
Jika f(x)
-
KECEKUNGAN GRAFIK
Misal f dapat diturunkan pada suatu selang.
f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f naik
f disebut cekung ke atas pada suatu selang jika f turun
31
CEKUNG KE
BAWAH
CEKUNG KE
ATAS
-
TEORI KECEKUNGAN
Jika f (x) > 0 pada suatu selang terbuka (a,b)
maka f cekung ke atas pada (a,b)
Jika f (x) < 0 pada selang terbuka (a,b) maka
f cekung ke bawah pada (a,b)
32
tentukan selang yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut
naik serta turun, serta definisikan kapan cekung ke atas
atau cekung ke bawah?
a. f(x) = x2 -4x+3
b. f(x) = x3
-
MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF
Suatu fungsi dikatakan memiliki maksimum relatif di xo, jika
f(xo) f(x) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat
xo
33
Suatu fungsi dikatakan memiliki minimum relatif di xo, jika
f(xo) f(x) untuk semua x dalam selang terbuka yang memuat
xo
Suatu fungsi dikatakan memiliki ekstrem relatif di xo, jika
fungsi tersebut memiliki maksimum atau minimum relatif
-
TITIK KRITIS
TITIK KRITIS
Ekstrem relatif dapat dipandang sebagai transisi yang
memisahkan daerah yang grafiknya menaik dan menurun.
Titik ekstrem relatif dari suatu fungsi f terjadi baik pada titik
dimana grafik f mempunyai garis singgung datar atau titik
dimana f tidak dapat diturunkan
Teorema titik kritis: titik kritis suatu fungsi adalah nilai x dalam
domain f dimana f (x) = 0 atau dimana f tidak dapat
diturunkan: titik kritis dimana f (x)= 0 disebut titik stasioner
34
-
UJI TURUNAN PERTAMA
Misalkan f kontinyu di titik kritis xo:
Jika f(x)>0 pada selang terbuka di sebelah kiri dari xo dan
f(x)
-
Tentukan ekstrem relatif dari f(x) = 3x5/3-15x2/3
Tentukan dan gambarkan ekstrem relatif f (x) = x4-2x2
36
Uji turunan kedua. Misalkan f dapat diturunkan dua kali di titik
stasioner xo.
a.) jika f (xo) > 0 maka f mempunyai minimum realtif di xo
b.) jika f (xo) < 0 maka f mempunyai maksimum relatif di xo
UJI TURUNAN KEDUA
Contoh:
-
GRAFIK POLINOMIAL
Polinomial adalah fungsi-fungsi yang mudah untuk dibuat
grafiknya, fungsinya kontinyu, sehingga grafiknya tidak ada
yang patah atau berlubang dan fungsinya dapat diturunkan
sehingga tidak mempunyai sudut yang tajam
Langkah membuat grafik polinomial P(x):
a. Hitung P (x) dan P (x)
b. Dari P (x) tentukan titik stasioner dan selang di mana P naik
dan turun
c. Dari P (x) tentukan titik belok dan selang dimana P cekung
ke atas dan bawah
d. Plot irisan dengan sumbu Y, titik stasioner, titik belok dan jika
mungkin irisan dengan sumbu x
37
-
contoh
Buatlah sketsa grafik y= x3 3x +2
Buatlah grafik dari fungsi rasional:
1. f (x) =
2
2. f (x) =228
216
3. f (x) =21
3
38
top related