funzioni continue prof. v. scaccianoce1. funzione continua in un punto una funzione f(x) definita in...

Funzioni continue

Prof. V. Scaccianoce 1

Funzione continua in un punto

• Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo se, per x tendente a quel punto f(x) converge al suo valore in quel punto

)()(lim

)()(lim)(

0cfhcf

hcxpostooppure

cfxfcincontinuaxf

h

cx

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Funzione continua in un punto

Quindi deve• Esistere il valore della funzione in quel punto• Esistere il limite della funzione per x tendente

a quel punto e coincidere col valore della funzione

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Funzione continua in un punto

Dalla definizione di limite si può anche dire• Una funzione è continua in un punto c se

avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c) oppure cade in un ε intorno di f(c)

)()()(

)()(

),(),())((:)(

cfxfcfcx

oppure

cfxfcx

cincontinuabacbaxfDxfdef

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Funzione continua a destra o a sinistra di un punto

• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a destra di un punto c dell’intervallo se

)()(lim cfxfcx

)()(lim cfxfcx

• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se

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Esempi

• La funzione y=[x] (parte intera di x) per ogni x intero è continua solo a destra

• Una funzione definita nell’intervallo (a,b) in a è continua solo a destra, in b solo a sinistra

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Teoremi sulle funzioni continue

Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti segue che

• Se 2 funzioni sono continue in un punto c è continua in c– La loro somma– La loro differenza– Il loro prodotto– Il loro quoziente (se la funzione al

denominatore non si annulla in c)

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Teoremi sulle funzioni continue

• Una funzione costante è continua in qualsiasi punto

• La variabile x è continua in qualsiasi punto

• Le funzioni razionali intere sono continue in qualsiasi punto

• Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni valore della x che non annulli il denominatore

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f(x)=k continua x

• La funzione è definita per ogni valore

• Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto c ed è k infatti

• | f(c)-k|=|k-k|=0<ε

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f(x)=x continua x

• La funzione è definita per ogni valore

• Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto x0 ed è x0 infatti

• | f(c)- c |=| c - c |=0<ε

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Teoremi sulle funzioni continue

• Le funzioni senx e cosx sono continue per ogni valore della x

• La funzione y=ax (a>0) è continua x

• La funzione lgax (a>0) è continua x>0

• La funzione y=n√x è continua x>=0

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Esempi

11

17

110

71525

12

73lim

2

13

2

16

3cos

32)cos2(lim

521lg232

lg23lim

12555lim

57252)75(lim

2

1)6()(lim

2

5

22

3

1

3

3

2323

2

6

x

xx

tgxxtg

xx

xx

senxsen

x

x

x

x

x

x

x

x

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Continuità in un intervallo

• Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b] essa è continua in tale intervallo se lo è per ogni punto dell’intervallo

(dal punto di vista intuitivo equivale a dire che il diagramma della funzione è “tutto d’un pezzo”)

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Teoremi sulla continuità

Se una funzione è continua in x0

• Se f(x0)>0 esiste un intorno di x0 in cui f(x) > (Permanenza del segno)

• Se una funzione è continua in [a;b] e se f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno x0 in cui f(x0)=0

(Esistenza degli zeri)

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Teoremi sulla continuità

Se una funzione è continua in [a,b]

• in tale intervallo assume valore massimo M e minimo m (Weierstrass)

• in tale intervallo assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo(Bolzano-Darboux)

• se agli estremi assume valori opposti, si annulla almeno in un punto dell’intervallo

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Funzione di funzione

• Data la funzione z=g(x) da A a B e si chiama funzione di funzione o funzione composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione che ad ogni valore di z=g(x) associa un determinato valore

• Esempio: z=g(x)=2x2+3 è una funzione il cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi senso e y=lg(2x2+3) è la funzione composta tra f e g, cioè f(g(x))

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Teorema

• Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e f(z) è continua in l allora

)())(lim())((lim00

lfxgfxgfxxxx

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Funzione inversa

• Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni valore di y corrisponde uno ed un solo valore di x quindi si può parlare di funzione che ad ogni valore della y fa corrispondere un valore x (x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione inversa

• Esempi y=x2+5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è x=√(y-5)

• y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=ay

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Teorema

• Se una funzione è continua in un intervallo ed assume i valori m ed M come minimo e massimo, la sua funzione inversa è continua nell’intervallo (m,M)

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Limiti fondamentali

1lim0

x

senxx

1lim0

x

senxx

1lim0

x

senxx

Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro

Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto

Si dimostra l’esistenza del limite destro

Per x che tende a 0+ senx>0

Poiché senx<x<tgx dividendo per senx>0

1<x/senx<1/cosx invertendo

cosx<senx/x<1 poiché cosx e continua

e per il teorema del confronto CVD

O

y

x

x

senx

tgx

Se la variabile è espressa in gradi il limite vale π/180Prof. V. Scaccianoce 20

Limiti fondamentali

2

1

cos1

1lim

cos1

1cos1lim

cos1

cos1cos1lim

2

1cos1lim

2

2

0

2

2

020

20

xx

xsen

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x DIMOSTRAZIONE

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Limiti fondamentali

ex

x

x

11lim

e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani

ex xx

1

01lim

O anche

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Limiti fondamentali

ae

t

t

x

atxper

txtacioètaposto

ax

a

exxx

x

x

xancheo

ex

x

ea

ax

x

x

axx

x

x

ax

xa

xa

x

a

x

x

aa

x

lglg

1

)1(lglim

1lim)0,0(

)1(lg11

lg1

lim

lg)1(limlg)1(lglim)1(lg

lim

1)1lg(

lim

lg)1(lg

lim

00

0

1

0

1

00

0

0

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Punti di discontinuità o singolari

• 1a specie: se in quel punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono diversi

• La differenza dei 2 limiti si chiama salto

• Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera di x) per ogni x intera ha una discontinuità di 1a specie con salto=1

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Punti di discontinuità

• 2a specie: quando in quel punto non esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se esiste è ±∞

• y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2a

specie perché in tale punto non esiste limite né destro né sinistro

• y=a1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità di 2a specie perché il limite per x che tende a 0 da destra è +∞

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Punti di discontinuità

• 3a specie: se esiste il limite finito della funzione il quel punto, ma ivi essa non è definita o, se è definita, il suo valore non è uguale al valore del limite.

• In questo caso la discontinuità si dice anche eliminabile

• f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3a specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la funzione non è definita

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Esercizi

• Studiare i punti singolari di y=tg(1/x)– La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ– Per x=0 non esiste né il limite destro né il

sinistro (discontinuità di 2a specie)– Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞

(discontinuità di 2a specie)

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Forma indeterminata 0/0• Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché

i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e quindi si può dividere

12

1lim

)2)(1(

1lim

23

1lim

4

1

)1(2

1lim

)1)(1(2

1lim

22

1lim

1121

1121

xxx

x

xx

x

xxx

x

x

x

xxx

xxx

Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli

111cos)(

lim)(

lim

)0,0()()(

lim

00

0

yysen

y

ytg

y

yxperxarctgypostox

xarctg

yy

x

Prof. V. Scaccianoce 28

Forma indeterminata 0*∞• In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo

aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare

0)2()2(lim2

)2()2(lim

2

1)2)(2(lim

2

14lim

2

2

2

2

2

2

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli

111cos)(

lim

)(cos

)cos(

)(lim

)(1)(lim

0

2

0

2

0

xx

xsen

x

x

x

xsen

x

xsenxtg

x

xx

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Forme indeterminate ∞-∞

• Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in evidenza il monomio di grado maggiore (è facile costatare che il limite corrisponde al limite di quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda del coefficiente e del grado del monomio)

• In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza moltiplicando per la somma algebrica degli stessi termini di cui il 2° cambiato di segno.

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Forme indeterminate ∞/∞

• Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si mette in evidenza il termine di grado maggiore e si semplifica stando attenti ai segni

• È valida la seguente tabellaNumeratore di grado

> del denominatore

den>num

x tende a +∞ x tende a -∞ x tende a ±∞

Segni concordi

discordi

Segni concordi

discordi

+∞ -∞ +∞ -∞ 0

Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo

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