continuità delle funzioni. funzione continua in un punto sia y=f(x) una funzione definita in un...
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Continuità delle funzioniContinuità delle funzioni
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Funzione continua in un punto
Sia y=f(x) una funzione definita in un intervallo, aperto o chiuso, e sia x0 un punto interno a questo intervallo; diciamo che la funzione f(x) è continua in x0 se risulta:
lim f(x) = f(x0)
0xx
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Deduzioni
• Esiste il valore della funzione nel punto x0
• Esiste ed è finito il limite della funzione per
• Il limite coincide con il valore assunto dalla
funzione nel punto
0xx
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Se conveniamo di porre x = x0 +h, con h variabile, la condizione di continuità si può esprimere nella forma:
lim f(x0 +h) = f(x0)0h
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Se una funzione f(x) è continua in un punto x0
il calcolo del limite per x tendente a x0
si ottiene ponendo nella funzione x = x0
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Esempi di funzioni continue
a) La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim k = k0xx
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Esempi di funzioni continue
b) La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim x = x0
0xx
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Esempi di funzioni continue
c) La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
lim xn = 0xx
nx0
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Esempi di funzioni continue
d) Se la funzione f(x) è continua in x0 lo è pure la funzione k*f(x) con k costante;
cioè
)(*)(*lim 0xfkxfk 0xx
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Esempi di funzioni continue
e) Se le due funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0
lo sono pure:
f(x) + g(x) f(x) - g(x) f(x) * g(x)
)(
)(
xg
xf ) 0 ) ( (0 x g con
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Esempi di funzioni continue
f) La funzione razionale fratta è continua in ogni x che non annulla il denominatore
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Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) = n x
È continua in ogni x se n è un intero positivo dispari
È continua in ogni x>0 se n è un intero positivo pari
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Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
è continua in ogni x
xa (con a>0)
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Esempi di funzioni continue
f) La funzione f(x) =
è continua in ogni x>0
)1,0(log aaxa
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Esempi di funzioni continue
f) Le funzioni f(x) =senx e g(x)=cosx
sono continue in ogni x
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Funzione continua in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.
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Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.Teorema di Weirstrass
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Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], essa assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimoassoluti. Teorema di Bolzano
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Proprietà
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervalloassume valori di segno opposto, essa si annulla inalmeno un punto interno all’intervallo. Teorema
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Funzioni monotone
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se per ogni coppia di punti x1 e x2 dell’intervallo, con x1 < x2
risulta:
)()( 21 xfxf allora f(x) è crescente
)()( 21 xfxf )()( 21 xfxf
)()( 21 xfxf
non decrescente
decrescente
non crescente
MONOTONA
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Funzioni limitate
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo (a,b).
Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)<h allora f(x) è limitata superiormente
Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo è f(x)>k allora f(x) è limitata inferiormente
I valori h e k possono non appartenere al codominioI valori h e k possono non appartenere al codominio.
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Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.
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Funzione di funzione
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Sia z=g(x) una funzione definita in un intervallo (a,b);
Sia inoltre y=f(z) una funzione della variabile z, definita per ogni valore della variabile z che si ricava dalla funzione z=g(x) al variare di x nell’intervallosuddetto.
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Dicesi funzione di funzione o funzione composta la funzione
y=f[g(x)]
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esempio
642 xxZ
Z ylog
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Forme indeterminate di limiti
0
0
*0
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Limiti notevoli
1lim x
senx
0x
exx )1lim( 1
x
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1)1log(
lim x
x
0x
11
lim x
ex
ox
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Punti di discontinuità di una funzione
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Discontinuità di prima specie
La funzione è discontinua di prima specie in x0 quando in tale punto esistono finiti e diversi il limite sinistro e destro.
)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx
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La differenza
)(lim)(lim xfxf 0xx 0xx
Si chiama salto della funzione in x0
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Discontinuità di seconda specie
La funzione è discontinua di seconda specie in x0 quando in tale punto o non esiste o non è finito uno dei limiti sinistro e destro..
)(lim;)(lim xfxf 0xx 0xx
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Discontinuità di terza specie
La funzione è discontinua di terza specie in x0 quando in tale punto esiste finito
)(lim xf0xx
ma la f(x) non è definita in tale punto
o il suo valore è diverso da detto limite.
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La discontinuità di terza specie è eliminabileperché si può sostituire ad f(x0 ) il valore del limite.
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esempi
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Asintoti
La retta x=x0 si dice asintoto verticale della funzione y=f(x) se:
)(lim xf 0xx
oppure
)(lim xf 0xx
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Asintoti
La retta y=l si dice asintoto orizzontale della funzione y=f(x) se:
lxf )(limx
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Asintoti
La retta y=mx+q si dice asintoto obliquo della funzione y=f(x) se:
0)]()lim xfqmxx
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con
x
xfm
)(lim
x
e
])([lim mxxfq x
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Infinitesimi
Una funzione f(x) si dice infinitesimoper x che tende a x0 se:
0)(lim xf0xx
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Se f(x) e g(x) sono infinitesimi per x che tende a x0 e se esiste un intorno di talepunto tale che in tutti i punti dell’intornorisulti g(x) diverso da zero allora si potrà avere:
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0)(
)(lim)
xg
xfa
0xx
f(x) è un infinitesimo di ordine superiorea g(x); cioè tende a zero più velocemente.
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)(
)(lim)
xg
xfb
0xx
f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore
a g(x); cioè tende a zero meno velocemente.
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0)(
)(lim) l
xg
xfc
0xx
f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine di g(x); cioè tende a zero con la stessa velocità.
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esistenonxg
xfd
)(
)(lim)
0xx
f(x) e g(x) non sono confrontabili.
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Per confrontare più infinitesimi spesso si fa riferimento ad un medesimo infinitesimo chiamato infinitesimo principale che sarà:
)(x
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f(x) è un infinitesimo di ordine n rispetto all’infinitesimo principale se:
0)]([
)(lim l
x
xfn
0xx
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Infinito
Una funzione f(x) si dice infinitoper x che tende a x0 se:
)(lim xf0xx
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Infiniti