geometrijsko mesto korenova
Post on 02-Mar-2018
308 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
1/20
7. ANALIZA I SINTEZA SISTEMA METODOM GEOMETRIJSKOGMESTA KORENA
7.1. Analiza sistema metodom geometrijskog mesta korena
Metoda geometrijskog mesta korena se smatra konvencionalnom tehnikom za analizu
sistema i sintezu kompenzatora. U anglosaksonskoj literaturi se ova tehnika naziva metodom 'root
locus' i njena prednost je u vrlo brzoj i prilino pouzdanoj proceduri za procenu parametara
ponaanja sistema. Ovaj metod podrazumeva da je sistem predstavljen u formi jedinine negativne
povratne sprege, gde je na red sa procesom vezano pojaanje K koje moe biti promenljivo.
Struktura ovakvog sistema je prikazana na slici 7.1.
( )W sK+
( )r t ( )e t ( )c t
Slika 7.1: Struktura sistema sa jedininom negativnom povratnom spregom i promenljivim
pojaanjem
Pretpostavimo da je funkcija prenosa sistema predstavljena u formi realne racionalne
funkcije
( )W s
( )( )
( )
m
n
P sW s
Q s= (7.1)
gde je stepen polinoma u brojiocu m:
(7.2)( ){ }deg mP s m=
a stepen polioma u imeniocu n:
. (7.3)( )
{ }deg nQ s n
=Za sve fiziki ostvarljive sisteme vai da stepen polinoma u imeniocu funkcije prenosa mora biti
vei ili u krajnjem sluaju jednak stepenu polinoma u brojiocu:
. (7.4)m n
Ako pretpostavimo da je polinom monik, to znai da mu je najstariji koeficijent jednak 1,
to ne umanjuje optost razmatranja, i ako oznaimo sa njegove nule, tada vai sledea
jednakost:
( )mP s
, 1,iz i m=
(7.5)( ) ( )( ) (1 2mP s s z s z s z = )m
Slino tome, ako sa oznaimo nule polinoma tada ga moemo napisati u
formi:
, 1,...,ip i n= ( )nQ s
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
2/20
218 Sistemi automatskog upravljanja
(7.6)( ) ( )( ) (1 2nQ s s p s p s p= )n
ponovo pretpostavljajui i da je polinom monik. Ova pretpostavka, da su najstariji
koeficijenti i polinoma u brojiocu i imeniocu jednaki 1, ne umanjuje optost razmatranja, jer se ovi
koeficijenti jednostavno mogu pridruiti promenljivom pojaanju K.
( )nQ s
Za sistem prikazan slikom 7.1 funkcija spregnutog prenosa se jednostavno sraunava:
( )( )
( )
( )
( ) ( )1m
n m
KW s KP s G s
KW s Q s KP s = =
+ + (7.7)
Poslednja relacija nam govori da su nule sistema u otvorenoj sprezi identine nulama sistema u
zatvorenoj sprezi. Meutim, karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi (polinom u
imeniocu funkcije spregnutog prenosa) glasi
(7.8)( ) ( ) ( )n n mf s Q s KP s= +
Oigledno je karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi stepena njer je n i njegove
nule, a to su polovi sistema u zatvorenoj sprezi, zavise i od polinoma P i Q, kao i od vrednosti
pojaanja K.
m
Kako je stepen polinoma jednak nnezavisno od vrednosti pojaanja K, jasno je da za
svaku vrednost ovog pojaanja, postoji n nula ovog polinoma, odnosno n polova sistema. Ako
fiksiramo vrednost pojaanja K i sraunamo nule karakteristinog polinoma, dobiemo n taaka u
kompleksnoj 's' ravni. Zamislimo sada, da polako menjamo vrednost pojaanja Kpoev od nule pa
prema veim pozitivnim vrednostima, i da za svaku od tih vrednosti sraunamo n nula
karakteristinog polinoma, i da tu n-torku taaka ucrtavamo u 's' ravni. Tako emo dobiti n krivih u
kompleksnoj ravni, koje se nazivaju granama geometrijskog mesta korena (gmk).Drugim reima,
grane geometrijskog mesta korena su geometrijska mesta taaka u kompleksnoj 's' ravni, koja
zadovoljavaju uslov da za svaku taku koja pripada nekoj od grana gmk postoji realan broj
tako da je zadovoljen uslov
( )nf s
*s
* 0K
. (7.9)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =
)
Nacrtati brzo i precizno geometrijska mesta korena nekog sistema je od velike pomoi, jer
se na taj nain, bez neke dodatne analize, moe zakljuiti da li promena statikog pojaanja utie na
stabilnost sistema u zatvorenoj sprezi i kako se, sa promenom ovog pojaanja, menja priroda
dominantnih polova koji utiu na globalno ponaanje sistema u zatvorenoj sprezi.
Otuda su razvijena pravila koja omoguavaju brzo skiciranje grana gmk. Svako od ovih
pravila se moe matematiki rigorozno dokazati, mada su neka od njih i trivijalna te poseban dokaz
i nije neophodan. Ta pravila su sledea.
1. Za grane gmk polaze iz n polova funkcije povratnog prenosa, jer je za K=0,.
0K=( ) ( )
n nf s Q s=
2. Pri , mgrana gmk zavrava u mkonanih nula funkcije povratnog prenosa.K
3. Preostalih ( grana, za K , odlazi u beskonanost du asimptota iji su nagibiprema pozitivnom delu realne ose 's
n m
( )2 1
, 0,1,2,..., 1kk
k n mn m
+ = =
(7.10)
i koje se seku u taki na realnoj osi, pri emu je:a
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
3/20
7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 219
1 1
n m
k k
k ka
p z
n m = =
=
(7.11)
4. Grane gmk du kojih se kreu kompleksni koreni karakteristine jednaine simetrine su uodnosu na realnu osu 's' ravni. Ovo je pravilo takoe proisteklo iz trivijalne injenice da
nule polinoma sa realnim koeficijentima mogu biti ili realne ili se pojavljuju ukonjugovano-kompleksnim parovima.
5. Da bi neka taka pripadala nekoj od grana gmk, mora postojati realan nenegativan brojtakav da je
*s*K
(7.12)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =
odnosno
( )( )
( ) ( ){ }*
* *
**
1arg 2 , 0, 1, 2,...
m
n
P sW s W s k k
KQ s = = = + = (7.13)
Ako poslednju jednakost napiemo u sledeoj formi:
( ){ } ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
{ } ( )
* * * *1 2*
* * * *1 2
* *
1 1
arg arg arg
arg arg 2 , 0, 1, 2,...
m m
n n
m n
k k
k k
P s s z s z s z W s
Q s s p s p s p
s z s p k k = =
= =
= + = + =
(7.14)
ovo, peto pravilo se moe formulisati na sledei nain: Razlika izmeu sume argumenata
svih potega povuenih iz konanih nula funkcije povratnog prenosa u bilo koju taku na
gmk i sume argumenata svih potega povuenih iz polova funkcije povratnog prenosa u tutaku jednaka je 2 , 0, 1, 2,...k k + =
6. Direktna posledica prethodnog pravila je da delovi realne ose koji pripadaju gmk morajuda se nalaze levo od neparnog broja kritinih taaka na njoj, pri emu pod kritinim
takama podrazumevamo nule i polove funkcije povratnog prenosa.
7. Koordinate take preseka grana gmk sa imaginarnom osom (to je vrlo vano s obzirom daje imaginarna osa granica izmeu leve i desne poluravni 's' ravni i predstavlja granicu
stabilnosti) mogu se odrediti na tri naina. Jedan je da se izrauna vrednost polinoma
( )nf j i da se realni i imaginarni deo ovog izraza izjednae sa nulom, pa se iz njih
odreuje i vrednost poja
anja K koje sistem dovodi na granicu stabilnosti kao i ta
kapreseka sa imaginarnom osom . Druga mogunost, koja se na kraju svodi na iste
jednaine, jeste da se zahteva deljivost polinoma binomom (j
( )nf s )
2 2s + bez ostatka.
Trea mogunost jeste da se primenom Routh-ovog kriterijuma odredi vrednost kritinog
pojaanja, a da se iza toga, za tako odreenu vrednost pojaanja zahteva deljivost polinoma
binomom (( )nf s )2 2s + bez ostatka.
8.
Iz relacije 7.13 se na osnovu jednakosti modula moe dobiti i sledea implikacija
( )
( )
( ) ( )* * * *
1 2* *
* ** * **
1 2
1 1m m
nn
P s s z s z s z W s W s
K Ks p s p s pQ s
= = = =
(7.15)
koja nas dovodi do formulacije sledeeg pravila: Pozitivna realna konstanta za koju je
kompleksna taka zaista pol sistema se dobija kao kolinik proizvoda duina potega
*K*s
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
4/20
220 Sistemi automatskog upravljanja
*ks p povuenih u tu taku iz polova funkcije prenosa i proizvoda duina potega
*ks z povuenih u tu taku iz konanih nula funkcije povratnog prenosa.
9. Take odvajanja grana gmk od realne ose 's' ravni jednake su reenjima jednaine
( )( )1/
0
d W s
ds = (7.16)
10. Kada je razlika stepena polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije povratnog prenosa, tada, ako neke grane gmk krenu ulevo, druge grane moraju za isti iznos
krenuti udesno u 's' ravni.
2n m
11. Ugao pod kojim pri grana gmk naputa pol funkcije povratnog prenosaodreuje se iz jednaine
i 0K = ip
(7.17)1 1
m n
k k i
k k
k i
= =
=
a ugao i pod kojim za grana gmk prilazi konanoj nuli funkcije povratnog
prenosa rauna se na sledei nain:
K iz
(7.18)1 1
m n
i k k
k k
k i
= =
+ =
pri emu su sa i oznaeni uglovi potega povuenih respektivno iz konanih nula i
polova funkcije povratnog prenosa u nulu odnosno pol , koji ovi potezi grade sa
pozitivnim delom realne ose.
k k
kz kp
Svako od navedenih pravila moe biti od znaaja za pojedine delove analize ili sinteze
sistema u zatvorenoj sprezi, meutim sa stanovita jednostavnog i brzog skiciranja grana
geometrijskog mesta korena vano je zapamtiti pravila 1,2,3,4 i 6. Njihovom primenom se dobija
grafik gmk, koji je, sa stanovita najveeg broja analiza, dovoljno informativan. Kroz nekoliko
sledeih primera emo ilustrovati navedeni postupak.
Primer 7.1:Posmatrajmo sistem funkcije povratnog prenosa ( )( )
( )( )
1
5 8
K sW s
s s s
+=
+ +.
U cilju skiciranja geometrijskog mesta korena sistema u zatvorenoj sprezi za , detektujmo
sledee injenice.
0K
Stepen polinoma u brojiocu funkcije povratnog prenosa je m=1 i postoji jedna konana nula
.1 1z =
Stepen polinoma u imeniocu funkcije povratnog prenosa je i sva tri pola su realna
i .
3n=
1 0,p = 2 5p = 3 8p =
Nakon ovoga, kako je to prikazano na slici 7.2, kruiima se u 's' ravni oznae nule funkcije
povratnog prenosa a krstiima polovi.
Zatim se pristupa odreivanju asimptota. Kako funkcija ima jednu konanu nulu i tri
pola, postoje dve asimptote. Ove asimptote sa pozitivnim delom realne ose zaklapaju sledeeuglove:
( )W s
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
5/20
7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 221
( )
( )
0
1
2 0 1
3 1 22 1 1 3
3 1 2
+ = =
+ = =
(7.19)
U pitanju su dakle vertikalne asimptote koje se seku na realnoj osi u taki
( ) ( )
3 1
1 1 0 5 8 1 63 1
i i
i ia
p z
n m = =
= =
=
)
(7.20)
Poslednja informacija koja jeste kljuna sa stanovita oblika grana geometrijskog mesta korena,
jesu delovi realne ose koje pripadaju ovim granama. Naime, uzimajui u obzir poloaj nula i polova
funkcije povratnog prenosa koje se nalaze na realnoj osi, vidimo da one dele realnu osu na pet
delova. Prvi deo u opsegu ( se nalazi levo od nula kritinih taaka. Kako je nula paran broj,
shodno pravilu broj 6, ovaj segment ne pripada granama gmk. Sledei opseg
0,
( )1, 0 se nalazi levo
od jedne kritine take, to je pol u taki , i on pripada granama gmk. Slino tome se
zakljuuje da segmenti ( ) i ( ne pripadaju, a segment
1 0p =
, 8 )5, 1 ( )8, 5 pripada granamagmk. Uzimajui u obzir navedene injenice, skicirati grane gmk postaje vrlo jednostavno. Grane
gmk su prikazane na slici 7.2 pri emu strelice na granama pokazuju pravac pomeranja korena
sistema u povratnoj sprezi sa poveanjem pojaanja K.
158
Slika 7.2: Geometrijsko mesto korena sistema
Naknadnom proverom nacrtanih grana moemo zakljuiti sledee: grana ima n=3 to odgovara redu
sistema; iz svakog pola sistema u otvorenoj sprezi polazi po jedna grana gmk; m=1 grana gmk
zavrava u konanoj nuli dok preostalih grane zavravaju u beskonanimasimptotama; asimptote zauzimaju uglove i prema pozitivnom delu realne ose i seku se
u taki . Delovi realne ose u opsezima
1 1z = 2n m =/ 2 3 / 2
6a = ( )8, 5 i ( )1, 0 pripadaju granama gmk jer se
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
6/20
222 Sistemi automatskog upravljanja
nalaze levo od neparnog broja kritinih taaka na realnoj osi. Ukoliko elimo da nacrtani grafik
bude precizniji moe se odrediti taka odvajanja grana gmk sa realne ose:
( )( ) 3 2
1 2,3
1/0 2 16 26 40 0
6.4682; 0.7659 1.5829
d W ss s s
ds
s s j
= + + + =
= = (7.21)
Oigledno dobijeni polinom treeg stepena ima tri nule, meutim kako je sa prikazanog grafika
jasno da se taka odvajanja grana gmk sa realne ose moe oekivati u realnom opsegu izmeu
polova -8 i -5, traena taka odvajanja je . Takoe je mogue odrediti i pojaanje K
za koje e dva pola sistema biti ba u taki . U cilju odreivanja ovog pojaanja moemo
primeniti pravilo broj 8:
6.4682o =
o
( )
5 81 6.47 1.47 1.532.66
1 5.47o o o
oo
KW
+ + = = = =
+ (7.22)
Nacrtane grane geometrijskog mesta korena omoguavaju brzu analizu ponaanja sistema.
Prvo to se moe zakljuiti da grane gmk nikada, ni za koje pozitivno K ne prelaze u desnupoluravan 's' ravni, te je sistem za svako takvo Kstabilan. Takoe, moemo zakljuiti da za opsege
pojaanja ( )0,2.66K sistem ima tri realna pola u levoj poluravni 's' ravni, dok za pojaanja
sistem ima jedan par konjugovano kompleksnih polova i jedan realan pol. Shodno
tome, moemo u zavisnosti od pojaanja K prikazati kako se menja dominantna vremenska
konstanta sistema kao i faktor relativnog priguenja para dominantnih konjugovano kompleksnih
polova. Naime, za pojaanja K manja od 2.66 sistem u zatvorenoj sprezi ima tri pola pa se
dominantnim polom moe smatrati najblii imaginarnoj osi, dok se za pojaanja vea od 2.66
pojavljuje par konjugovano kompleksnih uz jedan realan i moemo smatrati da su konjugovano
kompleksni polovi dominantni u karakterizaciji sistema. Otuda je jednostavno skicirati zavisnost
ova dva parametra od pojaanja K. Ove su zavisnosti prikazane na slede
oj slici 7.3.
(2.66,K )
dT
K2.66
1/6
K2.66
1
Slika 7.3: Promena dominantne vremenske konstante i faktora relativnog priguenja dominantnih
polova
Treba ponovo napomenuti da se dominantnim polovima smatraju najvanijim (to uglavnom znai
najgorim) polovima sa stanovita primene sistema. Shodno tome, u sluaju kada sistem ima jedan
realan pol vrlo blizu imaginarne ose i dva konjugovano kompleksna pola sa znaajno negativnijim
realnim delom, zavisno od namene sistema, projektant moe realan pol smatrati dominantnim, jer
mu on, na primer, znaajno poveava vreme odziva.
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
7/20
7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 223
Primer 7.2: Skicirajmo geometrijska mesta korena sistema
( )
( )( )( )21
4 10 30 1
sW s K
s s s s
+=
+ + + + 0, za .0K>
Postupak skiciranja grana gmk je potpuno identian, nezavisno od prirode sistema. Ponovo
detektujemo da je red sistema , te e postojati etiri grane gmk pri emu svaka od njih polazi
iz jednog od polova funkcije povratnog prenosa
4n=
1 2,3 44, 5 5 , 10p p j p= = = .
grana gmk zavrava u konanoj nuli u taki , dok preostalih grane gmk
zavravaju u beskonanim asimptotama, koje se seku u taki
1m=
1 1z = 3n m =
( ) ( )
4 1
1 14 5 5 5 5 10 1 23
3 3
k k
k ka
p zj j
n m = =
+ +
= =
= (7.23)
i sa pozitivnim delom realne ose zauzimaju sledee uglove:
( )
( )
( )
0
1
2
2 0 1
3 3
2 1 1
32 2 1 5
3 3
+ = =
+ = =
+ = =
(7.24)
Imajui u vidu poloaj nula i polova funkcije povratnog prenosa i pravilo broj 6 za crtanje grana
gmk, moemo zakljuiti da delovi realne ose u intervalima ( ), 10 i ( )4, 1 pripadaju
granama gmk. Konano, ove informacije su sasvim dovoljne za crtanje gmk i on je prikazan na slici7.4.
Prikazano geometrijsko mesto korena na slici 7.4. je vrlo informativni grafiki prikaz
osnovnih osobina sistema u zatvorenoj sprezi. Njegovim posmatranjem dolazimo do sledeih
zakljuaka. Nezavisno od vrednosti pozitivnog pojaanja K sistem uvek ima dva realna i dva
konjugovana kompleksna pola u zatvorenoj sprezi. Dalje, nezavisno od vednosti tog pojaanja
realni polovi su uvek u levoj poluravni sravno, dakle ne ugroavaju stabilnost. Za male vrednosti
pojaanja K, manje od neke kritine vrednosti konjugovano kompleksni polovi se, takoe
nalaze u levoj poluravni kompleksne sravni, i sistem je stabilan. Kada pojaanje Kuzme vrednost
kritinog pojaanja sistem dobija dva konjugovano kompleksna pola na imaginarnoj osi, i tog
trenutka se sistem ponaa kao oscilator. Sa daljim poveanjem pojaanja Kova dva pola prelaze udesnu poluravan kompleksne ravni i sistem postaje nestabilan.
krK
krK
Sa stanovita detaljne analize sistema u zatvorenoj sprezi, vrlo je vano znati vrednost
kritinog pojaanja i eventualno take u kojoj dve grane presecaju imaginarnu osu. Sa tim ciljem
primenimo Routh-ov kriterijum stabilnosti. Karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi
glasi:
(7.25)( ) ( )4 3 224 210 820 1200nf s s s s K s K= + + + + + +
Kako je presek grana gmk sa imaginarnom osom direktno vezan za pitanje stabilnosti sistema u
zatvorenoj sprezi, logian je nastavak analize da se za dobijeni karakteristini polinom primeni
analiza stabilnosti, recimo, Routh-ovim kriterijumom.
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
8/20
224 Sistemi automatskog upravljanja
1410
Slika 7.4: Geometrijsko mesto korena sistema iz primera 7.2
Odgovarajua Routh-ova tablica ima sledeu formu.
4s 1 210 1200+K
3s 24 820+K
2s 24 210 820
24
K
1200+
1s ( ) ( )24 210 820
820 24 120024
KK K
+ +
0
s 1200+K
Postavljanjem uslova da svi elementi prve Routh-ove kolone budu istog znaka, odnosno pozitivni,
dobija se uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi:
(7.26)( )770.4,3594.4K
3594.4krK =
( )nf s krK
Kako nas zanimaju samo pozitivne vrednosti pojaanja K zakljuujemo da je kritino pojaanje
koje dovodi dve grane gmk na imaginarnu osu:
(7.27)
Ako elimo da saznamo taku preseka gmk sa imaginarnom osom treba podeliti karakteristinipolinom u kome je uvrtena vrednost binomom ( )2 2s + bez ostatka:
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
9/20
7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 225
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 3 2 2 2 2 224 210 820 1200 : 24 210s s s K s K s s s + + + + + + + = + +
( ) ( )2 2 2820 24 1200 210kr kr R s K s K = + + +
1( )
3 2 2
2 2 2
24 210 820 1200
210 820 24 1200
kr kr
kr kr
kr kr
s s K s K
s K s K
+ + + + +
+ + + +
(7.28)
Ostatak pri ovom deljenju je polinom prvog stepena i glasi:
(7.29)
Kako mi veznamo vrednost taku preseka jednostavno raunamo iz uslova da koeficijent
uz s polinoma R s bude jednak nuli:
krK
820
13.56224
krK +
= =
K K=
13.562 /rad s =
(7.29)
Za vrednost pojaanja sistem bi bio na granici stabilnosti i ponaao bi se kao oscilator
uestanosti .kr
Primer 7.3:Posmatrajmo sistem koji ima dvostruki pol u taki i ija je funkcija prenosa1,2 2p =
( )
( )( )2 21
2 6W s
s s=
+ + + 16.
Skicirajmo geometrijsko mesto korena ovog sistema.
Polazei od injenice da sistem ima n=4 grane koje polaze iz polova
1,2 3,42, 3 7p p= = j , i da nema konanih nula, zakljuujemo da svaka od grana zavrava u
konanim asimptotama koje se seku na realnoj osi u taki
4
1 2.54
k
ka
p
== =
(7.30)
i koje u odnosu na pozitivni deo realne ose zauzimaju uglove
( )
0 1 2 3
2 1; 0,1, 2, 3
3 5
; ; ;4 4 4
k
kk
n m
+ = =
= = = =
7
4
(7.31)
Takoe se moe zakljuiti da na realnoj osi ne postoji segment koji se nalazi levo od neparnog broja
kritinih taaka na njoj, pa je shodno tome oblik grana gmk jednostavno skicirati i one su prikazane
na slici 7.5.
U cilju provere dobijenih rezultata, studenti mogu u programskom paketu MATLAB
definisati sistem u otvorenoj sprezi, definiui polinome P i Q, iz funkcije povratnog prenosa, i
pozivanjem naredbe 'rlocus'dobiti oblika grana gmk. Ovih nekoliko jednostavnih linija koda glase:
>> P=[1];
>> Q=conv([1 2],conv([1 2],[1 6 16]));
>> rlocus(P,Q)
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
10/20
226 Sistemi automatskog upravljanja
2
Slika 7.5: Geometrijsko mesto korena sistema iz primera 7.3
Geometrijsko mesto korena sistema za negativne vrednosti pojaanja
Ponekada analiza sistema zahteva i odreivanje polova sistema u zatvorenoj sprezi za
negativne vrednosti promenljivog pojaanja K. U tom sluaju, sva navedena pravila za crtanje gmk i
dalje vae, uz nekoliko izmena.
Prvo pravilo ostaje neizmenjeno.
Drugo pravilo glasi: Pri K , mgrana gmk zavrava u mkonanih nula funkcije povratnogprenosa.
U treem pravilukoje odreuje poloaj beskonanih asimptota ka kojima tei n-mgrana gmk za, taka preseka asimptota sa realnom osom ostaje ista, ali se menja ugao koje asimptote
zaklapaju sa pozitivnim delom realne ose:
K
2 , 0,1,2,..., 1k k k n mn m
= =
(7.32)
etvrto pravilo ostaje neizmenjeno.
U petom praviluse mora uzeti u obzir injenica da je pojaanje Knegativno, pa ono glasi ovako:
Da bi neka taka pripadala nekoj od grana gmk, mora postojati realan negativan broj takav
da je
*s *K
(7.33)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =
odnosno
( )( )
( ) ( ){ }*
* *
**
1arg 2 , 0, 1, 2,...
m
n
P sW s W s k k
KQ s= = = = (7.34)
-
7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova
11/20
7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 227
Ako poslednju jednakost napiemo u sledeoj formi:
( ){ } ( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )
{ } ( )
* * * *1 2*
* * * *1 2
* *
1 1
arg arg arg
arg arg 2 , 0, 1, 2,...
m m
n n
m n
k k
k k
P s s z s z s z W s
Q s s p s p s p
s z s p k k
= =
= =
= + = =
(7.35)
dolazimo do zakljuka da je razlika izmeu sume argumenata svih potega povuenih iz konanih
nula funkcije povratnog prenosa u bilo koju taku na gmk i sume argumenata svih potega
povuenih iz polova funkcije povratnog prenosa u tu taku jednaka je 2 , 0, 1, 2,...k k =
esto pravilo, za negativne vrednosti pojaanja K, kae da onaj deo realne ose koji se nalazi levood parnog broja kritinih taaka na njoj pripada gmk.
Pravilo broj sedam ostaje nepromenjeno.
Pravilo broj osam nam govori kako da odredimo negativnu vrednost pojaanja za koje je taka
sa gmk, zaista koren sistema u zatvorenoj sprezi:
*K*
s
( )( )
( )( ) ( )
* * * *1 2* *
* * * ** * *1 2
1 1 1m n
mn
P s s p s p s pW s K
K s z s z s z Q s W s W s
= = = = =
(7.36)
Pravila devet i deset ostaju nepromenjena.
Pravilo broj jedanaest govori o uglu pod kojim grana gmk naputa pol sistema uotvorenoj sprezi za negativne vrednosti pojaanja K
i ip
(7.37)1 1
0m n
k k i
k k
k i
= =
=
kao i o uglu pod kojim grana gmk ponire u konanu nulu sistema u otvorenoj sprezi:i iz
(7.38)1 1
0m n
i k k
k k
k i
= =
+ =
Opet, kao i pri crtanju geometrijskog mesta korena za pozitivne vrednosti pojaanja K, za
brzo skiciranje gmk vana su prva etiri i esto pravilo. U cilju ilustracije skiciraemo gmk za
negativna pojaanja Ka za sisteme date u primerima 1,2 i 3.
158
( )( ) ( )
1; 0
5 8
sW s K K
s s s
+=
top related