geometrijsko mesto korenova

7/26/2019 Geometrijsko Mesto Korenova

1/20

7. ANALIZA I SINTEZA SISTEMA METODOM GEOMETRIJSKOGMESTA KORENA

7.1. Analiza sistema metodom geometrijskog mesta korena

Metoda geometrijskog mesta korena se smatra konvencionalnom tehnikom za analizu

sistema i sintezu kompenzatora. U anglosaksonskoj literaturi se ova tehnika naziva metodom 'root

locus' i njena prednost je u vrlo brzoj i prilino pouzdanoj proceduri za procenu parametara

ponaanja sistema. Ovaj metod podrazumeva da je sistem predstavljen u formi jedinine negativne

povratne sprege, gde je na red sa procesom vezano pojaanje K koje moe biti promenljivo.

Struktura ovakvog sistema je prikazana na slici 7.1.

( )W sK+

( )r t ( )e t ( )c t

Slika 7.1: Struktura sistema sa jedininom negativnom povratnom spregom i promenljivim

pojaanjem

Pretpostavimo da je funkcija prenosa sistema predstavljena u formi realne racionalne

funkcije

( )W s

( )( )

( )

m

n

P sW s

Q s= (7.1)

gde je stepen polinoma u brojiocu m:

(7.2)( ){ }deg mP s m=

a stepen polioma u imeniocu n:

. (7.3)( )

{ }deg nQ s n

=Za sve fiziki ostvarljive sisteme vai da stepen polinoma u imeniocu funkcije prenosa mora biti

vei ili u krajnjem sluaju jednak stepenu polinoma u brojiocu:

. (7.4)m n

Ako pretpostavimo da je polinom monik, to znai da mu je najstariji koeficijent jednak 1,

to ne umanjuje optost razmatranja, i ako oznaimo sa njegove nule, tada vai sledea

jednakost:

( )mP s

, 1,iz i m=

(7.5)( ) ( )( ) (1 2mP s s z s z s z = )m

Slino tome, ako sa oznaimo nule polinoma tada ga moemo napisati u

formi:

, 1,...,ip i n= ( )nQ s


2/20

218 Sistemi automatskog upravljanja

(7.6)( ) ( )( ) (1 2nQ s s p s p s p= )n

ponovo pretpostavljajui i da je polinom monik. Ova pretpostavka, da su najstariji

koeficijenti i polinoma u brojiocu i imeniocu jednaki 1, ne umanjuje optost razmatranja, jer se ovi

koeficijenti jednostavno mogu pridruiti promenljivom pojaanju K.

( )nQ s

Za sistem prikazan slikom 7.1 funkcija spregnutog prenosa se jednostavno sraunava:

( )( )

( )

( )

( ) ( )1m

n m

KW s KP s G s

KW s Q s KP s = =

+ + (7.7)

Poslednja relacija nam govori da su nule sistema u otvorenoj sprezi identine nulama sistema u

zatvorenoj sprezi. Meutim, karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi (polinom u

imeniocu funkcije spregnutog prenosa) glasi

(7.8)( ) ( ) ( )n n mf s Q s KP s= +

Oigledno je karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi stepena njer je n i njegove

nule, a to su polovi sistema u zatvorenoj sprezi, zavise i od polinoma P i Q, kao i od vrednosti

pojaanja K.

m

Kako je stepen polinoma jednak nnezavisno od vrednosti pojaanja K, jasno je da za

svaku vrednost ovog pojaanja, postoji n nula ovog polinoma, odnosno n polova sistema. Ako

fiksiramo vrednost pojaanja K i sraunamo nule karakteristinog polinoma, dobiemo n taaka u

kompleksnoj 's' ravni. Zamislimo sada, da polako menjamo vrednost pojaanja Kpoev od nule pa

prema veim pozitivnim vrednostima, i da za svaku od tih vrednosti sraunamo n nula

karakteristinog polinoma, i da tu n-torku taaka ucrtavamo u 's' ravni. Tako emo dobiti n krivih u

kompleksnoj ravni, koje se nazivaju granama geometrijskog mesta korena (gmk).Drugim reima,

grane geometrijskog mesta korena su geometrijska mesta taaka u kompleksnoj 's' ravni, koja

zadovoljavaju uslov da za svaku taku koja pripada nekoj od grana gmk postoji realan broj

tako da je zadovoljen uslov

( )nf s

*s

* 0K

. (7.9)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =

)

Nacrtati brzo i precizno geometrijska mesta korena nekog sistema je od velike pomoi, jer

se na taj nain, bez neke dodatne analize, moe zakljuiti da li promena statikog pojaanja utie na

stabilnost sistema u zatvorenoj sprezi i kako se, sa promenom ovog pojaanja, menja priroda

dominantnih polova koji utiu na globalno ponaanje sistema u zatvorenoj sprezi.

Otuda su razvijena pravila koja omoguavaju brzo skiciranje grana gmk. Svako od ovih

pravila se moe matematiki rigorozno dokazati, mada su neka od njih i trivijalna te poseban dokaz

i nije neophodan. Ta pravila su sledea.

1. Za grane gmk polaze iz n polova funkcije povratnog prenosa, jer je za K=0,.

0K=( ) ( )

n nf s Q s=

2. Pri , mgrana gmk zavrava u mkonanih nula funkcije povratnog prenosa.K

3. Preostalih ( grana, za K , odlazi u beskonanost du asimptota iji su nagibiprema pozitivnom delu realne ose 's

n m

( )2 1

, 0,1,2,..., 1kk

k n mn m

+ = =

(7.10)

i koje se seku u taki na realnoj osi, pri emu je:a


3/20

7. Analiza i sinteza sistema metodom geometrijskog mesta korena 219

1 1

n m

k k

k ka

p z

n m = =

=

(7.11)

4. Grane gmk du kojih se kreu kompleksni koreni karakteristine jednaine simetrine su uodnosu na realnu osu 's' ravni. Ovo je pravilo takoe proisteklo iz trivijalne injenice da

nule polinoma sa realnim koeficijentima mogu biti ili realne ili se pojavljuju ukonjugovano-kompleksnim parovima.

5. Da bi neka taka pripadala nekoj od grana gmk, mora postojati realan nenegativan brojtakav da je

*s*K

(7.12)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =

odnosno

( )( )

( ) ( ){ }*

* *

**

1arg 2 , 0, 1, 2,...

m

n

P sW s W s k k

KQ s = = = + = (7.13)

Ako poslednju jednakost napiemo u sledeoj formi:

( ){ } ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

{ } ( )

* * * *1 2*

* * * *1 2

* *

1 1

arg arg arg

arg arg 2 , 0, 1, 2,...

m m

n n

m n

k k

k k

P s s z s z s z W s

Q s s p s p s p

s z s p k k = =

= =

= + = + =

(7.14)

ovo, peto pravilo se moe formulisati na sledei nain: Razlika izmeu sume argumenata

svih potega povuenih iz konanih nula funkcije povratnog prenosa u bilo koju taku na

gmk i sume argumenata svih potega povuenih iz polova funkcije povratnog prenosa u tutaku jednaka je 2 , 0, 1, 2,...k k + =

6. Direktna posledica prethodnog pravila je da delovi realne ose koji pripadaju gmk morajuda se nalaze levo od neparnog broja kritinih taaka na njoj, pri emu pod kritinim

takama podrazumevamo nule i polove funkcije povratnog prenosa.

7. Koordinate take preseka grana gmk sa imaginarnom osom (to je vrlo vano s obzirom daje imaginarna osa granica izmeu leve i desne poluravni 's' ravni i predstavlja granicu

stabilnosti) mogu se odrediti na tri naina. Jedan je da se izrauna vrednost polinoma

( )nf j i da se realni i imaginarni deo ovog izraza izjednae sa nulom, pa se iz njih

odreuje i vrednost poja

anja K koje sistem dovodi na granicu stabilnosti kao i ta

kapreseka sa imaginarnom osom . Druga mogunost, koja se na kraju svodi na iste

jednaine, jeste da se zahteva deljivost polinoma binomom (j

( )nf s )

2 2s + bez ostatka.

Trea mogunost jeste da se primenom Routh-ovog kriterijuma odredi vrednost kritinog

pojaanja, a da se iza toga, za tako odreenu vrednost pojaanja zahteva deljivost polinoma

binomom (( )nf s )2 2s + bez ostatka.

8.

Iz relacije 7.13 se na osnovu jednakosti modula moe dobiti i sledea implikacija

( )

( )

( ) ( )* * * *

1 2* *

* ** * **

1 2

1 1m m

nn

P s s z s z s z W s W s

K Ks p s p s pQ s

= = = =

(7.15)

koja nas dovodi do formulacije sledeeg pravila: Pozitivna realna konstanta za koju je

kompleksna taka zaista pol sistema se dobija kao kolinik proizvoda duina potega

*K*s


4/20


*ks p povuenih u tu taku iz polova funkcije prenosa i proizvoda duina potega

*ks z povuenih u tu taku iz konanih nula funkcije povratnog prenosa.

9. Take odvajanja grana gmk od realne ose 's' ravni jednake su reenjima jednaine

( )( )1/

0

d W s

ds = (7.16)

10. Kada je razlika stepena polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije povratnog prenosa, tada, ako neke grane gmk krenu ulevo, druge grane moraju za isti iznos

krenuti udesno u 's' ravni.

2n m

11. Ugao pod kojim pri grana gmk naputa pol funkcije povratnog prenosaodreuje se iz jednaine

i 0K = ip

(7.17)1 1

m n

k k i

k k

k i

= =

=

a ugao i pod kojim za grana gmk prilazi konanoj nuli funkcije povratnog

prenosa rauna se na sledei nain:

K iz

(7.18)1 1

m n

i k k

k k

k i

= =

+ =

pri emu su sa i oznaeni uglovi potega povuenih respektivno iz konanih nula i

polova funkcije povratnog prenosa u nulu odnosno pol , koji ovi potezi grade sa

pozitivnim delom realne ose.

k k

kz kp

Svako od navedenih pravila moe biti od znaaja za pojedine delove analize ili sinteze

sistema u zatvorenoj sprezi, meutim sa stanovita jednostavnog i brzog skiciranja grana

geometrijskog mesta korena vano je zapamtiti pravila 1,2,3,4 i 6. Njihovom primenom se dobija

grafik gmk, koji je, sa stanovita najveeg broja analiza, dovoljno informativan. Kroz nekoliko

sledeih primera emo ilustrovati navedeni postupak.

Primer 7.1:Posmatrajmo sistem funkcije povratnog prenosa ( )( )

( )( )

1

5 8

K sW s

s s s

+=

+ +.

U cilju skiciranja geometrijskog mesta korena sistema u zatvorenoj sprezi za , detektujmo

sledee injenice.

0K

Stepen polinoma u brojiocu funkcije povratnog prenosa je m=1 i postoji jedna konana nula

.1 1z =

Stepen polinoma u imeniocu funkcije povratnog prenosa je i sva tri pola su realna

i .

3n=

1 0,p = 2 5p = 3 8p =

Nakon ovoga, kako je to prikazano na slici 7.2, kruiima se u 's' ravni oznae nule funkcije

povratnog prenosa a krstiima polovi.

Zatim se pristupa odreivanju asimptota. Kako funkcija ima jednu konanu nulu i tri

pola, postoje dve asimptote. Ove asimptote sa pozitivnim delom realne ose zaklapaju sledeeuglove:

( )W s


5/20


( )

( )

0

1

2 0 1

3 1 22 1 1 3

3 1 2

+ = =

+ = =

(7.19)

U pitanju su dakle vertikalne asimptote koje se seku na realnoj osi u taki

( ) ( )

3 1

1 1 0 5 8 1 63 1

i i

i ia

p z

n m = =

= =

=

)

(7.20)

Poslednja informacija koja jeste kljuna sa stanovita oblika grana geometrijskog mesta korena,

jesu delovi realne ose koje pripadaju ovim granama. Naime, uzimajui u obzir poloaj nula i polova

funkcije povratnog prenosa koje se nalaze na realnoj osi, vidimo da one dele realnu osu na pet

delova. Prvi deo u opsegu ( se nalazi levo od nula kritinih taaka. Kako je nula paran broj,

shodno pravilu broj 6, ovaj segment ne pripada granama gmk. Sledei opseg

0,

( )1, 0 se nalazi levo

od jedne kritine take, to je pol u taki , i on pripada granama gmk. Slino tome se

zakljuuje da segmenti ( ) i ( ne pripadaju, a segment

1 0p =

, 8 )5, 1 ( )8, 5 pripada granamagmk. Uzimajui u obzir navedene injenice, skicirati grane gmk postaje vrlo jednostavno. Grane

gmk su prikazane na slici 7.2 pri emu strelice na granama pokazuju pravac pomeranja korena

sistema u povratnoj sprezi sa poveanjem pojaanja K.

158

Slika 7.2: Geometrijsko mesto korena sistema

Naknadnom proverom nacrtanih grana moemo zakljuiti sledee: grana ima n=3 to odgovara redu

sistema; iz svakog pola sistema u otvorenoj sprezi polazi po jedna grana gmk; m=1 grana gmk

zavrava u konanoj nuli dok preostalih grane zavravaju u beskonanimasimptotama; asimptote zauzimaju uglove i prema pozitivnom delu realne ose i seku se

u taki . Delovi realne ose u opsezima

1 1z = 2n m =/ 2 3 / 2

6a = ( )8, 5 i ( )1, 0 pripadaju granama gmk jer se


6/20


nalaze levo od neparnog broja kritinih taaka na realnoj osi. Ukoliko elimo da nacrtani grafik

bude precizniji moe se odrediti taka odvajanja grana gmk sa realne ose:

( )( ) 3 2

1 2,3

1/0 2 16 26 40 0

6.4682; 0.7659 1.5829

d W ss s s

ds

s s j

= + + + =

= = (7.21)

Oigledno dobijeni polinom treeg stepena ima tri nule, meutim kako je sa prikazanog grafika

jasno da se taka odvajanja grana gmk sa realne ose moe oekivati u realnom opsegu izmeu

polova -8 i -5, traena taka odvajanja je . Takoe je mogue odrediti i pojaanje K

za koje e dva pola sistema biti ba u taki . U cilju odreivanja ovog pojaanja moemo

primeniti pravilo broj 8:

6.4682o =

o

( )

5 81 6.47 1.47 1.532.66

1 5.47o o o

oo

KW

+ + = = = =

+ (7.22)

Nacrtane grane geometrijskog mesta korena omoguavaju brzu analizu ponaanja sistema.

Prvo to se moe zakljuiti da grane gmk nikada, ni za koje pozitivno K ne prelaze u desnupoluravan 's' ravni, te je sistem za svako takvo Kstabilan. Takoe, moemo zakljuiti da za opsege

pojaanja ( )0,2.66K sistem ima tri realna pola u levoj poluravni 's' ravni, dok za pojaanja

sistem ima jedan par konjugovano kompleksnih polova i jedan realan pol. Shodno

tome, moemo u zavisnosti od pojaanja K prikazati kako se menja dominantna vremenska

konstanta sistema kao i faktor relativnog priguenja para dominantnih konjugovano kompleksnih

polova. Naime, za pojaanja K manja od 2.66 sistem u zatvorenoj sprezi ima tri pola pa se

dominantnim polom moe smatrati najblii imaginarnoj osi, dok se za pojaanja vea od 2.66

pojavljuje par konjugovano kompleksnih uz jedan realan i moemo smatrati da su konjugovano

kompleksni polovi dominantni u karakterizaciji sistema. Otuda je jednostavno skicirati zavisnost

ova dva parametra od pojaanja K. Ove su zavisnosti prikazane na slede

oj slici 7.3.

(2.66,K )

dT

K2.66

1/6

K2.66

1

Slika 7.3: Promena dominantne vremenske konstante i faktora relativnog priguenja dominantnih

polova

Treba ponovo napomenuti da se dominantnim polovima smatraju najvanijim (to uglavnom znai

najgorim) polovima sa stanovita primene sistema. Shodno tome, u sluaju kada sistem ima jedan

realan pol vrlo blizu imaginarne ose i dva konjugovano kompleksna pola sa znaajno negativnijim

realnim delom, zavisno od namene sistema, projektant moe realan pol smatrati dominantnim, jer

mu on, na primer, znaajno poveava vreme odziva.


7/20


Primer 7.2: Skicirajmo geometrijska mesta korena sistema

( )

( )( )( )21

4 10 30 1

sW s K

s s s s

+=

+ + + + 0, za .0K>

Postupak skiciranja grana gmk je potpuno identian, nezavisno od prirode sistema. Ponovo

detektujemo da je red sistema , te e postojati etiri grane gmk pri emu svaka od njih polazi

iz jednog od polova funkcije povratnog prenosa

4n=

1 2,3 44, 5 5 , 10p p j p= = = .

grana gmk zavrava u konanoj nuli u taki , dok preostalih grane gmk

zavravaju u beskonanim asimptotama, koje se seku u taki

1m=

1 1z = 3n m =

( ) ( )

4 1

1 14 5 5 5 5 10 1 23

3 3

k k

k ka

p zj j

n m = =

+ +

= =

= (7.23)

i sa pozitivnim delom realne ose zauzimaju sledee uglove:

( )

( )

( )

0

1

2

2 0 1

3 3

2 1 1

32 2 1 5

3 3

+ = =

+ = =

+ = =

(7.24)

Imajui u vidu poloaj nula i polova funkcije povratnog prenosa i pravilo broj 6 za crtanje grana

gmk, moemo zakljuiti da delovi realne ose u intervalima ( ), 10 i ( )4, 1 pripadaju

granama gmk. Konano, ove informacije su sasvim dovoljne za crtanje gmk i on je prikazan na slici7.4.

Prikazano geometrijsko mesto korena na slici 7.4. je vrlo informativni grafiki prikaz

osnovnih osobina sistema u zatvorenoj sprezi. Njegovim posmatranjem dolazimo do sledeih

zakljuaka. Nezavisno od vrednosti pozitivnog pojaanja K sistem uvek ima dva realna i dva

konjugovana kompleksna pola u zatvorenoj sprezi. Dalje, nezavisno od vednosti tog pojaanja

realni polovi su uvek u levoj poluravni sravno, dakle ne ugroavaju stabilnost. Za male vrednosti

pojaanja K, manje od neke kritine vrednosti konjugovano kompleksni polovi se, takoe

nalaze u levoj poluravni kompleksne sravni, i sistem je stabilan. Kada pojaanje Kuzme vrednost

kritinog pojaanja sistem dobija dva konjugovano kompleksna pola na imaginarnoj osi, i tog

trenutka se sistem ponaa kao oscilator. Sa daljim poveanjem pojaanja Kova dva pola prelaze udesnu poluravan kompleksne ravni i sistem postaje nestabilan.

krK

krK

Sa stanovita detaljne analize sistema u zatvorenoj sprezi, vrlo je vano znati vrednost

kritinog pojaanja i eventualno take u kojoj dve grane presecaju imaginarnu osu. Sa tim ciljem

primenimo Routh-ov kriterijum stabilnosti. Karakteristini polinom sistema u zatvorenoj sprezi

glasi:

(7.25)( ) ( )4 3 224 210 820 1200nf s s s s K s K= + + + + + +

Kako je presek grana gmk sa imaginarnom osom direktno vezan za pitanje stabilnosti sistema u

zatvorenoj sprezi, logian je nastavak analize da se za dobijeni karakteristini polinom primeni

analiza stabilnosti, recimo, Routh-ovim kriterijumom.


8/20


1410

Slika 7.4: Geometrijsko mesto korena sistema iz primera 7.2

Odgovarajua Routh-ova tablica ima sledeu formu.

4s 1 210 1200+K

3s 24 820+K

2s 24 210 820

24

K

1200+

1s ( ) ( )24 210 820

820 24 120024

KK K

+ +

0

s 1200+K

Postavljanjem uslova da svi elementi prve Routh-ove kolone budu istog znaka, odnosno pozitivni,

dobija se uslov stabilnosti sistema u zatvorenoj sprezi:

(7.26)( )770.4,3594.4K

3594.4krK =

( )nf s krK

Kako nas zanimaju samo pozitivne vrednosti pojaanja K zakljuujemo da je kritino pojaanje

koje dovodi dve grane gmk na imaginarnu osu:

(7.27)

Ako elimo da saznamo taku preseka gmk sa imaginarnom osom treba podeliti karakteristinipolinom u kome je uvrtena vrednost binomom ( )2 2s + bez ostatka:


9/20


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4 3 2 2 2 2 224 210 820 1200 : 24 210s s s K s K s s s + + + + + + + = + +

( ) ( )2 2 2820 24 1200 210kr kr R s K s K = + + +

1( )

3 2 2

2 2 2

24 210 820 1200

210 820 24 1200

kr kr

kr kr

kr kr

s s K s K

s K s K

+ + + + +

+ + + +

(7.28)

Ostatak pri ovom deljenju je polinom prvog stepena i glasi:

(7.29)

Kako mi veznamo vrednost taku preseka jednostavno raunamo iz uslova da koeficijent

uz s polinoma R s bude jednak nuli:

krK

820

13.56224

krK +

= =

K K=

13.562 /rad s =

(7.29)

Za vrednost pojaanja sistem bi bio na granici stabilnosti i ponaao bi se kao oscilator

uestanosti .kr

Primer 7.3:Posmatrajmo sistem koji ima dvostruki pol u taki i ija je funkcija prenosa1,2 2p =

( )

( )( )2 21

2 6W s

s s=

+ + + 16.

Skicirajmo geometrijsko mesto korena ovog sistema.

Polazei od injenice da sistem ima n=4 grane koje polaze iz polova

1,2 3,42, 3 7p p= = j , i da nema konanih nula, zakljuujemo da svaka od grana zavrava u

konanim asimptotama koje se seku na realnoj osi u taki

4

1 2.54

k

ka

p

== =

(7.30)

i koje u odnosu na pozitivni deo realne ose zauzimaju uglove

( )

0 1 2 3

2 1; 0,1, 2, 3

3 5

; ; ;4 4 4

k

kk

n m

+ = =

= = = =

7

4

(7.31)

Takoe se moe zakljuiti da na realnoj osi ne postoji segment koji se nalazi levo od neparnog broja

kritinih taaka na njoj, pa je shodno tome oblik grana gmk jednostavno skicirati i one su prikazane

na slici 7.5.

U cilju provere dobijenih rezultata, studenti mogu u programskom paketu MATLAB

definisati sistem u otvorenoj sprezi, definiui polinome P i Q, iz funkcije povratnog prenosa, i

pozivanjem naredbe 'rlocus'dobiti oblika grana gmk. Ovih nekoliko jednostavnih linija koda glase:

>> P=[1];

>> Q=conv([1 2],conv([1 2],[1 6 16]));

>> rlocus(P,Q)


10/20


2

Slika 7.5: Geometrijsko mesto korena sistema iz primera 7.3

Geometrijsko mesto korena sistema za negativne vrednosti pojaanja

Ponekada analiza sistema zahteva i odreivanje polova sistema u zatvorenoj sprezi za

negativne vrednosti promenljivog pojaanja K. U tom sluaju, sva navedena pravila za crtanje gmk i

dalje vae, uz nekoliko izmena.

Prvo pravilo ostaje neizmenjeno.

Drugo pravilo glasi: Pri K , mgrana gmk zavrava u mkonanih nula funkcije povratnogprenosa.

U treem pravilukoje odreuje poloaj beskonanih asimptota ka kojima tei n-mgrana gmk za, taka preseka asimptota sa realnom osom ostaje ista, ali se menja ugao koje asimptote

zaklapaju sa pozitivnim delom realne ose:

K

2 , 0,1,2,..., 1k k k n mn m

= =

(7.32)

etvrto pravilo ostaje neizmenjeno.

U petom praviluse mora uzeti u obzir injenica da je pojaanje Knegativno, pa ono glasi ovako:

Da bi neka taka pripadala nekoj od grana gmk, mora postojati realan negativan broj takav

da je

*s *K

(7.33)( ) ( ) ( )* * * * 0n n mf s Q s K P s= + =

odnosno

( )( )

( ) ( ){ }*

* *

**

1arg 2 , 0, 1, 2,...

m

n

P sW s W s k k

KQ s= = = = (7.34)


11/20


Ako poslednju jednakost napiemo u sledeoj formi:

( ){ } ( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )

{ } ( )

* * * *1 2*

* * * *1 2

* *

1 1

arg arg arg

arg arg 2 , 0, 1, 2,...

m m

n n

m n

k k

k k

P s s z s z s z W s

Q s s p s p s p

s z s p k k

= =

= =

= + = =

(7.35)

dolazimo do zakljuka da je razlika izmeu sume argumenata svih potega povuenih iz konanih

nula funkcije povratnog prenosa u bilo koju taku na gmk i sume argumenata svih potega

povuenih iz polova funkcije povratnog prenosa u tu taku jednaka je 2 , 0, 1, 2,...k k =

esto pravilo, za negativne vrednosti pojaanja K, kae da onaj deo realne ose koji se nalazi levood parnog broja kritinih taaka na njoj pripada gmk.

Pravilo broj sedam ostaje nepromenjeno.

Pravilo broj osam nam govori kako da odredimo negativnu vrednost pojaanja za koje je taka

sa gmk, zaista koren sistema u zatvorenoj sprezi:

*K*

s

( )( )

( )( ) ( )

* * * *1 2* *

* * * ** * *1 2

1 1 1m n

mn

P s s p s p s pW s K

K s z s z s z Q s W s W s

= = = = =

(7.36)

Pravila devet i deset ostaju nepromenjena.

Pravilo broj jedanaest govori o uglu pod kojim grana gmk naputa pol sistema uotvorenoj sprezi za negativne vrednosti pojaanja K

i ip

(7.37)1 1

0m n

k k i

k k

k i

= =

=

kao i o uglu pod kojim grana gmk ponire u konanu nulu sistema u otvorenoj sprezi:i iz

(7.38)1 1

0m n

i k k

k k

k i

= =

+ =

Opet, kao i pri crtanju geometrijskog mesta korena za pozitivne vrednosti pojaanja K, za

brzo skiciranje gmk vana su prva etiri i esto pravilo. U cilju ilustracije skiciraemo gmk za

negativna pojaanja Ka za sisteme date u primerima 1,2 i 3.

158

( )( ) ( )

1; 0

5 8

sW s K K

s s s

+=

geometrijsko mesto korenova

Documents