gonch niz nov3

Современные проблемы вычислительной диагностики

Содержание доклада

1. Что такое вычислительная диагностика.2. Разрешающие способности. Основная формула оптики 2λf / D.3. Математическое моделирование. Его роль в вычислительной

диагностике.4. Обратные задачи и методы их решения.5. Роль ЭВМ.6. НРС и вычислительная диагностика.

Что такое вычислительная диагностика?

Обычные рентгеновские исследования и X-ray томография.

Основные отличия:

1. Полный диапазон углов.

2. Предельно малые погрешности входных данных.

3. X-ray томография – результат решения обратной задачи.

Примеры задач вычислительной диагностики. Реконструкция дефокусированных снимков.

D

yxuddfyxKAf ),(),(),(

;,0

;,1)(),(

22

2222

dvu

dvuvuKvuK

;,, UuFfuAf

uuuAf ,1

?1 uAfеизображени

исходноеyxf ),(

X-RAY Томография

Полный диапазон углов

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

;22

D

yxuddfyxKAfA ),(),(),(*

22 )()(

1),(

yxyxK

),(),(2

2

* yxudySinxCosppA

Чем определяется разрешение томографа?

Теория и методы решения некорректных задач

;,, UuFfuAf ,1uAf uu

Основные проблемы:

1. Существование решения. 2. Единственность решения.3. Построение устойчивых методов

приближенного решения некорректных задач.

Функционал Тихонова.

uAfAA ** )(

uAAAf *1* )(

22fuAf

);(: Выбор

0 при )( ff

Разрешающая способность может быть увеличена до бесконечности

Метод невязки.

uAEAAf *1* )()1

);(:)2 Выбор

Выбор параметра регуляризации );(

Метод невязки

0,),(,)( )(22

ffuAfr

Метод решения некорректной задачи:

Основные достижения теории РА:

1. Построены алгоритмы приближенного решения некорректных задач.

2. Оптимальные алгоритмы.

Априорная информация

В методе Тихонова ищется самое гладкое решение – решение с минимальной нормой.

Другой тип априорной информации – информация о монотонности, выпуклости искомой функции и т.п.

Методы решения некорректных задач при наличии априорной информации, комплекс программ для их реализации (Тихонов А.Н., Гончарский А.В. и др. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М: Наука, 1983г.)

Для аппроксимации непрерывной функции достаточно знать только При аппроксимации разрывной функции необходимо знать и

Насколько разрывна разрывная функция?

Проблема аппроксимации разрывных функций

x

;,, UuFfuAf ,1uAf );(xGy

непрерывнаxG )( разрывнаxG )(

0

)()(

xGxG

xx

xGxGy

)()(

x

Тихоновская школа: фундаментальный вопрос математики

– приближенное вычисление разрывных функций

Аппроксимация разрывной функции семейством непрерывных функций

;,0),()( xxGxG

0,)( 1*1* AAEAA

uAEAAf *1* )(

Итерационные регуляризирующие процедуры

Выбор параметра регуляризации

uAEAAf *1* )(

;0:)( 0*

1 fuAfAff nnn

0,)(;1

nn

)(,22 nnuAfn

Сравнение алгоритмов:Алгоритм лучше, чем алгоритм .

Алгоритм Тихонова в определенном смысле является оптимальным.

Теория решения некорректно-поставленных задач – самый значительный математический результат прошлого столетия.

Школа А.Н.Тихонова

Понятие оптимальных алгоритмов

1R 2R

Задачи реконструкции дефокусированных изображений

Зачем нужно математическое моделирование ?

D

yxuddfyxKAf ),(),(),(

),(),(),( 21

~

21

~

21

~~

wwfwwKwwuAf

),(),()( 21

~

21

~~*1

~~*

~

wwuwwRuKEKKf

Дефокусировка под углом

Ядро оператора больше не зависит отразности аргументов

D

yxuddfyxKAf ),(),(),,(),(

D

yxuddfyxKAf ),(),(),,(),(

Результаты решения модельной задачи реконструкции

дефокусированного изображенияДефокусированное

изображениеИсходное

изображение

Восстановленноеизображение

Результаты решения модельной задачи реконструкции

дефокусированного изображения

Дефокусированное изображение

Исходноеизображение

ВосстановленноеИзображение

Параметр регуляризации 0

Результаты решения реальной задачи реконструкции

дефокусированного изображения

Обработка реальных данных

X-RAY Томография

Полный диапазон углов

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

);,(),( 21

~

fdlelp li

;22

D

yxuddfyxK ),(),(),( 22 )()(

1),(

yxyxK

Томография реальных объектов

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

Томография реальных объектов

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

),(0

),(ln),(

lL

dyxfI

IlpAf

Неполный диапазон углов

Неединственность решения задачи

;20

Если имеет компактный носитель, то

- аналитическая функция и допускает аналитическое продолжение на всю плоскость

),( yxf

),( 21

~

f

PCB, PWB

Восстановление многослойных печатных плат

Niyxfzyxf i ,...1),,(),,(

Принципы синтезированной апертуры

Вывод основного уравнения PЛC CA

Цена за результат: Огромный объем данных, очень точная регистрация данных, решение обратных задач.

Космический аппарат

Поверхность ЗемлиИсследуемая

область

dxdyyxgyvtxPc

yvtxtsyxud ),(),(

),(2),(ˆ

dxyxgyxxKxu ss ))(,())(,(),(

)(yy

dxdyyxgyvtxPc

yvtxtstu ),(),(

),(2)(ˆ

Фиксируется не время прихода, а весь сигнал.

Результаты восстановления изображения.

Космический аппарат «Алмаз». Окраины Москвы.Разрешение увеличилось в 1000 раз.

А.Н.Тихонов, А.В.Гончарский и др. Задача цифровой реконструкции… // ДАН СССР, 1992, Т.322, №5.

Инженерная сейсмика

• Задача является трехмерной.

• Эффекты дифракции.• Нелинейность

Проблемы:

)(

1),(

),()( ),(),(

rCyxf

dlyxfrC

dlr

lLlL

i

ii

С(r) – скорость распространения сигнала

Задачи волновой томографии

),,(),,(),(),,( 2 qrfqrurqru

XОбласть

источников

YОбласть

детекторов

RИсследуемая

область

)(),(

rcr

)(

11)(

220 rcc

r 0

0),(c

r

),,( qru -амплитуда гармонического сигнала.Зависимость от времени exp(iwt)

Задачи волновой томографии

R

R

YydrqruryrGqyU

RrdrqrurrrGqruqru

,),,()(),,(),,(

,),,()(),,(),,(),,(

''''2

''''20

yx

yxyxG

4

)exp(),,( 0

0

X

dxqxfxzGqzu ),,(),,(),,(0

),,()(),,(),,(),,( 220 qrurqrfqruqru

)(),,(),,(2

0

2

qrqrGc

qrG

Размерность обратной задачи Nx*Ny*Nz*(Nw*Nq+1)Bakushinsky A.B., Goncharsky A.V. Ill-posed Problems. Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 1994.

),,(),( qrur

Линеаризованные приближения

R

drqrurrzGqzuqzu ),,()(),,(),,(),,( 20

R

drqrurrzGqzuqzu ),,()(),,(),,(),,( 02

0

0

R rqrz

drrzqf

)(),(

qz

qzikqzuzqf

)exp(),,(1lim),( 0

20

где

при

1. Приближение при 0

2. Приближение Борна и принципы синтезирования апертуры

R

drqrurrzGqzuqzu

),,()(),,(),,(),,(

020

получаем

Численные результаты расчетов на кластерных системах

для прямой задачи• Схема эксперимента и действительная

часть волны в прямой задаче на поверхности Земли на частоте 100 Гц и 30 Гц .

• Звуковое давление имеет характерный вид волновой функции.

• На частоте 100 Гц длина волны не сильно превышает размеры неоднородностей, поэтому имеем интерференционные всплески.

• На частоте 30 Гц картина сильно замазана, что приводит к плохой реконструкции.

• Сетка расположения приемников должна быть достаточно подробной для описания интерференционной картины.

Задача проектирования эксперимента.

Численные результаты расчетов на кластерных системах

для прямой задачи

• Вещественная часть звукового давления и абсолютная величина на частоте 100 Гц .

• Звуковое давление имеет характерный вид волновой функции.

• Сетка расположения приемников должна быть достаточно подробной для описания интерференционной картины.

Эксперимент с одним источником

• Схема эксперимента с одним расположением источника и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции на одной частоте 100 Гц.

• Для одного источника даже увеличение числа частот не позволяет получить хороших результатов.

Линейный эксперимент

• Схема линейного эксперимента (источники и приемники располагаются на линии) и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции.

• Значительно сокращаются затраты на эксперимент и объем данных.

• Поперек линии измерений неоднородности не восстанавливаются.

• Схема эксперимента с источниками и приемниками расположенными в широкой области на поверхности Земли и сечение в плоскости OYZ результата реконструкции на частоте 100 Гц (Рис.1), 30 Гц (Рис.2).

Рис.1 Рис.2

Численные результаты расчетов на кластерных системах

для обратной задачи

Численные результаты расчетов на кластерных системах

для обратной задачи

Сетка расчетов (число неизвестных)

Число приемников

Число частот

Число источников

Кол-во нелинейных итераций

Число процессоров

Время расчета, сек

Невязка

5x5x5 (750) 40x40 2 1 1 16 15 3*10-4

9x9x9 (4374) 40x40 2 1 1 16 500 

3*10-4

5x5x5 (10250) 40x40 40 1 1 16 1500 

3*10-4

9x9x9 (59778) 40x40 40 1 1 16 56000 

3*10-4

25х25х25(90000) 40x40 2 1 1 500 10800 

1*10-3

29х29х29(146000) 40x40 2 1 1 1000 14600 

1*10-3

33х33х33(215622) 40x40 2 1 1 500 27000 

1*10-3

9x9x9 (59778) 40x40 40 1 10 500 36000 

3*10-4

Основные этапы создания X-RAY томографа

Пирогов Николай Иванович, г.р.-1810г.Рентген Конрад, г.р.- 1845г.Радон Иоганн Карл Август , г.р.- 1887г.Тихонов Андрей Николаевич, г.р.- 1906г.

X-RAY

ПЛЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕРАДОНА

ЭВМ

ТЕОРИЯТИХОНОВА

ОБРАТНЫЕЗАДАЧИ

МАКЕТ

ТРЕБОВАНИЯ КИСТОЧНИКАМ ИПРИЕМНИКАМ

НИОКР

ТОМОГРАФ

X

ТОПОГРАФ-ИЧЕСКАЯ АНАТОМИЯ

Основные направления работ по вычислительной диагностике с

использованием HPC1. Трехмерные нелинейные модели.2. Автоматизированные комплексы on-line контроля.

Плата базового модуля РВС «АЛЬКОР»-16 ПЛИС Virtex-5, 8 млн. вентилей-256 элементарных 64-р. процессоров - тактовая частота 330 МГц - обработка 64-разрядных данных с плавающей запятой- производительность 200(90) ГФлопс-частота обмена между ПЛИС до 1,2 ГГц (LVDS)- потребляемый ток до 200 А- печатная плата 20 слоев-внешние интерфейсы LVDS, Gigabit Ethernet