i. tích phân b t ñ nh - agu staff zone filetích phân b ất ñịnh: cho f x( ) là m ột...
Post on 06-Sep-2019
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
31
Ch��ng 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Tích phân b�t ñ�nh:
I.1. Nguyên hàm: Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên ( ),a b . Ta gọi hàm ( )F x là
nguyên hàm của ( )f x nếu ( ) ( ) ( ), ,F x f x x a b′ = ∀ ∈ .
I.2. Tích phân bất ñịnh: Cho ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )y f x= xác
ñịnh trên ( ),a b . Khi ñó biểu thức ( )F x C+ (C là hằng số) cũng là nguyên hàm
của hàm số ( )y f x= và ñược gọi là tích phân bất ñịnh của hàm số ( )f x trên
( ),a b , kí hiệu:
( ) ( )f x dx F x C= +∫
I.3. Tính chất:
(i) ( ) ( ) ( )dF x F x dx F x C′= = +∫ ∫ ;
(ii) ( ) ( ) , ;f x dx f x dx Cα α α= + ∈∫ ∫ ℝ
(iii) ( ) ( )( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
I.4. Tích phân một số hàm sơ cấp: 1 , ;dx x Cα α α= + ∈∫ ℝ
2 ln ;
dxx C
x= +∫
3 1
, 1;1
p
p xx dx C p
p
+
= + ≠ −+∫
4 ; ;
ln
x
x x xaa dx C e dx e C
a= + = +∫ ∫
5 sin cosxdx x C= − +∫
6 cos sinx dx x C= +∫
7
2cos
dxtgx C
x= +∫
8
2cot
sin
dxgx C
x= − +∫
9 2 2
arcsin
arccos ,
dx xC
aa xxC a
a
= +−
= − + >
∫
( 0)
32
10 2 2
1arctan
1arccot , 0
dx xC
a x a a
xC a
a a
= ++
= − + >
∫
11 2 2
1 1ln , 0
2
a xdx C a
a x a a x
+= + >
− −∫
12 2 2
1 1ln , 0
2
a xdx C a
x a a a x
−= + >
− +∫
13 2
2ln , 0
dxx x b C b
x b= + + + ≠
+∫
14 2 2 2ln , 0
2 2
x bx bdx x b x x b C b+ = + + + + + ≠∫
II. Ph��ng pháp tính tích phân:
II.1. Ph��ng pháp ñ�i bi�n:
a) Đổi biến theo chiều thuận:
Đặt ( )x tϕ= khi ñó ( )dx t dtϕ′= suy ra ( ) ( )( ) ( )f x dx f t t dtϕ ϕ′=∫ ∫
Ví dụ 1
Tính tích phân 2 2 ( 0)I a x dx a= − >∫
Giải
Hàm số 2 2a x− có nghĩa khi và chỉ khi: .x a≤
Đặt:
2 2
2 2
cos ;2 2
sin cos ; arcsin
sin ; cos
dx a t dt t
xx a t a x a t t
a
x a xt ta a
π π = − ≤ ≤= ⇒ − = = − = =
i
i
i
33
( )
2 2 2 2
2 22
cos
11 cos2 sin 2
2 2 4
I a x dx a tdt
a aa t dt t t C
⇒ = − =
= + = + +
∫ ∫
∫2 2 2 2
2 22
2
-( sin cos ) arcsin2 2
. -arcsin
2
a a x x a xt t t C
a a a
x a xa xC
a a
= + = + +
= + +
Chú ý: Khi gặp các tích phân:2 2a x dx−∫ hoặc
2 2a x dx+∫ hoặc
2 2 ( 0)x a dx a− >∫
Thông thường các tích phân ñó sẽ dễ tính hơn khi khử căn thức. Lợi dụng các công
thức lượng giác 2 2 2
2
1sin cos 1 1
cosx x hay tg x
x+ = + = chúng ta có thể khử căn
thức của các biểu thức trên bằng một phép ñổi biến số tương ứng trong bảng sau
ñây:
Biểu thức Phép ñổi biến số Biểu thức sau biến ñổi dx = …
2 2a x− ( cos , [ 0, ] )
sin , ,2 2
hay x a t t
x a t t
π
π π
= ∈
= ∈ −
cosa t
sina t
cosa t
sina tdt−
2 2a x+ , ,2 2
x atgt tπ π = ∈ −
cos
a
t
2cos
dta
t
2 2x a−
∗Với x > a
, 0,cos 2
ax t
t
π = ∈
∗Với x <-a
, 0,cos 2
ax t
t
π = − ∈
atgt
atgt
2
sin
cos
ta dt
t
2
sin
cos
ta dt
t−
b) Đổi biến theo chiều ngược:
Để tính tích phân ( ) ,I f x dx= ∫ ta phân tích biểu thức dưới dấu tích phân ñể ñưa
về dạng ( ) [ ( )] ( ) ( ( )).f x dx g x x d xϕ ϕ ϕ′= Đặt ( ) ( ) .t x I g t dtϕ= ⇒ = ∫
34
Ví dụ 2
2 2 21) ( ).
2x xa I e x dx e d x= =∫ ∫ Đặt:
22 1 1 1
2 2 2t t xt x I e dt e C e C= ⇒ = = + = +∫
3 4 4 4121
) 9 ( 9) ( 9).4
b I x x dx x d x= + = + +∫ ∫ Đặt 4 9t x= +
4 3
31 322 2
32
1 1 1 2 1. ( 9) .
4 4 2.2 3 6
tI t dt C t C x C⇒ = = + = + = + +∫
II.2. Ph��ng pháp tích phân t�ng phn:
a) Công thức: Giả sử u và v là hai hàm có ñạo hàm liên tục. Khi ñó
( ) ( ) ( )d uv uv dx u v uv dx vdu udv′ ′ ′= = + = +
Từ ñó uv udv vdu= +∫ ∫
Suy ra: udv uv vdu= −∫ ∫ (ñây là công thức tính tích phân từng phần)
Ví dụ 3:
(i) Tính cosI x xdx= ∫
Ðat ; cos chon sin
Ta co sin sin sin cos .
u x du dx dv xdx v x
I udv uv vdu x x xdx x x x C
= ⇒ = = =
′ = = − = − = + +∫ ∫ ∫
⌣
ɺ ɺ
(ii) Tính lnJ dx= ∫ .
Ðat ln ; chon
Ta co ln ln .
dxu x du dv dx v x
x
I udv uv vdu x x dx x x x C
= ⇒ = = =
′ = = − = − = − +∫ ∫ ∫
⌣
ɺ ɺ
b) Một số dạng hàm có thể dùng tích phân từng phần ñể giải:
Dạng 1:
( ) axP x e dx∫ trong ñó ( )P x là một ña thức.
Phương pháp:
( )
( )
( )
1.ax ax
du P x dxu P x
dv e dx v e Ca
′= = ⇒ = = +
35
Ví dụ 4: Tính tích phân 2 3xI x e dx= ∫
Giải 2 3 2 3 2 3 3
2 3 3 2 3 3 3
2 3 3 3 2 3
1 1(3 ) 2
3 31 2 1 2
( ) - -3 9 3 9
1 2 2 1 2 2- -
3 9 27 3 3 9
x x x x
x x x x x
x x x x
I x e dx x e d x x e xe dx
x e x d e x e xe e dx
x e xe e C x x e C
= = = −
= − =
= + + = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Dạng2:
( )sinP x axdx∫ ( hoặc ( )cosP x axdx∫ )
Phương pháp:
( )u P x= ; sindv axdx= (hoặc cosdv axdx= ).
Suy ra ( ) ( )1
; cosdu P x dx v ax Ca
′= = − + (hoặc ( )1sinv ax Ca
= + )
Ví dụ 5: Tính tích phân 2 sin 3I x xdx= ∫
Giải
2 2 2 21 1 1 1sin 3 (cos 3 ) cos 3 2 cos 3 cos 3
3 3 3 3I x xdx x d x x x x xdx x x= =− =− + =− +∫ ∫ ∫
2 1 2 22sin 3 sin 3 cos 3 sin 3 cos 39 3 9 27x x xdx x x x x x C+ − = − + + + ∫
Dạng 3:
( ) lnP x xdx∫ , ( )P x arctgxdx∫ , ( )arcsinP x xdx∫ .
Phương pháp:
Đặt lnu x= (hoặc arctan arcsin ,...u x hay u x= = ), ( )dv P x dx=
Tính tích phân arctanI x xdx= ∫
Giải 2
2 2
2
1 1 1arctan arctan ( ) arctan
2 2 2 1
xI x xdx xd x x x dx
x= = = −
+∫ ∫ ∫
21 1 1arctan .
2 2 2x x arctgx x C= + − +
Dạng 4: ( ) sinaxP x e bxdx∫ (hoặc ( ) cosaxP x e bxdx∫ ).
Phương pháp:
Đặt: ( ), sinaxu P x dv e bxdx= = (hoặc cosaxdv e bxdx= )
36
Ta có: 2 2
sin cos( ) & sin .
axax a bx b bxdu P x dx v e bxdx e
a b
−′= = =+
∫ (+C)
(hoặc 2 2
sin coscos . ( )
axax b bx a bxv e bxdx e C
a b
+= = +
+∫ )
III. Tích phân ca m�t s� d ng hàm s� th��ng g�p:
III.1. Tích phân các hàm s� h�u t�:
a. Các hàm số hữu tỷ ñơn giản:
Dạng 1: 1
lndx
ax b Cax b a
= + ++∫
Dạng 2: ( ) ( )( )
1
1, 1
1k k
dxC k
ax b a k ax b−
= + ≠+ − +
∫
Dạng 3: 2
Adx
x bx c+ +∫ ,
- Nếu 2 0x bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thì ( )( )2
1 2x bx c x x x x+ + = − −
Khi ñó ( )( )2
1 2 1 2 1 2
1 1Adx Adx Adx
x bx c x x x x x x x x x x
= = −
+ + − − − − − ∫ ∫ ∫
- Nếu 2 0x bx c+ + = có nghiệm kép x a= thì ( )
22x bx c x a+ + = −
Khi ñó ( )
22
Adx Adx AC
x bx c x ax a
−= = +
+ + −−∫ ∫
- Nếu 2 0x bx c+ + = vô nghiệm thực ta biến ñổi
2 22 4
2 4
b c bx bx c x
− + + = + +
,
Khi ñó ñặt 2
bu x= + ,
24
2
c bα
−= ñưa về dạng 2 2
1,
dx xarctg C
x α αα= +
+∫
Dạng 4:( )
2
Ax B dx
x bx c
+
+ +∫ (trong ñó 2 4 0b c∆ = − < ) biến ñổi
2 2 2
2 2
2
AB b
Ax B A x b
x bx c x bx c x bx c
−+ +
= + + + + + + +
ñưa về dạng du
u∫ và Dạng 4.
Ví dụ 6: Tính 2
2 3.
1
xI dx
x x
+=
+ +∫ Ta có
2 2 2
2 3 2 1 2
1 1 1
x x
x x x x x x
+ += +
+ + + + + +
37
Suy ra 2 2 2
2 3 2 1 2
1 1 1
x x dxI dx dx
x x x x x x
+ += = +
+ + + + + +∫ ∫ ∫
( )2
22
1 2
1 1 3
2 4
d x x dx
x xx
+ += +
+ + + +
∫ ∫
( )2 4 1ln 1 arctan
23x x x C
= + + + + +
b. Các hàm h�u t� d ng ( )( )
n
m
P xdx
Q x∫ :
Dùng cách chia ña thức và ñồng nhất thức ñể chuyển về tích phân của ña
thức và các dạng ñơn giản.
Ví dụ 7: Tính 3 1
xdx
x −∫ :
Ta có
( )( )( ) ( )( )2
3 2 32
1 1
1 1 1 11 1
A x x Bx C xx x A Bx C
x x x x xx x x
+ + + + −+= = + =
− − + + −− + +
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 *x A x x Bx C x A B x A B C x A C⇒ = + + + + − = + + − + + −
Đồng nhất thức hai vế ta ñược:
0 1/ 3
1 1/ 3
0 1/ 3
A B A
A B C B
A C C
+ = =
− + = ⇔ = − − = =
38
Từ ñó ( )
( )
3 2 2
2 2
2
22
2
1 1 1 1 1 2 1 3ln | 1|
1 3 1 3 1 3 6 1
1 1 2 1 1 1ln | 1|
3 6 1 2 1
1
1 1 1 2ln | 1| ln 1
3 6 2 1 3
2 2
11 1 1 1 2ln | 1| ln 1 . .arctan3 6 2 3 3
2 2
xdx dx x xdx x dx
x x x x x x
xx dx dx
x x x x
d x
x x x
x
x
x x x
− + −= − = − −
− − + + + +
+= − − +
+ + + +
+
= − − + + +
+ +
+
= − − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
C
+
.
Ví dụ 8: 4
3
2
1
x xdx
x
+
+∫ :
Ta có: 4 2
13 3
2
1 1 2
x x x xdx xdx dx I
x x
+= + = +
+ +∫ ∫ ∫
Tính 1 3 1
xI dx
x=
+∫ :
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
3 2 2
2 2
3 3
1 11 1 1
1 1
1 1
x x a bx c
x xx x x x x
a x x x bx c a b x b c a x a c
x x
+= = +
+ ++ − + − +
− + + + + + + + − + += =
+ +
Suy ra:
0
1
0
a b
a b c
a c
+ =
− + + = + =
1/ 3
1/ 3
1/ 3
a
b
c
= −
⇒ = =
Do ñó
1 2 2
1 1 1 1 1 1ln 1
3 1 3 1 3 3 1
dx x xI dx x dx
x x x x x
− + − += + = + +
+ − + − +∫ ∫ ∫
Ta lại có:
39
( )
2 2 2 2 2
2
2
1 1 2 1 3 1 2 1 3 1
1 2 1 2 1 2 1
1 3ln 1
2 2 1 3
2 4
x x xI dx dx dx dx
x x x x x x x x
dxx x
x
+ − + −= = = +
− + − + − + − +
= − + +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Tính 3 2
3
2 1 3
2 4
dxI
x
=
− +
∫ . Đặt: 1 3
tan2 2
x t− =
( ) ( )2
2 23 1 3 3 2 11 tan ; 1 tan ; arctan
2 2 4 4 3
xdx t dt x t t
− ⇒ = + − + = + =
Do ñó:
3
3 1 2 1. . 3 3.arctan
2 3 3
2
xI dt t C C
− = = + = +
∫ .
Như vậy,
( )4 2
2
3
2 1 1 3 2 1ln 1 ln 1 arctan .
1 2 3 6 3 3
x x x xdx x x x C
x
+ − − = + + + − + + + +
∫
III.2. Tích phân các hàm s� l��ng giác:
a) Dạng ( )∫ sin ,cosR x x dx trong ñó ( )sin ,cosR x x là hàm số hai biến ñối với
sin x và cos x
Phương pháp chung:
Đặt tan2
xt = , khi ñó,
2
2 2 2
2 1 2sin , cos ,
1 1 1
t t dtx x dx
t t t
−= = =
+ + +. Từ ñó ñưa về
tích phân dạng hữu tỷ.
Ví dụ 9: Tính sin 1
dx
x +∫ . Đặt 2 2
2 2tan ,sin
2 1 1
x dt tt dx x
t t= ⇒ = =
+ +
Suy ra ( )
22
2
1 2 2 2.
2sin 1 1 1111
dx dt dtC
tx t ttt
−= = = +
+ + ++++
∫ ∫ ∫
Những trường hợp ñặc biệt: Nếu ( ) ( )sin ,cos sin ,cosR x x R x x− = − thì ta ñặt cost x= .
Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− = − thì ta ñặt sint x= .
Nếu ( ) ( )sin , cos sin ,cosR x x R x x− − = thì ta ñặt tant x= .
40
Ví dụ 10: Tính 2 3sin cosx xdx∫ . Ta thấy ( ) 2 3sin ,cos sin cosR x x x x= và
( ) ( )2 3 2 3sin , cos sin ( cos ) sin cos sin ,cosR x x x x x x R x x− = − = − − . Do ñó ta
ñặt sint x= ( )2 3 2 2cos sin cos 1dt xdx x xdx t t dt⇒ = ⇒ = −∫ ∫ .
b) Dạng ∫ ∫ ∫cos cos , cos sin , sin sinax bxdx ax bxdx ax bxdx :
Phương pháp: Ta dùng công thức biến ñổi tổng thành tích.
Ví dụ 11: Tính cos3 sin 5I x xdx= ∫
Ta có :
( )1 1 1 1 1
cos3 sin 5 sin8 sin 2 cos8 . cos 22 2 8 2 2
I x xdx x x dx x x C
= = + = − − +
∫ ∫
Ví dụ 12: Tính sin
dxI
x=∫
Giải ¤ Cách 1 Dùng phương pháp biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân:
2 2
sin (cos ) (cos )
sin (1 cos )(1 cos )sin (1 cos )
dx xdx d x d x
x x xx x= = − = −
− +−∫ ∫ ∫ ∫
1 1 1 1 (1 cos ) (1 cos )(cos )
2 1 cos 1 cos 2 (1 cos ) (1 cos )
d x d xd x
x x x x
− + = − + =− − + − + − + ∫ ∫ ∫
( )2
2
2 sin1 cos1 1 1 2ln 1 cos ln 1 cos ln ln2 2 1 cos 2
2 cos2
xx
x x C C Cx x
−= − − + + = + = +
+
2
sin sin1 22 2ln ln ln .2 2 2
cos cos2 2
x xx
C C tg Cx x
= + = + = +
¤ Cách 2 Dùng phép thế:
Đặt: 2
2 2
2
2sin ;
2 21 :2 sin 1 12 ;1
2
tx
dx dt tt Idt x t tx arctgt dxt
xt tg dt
=+⇒ = =
+ += =+
= ⇒
∫ ∫i
i
41
2
2
(1 )t=
+
2(1 )t+× ln ln .
2 2
dt xdt t C tg C
t t
= = + = + ∫ ∫
¤ Cách 3
ñặt:2
2
arccos ,1cos
sin 1
dtx t dx
tt x
x t
= = − −= ⇒ = −
i
i
2
2 2 2: 1
sin 1 1 . 1
dx dt dtI t
x t t t
⇒ = = − − = − − − − ∫ ∫ ∫
( )22
2
1 1 1
2 1 111
dt dtdt
t ttt
= − = = − − +− −∫ ∫ ∫
( )1 cos1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln2 2 1 2 1 cos
xtt t C C C
t x
−−= − − + + = + = +
+ +
2
2
2 sin1 2ln ln2 22 cos
2
xx
C tg Cx= + = +
¤ Cách 4 Biến ñổi biểu thức dưới dấu tích phân ta có:
2.
sin2 sin cos sin cos
2 2 2 2
xd
dx dx
x x x x x
= =∫ ∫ ∫ Đặt:
2 sin cos
x duu tg I
u u= ⇒ =∫
Khi ta thay sinu bởi sinu− và thay cosu bởi cosu− vào biểu thức dưới dấu tích
phân: 1 1
( sin )( cos ) sin cosu u u u=
− − nên chúng ta ñặt:
2
22 2
2 2
11 1sin ; cos (1 ) .
1 1 1 1
dtu arcrtgt du
t dtt tgu It tu u t
t t t t
= ⇒ = += ⇒ ⇒ = = = + + + + +
∫i
i
ln ln .2
dt xt C tg C
t= = + = +∫
42
Ví dụ 13 Tính tích phân 3 sin 4 cos
dxI
x x=
+∫
Giải Hàm số dưới dấu tích phân không thoả mãn ñiều kiện nào trong ba trường hợp cuối .
Do ñó chúng ta có thể dùng phép thế vạn năng, bằng cách ñặt :
,2
xt tg= (với xπ π− < < )
2
2 2
2
2 1sin ; cos
1 12
2 ;1
t tx x
t tdt
x arctgt dxt
− = = + +⇒ = = +
i
i
22 2
2 2
22
6 4(1 )(1 ) (1 )
1 1
dt dtI
t tt t
t t
⇒ = = − + + + + +
∫2
2
4 6 4
(1 )
t t
t
− + +
+
∫
2 2
12
2 12.(2 3 2) 2 3 2(2 )
2
dt dt dt
t t t tt t
= − = = − − − + + − +
∫ ∫ ∫
( )( )
1 121 2 1 1 1 2 2. ln
1 12 5 2 5 222 2
d t td tdt C
t ttt t
+ + − = + = − = + − − − + +
∫ ∫ ∫
11 2 2ln .5
22
xtg
Cx
tg
+= +
−
III.3. Tích phân các hàm s� vô t�:
a) Dạng , nax b
R x dxcx d
+
+ ∫
Ta ñặt nax b
tcx d
+=
+.
Ví dụ 14: Tính 3 41 1
dx
x x+ − +∫
Đặt 12 1212 1 1 1t x t x x t= + ⇔ = + ⇔ = − 11 4 33 412 , 1 , 1dx t dt x t x t= + = + = .
43
Suy ra
( )
11 8
4 33 4
8 87 6
12 1211 1
1... 1 ln 1
1 1 1
dx t dt t dt
t t tx x
t dt t dtdt t t dt x C
t t t
= =− −+ − +
−= + = + + + + − +
− − −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Từ ñó suy ra 3 41 1
dx
x x+ − +∫ .
b) Dạng ( )2,R x ax bx c dx+ +∫
Ta phân tích
2 22 4
2 4
b b acax bx c a x
a
− + + = − −
, ñặt
2
bu x= − ñưa về các
dạng sau:
( )2 2,R u u duα +∫ ñặt tant uα= với ,2 2
tπ π
∈ −
( )2 2,R u u duα −∫ ñặt sint uα= với ,2 2
tπ π
∈ −
( )2 2,R u u duα−∫ ñặt cos
tt
α= với ( )0, \
2t
ππ
∈
Ví dụ 15: Tính 2 4 5I x x dx= − + +∫
Ta có ( ) ( ) ( )2 22 24 5 9 2 9 2 2 9x x x I x d x u du− + + = − − ⇒ = − − − = −∫ ∫
Với 2u x= − . Đặt 3sinu t= với
,2 2
tπ π
∈ −
23cos , 9 3cos , arcsin3
udu tdt u t t⇒ = − = = .
Suy ra
( )2
2 2
9 9 99cos 1 cos 2 sin 2
2 2 4
9 1 9 2 2arcsin 9 arcsin 4 5
2 3 2 2 3 2
I tdt t dt t t C
u x xu u C x x C
= = + = + + =
− −= + − + = + − + + +
∫ ∫
Ví dụ 16: Tính 2
3
2 4
xI dx
x x
+=
− +∫
Ta có ( ) ( )
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 2 24
2 2 4 2 4
2 4 114
2 2 4 1 3
2 4 4ln 1 2 4
x dxI dx
x x x x
d x x d xdx
x x x
x x x x x C
−= +
− + − +
− + −= +
− + + +
= − + + − + − + +
∫ ∫
∫ ∫
44
Chú ý: Người ta chứng minh rằng các hàm số sau ñây không có nguyên hàm là hàm
số sơ cấp: 22 2sin cos 1
, ,sin ,cos , , ,ln
xxx x e
x x ex x x x
−.
IV. Tích phân xác ñ�nh: IV.1. Bài toán mở ñầu: Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi trục hoành,
ñường thẳng 1x = và barabol ( ) 2y f x x= = .
Giải:
Chia ñoạn [ ]0;1 thành n phần bằng
nhau bởi các ñiểm chia
0 1 2
1 20, , ,..., 1
n
nx x x x
n n n= = = = =
Tính các giá trị
( ) ( ) ( )2 2 2
1 22 2 2
1 2, ,..., .
n
nf x f x f x
n n n= = =
Gọi
nS là tổng diện tích các hình chữ
nhật như trong hình. Ta có: 2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 1. . ... .
n
nS
n n n n n n= + + +
.
Rõ ràng khi n → ∞ thì n
S S→ là diện tích cần tìm.
Vì vậy,
( ) ( )( )2 2 2
3 3
1 1 1lim lim 1 2 ... lim 1 2 1
3n
n n nS S n n n n
n n→∞ →∞ →∞= = + + + = + + = .
IV.2. Tích phân xác ñịnh: Cho hàm số ( )y f x= xác ñịnh trên [ ],a b . Chia [ ],a b
thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các ñiểm chia
0 1 2 ... .n
x a x x x b= < < < < = Ta gọi một cách chia như vậy là một phân hoạch P , kí
hiệu 1maxi i
P x x −= − và gọi nó là ñường kính của phân hoạch P . Trêm mỗi ñoạn
[ ]1,i ix x− ta chọn ñiểm
ic tùy ý và gọi { }1 2, ,...,
nC c c c= là một phép chọn C . Lập
tổng
( ) ( ) 1
1
, ,n
i i i
i
I f P C f c x x −=
= −∑ gọi là tổng tích phân của hàm ( )f x trên [ ],a b ứng
với phân hoạch P và phép chọn C .
45
Nếu 0
lim ( , , )P
I f P C→
tồn tại hữu hạn và không phụ thuộc vào phân hoạch P cũng như
phép chọn C thì ta gọi giới hạn ñó là tích phân xác ñịnh của hàm ( )y f x= trên
[ ],a b kí hiệu là ( )b
a
f x dx∫ . Vậy, ( )0
lim ( , , )
b
Pa
f x dx I f P C→
=∫ .
Từ bài toán mở ñầu ta thấy ngay rằng nếu ( ) 0f x ≥ thì ( )b
a
f x dx∫ là diện tích phần
mặt phẳng giới hạn bởi trục hoành, các ñường thẳng ,x a x b= = và ñồ thị của hàm
( )y f x= (hình như vậy gọi là “hình thang cong”).
Khi ( )b
a
f x dx∫ tồn tại ta nói hàm số ( )y f x= khả tích trên [ ],a b .
IV.3. Quy ước:
( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫
( ) 0
a
a
f x dx =∫
Trong biểu thức ( )b
a
f x dx∫ , ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, ( )f x là hàm dưới
dấu tích phân, ( )f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
IV.4. Các tính chất của tích phân xác ñịnh:
Định lý 1: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b thì nó bị chặn trên ñoạn ñó. Nếu
( )f x liên tục trên ñoạn [ ],a b thì nó khả tích trên ñoạn ñó.
Các tính chất của tích phân xác ñịnh:
Định lý 2: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( ),c a b∈ thì ( )f x khả tích trên
ñoạn [ ],a c và trên [ ],c b và:
( ) ( ) ( )b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Định lý 3: Nếu ( )f x và ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b thì ( ) ( )f x g x± khả tích
trên ñoạn [ ],a b và:
( ) ( )( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
46
Định lý 4: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b vàλ ∈ℝ thì ( )f xλ khả tích trên
ñoạn [ ],a b và: ( ) ( )b b
a a
f x dx f x dxλ λ=∫ ∫
Định lý 5: Nếu ( )f x và ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( ) ( )f x g x≤ với mọi
[ ],x a b∈ thì
( ) ( )b b
a a
f x dx g x dx≤∫ ∫
Định lý 6: Nếu ( )f x khả tích trên ñoạn [ ],a b và ( )m f x M≤ ≤ với mọi [ ],x a b∈
thì ( ) ( ) ( )b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫
Định lý 7: Nếu f là một hàm liên tục trên [ ],a b thì tồn tại [ ],c a b∈ sao cho
( ) ( ) ( )b
a
b a f c f x dx− = ∫
IV. 5. Công thức ñạo hàm theo cận trên và công thức Newton – Leibnitz:
a) Công thức ñạo hàm theo cận trên:
Cho hàm f liên tục trên mọi ñoạn [ ],a x , ñặt
( ) ( )x
a
x f t dtϕ = ∫
Khi ñó ta có: ( ) ( )x f xϕ′ = .
b) Công thức Newton – Leibnitz:
Giả sử ( )F x là một nguyên hàm tuỳ ý của ( )f x . Khi ñó
( ) ( ) ( ) ( )b
b
a
a
f x dx F b F a F x= − =∫ .
Ví dụ 16
Tính tích phân:
2
4
2
9
cos.
xI dx
x
π
π
= ∫
Giải
Đặt:
22
3
, 2 2 cos
cos cos ,3 2
x u dx udu u uu x I du
ux u u
π
π
π π
= == ⇒ ⇒ = = ≤ ≤∫
47
2
3
2
3
32 cos 2 sin 2. sin sin 2 1 2 3.
2 3 2udu u
π
π
π
π
π π = = = − = − = −
∫
Ví dụ 17
Tính tích phân: 2
0
sin
1 cos
x xI dx
x
π
=+
∫
Giải
Đặt: 2 2
; sin sin
1 cos 1 cos
0 & 0.
dx dt x t
x t x t
Khi x t khi x t
π
π π
= − == − ⇒ + = + = ⇒ = = ⇒ =
i
i
i
0
2 2 20 0
( )sin sin sin
1 cos 1 cos 1 cos
t t t t tI dt dt dt
t t t
π π
π
π
π
−⇒ = − = −
+ + +∫ ∫ ∫
2 2 20 0 0
sin sin sin
1 cos 1 cos 1 cos
t x x tI dt dx dt I
t x t
π π π
π π⇒ = − = −+ + +
∫ ∫ ∫
2 00 0
sin(arctan(cos )) arctan(cos )
2 2 21 cos
tI dt d t t
t
π πππ π π ⇒ = = − = − +
∫ ∫
( ) ( )arctan(cos ) arctan(cos 0) arctan( 1) arctan(1)2 2
π ππ= − − =− − −
2
2 4 4 4
π π π π = − − − =
IV.6. Phương pháp tính tích phân xác ñịnh:
a) Phương pháp ñổi biên:
Cho ( ) [ ], ,y f x x a b= ∈ là một hàm số liên tục, ( ) [ ], ,x x t t α β= ∈ là một hàm số
có ñạo hàm liên tục sao cho ( ) ( ),x a x bα β= = . Khi ñó ta có công thức ñổi biến:
( ) ( )( ) ( )b
a
f x dx f x t x t dt
β
α
′=∫ ∫
48
b) Phương pháp tính tích phân từng phần:
Từ công thức tích phân từng phần cho tích phân bất ñịnh và công thức
Newton – Leibnitz ta có công thức: b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫
Ví dụ 18
13 2
0
.xI x e dx=∫ Đặt : ( )
3 23
2 2 2
3
1 1
2 2
x x x
u x du x dxu x
dv e dx dv d e v e
= = = ⇔ ⇒ = = =
1 13 2 2 2
0 0
.1 3
2 2x xI x e x e dx= − ∫ Đặt:
( )
22
1
2 2
1
11
21 1
1
2
2
1
2x x x
u xu x
dv e dx dv d e
du xdx
v e
==⇔
= =
= ⇒ =
1 1 13 2 2 2 2
0 0 0
1 3 1.
2 2 2x x xx e x e xe dx
= − − ∫ Đặt tiếp: ( )
2
2
2 2
22 2
xx
dv
u xu x
dv e dxd e
==
⇔=
=
1 1 112
3 2 2 2 2 2
2 00 02 0
1 3 3 1 1(2 )1
2 4 2 2 42
x x x x
x
du dx
I x e x e xe e d xv e
= ⇒ ⇒ = − + − = ∫
1 11 1
3 2 2 2 2 2
0 00 0
1 3 3 3(2 )
2 4 4 8x x x xx e x e xe e d x= − + − ∫
11 1 1
3 2 2 2 2 2
0 0 00
1 3 3 3
2 4 4 8x x x xx e x e xe e
= − + −
2 21 3
2 4e e= − 23
4e+
22 2 23 1 3 3 3( 1) .8 2 8 8 8
ee e e
+− − = − + =
V. Bài t�p ch��ng 4:
1 2 2
dx
x x −∫
2
1 2arcsin2
1 2( )
2 2
Cx
xhay arctg C
− +
−+
2 1x
dx
e +∫ ln( 1)xe C−− + +
49
3 2 3
dx
x x +∫
1 2 3 3ln3 2 3 3
xC
x
+ −+
+ +
4 3sin
cos
xdxx
∫ 52cos 2 cos
5x x−
5
3
2
(arcsin )
1
xdx
x−∫
4arcsin
4
xC+
6
2
1
x
x
edx
e +∫
21( 2)
3x xe e C+ − +
7
2
21
x dx
x−∫ 21
(arcsin 1 )2
x x x C− − +
8
2
2
1xdx
x
+∫
(Đặt tanx t= )
-1 1 sin
lnsin 1 sin
tC
t t
++ +
−
9
3
22
x dx
x−∫
322
2(2 )2 2
3
xx C
−− − +
10 2 2 2( )
dx
x a+∫ (Đặt
tanx a t= ) 2 2 2
1 1
2
x xarctg Ca aa x a
+ + +
Dùng phương pháp tích phân từng phần tính các tích phân sau
11 2( 2 5). xx x e dx−− +∫
2( 5)xe x C−− + +
12 2( 5 6)cos 2x x xdx+ +∫
22 10 11 2 5sin2 cos2
4 4
x x xx x C
+ + ++ +
13 2ln x dx∫ 2ln 2 ln 2x x x x x C− + +
14 2(3 6 5)x x arctgxdx+ +∫
3 2 21( 3 5 3) ( 3)
2x x x arctgx x+ + + − + −
22 ln(1 ) .x C− + +
50
15 3 cosx x dx∫ 2
3 (sin cos ln 3)
1 (ln 3)
x x x+
+
16 sin(ln )x dx∫ (sin(ln ) cos(ln ))2
xx x C− +
Tính tích phân các hàm số hữu tỷ
17 ( 1)( 2)( 3)
dx
x x x− + +∫
3
4
1 ( 1)( 3)ln
12 ( 2)
x xC
x
− ++
+
18 2
2
5 9
5 6
x xdx
x x
− +
− +∫ x + 3ln 3x − -3ln 2x − + C
19
2
3
1
( 1) ( 3)
xdx
x x
+
− +∫
2
1 3 5 1ln
8( 1) 32 34( 1)
xC
x xx
−− − + +
− +−
20
2
3 2
2 6
7 14 8
x x
x x x
+ +
− + −∫
3 ln 1 7 ln 2 5 ln 4x x x C− − − + − +
21 3 1
dx
x +∫
2
2
1 ( 1) 1 2 1ln6 1 3 3
x xarctg C
x x
+ −+ +
− +
22
4 1
dx
x +∫
2
22
2 1 21 2ln
4 14 2 2 1
x x xarctg C
xx x
+ ++ +
−− +
(biết: arctan arctan arctan1
x yx y
xy
++ =
−)
3
3 62
3(1 )
x x xdx
x x
+ +
+∫
263
36
2x arctg x C+ +
24 1
1
xdxx
−+∫
1 1 1ln 2
11 1
x x xarctg C
xx x
+ − − ++ +
−+ + −
25 2
1.
1
x dx
x x
−+∫
1 1 1ln
1 1
x x xC
xx x
+ + − +− +
+ − −
26 31
1
xdx
x
+−∫
2
2 3
1 1 2 2 1 2ln3 ( 1) 13 3
t t t tarctg C
t t
+ + ++ + +
− −
51
27 2( 1) 3 2
dx
x x x− − +∫ 2
2.1
xC
x
−+
−
28 2 2 2x x dx− +∫
2 21 12 2 ln 1 2 2
2 2
xx x x x x C
−− + + − + − + +
Tính các tích phân của các hàm số lượng giác
29 2 4sin cos
dx
x x∫
3
2 cot3
tg xtgx gx C+ − +
30 sin sin 2 sin 3x x x dx∫
1 1 1cos 6 cos 4 cos2
24 16 8x x x C− − +
31 3 5 cos
dx
x+∫
21 2ln4
22
xtg
Cx
tg
++
−
32 2
sin 2
1 sin
xdxx+
∫ 2ln(1 sin )x C+ +
33 3
sin
(1 cos )
xdx
x−∫
2
1
2(1 cos )C
x− +
−
34 2 2cos 3x x dx∫
231 1
sin 6 cos 6 sin 66 2 6 36
x xx x x x C + + − +
35 cosxx e x dx∫ (sin cos ) sin2
xex x x x C + − +
36 2 sin( )x xe e dx∫ sin cosx x xe e e C− +
Tính các tích phân xác ñịnh sau
37
2 2
2 31
3
2
t tdt
t t
+
+∫ 20 3−
52
38
2
3 2
0
1 4x x dx+∫ 149
60
39
23
23
29
3
( 2)
( 2) 3
xdx
x
−
− +∫
982 3π+
40
ln 5
0
1
3
x x
x
e edx
e
−
+∫ 4 π−
41 2 2 2
0
a
x a x dx−∫
4
16
aπ
42
13 2
0
xx e dx∫ 2 3
8
e +
43
0
sinxe x dx
π
∫ 1( 1)2eπ +
44 3
1
ln
e
x dx∫ 6 2e−
45
4
1
1arctg x dx−∫ 4
33π−
46
2
1
sin( ln )x dx∫ 1
sin(ln2) cos(ln2)2
− +
53
Các bài tập NHCH chương 3: Câu 39: Tính tích phân
1 3
8 40
.2 2
xI dx
x x=
+ +∫
Câu 40: Tính tích phân
6
0
.cos (sin cos )
dxI
x x x
π
=−∫
Câu 41: Tính tích phân
3
4
2
ln(tan ).
cos
xI dx
x
π
π
= ∫
Câu 42: Tính tích phân
3
6
4
6
sin.
cos
xI dx
x
π
π
= ∫
Câu 43: Tính tích phân
2
3
1.
sin 1 cosI dx
x x
π
π
=−
∫
Câu 44: Tính tích phân
2
31
.1
dxI
x x
=+
∫
Câu 45: Tính tích phân
2
1
2 2.
1 2
xI dx
x−
+ +=
+ +∫
Câu 46: Tính tích phân
0
1
.1 1
dxI
x−
=+ +
∫
Câu 47: Tính tích phân
12
20
.1 x
dxI
e
=+
∫
Câu 48: Tính tích phân
54
12
2
0
.I x x dx= −∫
Câu 49: Tính tích phân
0 2
21
.3 2
xI dx
x x−
=− −
∫
Câu 50: Tính tích phân
3 2
21
1.
xI dx
x
+= ∫
Câu 51: Tính tích phân
( )
1 2
20
2 5.
1
x xI dx
x
+ +=
+∫
Câu 52: Tính tích phân
12
0
1ln .1
xI x dx
x
−=
+∫
Câu 53: Tính tích phân
12
0
ln( 2) .I x dx= +∫
top related