ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej z empiryczną
Post on 07-Jan-2016
73 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Ilustracja związku Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej dystrybuanty teoretycznej
z empirycznąz empiryczną
Opis zadaniaOpis zadania Dla dystrybuanty Dla dystrybuanty F(x)F(x),, która ma dobrze która ma dobrze
określoną funkcję odwrotnąokreśloną funkcję odwrotną::
losujemy niezależnie liczby losujemy niezależnie liczby uu11, u, u22, . . . , u, . . . , unn z z rozkładu jednostajnegorozkładu jednostajnego UU [0, 1];[0, 1];
przekształcamy przekształcamy xxkk = F = F−1−1(u(ukk) ) dladla k = 1, 2, . . . , nk = 1, 2, . . . , n;;przez przez SSnn(x)(x) oznaczamy ilość tych elementów oznaczamy ilość tych elementów
ciąguciągu xx11, , xx22,,......, x, xnn, , których wartośćktórych wartość jest mniejsza niż jest mniejsza niż x.x.
nazywamy dystrybuantą empiryczną.nazywamy dystrybuantą empiryczną.Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant FF
oraz dla kilku rzędów parametruoraz dla kilku rzędów parametru n n porównać porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empirycznąempiryczną FFnn(x)(x) z dystrybuantą teoretyczną z dystrybuantą teoretyczną F(x)F(x)..
n
xSxF n
n
Dystrybuanta empiryczna a PWLDystrybuanta empiryczna a PWL
•Zauważamy, że Zauważamy, że SSnn oznacza ilość sukcesów w oznacza ilość sukcesów w nn próbach próbach
Bernoulliego, gdzie sukces w Bernoulliego, gdzie sukces w ii-tej próbie to zdarzenie -tej próbie to zdarzenie {X{Xi i < x} < x} , a , a p=F(x)p=F(x)•Zatem Zatem SSnn ma rozkład Bernoulliego z parametrami ma rozkład Bernoulliego z parametrami nn i i p=F(x)p=F(x)•Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:
•Co oznacza, że dla odpowiednio dużego Co oznacza, że dla odpowiednio dużego nn FFnn(x)≈F(x), (x)≈F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznejdystrybuanty teoretycznej
)(),...,;(
),...,;( ., xFpn XXXxSXXXxF prznnnnn 12121
Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx
exF 2
3
1)(
n=5
Błąd średniokwadratowy: 0,0210044Największe odchylenie: 0,324
Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx
exF 2
3
1)(
n=20
Błąd średniokwadratowy: 0,00193983Największe odchylenie: 0,1799
Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx
exF 2
3
1)(
n=100
Błąd średniokwadratowy: 0,000781755Największe odchylenie: 0,0281
Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx
exF 2
3
1)(
n=1000
Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10-7
Największe odchylenie: 0,0006999997
Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego
n=5
Błąd średniokwadratowy: 0,00684262Największe odchylenie: 0,0965
xxF arctg1
2
1)(
Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’egoxxF arctg
1
2
1)(
n=20
Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10-5
Największe odchylenie: 0,0381
Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego
n=50
Błąd średniokwadratowy: 0,000646874Największe odchylenie: 0,0256
xxF arctg1
2
1)(
Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego
n=100
Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10-5
Największe odchylenie: 0,0038
xxF arctg1
2
1)(
Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego
n=1000
Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10-7
Największe odchylenie: 0,0003999
xxF arctg1
2
1)(
Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin
1
2
1)(
n=5
Błąd średniokwadratowy: 0,00706723Największe odchylenie: 0,1878
1;1x
Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin
1
2
1)(
n=20
Błąd średniokwadratowy: 0,000405924Największe odchylenie: 0,0442997
1;1x
Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin
1
2
1)(
n=100
Błąd średniokwadratowy: 0,000122224Największe odchylenie: 0,0110998
1;1x
Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin
1
2
1)(
n=500
Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10-7
Największe odchylenie: 0,0014028
1;1x
Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin
1
2
1)(
n=2000
Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10-8
Największe odchylenie: 0,000296098
1;1x
Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221
11)(
xxF
n=5
Błąd średniokwadratowy: 0,0285624Największe odchylenie: 0,1733
;0x
Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221
11)(
xxF
n=20
Błąd średniokwadratowy: 0,00223757Największe odchylenie: 0,0477
;0x
Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221
11)(
xxF
n=100
Błąd średniokwadratowy: 0,000619006Największe odchylenie: 0,0249999
;0x
Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221
11)(
xxF
n=500
Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10-5
Największe odchylenie: 0,00690007
;0x
Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221
11)(
xxF
n=2000
Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10-8
Największe odchylenie: 0,000400007
;0x
Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF
n=5
Błąd średniokwadratowy: 0,0262666Największe odchylenie: 0,183
1;0x
Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF
n=20
Błąd średniokwadratowy: 0,00031811Największe odchylenie: 0,0185
1;0x
Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF
n=100
Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10-6
Największe odchylenie: 0,0173001
1;0x
Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF
n=1000
Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10-9
Największe odchylenie: 0,0021
1;0x
Wnioski:Wnioski:Gdy liczba prób o rozkładzie, którego
dystrybuanta wynosi F(x), dąży do nieskończoności to dystrybuanta empiryczna tych prób dąży do dystrybuanty teoretycznej
Niektóre dystrybuanty empiryczne dążą szybciej do odpowiadającym im dystrybuant teoretycznych.
Przy odpowiedniej liczbie prób możemy rozpoznać jakiego typu jest przybliżana dystrybuanta
Dziękujemy za Dziękujemy za uwagę!uwagę!
top related