Ilustracja związku Ilustracja związku dystrybuanty teoretycznej dystrybuanty teoretycznej

z empirycznąz empiryczną

Opis zadaniaOpis zadania Dla dystrybuanty Dla dystrybuanty F(x)F(x),, która ma dobrze która ma dobrze

określoną funkcję odwrotnąokreśloną funkcję odwrotną::

losujemy niezależnie liczby losujemy niezależnie liczby uu11, u, u22, . . . , u, . . . , unn z z rozkładu jednostajnegorozkładu jednostajnego UU [0, 1];[0, 1];

przekształcamy przekształcamy xxkk = F = F−1−1(u(ukk) ) dladla k = 1, 2, . . . , nk = 1, 2, . . . , n;;przez przez SSnn(x)(x) oznaczamy ilość tych elementów oznaczamy ilość tych elementów

ciąguciągu xx11, , xx22,,......, x, xnn, , których wartośćktórych wartość jest mniejsza niż jest mniejsza niż x.x.

nazywamy dystrybuantą empiryczną.nazywamy dystrybuantą empiryczną.Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant Dla kilku konkretnych przykładów dystrybuant FF

oraz dla kilku rzędów parametruoraz dla kilku rzędów parametru n n porównać porównać (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę (m.in. graficznie) otrzymaną dystrybuantę empirycznąempiryczną FFnn(x)(x) z dystrybuantą teoretyczną z dystrybuantą teoretyczną F(x)F(x)..

n

xSxF n

n

Dystrybuanta empiryczna a PWLDystrybuanta empiryczna a PWL

•Zauważamy, że Zauważamy, że SSnn oznacza ilość sukcesów w oznacza ilość sukcesów w nn próbach próbach

Bernoulliego, gdzie sukces w Bernoulliego, gdzie sukces w ii-tej próbie to zdarzenie -tej próbie to zdarzenie {X{Xi i < x} < x} , a , a p=F(x)p=F(x)•Zatem Zatem SSnn ma rozkład Bernoulliego z parametrami ma rozkład Bernoulliego z parametrami nn i i p=F(x)p=F(x)•Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:Możemy zastosować tw. Borela, z którego wynika:

•Co oznacza, że dla odpowiednio dużego Co oznacza, że dla odpowiednio dużego nn FFnn(x)≈F(x), (x)≈F(x), czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem czyli dystrybuanta empiryczna jest przybliżeniem dystrybuanty teoretycznejdystrybuanty teoretycznej

)(),...,;(

),...,;( ., xFpn XXXxSXXXxF prznnnnn 12121

Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx

exF 2

3

1)(

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0210044Największe odchylenie: 0,324

Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx

exF 2

3

1)(

n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00193983Największe odchylenie: 0,1799

Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx

exF 2

3

1)(

n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000781755Największe odchylenie: 0,0281

Rozkład wykładniczyRozkład wykładniczyx

exF 2

3

1)(

n=1000

Błąd średniokwadratowy: 1,6035 · 10-7

Największe odchylenie: 0,0006999997

Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,00684262Największe odchylenie: 0,0965

xxF arctg1

2

1)(

Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’egoxxF arctg

1

2

1)(

n=20

Błąd średniokwadratowy: 7,5326 · 10-5

Największe odchylenie: 0,0381

Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego

n=50

Błąd średniokwadratowy: 0,000646874Największe odchylenie: 0,0256

xxF arctg1

2

1)(

Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego

n=100

Błąd średniokwadratowy: 1,43857 · 10-5

Największe odchylenie: 0,0038

xxF arctg1

2

1)(

Rozkład Cauchy’egoRozkład Cauchy’ego

n=1000

Błąd średniokwadratowy: 1,59877 · 10-7

Największe odchylenie: 0,0003999

xxF arctg1

2

1)(

Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin

1

2

1)(

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,00706723Największe odchylenie: 0,1878

1;1x

Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin

1

2

1)(

n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,000405924Największe odchylenie: 0,0442997

1;1x

Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin

1

2

1)(

n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000122224Największe odchylenie: 0,0110998

1;1x

Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin

1

2

1)(

n=500

Błąd średniokwadratowy: 2,54179 · 10-7

Największe odchylenie: 0,0014028

1;1x

Rozkład arcsinRozkład arcsinxxF arcsin

1

2

1)(

n=2000

Błąd średniokwadratowy: 8,76349 · 10-8

Największe odchylenie: 0,000296098

1;1x

Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221

11)(

xxF

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0285624Największe odchylenie: 0,1733

;0x

Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221

11)(

xxF

n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00223757Największe odchylenie: 0,0477

;0x

Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221

11)(

xxF

n=100

Błąd średniokwadratowy: 0,000619006Największe odchylenie: 0,0249999

;0x

Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221

11)(

xxF

n=500

Błąd średniokwadratowy: 4,75187 · 10-5

Największe odchylenie: 0,00690007

;0x

Rozkład Pareto z param. 2Rozkład Pareto z param. 221

11)(

xxF

n=2000

Błąd średniokwadratowy: 4,00494 · 10-8

Największe odchylenie: 0,000400007

;0x

Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF

n=5

Błąd średniokwadratowy: 0,0262666Największe odchylenie: 0,183

1;0x

Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF

n=20

Błąd średniokwadratowy: 0,00031811Największe odchylenie: 0,0185

1;0x

Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF

n=100

Błąd średniokwadratowy: 2,99292 · 10-6

Największe odchylenie: 0,0173001

1;0x

Rozkład kwadratowyRozkład kwadratowy2)( xxF

n=1000

Błąd średniokwadratowy: 4,57001 · 10-9

Największe odchylenie: 0,0021

1;0x

Wnioski:Wnioski:Gdy liczba prób o rozkładzie, którego

dystrybuanta wynosi F(x), dąży do nieskończoności to dystrybuanta empiryczna tych prób dąży do dystrybuanty teoretycznej

Niektóre dystrybuanty empiryczne dążą szybciej do odpowiadającym im dystrybuant teoretycznych.

Przy odpowiedniej liczbie prób możemy rozpoznać jakiego typu jest przybliżana dystrybuanta

Dziękujemy za Dziękujemy za uwagę!uwagę!