inecuaciones polinómicas y racionales
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SEMANA 2
Departamento de Ciencias Cajamarca Pgina | 1
TEMA : Inecuaciones Polinmicas y Racionales
Aplicaciones de Inecuaciones Polinmicas y Racionales
INECUACIONES POLINMICAS Son de la siguiente forma.
0...)(0...)( 11 on
no
n
n axaxaxPoaxaxaxP
0...)(0...)( 11 on
no
n
n axaxaxPoaxaxaxP
Donde 0 1, ,..., na a a son constantes y 0na , n Z
Ejemplos:
1. Resolver 3 22 3 8 3 0x x x
Solucin:
Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan las races
dividiendo por Ruffini.
Por lo tanto, 3 22 3 8 3 ( 1)( 3)(2 1)x x x x x x
Luego, la inecuacin es:
3 22 3 8 3 0x x x ( 1)( 3)(2 1) 0x x x
P.c. : 1x 3x 1
2x
Luego, ubicamos los puntos crticos en la recta real
- + - +
-1 -1
2 3
Como la inecuacin es de la forma ( ) 0P x el conjunto solucin ser la unin de los
intervalos donde aparecen el signo (-).
2 -5 -3 0
2 -3 -8 -3
-1 -2 5 3
2 1 0
3 6 3
(x+1)
(x-3)
(2x+1)
-
SEMANA 2
Departamento de Ciencias Cajamarca Pgina | 2
Entonces el C.S. = 1
, 1 ,32
2. Resolver: 3 25 6 0x x x
Solucin: Factorizando se tiene: 0)3()2( xxx
Los puntos crticos son: x = -3, x = -2, x = 0. Los ubicamos en la recta real, tenemos:
- + - +
-3 -2 0
Como la desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir:
Cs: 3, 2 0,x
3- Resolver: 4 3 22 5 8 17 6 0x x x x
Solucin: Factorizando se tiene: 0)1)(3)(2)(12( xxxx .
Los puntos crticos son: x = - 2, x = 1/2, x = 1, x = 3, los ubicamos en la recta real.
+ - + - +
-2 1 3
Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo -, es decir:
Cs= 1
2, 1,32
Observacin:
a) Cuando la multiplicidad de las races es par, entonces en ese punto crtico se
repetir el signo.
Ejemplo 1. Resolver 4( 2) ( 2)( 4) 0x x x
Solucin:
Los valores crticos son: 2x (tiene multiplicidad par) 4x 2x
+ - + +
-4 -2 2
Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir:
-
-
SEMANA 2
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-
C.S.= , 4 2, 2
Ejemplo 2. Resolver 081423344 xxxx
Solucin: Factorizando se tiene: 04212 xxx
Los valores crticos son 2x , 4x , y 1x que tiene multiplicidad par, es decir
grficamente tendramos.
+ - + - +
-2 1 4
Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es
decir:
Cs. = ,412,
Ejemplo 3. Resolver: 5 4 3 29 14 34 15 25 0x x x x x
Solucin. Factorizando se tiene: 2 2
1 1 5x x x < 0
Los puntos crtico son: 1x , no tiene multiplicidad par, los otros dos 1, 5x x
poseen multiplicidad par. En la recta real tendramos
- - + +
-1 1 5
Como 0xP , entonces Cs = , 1 1
b) Cuando la multiplicidad de las races es impar, entonces en ese punto crtico el
signo no tendr variacin alguna.
Ejemplo 1. Resolver 5
3 1 7 0x x x
Solucin
Los valores crticos son 3x , 1x , y 7x que tiene multiplicidad impar. Graficando en la recta real se tiene:
- + - +
-3 1 7
+
-
SEMANA 2
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Como 0P x , el conjunto solucin es la unin de los intervalos con signo
positivo, es decir Cs: 3, 1 7,
Observacin:
Cuando los factores de xP son lineales y cuadrticos, siendo los ceros del factor cuadrtico no reales. En este caso es importante recordar la siguiente propiedad (se vio
en inecuaciones cuadrticas)
Sea: cxbxa 2 una expresin cuadrtica con 0a y supongamos que el
discriminante de la frmula cuadrtica 042 cab , luego
i) Si 0a , entonces 02 cxbxa para todo Rx .
ii) Si 0a , entonces 02 cxbxa para todo Rx .
Ejemplo 1: Resolver 3785 234 xxxx 0
Solucin: Factorizando se tiene
4 3 25 8 7 3 0x x x x
2 1 1 3 0x x x x El factor 2 1x x su discriminante es negativo ( 0 ) y por propiedad el factor 2 1x x siempre es positivo, luego debemos exigir que el resto de producto de factores sea menor o igual que cero, con la finalidad de conservar el sentido
de la desigualdad original, es decir
1 3 0x x no habiendo restriccin alguna. Graficando los valores crticos
El conjunto solucin es la unin de los intervalos con el signo -. Es decir
3, 1
Ejemplo 3: Resolver 013 23 xxx
Solucin: xP = 0112313 223 xxxxxx
Nuevamente por la propiedad anterior, el primer factor es menor que cero para todo
nmero real, luego para mantener el sentido de la desigualdad original debemos exigir
que
01 x
+
-1 -3
+ -
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SEMANA 2
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1x De donde se obtiene que la solucin es:
Cs = ,1
Ejemplo 3. Resolver 4 72 2 2 3 6 0x x x x
Solucin
xP = 4 72 2 2 3 6 0x x x x
Teniendo en cuenta los casos anteriores segn corresponda, se tiene que
4
2 3 6 0x x x
Graficando los puntos crticos de la ltima desigualdad, teniendo cuidado que el punto
crtico x = -2 tiene multiplicidad par.
La solucin est dada por la unin de los intervalos abiertos con signo menos, teniendo
en cuenta la restriccin hecha. Es decir
Cs: 3; 6
EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones polinmicas
1. 2 2( 10 21)( 9 20) 0x x x x
2. 3 26 11 6 0x x x
3. 2 2( 2 3)( 2) 0x x x x
4. 3 24 17 60 0x x x
5. 3 28 19 12 0x x x
6. 20 101 55( 2) ( 1) ( 4) 0x x x
7. 3 22 24 0x x x
8. 4 5 77 88( 5) ( 3) ( 9) 0x x x x
9. 3 210 19 280 0x x x
10. 255 200 213( 10) ( 5) ( 2) 0x x x
-2 6
3-
+
3
+ - + -
-
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Nivel II: Resolver las siguientes inecuaciones polinmicas
1. 5 4 33 10 0x x x
2. 4 3 22 13 14 24 0x x x x
3. 7001 500 4001 2012( 7) ( 5) ( 1) ( 3) 0x x x x
4. 3 23 52 224 0x x x
5. 211 4441 4221(3 3) (9 3) (2 2) 0x x x
6. 4 3 210 35 50 24 0x x x x
7. 3 2 25 25 0x x x
8. 4 210 25 0x x
9. 2013 400 41(3 4) (9 36) (2 4) 0x x x
10. 3 26 16 96 0x x x
INECUACIONES RACIONALES
Una inecuacin racional son de la forma
a)
0xQ
xP ( o bien 0 ) b)
0xQ
xP ( o bien 0 )
Donde ( ), ( )P x Q x son monomios o polinomios diferentes de cero.
Para resolver una inecuacin racional debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:
0xQ
xP
0xQ
xP, son equivalentes a las inecuaciones:
. 0P x Q x . 0P x Q x
Ejemplo 1 Resolver: 3 6
0x
x
Solucin:
3 2
0x
x
Como
0xQ
xP . 0P x Q x
Entonces tenemos: 3( 2) 0, 0x x x
( 2) 0, 0x x x
Puntos crticos: 2x , 0x
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SEMANA 2
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Como nuestra desigualdad es
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SEMANA 2
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24 4 10
2 3
x x
x
24 4 10
2 3
x x
x
2(2 1)0
2 3
x
x
22(2 1) 3 0, 3x x x
2(2 1) 3 0, 3x x x
Puntos crticos: 1
2x (multiplicidad par), 3x
Ubicando en la recta los puntos crticos tenemos:
El C.S.= 1
3,2
Ejemplo 4. Resolver 2
4 3
2 1 1
x x
x x x
Solucin:
2
4 3
2 1 1
x x
x x x
2
4 30
2 1 1
x x
x x x
2
4 30
( 1) 1
x x
x x
2
4 ( 3)( 1)0
( 1)
x x x
x
2
2
4 ( 2 3)0
( 1)
x x x
x
2
2
4 2 30
( 1)
x x x
x
2
2
2 30
( 1)
x x
x
2
2
2 30
( 1)
x x
x
22
2 30
( 1)
x x
x
2
( 3)( 1)0
( 1)
x x
x
2( 3)( 1)( 1) 0, 1x x x x
Puntos crticos: 3x , 1x , 1x (multiplicidad par)
C.S. = 1,3 1
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Ejemplo 5. Resolver 2
2
1
xx
x
Solucin. Pasando al primer miembro y operando adecuadamente tenemos
2
2
( 2) 2( 1) 4 20 0
( 1)( 2) 1 2
( 2) 2 ( 2 2)( 2 2) 0 0, 1, 2
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x
x x x x
x x xx x
x x x x
Los puntos crticos son: 2 2x , 2 2x , 1x , 2x
Ubicando en la recta los puntos crticos tenemos:
Por lo tanto: Cs: 2 2;1 2;2 2
Ejemplo 6. Resolver 1 2
1 1
x x x
x x x
Solucin:
1 2
1 1
x x x
x x x
1 20
1 1
x x x
x x x
. ( 1) ( 1) 1 1 2 ( 1)0
1 1
x x x x x x x x x
x x x
2 2 2( 1) ( 1) 1 2 ( 1)0
1 1
x x x x x x
x x x
22 10
1 1
x x
x x x
(Simplificando)
22 1 1 1 0x x x x x 1, 0, 1x x x ,
1 1 0x x x , ( como 22 1 0x x adems 0 ) Puntos crticos: 1, 0, 1x x x
C.S.= 1,0 1,
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Ejemplo 7 Resolver
0132
)1()2(323
367
xx
xxx
Solucin: Factorizando tenemos )12()1(132 223 xxxx , y
)1)(1(1 23 xxxx
0)12()1(
)1()2(32
367
xx
xxx
0)12()1(
)1)(1()2(32
267
xx
xxxxx y como 012 xx ( 0 )
0)12()1(
)1()2(32
67
xx
xxx
0)12()1)(1()2(3 267 xxxxx , 1x , 2
1x
Los puntos crticos son: 3x 2x 1x 1x2
1x
Graficando los puntos crticos de la ltima desigualdad, teniendo cuidado que los puntos
crticos 1x 2x tienen multiplicidad par.
La solucin est dada por la unin de los intervalos con signo menos, teniendo en
cuenta la restriccin hecha. Es decir
Cs: 3,11,2
11,
Ejemplo 8 Resolver 3 2
2
8 120
5 14
x x x
x x
Solucin: Factorizando tenemos: 3 2 8 12x x x 2
2 ( 3)x x
2 5 14 7 ( 2)x x x x
2
2 ( 3)0
( 7)( 2)
x x
x x
2
2 ( 3)0
( 7)( 2)
x x
x x
, 2x
2 ( 3)0, 2
( 7)
x xx
x
2 ( 3)( 7) 0, 2x x x x Puntos crticos: 2x , 3, 7x x
C.S. = , 7 3,2
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EJERCICIOS PROPUESTOS
Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones racionales
1. 4
12
x
x
2. 1 1
2x x
3. 4 3
5 25 4 8x x
4. 5 2
05 3x x
5. ( 9) 18
014
x x
x
6. 10 5
73 5x x
7. 24 9 2
12 12 3
x x
x x
8. 5 6 7
3 2
( 1) ( 3) ( 5)0
25 25
x x x
x x x
9. 5 6 7
3 2
( 1) ( 3) ( 5)0
25 25
x x x
x x x
10. 20 11 9
5 7
( 7) ( 10) (2 4)0
( 4) ( 3)
x x x
x x
Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones racionales
11. 5 4 3
3 2
3 100
3 52 224
x x x
x x x
12. 4 2
200 211
6 90
(3 3) (3 6)
x x
x x
13. 8 30 5
44 2 3
x x
x x
14. 4 2 31 5
20 3
(2 22) ( 3) ( 5)0
( 12) ( 3)
x x x
x x
15. 2
3 2 4
4 7 3 2
x x
x x x
16. 2
1
2 1 1
x
x x x
17. 8 9 4
5 3 7
x x
x
-
SEMANA 2
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18. 4 3 4
( 5) 8
x
x x x
19.
2 2
2 2
12 5 60
1 2
x x x x
x x
20. 2
2
2 3
3 4
x x
x x
APLICACIONES DE LAS INECUACIONES POLINOMICAS Y RACIONALES
1.- (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artculo puede vender todo lo que
produce al precio de $60 cada artculo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al
producir cada artculo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la
operacin de la planta. Encuentre el nmero de unidades que debera producir y vender
para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana.
2.- (Utilidad) Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo
combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos
(costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la produccin) son $70000.
Si el precio de venta de un calentador es $35, Cuntos debe vender para que la
compaa genere utilidades?
3.- (Renta versus compra) Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una
maquina excavadora. Si fuese a rentar la mquina, el costo de la renta sera de $3000
mensuales (sobre la base de un ao) y el costo diario (gas, aceite y operador) sera de
$180 por cada da que la mquina se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos
anuales seran de $20000 y los costos diarios de operacin y mantenimiento seran de
$230 por cada da que la mquina se utilizara. Cul es el nmero mnimo de das al ao
que tendra que utilizar el constructor la mquina para justificar la renta en lugar de la
compra?
4.- (Razn de circulante) El presidente de la compaa Ace Sports Equipment decide
pedir un prstamo a corto plazo para aumentar su inventario. La compaa tiene activos
circulantes de $350000 y pasivos de $80000. Cunto puede pedir prestado si quiere
que su razn de circulante no sea menor que 2.5? (Nota: los fondos recibidos se
consideran como activo circulante y el prstamo como pasivo circulante. Adems la
razn de circulante de un negocio es el cociente de sus activos circulantes ( como
efectivo, inventario de mercancas y cuentas para cobrar) , sobre sus pasivos circulantes
(como prestamos a corto plazo e impuestos))
5.- (Produccin) Una empresa puede vender a un precio de $50 la unidad, todas las
piezas que pueda producir. Si x unidades es la produccin diaria, el importe del costo
total de la produccin de un da es x2+30x+75, Cuntas unidades deben producirse
diariamente para que la empresa obtenga utilidades?
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SEMANA 2
Departamento de Ciencias Cajamarca Pgina | 13
6.- (Utilidad) Una compaa que fabrica y vende escritorios puede venderlos a $200
cada uno y le es posible vender toda la produccin. Si cada semana se fabrican y se
venden x escritorios, entonces el importe del costo semanal total de la produccin es
x2+40x+1500, Cuntos escritorios debe fabricar semanalmente para tener garantizada
una utilidad?
7.- (Ingreso) La ecuacin de demanda para el fabricante de un producto es p=400-8q,
donde el precio (en dlares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).
Encuentre el nivel de produccin que permite un ingreso positivo.
8.- (Ingreso) La ecuacin de demanda para la lnea de reglas de plstico de una
compaa de artculos de oficina es p=0.45-0.009q, donde el precio (en dlares) por
unidad cuando los consumidores demandan q unidades diarias. Determine el nivel de
produccin de tal manera que el ingreso sea positivo.
9.- (Fijacin de precios y utilidades) Si x unidades pueden venderse diariamente al
precio de $p cada una, donde p=40-x y tiene un costo de C= 100+4x, dlares producir x
unidades. Cuntas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de $144?.
Qu precio p por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos $28?
10.- La corporacin Molitalia S.A ha decidido contratar una cantidad de ingenieros
industriales para colocarlos dentro de sus diferentes plantas en Lima. Determine el
nmero requerido de ingenieros, si se sabe que este ser igual a la suma de los enteros
positivos mayores que 1 que satisfacen la siguiente inecuacin: 3 26 11 6 0x x x .
11.- Una compaa que se dedica a la seleccin de personal ha evaluado hace 15 das a
un grupo de 10 ingenieros para ocupar 5 puestos de trabajo dentro de una conocida
empresa elctrica en la zona norte de lima. Si se sabe que la cantidad de ingenieros que
aprobaron la evaluacin se determina por el menor valor entero del conjunto solucin de
la siguiente inecuacin
3
1 2
x x
x x
. Indique la cantidad de puestos de trabajo que quedaron sin cubrirse.
12.- La Municipalidad de los Olivos, convoc a estudiantes de arquitectura e ingeniera
civil de las diferentes universidades del cono norte a un concurso de diseo de un
proyecto de remodelacin del Palacio Municipal. Los resultados de la convocatoria
fueron enviados a cada universidad, en el caso de UPN se les indic a los estudiantes
que el puesto que ocup su propuesta est dado por la cantidad de nmeros enteros que
verifican la siguiente inecuacin5 1
23 1x x
. Determine dicha posicin.
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