i̇ntegral 04

SINIRSIZ (BELİRSİZ)SINIRSIZ (BELİRSİZ)İNTEGRALİNTEGRAL

SINIRSIZ (BELİRSİZ)SINIRSIZ (BELİRSİZ)İNTEGRALİNTEGRAL

Bir fonksiyonun türevinin nasıl alındığını biliyoruz.

Bu bölümde türevi alınmış bir fonksiyonun ilkelinin (önceki halinin) nasıl bulunacağını inceleyeceğiz. Yapacağımız bu işleme İNTEGRAL ALMA veya fonksiyonun ilkelini bulma işlemi denir. Bu işlem türev alma işleminin tersidir.

TANIM:TANIM:

Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x) . dx oln F(x) ifadesine f(x) in belirsiz (sınırsız) integrali denir.∫ f(x) d(x) = F(x) şeklinde gösterilir.y=x2 ise y1 =2xy=x2+10 ise y1 = 2xy=x2-64 ise y1 = 2xBu türevleri tersinden düşünelim.Y1=dy/dx=2x ise dy = 2x.dxHer iki tarafın integralini alalım.∫ dy = ∫ 2x.dx ise y = x2+c

Yukarıda üç ayrı fonksiyonun türevi

alındığında tek bir fonksiyon elde edildiğini

(sabitin türevi sıfır olduğundan) biliyoruz. Bu

türevi alınmış fonksiyonlar integralleri

alındığında aynı fonksiyonu elde edebilmek için

C sabitinin olduğunu düşünmek zorundayız.

Tamamen keyfi bir değer olan bu C sabitine

integral sabiti denir.

Demek ki ∫ f(x) d(x) integralin hesaplanması türevi f(x) olan fonksiyonun bulunmasıdır. O halde belirsiz integrallerde mutlaka bir integral sabitinin var olduğunu unutmamalıyız.

ÖRNEK:

F’(x) = 2x ve f(2) = 5 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.

ÇÖZÜM:ÇÖZÜM: f’(x) = dy/dx = 2x

dy = 2x,dx

∫ dy = ∫ 2x.dx

y = x2+c

y = f(x) = x2+c ise

f(2) = 22+c = 5 c = 1

O halde f(x) x2 +1 denir.

y=2x+2

y=2x+1

x y=2x

y=2x-1

y=2x-2

-----------

Tanımda Türev ile integral işlemleribirbirlerinin tersidir demiştik. Bunu birazaçıklayalım. y = f(x) ‘in türevi f’(x) = dy /dx = df /dx = d/dx f(x) dir. f(x) = ∫ f’(x)dx = ∫ d/dx f(x) . Dx

= ∫ d f(x) = ∫ dy dir.Buna göre ; ∫ dy = y+c ∫ dz = z+c ∫ d f(x) = f(x) + c ∫ dθ = θ + c

BELİRSİZ İNTEGRALİN

ÖZELLİKLERİ ∫ f(x) dx = F(x) +c belirsiz integralin tanımından

aşağıdaki özellikler vardır.1. d ∫ f(x).dx = f(x).dx

d ∫ f(x) dx = dF(x)+c] = d/dx [F(x)+c)].dx = F’(x).dx = f(x).dx

2. D/dx [∫ f(x)dx)] = ∫ [d/dx f(x)] dx = f(x)

d/dx (f) türevi ile ∫ işlemi birbirinin tersi olduğundan dolayı etkisiz elemanı oluştururlar; dolayısıyla f(x) fonksiyonuna hiçbir etkide bulunmaz.

3. ∫ dF(x) = F(x)+c

∫ d F(x) = ∫ F’ (x) = ∫ f(x) dx = F(x)+c

4. Sabit bir çarpan integral dışına çıkabilir.

∫ a f(x)dx = a ∫ f(x)dx dir.

5. İntegral operatörü dağılma özelliğine sahiptir.

∫ [F(x)+g(x)-h(x)]dx =

∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx - ∫ h(x)dx

ÖRNEK 1 :ÖRNEK 1 :

f(x) = ∫ d(x2 – 2) ise f(3) ün değeri nedir?

ÇÖZÜM : tanıma göre f(x) = x2 – 2

f’ (x) = 2x f’ (3) = 2.3=6

İNTEGRAL ALMA KURALLARIİNTEGRAL ALMA KURALLARI

İntegral alma işlemi yapılırken integral

operatörü altında bulunan fonksiyon acaba

hangi ilkel fonksiyonun türevidir

düşüncesinden hareket edilerek yapılmalıdır.

1. ∫ xn dx = xn+1/n+1 + c, nz+

Ör: ∫ x4 dx = x5 / 5 + c

2. ∫ f’ (x) / f(x) dx = 1n |x| + c

Ör: ∫ 2x – 3 / x2 – 3x + 7 dx = 1n |x2 – 3x+7|+c

1. ∫ amx+n dx = amx+n /m.1na + C a,m,nR+

∫ ex dx = ex + c

Ör: ∫ 52x+3 dx = 52x+3 / 2.1n5 + C

∫ (3x – x3) dx = 3x /1n3 – x4 / 4 + c

TRİGONOMETRİK TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİFONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

U x’e bağlı bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki formüllerin bilinmesi gerekir.4. ∫ sinx dx = -cosx + c5. ∫ cosx dx = sinx + c6. ∫ dx / cos2x = ∫ (1+tan2x)dx = ∫ secx dx

= tanx + c7. ∫ dx / sin2x = ∫ (1+cotan2x)dx = ∫ cosecx dx

= -cotanx + c

8. ∫ dx / 1-x2n = arcsinx + c1 = -arccosx + c2

9. ∫ dx / 1+x2 = arctanx + c1 = -arccotanx + c2

ALIŞTIRMALAR

1. ∫ sin2x dx = -1/2 cos2x + c

2. ∫ sin(3x+4)dx = -cos(3x+4).1/3 + c

3. ∫ cos 3x dx = 1/3 sin3x + c

BASİT DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME BASİT DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMLERİYÖNTEMLERİ

Göstermiş olduğumuz integral alma

kuralına benzemeyen fonksiyonları değişken

değiştirerek bu formüllere benzetilip daha

sonra integrallerini alacağız.

ÖRNEKLER:

1. ∫ (x3-2x)5 (3x2-2)dx ∫ u5.du = u6/6 + c

= 1/6 (x3-2x)6 + c

[u = x3-2x dersek du =(3x2-2) dx dir]

2. ∫ ex²-2x+1 . (x-1)dx = 1/2 ∫ eu du = ½ eu+c

= ½ ex²-2x+1+c

[u=x2-2x+1 dersek du = 2(x-1).dx dir.]

3. ∫ esinx.cosx dx = ∫ eu du = eu + c = esinx +c

[u=sinx dersek du = cosx dx]

PARÇAL (KISMİ) İNTEGRALPARÇAL (KISMİ) İNTEGRAL

∫ f(x) . G(x) dx biçiminde iki fonksiyonun

çarpımının integrali bazen güç olabilir. Böyle

fonksiyonların daha kolayca integrallene-

bilmesini sağlamak amacıyla parçal (kısmi)

integralleme aşağıdaki gibi yapılır.

∫ u dv = u.v - ∫ v du

u = f(x) , du = g(x) dx dir.

Kısmi integralde u ve dv nin seçiminde kesin bir kural olmamakla birlikte türevi alındığında azalan fonksiyonlara, logaritmik ve ters trigonometrik fonksiyonlara u denir.

ex , sinx, ... gibi fonksiyonlara dv denilir. Kısmi integrasyon formülü aşağıdaki çarpım durumundaki fonksiyonların integrasyonunda kolaylık sağlar.

i. ∫ p(x) . fax dx,ii. ∫ p(x) .sinax dx, ∫ p(x) . Cosax dxiii. ∫ eax .sinbx dx , ∫ eax .cosbx dxiv. ∫ p(x) .lnax dx

Ör: I1 = ∫ x.ex dx = ?

u=x dv = ex dx du=dx v =ex Buna göre

I1 = ∫ x.ex dx = x.ex - ∫ ex.dx = x.ex – ex + c = ex (x-1)+c

KESİRLİ (RASYONEL) KESİRLİ (RASYONEL) FONKSİYONLARIN İNTEGRALİFONKSİYONLARIN İNTEGRALİ

1. ∫ k/ax+b dx hali

Bu tür kesirlerde paydanın türevi pay

kısmında varsa logaritmalı formülden

yararlanılır.

Ör: ∫ 7/2x – 5 dx = 7/2 ∫ 2/2x-5 dx

= 7/2 ln |2x-5| + c

2. F(x) = P(x) / Q(x)Rasyonel ifadesinde payın derecesi

paydanın derecesinden büyük veya eşitse pay paydaya bölünür. f(x) = P(x) / Q(x) = T (x) + R(x) / Q(x) şeklinde yazılır ve sonra ayrı ayrı integralleri alınır. Ör: ∫ 3x2 + 2x +3 / x2 + 1 dx = ?3x2 + 2x + 3 / x2 + 1 = 3∫ 3x2 + 2x + 3 / x2 + 1 dx = ∫ (3 +2x / x2 + 1 ) dx

= 3x + ln (x2 + 1) + c

3. ∫ dx / ax2 + bx + c haliA. Eğer ax2 + bx + c polinomu çarpanlarına ayrılıyorsa ifade basit kesirlerine ayrılarak integre edilir. Basit kesirlerine ayrılmıyorsa arctanx formülüne benzetilerek çözülür. 1/x2-4 = A/x-2 + B/x+2 2x+1/x3+27 = A/x+3 + Bx+C/x2-3x+9 x3+3/x(x+1)2 (x2+1) = A/x +B/x+1+C/(x+1)2+Dx+E/x2+1

Rasyonel ifadeler yukarda görüldüğü gibi basit kesirlerine ayrılır ve integral parçalanarak kolaylaştırılır.

Ör: ∫ 3x-1 / x2-1 .dx = ?3x-1 / (x-1) (x+1) = A/x-1 + B/x+13x-1 / (x-1) (x+1) = A(x+1) + B(x-1) / (x-1) (x+1)3x-1(A+B)x + A-B iki polinom eşitliğinden; A+B = 3 1+B = 3A-B = -1 B = 2-----------2A = 2 ise A = 1∫ 3x-1 / x2-1 dx = ∫ 1 / x-1 dx +2 ∫ 1 / x+1 dx

= ln |x-1| + 2ln |x+1| + c = ln |(x-1).(x+1)2| + c

B. ∫ dx / ax2 + bx + c halinde ax2+bx+c ifadesi çarpanlarına ayrılmıyorsa (Δ0) ∫ dt / A2+t2 = 1/A arctan t/A+c veya ∫ dx / 1+x2 = arctanx + c formülünden yararlanılarak çözüm yapılır.Ör: ∫ dx / x2+9 = ∫ dx / 9[1+(x/3)2]

= 1/9.1 / 1/3 arctan x/3+c = 1/3 arctan x/3 + c