i̇ntegral 05

• Tanım: tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi f(x)veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve biçiminde gösterilir.

• eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e diferansiyel çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C ye integral sabiti denir.

[ ] Rb,a:f →

∫ += c)x(Fdx).x(f

∫ += c)x(Fdx).x(f ∫

1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona eşittir:

2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir:

3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:

( ) )x(f)C)x(F(dx).x(f ''=+=∫

( ) dxxfdxxfd ).().( =′

∫

∫ += cxfxfd )())((

Örnek-1- belirsiz integralinin türevini bulunuz.

Çözüm :

Örnek-2- belirsiz integralini bulunuz.

Çözüm :

Örnek-3- belirsiz integralinin diferansiyelini bulunuz.

Çözüm :

( ) 55 4.4 xdxxdx

d =∫

∫ + )( 3 xxd

cxxxxd ++=+∫ 33 )(

∫ + dxx .12

dxxdxx .1.1 22 +=+∫

∫ dxx .4 5

1.

2. 3.

4.

5. 6.

7. 8.

∫ ++

= + cxn

dxx nn 1

1

1 )1( −≠n

∫ += cedxe xx . ∫ += cxdxx

ln1

∫ += caa

dxa xx

ln

1.

)1 , 0 (≠ >a a

∫ +−= cxdxx cos.sin ∫ += cxdxx sin.cos

∫ += cxdxxx sec.sec.tan ∫ +−= cecxdxecxx cos.cos.cot

9.

10.

11.

12.

∫ ∫ ∫ +=+== cxdxxdxx

xdx tan)tan1(cos

1sec 2

22

∫ ∫ ∫ +−=+== cxdxxdxx

xdxec cot)cot1(sin

1cos 2

22

∫ +=+

cxdxx

arctan1

12

∫ +=−

cxdxx

arcsin1

12


Çözüm:


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxx5

cxdxxI +==∫ 65

6

1

∫ + dxee x )( 3

cexedxeeI xx ++=+= ∫ .)( 33

∫−+

dxx

xxx5

45 2

∫∫∫ −−+=−+=

−+= dxxxx

x

dxxxdx

xxI 4

44.2ln.2ln.

211

cx

xxx

xx +++=−

−+=−

3

3

3

2ln

3.2ln


Çözüm:


Çözüm:

Örnek-6- integralini hesaplayınız.

Çözüm:

∫

+

−

dxx

xx 3

13

∫ ++=

+= cxdx

xI

xx ln

3ln

313

∫ xdx2tan

( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=−+=−+= cxxdxdxxdxxI tantan11tan1 22

∫ xdx4cot

∫ ∫∫ ∫ ===x

xdx

x

xdxx

xxdx

4sin

)4(sin

4

1

4sin

4cos4

4

1

4sin

4cos4cot

1

cx += 4sinln4

1

İntegralinde u=g(x) ve

Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir.

Örnek-1- integralini hesaplayınız

Çözüm:

( )∫ )(xgf dxxg )(' dxxgu )(''=

∫ duxf )(

∫ −+− dxxxxx ).).(32( 324

32 24 +−= xxu ⇒ dxxxdu ).44( 3 −=

dxxxdu ).(4 3 −= dxxxdu

).(4

3 −=

∫ ∫ +=== cu

duudu

uI44

1.

4

1

4

433 cxxI ++−= 424 )32(

16

1


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxxe x .cos.sin

∫ +== cedueI uu .

∫ +dx

x

x2121 xu += ⇒ dxx

du.

2=

∫ ++=+== cxcuu

du

I )1ln(2

1ln

2

12 2

cosx.dxdu sinx u ==

2xdx du =


Çözüm:

∫ dxx

xln

xu ln= dxx

du1=

∫ ∫ +=== cu

duuduuI

23

2

3

2

1

cx += 2

3

)(ln3

2


Çözüm:

∫ +dx

e

dxx 1

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ +−=

+−

++=

+−+=

+= dx

e

edxdx

e

edx

e

edx

e

eedx

e

dxI

x

x

x

x

x

x

x

xx

x 111

1

1

1

1

∫ += dxe

eI

x

x

12 dxedueu xx .1 =⇒+=

∫ +== cuu

duI ln2

cexI x ++−= 1ln


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxx

e x

xu = dxx

du2

1= dxx

du1

2 =

∫ ∫ +=== ceduedueI uuu 222. ceI x += 2

∫ dxxx .cos.sin

xu sin= dxxdu .cos=

∫ +== cu

duuI2

.2

cx

I +=2

sin 2


Çözüm:

dxxxx ).2(42 −−∫

xxu 42 −= dxxdxxxdu ).2(2).42( −=−=

dxxdu

).2(2

−=

cucu

duudu

uI +=+=== ∫ 7

32

3

3

1

232

1.

2

1

2

cxxI +−= 2

32 )4(

3

1


Çözüm:


∫ +dx

x

x21

arctan

xu arctan= dxx

du21

1

+=

∫ +== cu

duuI2

.2

cx

I +=2

arctan2

∫ −

−

−+

dxee

eexx

xx

xx eeu −−= dxeedu xx )( −+=

∫ +== cuu

duI ln ceeI xx +−= −ln


Çözüm:

dxxx )tan(cot −∫

∫ ∫− xdxxdx tancot

I1 I2

xu sin=xdu cos=

xt cos=dxxdt .sin−=

ctuI ++= lnln

cxxI ++= coslnsinln


Çözüm:


Çözüm:

∫ +dxx

x2cos3

2sin

xu 2cos3 += xxxdu sinsincos2 −=−=

cuu

duI +−=−= ∫ ln cxI ++−= 2cos3ln

dxxx )tan(tan 24∫ +

dxxxI )1(tantan 22 += ∫xu tan= dxxdu )tan1( 2+=

cu

duuI +== ∫ 3

32 c

xI +=

3

tan3


Çözüm:

∫ − 2259 x

dx

cx

x

dx +

=

−∫ 3

5arcsin

5

1

259 2

{ } ⇒−∈ 0, Rba ∫ +

=

−c

a

bx

bxba

dxarcsin

1222

1cossin 22 =+ xx1. 3.

2. 4.

*

*

*

1tansec 22 =− xx

x x xcos . sin 2 2 sin=

1cos.22cos 2 −= xx

x2sin21−=

[ ])cos()cos(2

1sin.sin bababa −−+−=

[ ])sin()sin(2

1cos.sin bababa −++=

[ ])cos()cos(2

1cos.cos bababa −++=


Çözüm:

∫ dxxx .2cos.4cos

cxxdxxxI +

+=+= ∫ 2sin

2

16sin

6

1

2

1).2cos6(cos

2

1

cxxI ++= 2sin4

16sin

12

1


Çözüm:


Çözüm:

∫ dxx.sin2

∫ ∫∫∫ −=−= dxxdxdxx

dxx .2cos2

1

2

1

2

2cos1.sin2

cxx ++= 2sin4

16sin

12

1

∫ xdx2cos

∫ ∫ ∫∫ +=+= xdxdxdxx

xdx 2cos2

1

2

1

2

2cos1cos2

cxx

I ++= 2sin4

1

2


Çözüm:

∫∫ ∫∫ −=

−== dxxdx

xdxxdxx .)2cos1(

4

1

2

2cos1.)(sin.sin 2

2224

∫ dxx.sin4

∫ ∫+−=+−= )2cos2sin2

1.2(

4

1)2cos2cos21(

4

1 22 xdxxxdxxx

2

4cos1 x+=

cxxxx

dxx

xx

I +++−=++−= ∫ )4sin4

1(

8

12sin

4

1

42

4cos1

4

12sin

4

1

4

cxxx

I ++−= 4sin32

1

4

2sin

8

3


Çözüm:

∫ ∫ −== dxxxdxxxxdx .sin.)cos1(.sin.)(sinsin 22225

xdx5sin

xu cos=xdxdu sin−=dxxdu .sin=− ∫ −−= ).()1( 22 duuI

∫ ∫ −+−=−+−= duuuduuuI ).21()).(21( 4242

53

2 53 uuuI −+−= cxxxI +−+−= 53 cos

5

1cos

3

2cos

YARDIM:

1)dv’nin integrali kolay olmalı.

2) v.du integrali ilk integral

3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.

∫

∫∫

Logaritma Arc Polinom Trig. Üstel f.

u.du = u.v - v.du

ÖRNEK1: x.cos.dx = ?

u= x ; dv=cosx.dx

du=dx ; v=sinx

=x.sinx- sinx.dx

=xsinx+cosx+c

∫

= (-lnx/x)-(1/x)+c

= (-lnx-1/x)+c

ÖRNEK2: lnx/x2 = ?

= u=lnx dv=1/x2.dx

= du=(1/x).dx v=-1/x

= u.v- v.du

= lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx

∫

.dx=

=

1+x22 23 +++ xxx

∫ +++

1

22

xxx

ÖRNEK:

dx

x

xxx.

1

22 23

∫ ++++

=x2+x kalan:2

cxxx ++++ 1ln223

23

B=3 ; C=1 ;A=-3

Örnek: dxxx

xx.

323

2

∫ −++

11)1)(1(

322

++

−+=

+−++

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

)1()1()1(32 22 −+++−=++ xCxxBxxAxx

∫

++

−+−

dxxxx

.1

1

1

33

=-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c

Sadece köklü ifade varsa!!!

ub

axaxb

ub

axxba

ub

axxba

sec*

tan*

sin*

222

222

222

==>−

==>+

==>−

Sadece köklü ifade varsa!!!

ub

axaxb

ub

axxba

ub

axxba

sec*

tan*

sin*

222

222

222

==>−

==>+

==>−

1744 2 ++ xx =(2x+1)2+42

( )udx

udx

udx

ux

uxxx

dx

2

2

2

2

tan12

tan22

tan442

1tan42

tan4121744

+=+=+=

−==+

++∫ ( )( )

( )u

u

u

u

u

x

xx

2

2

2

2

2

2

2

tan12

1

tan14

tan12

1tan4

16tan4

1612

1744

+=+

++=

+=

++=

++

∫ =++

???1744 2 xx

dx

DEVAMI

cuuuu ++=== ∫∫ tansecln2

1sec

2

1sec

2

1 2

uu tantan1 2 ++

cxxx

xxx

+++++=

+++++=

121744ln2

1

4

12

16

17441ln

2

1

2

2

∫ = ???.sec dxxarc

cxxxarc

cx

xxarc

cx

xxarc

xu

xu

uxux

xx

dxxxarc

dxduxux

dxdu

xarcux

dxxarcxdxxarc

+−

++

+

−−

−===>==>=

−−=

===>−

=

=−

−=

∫

∫∫

lnsec

1lnsec

1lnsec

1lncos

1cos

cos

1sec

1sec

;1

sec1

sec..sec

2

2

2

( )∫ =b

a

xFdxxf )(.b

a)()( aFbF −= c yok ; c-c=0

)(')).(()(').(()('

).()()(

)(

xgxgfxhxhfxF

duufxFxh

xg

−=

⇒= ∫

???.cossgn2

2

=∫∏

∏

dxx

Π−⇒+−+− ∫∫∫Π

Π

Π

Π

Π

Π

2

2

3

2

3

2

.0.1.1 dxdxdx

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Π

2

3Π

Π2

2

Π

ÇÖZÜM :

i̇ntegral 05

Education