integrales multiples
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INTEGRAL TRIPLE
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales
Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:
donde Q = .
y se llaman «solapamientos»
dV
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA
EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS
Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces
1. Si R :
La región de integración R ,es proyectada
Sobre el plano XY.
∭𝑅
❑
𝑓 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑑𝑉=∫𝑎
𝑏 ( ∫∅ 1 (𝑥 )
∅ 2 (𝑥 )
( ∫𝛾1 (𝑥 ,𝑦)
𝛾2 (𝑥 ,𝑦)
𝑓 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 )𝑑𝑧)𝑑𝑦 )𝑑𝑥
REGIONES DE INTEGRACIÓN
𝐎𝐓𝐑𝐀𝐒𝐑𝐄𝐆𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒𝐃𝐄𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
X= f(y,z)Y=f(x,z)
Ejemplo 1
Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces
y =
x
y
y
x
-2
∫0
1
∫0
𝑦
∫0
1− 𝑦2
𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral
00 x y0 z 1 -
Ejemplo 2
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Si suponemos que la región de integración es de la primera forma Q: a
Cambio de Variable
,y)
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
rcos
rsen
COORDENADAS CILINDRICAS
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
Coordenadas Esféricas
X=
F(, , )
CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS
z = 1 -
y + z = 2 , x = 4 -
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Cambio de Variable
,y)
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
rcos
rsen
COORDENADAS CILINDRICAS
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
Coordenadas Esféricas
X=
F(, , )
z = 1 -
y + z = 2 , x = 4 -
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