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MA1003 Cálculo IIITema 03: Integrales múltiples

Parte 01: Integrales dobles

Profesor Jesús Sánchez Guevara

U.C.R.

I Semestre 2020

Jesús Sánchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T03P01 integrales dobles I Semestre 2020 1 / 19

En esta clase

1 Definición de integral doble.

2 Integración sobre rectángulos.

3 Regiones horizontalmente simples.

4 Regiones verticalmente simples.

5 Integración sobre regiones generales.

6 Cambio de orden de integración.

Introducción

¿Qué es una integral doble?

1 Es una extensión al plano de lainterpretación geométrica de las integralesde una variable.

2 Se pueden calcular expresándolas entérminos de integrales de una varible.


Nota

En cálculo I, se tiene que

ż b

af pxq

es el área debajo del gráfico de y “ f pxq sobreel intervalo ra, bs.

En el caso de integrales dobles, tiene que

ĳ

R

f px , yqdA

es el volúmen debajo del gráfico z “ f px , yqsobre la región del plano R.

o Hacer un dibujo.

Para calcular aproximar este volúmen, se puedecortar R en pequeñas piezas ∆Ai , y se toma lasuma

ÿ

f pxi , yi q∆Ai

El ĺımite de estas sumas cuando el tamaño delas piezas tiende a cero, da

ť

R f px , yqdA

o ¿Cómo se calcula una integral doble?R/ Por iteración de integrales de una variable.El volúmen se puede cortar por planos paralelosal plano xz, y al sumar tenemos:

volúmen “ż ymax

ymin

Spyqdy

El volúmen de cada trozo es Spyqdy y Spyq esel área bajo la curva

ş

f px , yqdx .

Note que también se pudo haber empezado porcortes paralelos la plano yz. Explicar.

El resultado de este proceso se va a estudiarprimero para tres tipos de regiones especiales:

1 Rectángulos con lados paralelos a los ejes.

2 Regiones verticalmente simples.

3 Regiones horizontalmente simples.

Aśı, cuando se quiere integrar sobre una regióncualquiera, la técnica será buscar dividirla enregiones no sobrepuestas de estos tipos.


Nota: R “ ra, bs ˆ rc, ds representa elrectángulo de R2 con esquinas pa, cq, pa, dq,pb, cq y pb, dq. Hacer un dibujo.

Teorema de Fubini

Si f px , yq continua sobre R “ ra, bs ˆ rc, ds,entonces

ĳ

R

f px , yqdA “ż b

a

ż d

cf px , yqdydx

“ż d

c

ż b

af px , yqdxdy

Propiedad

Si f px , yq “ gpxq ¨ hpyq, entoncesż d

c

ż b

af px , yqdxdy “

ż d

c

ż b

agpxq ¨ hpyqdxdy

“ˆż b

agpxqdx

˙ˆż d

chpyqdy

˙

Nota: En general, no necesariamente es fácilcambiar el orden de integración de dxdy a dydx

Ejemplo

Sea R “ r1, 3s ˆ r4, 6s y f px , yq “ x2y . Calculeť

R fdA usando el orden dydx y luego el ordendxdy .

1 Orden dydx :

ĳ

R

fdA “ĳ

r1,3sˆr4,6s

x2ydydx “ż 3

1

ż 6

4x2ydydx

“ż 3

1

ˆż 6

4x2ydy

˙

dx “ż 3

1x2

ˆż 6

4ydy

˙

dx

“ż 3

1x2

˜

y2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

6

4

¸

dx “ 10ż 3

1x2dx “

260

3

2 Orden dxdy :

ĳ

R

fdA “ż 6

4

ż 3

1x2ydxdy “

ż 6

4

˜

yx3

3

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

3

1

¸

dy

“ż 6

4

26

3ydx “

26y2

6

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

6

4

“260

3


Ejemplo

Sea R “ ra, bs ˆ rc, ds y f px , yq “ 1. Calculeť

R fdA.

ĳ

R

fdA “ĳ

ra,bsˆrc,ds

1dydx “ż b

a

ż d

c1dydx

“ż b

apd ´ cqdx “ pd ´ cqpb ´ aq

“Área de R

Ejemplo

Sea R “ r0, πs ˆ r0, π2s y

f px , yq “ cospxq cospyq. Calculeť

R fdA.

ĳ

r0,πsˆr0,π2s

cospxq cospyqdydx “ż π

0

ż π2

0cospxq cospyqdydx

“ż π

0cospxqdx ¨

ż π2

0cospyqdy “0

Ejemplo

Sea R “ ra, bs ˆ ra, bs y f px , yq “ hpxqhpyq,donde h satisface

şba hpxqdx “ 1. Calculeť

R fdA.

ĳ

R

fdA “ĳ

ra,bsˆra,bs

hpxqhpyqdydx

“ż b

a

ż b

ahpxqhpyqdydx

“ż b

ahpxqdx ¨

ż b

ahpyqdy

“ˆż b

ahpxqdx

˙2

“ 1


Definición

Una región R del plano se llama verticalmentesimple si es de la forma:

R “ tpx , yq : a ď x ď b y gpxq ď y ď hpxqu

Es decir, R es el área sobre un intervalo entredos curvas.

o Hacer un dibujo.

Propiedad

Si R es verticalmente simple,

R “ tpx , yq : a ď x ď b y gpxq ď y ď hpxqu ,

entonces:

ĳ

R

f px , yqdA “ż b

a

ż hpxq

gpxqf px , yqdydx

o Nota: Aśı, verticalmente simple está asociadaa resolver una integral doble con el orden dydx .

Ejemplo

La región R limitada por una elipse de la forma

px ´ hq2

a2`py ´ lq2

b2“ 1

se puede ver como v.s.

Se despeja y :

ñpy ´ lq2

b2“ 1´

px ´ hq2

a2

ñpy ´ lq2 “ b2ˆ

1´px ´ hq2

a2

˙

ñy “ l ˘ b

d

1´px ´ hq2

a2

Los valores extremos de x se obtienen haciendoy “ l , aśı x “ h ˘ a. Por lo tanto:

R “tpx , yq : h ´ a ď x ď h ` a y

l ´ b

d

1´px ´ hq2

a2ď y ď l ` b

d

1´px ´ hq2

a2

,

.

-


Ejemplo

Sea R el semićırculo en el primer cuadrante decentro p3, 0q y radio 3. Si f px , yq “ y calculeť

R fdA.

La ecuación del ćırculo es px ´ 3q2 ` y2 “ 32.Se expresa R como verticalmente simple:

R “tpx , yq : 0 ď x ď 6 y

0 ď y ď 3

d

1´px ´ 3q2

32

,

.

-

Se calcula la integral:

ĳ

R

fdA “ż 6

0

ż 3

c

1´ px´3q2

32

0ydydx

“9

2

ż 6

0

ˆ

1´px ´ 3q2

32

˙

dx

“9

2

ˆ

x ´px ´ 3q3

33

˙ ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

6

0

“ 18

Ejemplo

Explique porquéť

R xdA “ 0 cuando R es laelipse x

2

a2` y

2

b2“ 1, sin hacer el cálculo de la

integral.

o Se debe a que el volúmen bajo z “ x essimétrico, en partes iguales, una mitad esnegativa y la otra positiva. Hacer el dibujo.

Ejemplo

Calcule el área A entre las gráficas def pxq “ x2 y gpxq “ x3, cuando x P r0, 1s.

Si x P r0, 1s, entonces x3 ď x2, por lo tanto Aes el área de la región:

R “tpx , yq : 0 ď x ď 1 y x3 ď y ď x2(

A “ż 1

0

ż x2

x31dydx “

ż 1

0px2 ´ x3qdydx

“1

3´

1

4“

1

12


Definición

Una región R del plano se llamahorizontalmente simple si es de la forma:

R “ tpx , yq : c ď y ď d y spyq ď x ď tpyqu

Es decir, R es el área sobre un intervalo entredos curvas.

o Explicar gráficas del tipo x “ gpyq.

Propiedad

Si R es horizontalmente simple,

R “ tpx , yq : c ď y ď d y spyq ď x ď tpyqu

entonces:

ĳ

R

f px , yqdA “ż d

c

ż tpyq

spyqf px , yqdxdy

o Nota: Aśı, horizontalmente simple estáasociada a resolver una integral doble con elorden dxdy .

Ejemplo

La región R limitada por una elipse de la forma

px ´ hq2

a2`py ´ lq2

b2“ 1

se puede ver como h.s.

Se despeja x :

ñpx ´ hq2

a2“ 1´

py ´ lq2

b2

ñpx ´ hq2 “ a2ˆ

1´py ´ lq2

b2

˙

ñx “ h ˘ a

d

1´py ´ lq2

b2

Los valores extremos de y se obtienen haciendox “ h, aśı y “ l ˘ b. Por lo tanto:

R “tpx , yq : l ´ b ď y ď l ` b y

h ´ a

d

1´py ´ lq2

b2ď x ď h ` a

d

1´py ´ lq2

b2

,

.

-


Ejemplo

Plantee la integral de una función f px , yq sobrela región R entre los brazos de la hipérbolax2 ´ y2 “ 1, dentro del cuadrado de centrop0, 1q y lado 2.

Geogebra: x^2-y^2=1

R es una región h.s., la variación de las y estádeterminada por los extremos del cuadrado:1´ 2 “ ´1 ď y ď 3 “ 1` 2.Para la variación de las x , se despeja x dex2 ´ y2 “ 1, para obtener las ecuaciones de losbrazos de la hipérbola, x “ ˘

a

1` y2.Finalmente,

ĳ

R

fdA “ż 3

´1

ż

?1`y2

´?

1`y2f px , yqdxdy

Ejemplo

Exprese como una integral doble el área A entreel eje y y la gráfica de y “ cospxq, cuandox P r0, πs.

o Hacer el dibujo.

La integral se hace interpretanto la región comoh.s. Cuando x P r0, πs entonces y vaŕıa desde 1hasta ´1. Y al despejar x de y “ cospxqtenemos que x “ arc cospyq. Por lo tanto:

A “ĳ

R

1dA “ż 1

´1

ż arc cospyq

01dxdy

“ż 1

´1arc cospyqdy

“´

y arc cospyq ´a

1´ y2¯

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

´1

“ arc cosp1q ` arc cosp´1q“π


Para analizar integrales dobles sobre regiones(acotadas) más generales, tenemos:

Propiedades

1 Los rectángulos R “ ra, bs ˆ rc, ds sonregiones vertical y horizontalmente simples.

2

ĳ

R

pαf px , yq ` βgpx , yqqdA

“αĳ

R

f px , yqdA` βĳ

R

gpx , yqdA

3 Si R “ R1Ť

R2, donde R1 y R2 sonregiones del plano que a lo más, solocomparten bordes, entonces:

ĳ

R

f px , yqdA “ĳ

R1Ť

R2

f px , yqdA

“ĳ

R1

f px , yqdA`ĳ

R2

f px , yqdA

Proceso para calcular una integral doble

Se quiere calcular

ĳ

R

f px , yqdA

1 Estudie la región R y determine si esvertical u horizontalmente simple.

2 Si R está en alguna de estas categoŕıas,calcule la integral iterada resultante segúnla propiedad respectiva.

3 Si R no es v.s ni h.s., entonces1 Si se quiere resolver usando el orden dxdy ,

divida R en regiones v.s, y calcule la sumade integrales iteradas respectivas.

2 Si se quiere resolver usando el orden dydx ,divida R en regiones h.s, y calcule la sumade integrales iteradas respectivas.

Nota: Aunque depende de la región R y lafunción a integrar f , a veces, calcular la integralcon un orden es más ventajoso que con el otro.


Ejemplo

Calculeť

D ex`ydA donde

D “

px , yq P R2{|x | ` |y | ď 1(

o Se divide D en dos regiones v.s. D1 y D2.Hacer el proceso de descripción en la pizarra.

ĳ

D

ex`ydA

“ĳ

D1

ex`ydA`ĳ

D2

ex`ydA

“ż 0

´1

ż x`1

´x´1ex`ydydx `

ż 1

0

ż ´x`1

x´1ex`ydydx

“ż 0

´1pe2x`1 ´ e´1qdx `

ż 1

0pe ´ e2x´1qdx

“pe2x`1

2´ e´1xq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

0

´1` pex ´

e2x´1

2qˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

“e

2´ p

e´1

2` e´1q ` e ´

e

2`

e´1

2“ e ´ e´1

Ejemplo

Considere R la región del plano obtenida aldesprender del disco x2 ` y2 ď 4, el discopx ´ 1q2 ` y2 ď 1. Usando regiones h.s. planteela integral

ť

R f px , yqdA.

o R se divide en 4 regiones h.s. Explicar enpizarra. Y la integral queda de la siguientemanera:

ĳ

R

f px , yqdA “ż ´1

´2

ż

?4ý2

´?

4ý2f px , yqdxdy

`ż 1

´1

ż 1´?

1ý2

´?

4ý2f px , yqdxdy

`ż 1

´1

ż

?4ý2

1`?

1ý2f px , yqdxdy

`ż 2

1

ż

?4ý2

´?

4ý2f px , yqdxdy


Ejemplo

Divida la región P (hacer en pizarra) enregiones verticalmente simples y plantee laintegral

ť

R fdA.

1 Se dibuja la región P.

2 Se trazan ĺınea verticales para identificarlas regiones v.s. en que se divide.

3

P “ R1ď

R2ď

¨ ¨ ¨ď

Rn

4

ĳ

R

fdA “ĳ

R1

fdydx`ĳ

R2

fdydx`¨ ¨ ¨`ĳ

Rn

fdydx

Ejemplo

Calcule la integral

I “ż π{2

´π{2

ż π{2

´π{2sin |x ` y |dydx

Para calcularla se analiza cuando x ` y espositiva o negativa en el rectángulor´π{2, π{2s ˆ r´π{2, π{2s.La región se divide en dos v.s.

Wolfram Alpha:

int_{-pi/2}^{pi/2}int_{-pi/2}^{pi/2}

sin|x+y|dydx

Resultado: 2π


oComo x ` y ě 0 ô y ě ´x , tenemos:

R1 “ tpx , yq : ´π{2 ď x ď π{2, y ´ π{2 ď y ď ´xu

En R1, x ` y ď 0, entoncessin |x ` y | “ ´ sinpx ` yq.

R2 “ tpx , yq : ´π{2 ď x ď π{2, y ´ x ď y ď π{2u

En R2, x ` y ě 0, entoncessin |x ` y | “ sinpx ` yq.

Como r´π{2, π{2s ˆ r´π{2, π{2s “ R1Ť

R2 :

I “ż π{2

´π{2

ż π{2

´π{2sin |x ` y |dydx

“ĳ

R1

sin |x ` y |dydx `ĳ

R2

sin |x ` y |dydx

“´ĳ

R1

sinpx ` yqdydx `ĳ

R2

sinpx ` yqdydx

I “ ´ż π{2

´π{2

ż ´x

´π{2sinpx ` yqdydx

`ż π{2

´π{2

ż π{2

´xsinpx ` yqdydx

“ ´ż π{2

´π{2´ cospx ` yq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´x

´π{2dx

`ż π{2

´π{2´ cospx ` yq

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π{2

´xdx

“ ´ż π{2

´π{2p´1` cospx ´ π{2qqdx

`ż π{2

´π{2p´ cospx ` π{2q ` 1qdx

“2π


Ejemplo

Calcule la integral

I “ż π

0

ż π

0| cospx ` yq|dydx

Para calcularla se analiza cuando cospx ` yq espositivo o negativo en el cuadrador0, πs ˆ r0, πs. La región se divide en cuatro v.s.

Wolfram Alpha:

int_{0}^{pi}int_{0}^{pi}

|cos(x+y)|dydx

Resultado: 2π

Cuando px , yq P r0, πs ˆ r0, πs, 0 ď x ` y ď 2π.La función coseno, es negativa en r0, 2πscuando se evalúa entre π{2 y 3π{2, entonces:

1 cospx ` yq ď 0 ô

π{2 ď x ` y ď 3π{2

2 cospx ` yq ě 0 ô

0 ď x ` y ď π{2 y ď 3π{2 ď x ` y ď π

Esto nos da cuatro regiones v.s y tenemos:

I “ż π{2

0

ż ´x`π{2

0cospx ` yqdydx

`ż π{2

0

ż π

´x`π{2´ cospx ` yqdydx

`ż π

π{2

ż ´x`3π{2

0´ cospx ` yqdydx

`ż π

π{2

ż π

´x`3π{2cospx ` yqdydx

“ż π{2

01´ sinpxqdx

`ż π{2

0´ sinpx ` πq ` 1dx

`ż π

π{21` sinpxqdx

`ż π

π{2sinpx ` πq ` 1dx

“2π


Ejemplo

Evaluar la integral doble

I “ż

?π

0

ż

?π

xsinpy2qdydx

o Es ese estado I no se puede calcular. Se debede reinterpretar la región de integración R comoh.s. Hacer dibujo.

ñR “

px , yq : 0 ď y ď?π, y 0 ď x ď yu

ñI “ż

?π

0

ż y

0sinpy2qdxdy “

ż

?π

0y sinpy2qdy

“´ cos y2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

?π

0

“ 1

Nota: Este proceso se le llama cambio de ordende integración.

Ejemplo

Considere la integral

I “ż 1

0

ż 1

yex

2dxdy

Dibuje la región de integración, reinterprételacomo v.s. y calcule la integral.

o En la integral I la región está como h.s.Hacer un dibujo.

R “ tpx , yq : 0 ď y ď 1, y y ď x ď 1u

Al reescribir la región como v.s. obtenemos:(Explicar)

ñR “ tpx , yq : 0 ď x ď 1, y 0 ď y ď xu

ñI “ż 1

0

ż x

0ex

2dydx “

ż 1

0xex

2dx “

ex2

2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

“e ´ 1

2


Cambio de orden de integración

Se quiere cambiar el orden de integración dedydx a dxdy :

ż a2

a1

ż g2pxq

g1pxqf px , yqdydx `

ż b2

b1

ż h2pxq

h1pxqf px , yqdydx

1 Se estudia la región sobre la cual se estáintegrando f , en este caso f se estáintegrando sobre una región R formada pordos regiones R1, R2 v.s.:

R1 “tpx , yq : a1 ď x ď a2 yg1pxq ď y ď g2pxqu

R2 “tpx , yq : b1 ď x ď b2 yh1pxq ď y ď h2pxqu

2 Se divide R “ R1Ť

R2 en regiones h.s y secalcula la suma de integrales iteradasrespectivas.

Cambio de orden de integración

Se quiere cambiar el orden de integración dedxdy a dydx :

ż c2

c1

ż t2pyq

t1pyqf px , yqdxdy `

ż d2

d1

ż s2pyq

s1pyqf px , yqdxdy

1 Se estudia la región sobre la cual se estáintegrando f , en este caso f se estáintegrando sobre una región R formada pordos regiones R1, R2 h.s.:

R1 “tpx , yq : c1 ď y ď c2 yt1pyq ď x ď t2pyqu

R2 “tpx , yq : d1 ď y ď d2 ys1pyq ď x ď s2pyqu

2 Se divide R “ R1Ť

R2 en regiones v.s y secalcula la suma de integrales iteradasrespectivas.

Nota: En ambos casos, se procede de formasimilar si R estuviera formada por más regiones.


Ejercicio

Cambie el orden de integración de

I “ż π

0

ż 4`sinpxq

3´ 12π2px´π

2q2f px , yqdydx

La región de integración R es el área sobre elintevalo r0, πs entre las gráficas de:

1 La parábola concava hacia abajo de vérticepπ{2, 3q:

py ´ 3q “ ´12

π2px ´

π

2q2

2 La función trigonométrica:

y “ 4` sinpxq

o Hacer el dibujo.

Para cambiar el orden de integración a dxdy haydividir R en regiones horizontalmente simples.En este caso R está formada por 4 de ellas.

1 Se despeja x :

py ´ 3q “ ´12

π2px ´

π

2q2

ñx “π

2˘

d

π2

12p3´ yq

2 Se despeja x :

y “ 4` sinpxqñx “ arcsinpy ´ 4qy x “ π ´ arcsinpy ´ 4q

I “ż 3

0

ż π2´b

π2

12p3ýq

0f px , yqdxdy

`ż 3

0

ż π

π2`b

π2

12p3ýq

f px , yqdxdy

`ż 4

3

ż π

0f px , yqdxdy

`ż 5

4

ż πárcsinpy´4q

arcsinpy´4qf px , yqdxdy


Ejercicio

Cambie el orden de integración de

I “ż 4

0

ż ´?

4ý

´b

8ý2

f px , yqdxdy

`ż 8

4

ż

b

8ý2

´b

8ý2

f px , yqdxdy

`ż 4

0

ż

b

8ý2

?4ý

f px , yqdxdy

La región de integración está dada por la uniónde tres regiones h.s., las cuales está limitadaspor las parábolas:

1 x “ ˘b

8ý2ñ py ´ 8q “ ´2x2

Vértice en p0, 8q y cóncava hacia abajo.2 x “ ˘

?4´ y ñ py ´ 4q “ ´x2

Vértice en p0, 4q y cóncava hacia abajo.

o Hacer el dibujo.

Finalmente, como la región entera es v.s.entonces:

I “ż 2

´2

ż 8´2x2

4´x2f px , yqdydx


F I N


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