interpolación lagrange[1]
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POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
MÉTODOS NUMÉRICOS
REGRESIÓN E INTERPOLACIÓN
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
El polinomio de interpolación de Lagrange es en esencia una reformulación de polinomio de interpolación de Newton, que permite una presentación más más sintética.
La forma general del polinomio de interpolación de Lagrange de grado n es:
ni
n
1ii
1i
1ii
1i
1i
1
0i
0n
ij0j ji
j
ixx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxxL
in
0i
in xfxLxP
Donde:
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio de grado 3, se expresaría como
3
j3
j
2
j2
j
1
j1
j
0
j0
j
i
3
0i
i3 xfxx
x-xxf
xx
x-xxf
xx
x-xxf
xx
x-xxfxLxP
3
3j0j
3
2j0j
3
1j0j
3
0j0j
3
23
2
13
1
03
02
32
3
12
1
02
01
31
3
21
2
01
00
30
3
20
2
10
13 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxP
33221100i
3
0i
i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Siguiendo el planteamiento anterior el polinomio de grado 3, se expresaría como:
3
j3
j
2
j2
j
1
j1
j
0
j0
j
i
3
0i
i3 xfxx
x-xxf
xx
x-xxf
xx
x-xxf
xx
x-xxfxLxP
3
3j0j
3
2j0j
3
1j0j
3
0j0j
3
23
2
13
1
03
02
32
3
12
1
02
01
31
3
21
2
01
00
30
3
20
2
10
13 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxP
33221100i
3
0i
i3 xfxLxfxLxfxLxfxLxfxLxP
EJEMPLO
Halle el polinomio de interpolación de Lagrange para el siguiente conjunto de puntos, y estime el valor de la función para x=3.5 , utilizando este polinomio
i xi f(xi) 0 1.5 -5 1 2.7 2 2 5.6 -2 3 7.2 10
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE LAGRANGE-PUNTOS A INTERPOLAR
Puntos Originales
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Inicialmente se grafican los puntos a interpolar, con el fin de tener una idea más
clara acerca de la distribución de los mismos y anticipar dificultades:
Se observa que
los puntos no son
colineales, y no
existen puntos
alineados
verticamente. Por
lo tanto, el
procedimiento de
interpolación se
puede aplicar sin
problemas
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
32103 xf5.6-x2.7-x1.5-x
xf7
7.2-x2.7-x1.5-xxf
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-xxf
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-xxP
6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.
106.52.77.22.75.12.7
22.6.57.26.55.16.5
22.7.26.7.25.17.2
52.5.6.5.7.5.
5.6-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-xxP3
3
23
2
13
1
03
02
32
3
12
1
02
01
31
3
21
2
01
00
30
3
20
2
10
13 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxP
En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un
polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo
el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
32103 xf5.6-x2.7-x1.5-x
xf7
7.2-x2.7-x1.5-xxf
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-xxf
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-xxP
6.52.77.22.75.12.72.6.57.26.55.16.52.7.26.7.25.17.22.5.6.5.7.5.
3
23
2
13
1
03
02
32
3
12
1
02
01
31
3
21
2
01
00
30
3
20
2
10
13 xf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxf
xx
x-x
xx
x-x
xx
x-xxP
En este caso hay cuatro puntos no colineales, por lo tanto es posible hallar un
polinomio de grado 3 que pase por ellos o los contenga. Este polinomio, siguiendo
el procedimiento de Lagrange, se puede expresar así:
Reemplazando los valores x0=1.5, x1=2.7, x2=5.6 y x3=7.2, se obtiene:
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
104.4512.983.76088.5
5.6-x2.7-x1.5-x7.2-x2.7-x1.5-x7.2-x5.6-x1.5-x7.2-x5.6-x2.7-xxP3
106.52.77.22.75.12.7
22.6.57.26.55.16.5
22.7.26.7.25.17.2
52.5.6.5.7.5.
5.6-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x2.7-x1.5-x
7
7.2-x
5
5.6-x1.5-x
71
7.2-x
51
5.6-x
21
2.7-xxP3
Reemplazando los valores f(x0)=-5, f(x1)=2, f(x2)=-2 y f(x3)=10, se obtiene:
Finalmente, el polinomio de interpolación de Lagrange para el problema
planteado es:
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
104.4512.983.76088.5
5.6-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.52.7-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.51.5-3.57.2-3.55.6-3.52.7-3.53.5P3
65184759.13.5P3
Para hallar el valor de la función, a través del polinomio de interpolación obtenido,
simplemente se reemplaza el valor de x=3.5, con lo cual resulta:
La siguiente gráfica permite observar el polinomio de interpolación junto con los
datos originales
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y
x
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL CON POLINOMIOS DE LAGRANGE- POLINOMIO INTERPOLANTE
P3(x)
Puntos Originales
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
Cada término Li(x) toma el valor de 1 en xi, 0 en los demás puntos a interpolar. De esta forma, el producto Li(x)f(xi) es igual a f(xi) en el punto xi.
Esto se comprueba gráficamente a través
de las siguientes figuras:
COMPORTAMIENTO DE LOS TÉRMINOS Li(x)
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
LoL1L2L3
Lo(x) toma el valor de 1 en xo. Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto
L1(x) toma el valor de 1 en x1.Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto
L2(x) toma el valor de 1 en x2Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto
L3(x) toma el valor de 1 en x3. Todos los demás Li(x), toman en valor de cero en este punto
x0 x3x1 x2
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
Lo*f(xo)L1*f(x1)L2*f(x2)L3*f(x3)P3(x)Puntos OriginalesLo*f(xo)
El polinomio de interpolaciónde Lagrange obtenido, es la suma de 4 polinomios de grado 3. En el punto de interpolación xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi), los demás polinomios toman el valor de cero
El polinomio de interpolaciónde Lagrange obtenido, es la suma de 4 polinomios de grado 3. En el punto de interpolación xi, el polinomio Li(x)f(xi)=f(xi), los demás polinomios toman el valor de cero
POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE
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