Interpolación por Interpolación por SplinesSplines

Función SplineFunción Spline

• Ajusta una curva suave a los puntosAjusta una curva suave a los puntos• Sigue la idea de la spline flexible de Sigue la idea de la spline flexible de

un dibujanteun dibujante• Consiste de polinomios definidos Consiste de polinomios definidos

sobre subintervalossobre subintervalos• Los polinomios se unen entre sí Los polinomios se unen entre sí

satisfaciendo ciertas condiciones de satisfaciendo ciertas condiciones de continuidadcontinuidad

Aplicación: spline Aplicación: spline naturalnatural

Grados de una splineGrados de una spline

1iii

ii

xhasta xdesde (x)g

n grado de polinomios de conjuntoun ajustar Deseamos

0,1,...ni )y ,(x

)espaciados igualmente entenecesariam (no

puntos 1)(n Supongamos

Spline linealSpline lineal

• Pendiente discontinua en los puntosPendiente discontinua en los puntos

Polinomios de más alto Polinomios de más alto gradogrado

• F es chata (excepto entre -1 y 1)F es chata (excepto entre -1 y 1)• Se requieren ceros fuera de [-1,1] Se requieren ceros fuera de [-1,1] • Así se crean las oscilacionesAsí se crean las oscilaciones• SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomiosSOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios

Ajuste mixtoAjuste mixto

• Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]• P(x)=0 fuera de esa regiónP(x)=0 fuera de esa región• Discontinuidad en las pendientes donde Discontinuidad en las pendientes donde

se unen los polinomiosse unen los polinomios

DefiniciónDefinición

n

i

t,ten continuas derivadas 1)-(k tieneS b)

k que igual omenor grado de

polinomioun es S t,t intervalo cadaen a)

que talSfunción una es

t...ttt

nodoscon k grado de splinefunción Una

0

1-i

n210

Splines cúbicasSplines cúbicas

ecuaciones4n necesitan Se

4?)(

1,0)(

,)(

,)(

,)(

)(

3

23

11

211

100

nescoeficientIncognitas

nidxcxbxaxS

ttxxS

ttxxS

ttxxS

xS

k

iiiii

nnn

Balance de EcuacionesBalance de Ecuaciones

• Condiciones de interpolaciónCondiciones de interpolación– Para los puntos interiores: 2(n-1) ecuacionesPara los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones– Para los extremos: 2 ecuacionesPara los extremos: 2 ecuaciones

• Condiciones de continuidadCondiciones de continuidad– 2(n-1) ecuaciones2(n-1) ecuaciones

• Condiciones de extremo (terminales)Condiciones de extremo (terminales)– Spline cúbica natural óSpline cúbica natural ó– Spline enclavada óSpline enclavada ó– Spline periódicaSpline periódica– 2 ecuaciones2 ecuaciones

Condiciones de Condiciones de InterpolaciónInterpolación

nnn

iiiii

ytS

ytS

nitSytS

)(

)(

extremos los para b)

11)()(

interiores puntos los para a)

1

000

1

Condiciones de Condiciones de ContinuidadContinuidad

11)()(

11)()(

1

1

nitStS

nitStS

iiii

iiii

Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline Cúbica NaturalSpline Cúbica Natural

0)(

0)(

1

00

nn tS

tS

• Derivada segunda igual a cero en los Derivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constanteextremos=> derivada primera constante

• => función lineal en los extremos=> función lineal en los extremos

• La curva se “achata” cerca de los extremosLa curva se “achata” cerca de los extremos

Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline Enclavada (clamped)Spline Enclavada (clamped)

nnn ytS

ytS

)(

)(

1

000

Aplicación: splines Aplicación: splines enclavadasenclavadas

Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline PeriódicaSpline Periódica

)()(

)()(

100

100

0

nn

nn

n

tStS

tStS

yy

Ventaja: Ventaja: evita el fenómeno de evita el fenómeno de RungeRunge

Algoritmo de Algoritmo de splines cúbicassplines cúbicas

EcuacionesEcuaciones

1,...1,0],[)()(

:forma la de spline una desea Se

(1) )()()()(

:ecuación la tienese

),(),(

1

23

11

nixxparaxgxg

dxxcxxbxxaxg

yxyxDados

iii

iiiiiiii

iiii

CondicionesCondiciones

)(2,...,1,0)()(

)(2,...,1,0)()(

)(2,...,1,0)()(

)(

)(1,...,1,0)(

111

111

111

11

dnixgxg

cnixgxg

bnixgxg

yxg

aniyxg

iiii

iiii

iiii

nnn

iii

SoluciónSolución

)(1,...,1,026)(

23)(

:

1,...,1,0

)()()()(

)a( 1,...,1,0)(

2

1

23

12

13

11

enibhaxg

chbhaxg

derivando

xxh

niyhchbha

yxxcxxbxxaybde

niydade

iiii

iiiiii

iii

iiiiiii

iiiiiiiiiii

ii

Simplificación del Simplificación del desarrollodesarrollo

)(

1,...,1,0)(

1 nnn

iii

xgz

nixgz

CoeficientesCoeficientes

(g) 6

(f) 2

Entonces

26

2)(

1

1

i

iii

ii

iiii

ii

hzz

a

zb

bhaz

bzede

Sustituyendo …Sustituyendo …

6

2

26

:c para resolvemosy (1)en

)( de

)( de

)( de

11

2311

i

iiii

i

iii

iiiii

ii

iii

i

i

i

zhzh

h

yyc

yhchz

hh

zzy

ad

ga

fb

Invocando iguales Invocando iguales pendientes …pendientes …

:escoeficient los doreemplazany las igualando

23

)(2)(3

:anterior intervalo elen

)(2)(3

)en primeras derivadas de (igualdad (c) de

1112

11

1112

11

2

i

iiiiii

iiiiiiii

iiiiiiiii

i

y

chbhay

cxxbxxay

ccxxbxxay

xx

Ecuación generalEcuación general

],[],[622h

622h

:Ordenando

6

2

22

63

6

2

111111-i

1

111111-i

111

1

11

121

1

1

11

iiiiiiiiii

i

ii

i

iiiiiiii

iiii

i

iii

ii

i

ii

iiii

i

iii

xxfxxfzhzhhz

h

yy

h

yyzhzhhz

zhzh

h

yyh

zh

h

zz

zhzh

h

yyy

En forma matricial:En forma matricial:

incógnitas1 ecuaciones 1

],[],[

],[],[

],[],[

],[],[

6

)(20

)(200

)(20

)(2

121

3243

2132

1021

1

3

2

1

0

1122

3322

2211

1100

nn

xxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

xxfxxf

z

z

z

z

z

z

hhhh

hhhh

hhhh

hhhh

nnnn

n

nnnnn

Condiciones para Condiciones para ExtremosExtremos

]),[(62 :derecha la a

)],[(62 :izquierda la a

)()(

enclavada Spline 2.

00

natural Spline 1.

111

101100

0

0

nnnnnn

n

n

xxfBzhzh

Axxfzhzh

BxfAxf

zz

La matriz de coeficientes La matriz de coeficientes queda así:queda así:

12

2211

1100

10

0

12

3322

2211

110

0

2

)(2

)(2

2

)()( :(clamped) 2 Condición

)(2

)(2

)(2

)(2

0 :(natural) 1 Condición

nn

n

nn

n

hh

hhhh

hhhh

hh

BxfAxf

hh

hhhh

hhhh

hhh

zz

Condiciones para Condiciones para extremosextremos

)2.4()(

:derecha la a

y de linealión extrapolac es

)1.4()(

:izquierda la a

y de linealión extrapolac es

lineales ionesExtrapolac 4.

extremos losen Parábolas 3.

2

21112

2

21

1

1

2-n1

1

201100

1

12

0

01

210

2110

n

nnnnnn

n

nn

n

nn

nn

nn

hzhzhh

zhzz

hzz

zzz

hzhzhh

zhzz

hzz

zzz

zzzz

La matriz de coeficientes La matriz de coeficientes queda así:queda así:

2

2121

2

21

22

3322

2211

1

20

21

1

1010

21210

0

122

3322

2211

110

110

)2)((

)(2

)(2

)2)((

(4.2)y (4.1)usar

lineales ionesextrapolacson y :4Condición

)32(

)(2

)(2

)23(

:3Condición

n

nnnn

n

nn

n-n-n

n

nnn

nn

hhhhh

hhh

hhhh

hhhhhhh

hhhhh

),zg(zz),zg(zz

zz

hhh

hhhh

hhhh

hhh

zzzz

ObservacionesObservaciones

• Después de obtener los z, se pueden Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbicacada cúbica

• Matrices simétricasMatrices simétricas• Datos igualmente espaciados, las Datos igualmente espaciados, las

matrices se reducen a formas matrices se reducen a formas simplessimples

Lectura obligatoria Lectura obligatoria

• Gerald págs 212-260Gerald págs 212-260