interpolación por splines
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Interpolación por Interpolación por SplinesSplines
Función SplineFunción Spline
• Ajusta una curva suave a los puntosAjusta una curva suave a los puntos• Sigue la idea de la spline flexible de Sigue la idea de la spline flexible de
un dibujanteun dibujante• Consiste de polinomios definidos Consiste de polinomios definidos
sobre subintervalossobre subintervalos• Los polinomios se unen entre sí Los polinomios se unen entre sí
satisfaciendo ciertas condiciones de satisfaciendo ciertas condiciones de continuidadcontinuidad
Aplicación: spline Aplicación: spline naturalnatural
Grados de una splineGrados de una spline
1iii
ii
xhasta xdesde (x)g
n grado de polinomios de conjuntoun ajustar Deseamos
0,1,...ni )y ,(x
)espaciados igualmente entenecesariam (no
puntos 1)(n Supongamos
Spline linealSpline lineal
• Pendiente discontinua en los puntosPendiente discontinua en los puntos
Polinomios de más alto Polinomios de más alto gradogrado
• F es chata (excepto entre -1 y 1)F es chata (excepto entre -1 y 1)• Se requieren ceros fuera de [-1,1] Se requieren ceros fuera de [-1,1] • Así se crean las oscilacionesAsí se crean las oscilaciones• SOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomiosSOLUCIÓN? Ajustar distintos polinomios
Ajuste mixtoAjuste mixto
• Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]Se ajustó una cuadrática en [-0.65, 0.65]• P(x)=0 fuera de esa regiónP(x)=0 fuera de esa región• Discontinuidad en las pendientes donde Discontinuidad en las pendientes donde
se unen los polinomiosse unen los polinomios
DefiniciónDefinición
n
i
t,ten continuas derivadas 1)-(k tieneS b)
k que igual omenor grado de
polinomioun es S t,t intervalo cadaen a)
que talSfunción una es
t...ttt
nodoscon k grado de splinefunción Una
0
1-i
n210
Splines cúbicasSplines cúbicas
ecuaciones4n necesitan Se
4?)(
1,0)(
,)(
,)(
,)(
)(
3
23
11
211
100
nescoeficientIncognitas
nidxcxbxaxS
ttxxS
ttxxS
ttxxS
xS
k
iiiii
nnn
Balance de EcuacionesBalance de Ecuaciones
• Condiciones de interpolaciónCondiciones de interpolación– Para los puntos interiores: 2(n-1) ecuacionesPara los puntos interiores: 2(n-1) ecuaciones– Para los extremos: 2 ecuacionesPara los extremos: 2 ecuaciones
• Condiciones de continuidadCondiciones de continuidad– 2(n-1) ecuaciones2(n-1) ecuaciones
• Condiciones de extremo (terminales)Condiciones de extremo (terminales)– Spline cúbica natural óSpline cúbica natural ó– Spline enclavada óSpline enclavada ó– Spline periódicaSpline periódica– 2 ecuaciones2 ecuaciones
Condiciones de Condiciones de InterpolaciónInterpolación
nnn
iiiii
ytS
ytS
nitSytS
)(
)(
extremos los para b)
11)()(
interiores puntos los para a)
1
000
1
Condiciones de Condiciones de ContinuidadContinuidad
11)()(
11)()(
1
1
nitStS
nitStS
iiii
iiii
Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline Cúbica NaturalSpline Cúbica Natural
0)(
0)(
1
00
nn tS
tS
• Derivada segunda igual a cero en los Derivada segunda igual a cero en los extremos=> derivada primera constanteextremos=> derivada primera constante
• => función lineal en los extremos=> función lineal en los extremos
• La curva se “achata” cerca de los extremosLa curva se “achata” cerca de los extremos
Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline Enclavada (clamped)Spline Enclavada (clamped)
nnn ytS
ytS
)(
)(
1
000
Aplicación: splines Aplicación: splines enclavadasenclavadas
Condiciones de Extremo:Condiciones de Extremo:Spline PeriódicaSpline Periódica
)()(
)()(
100
100
0
nn
nn
n
tStS
tStS
yy
Ventaja: Ventaja: evita el fenómeno de evita el fenómeno de RungeRunge
Algoritmo de Algoritmo de splines cúbicassplines cúbicas
EcuacionesEcuaciones
1,...1,0],[)()(
:forma la de spline una desea Se
(1) )()()()(
:ecuación la tienese
),(),(
1
23
11
nixxparaxgxg
dxxcxxbxxaxg
yxyxDados
iii
iiiiiiii
iiii
CondicionesCondiciones
)(2,...,1,0)()(
)(2,...,1,0)()(
)(2,...,1,0)()(
)(
)(1,...,1,0)(
111
111
111
11
dnixgxg
cnixgxg
bnixgxg
yxg
aniyxg
iiii
iiii
iiii
nnn
iii
SoluciónSolución
)(1,...,1,026)(
23)(
:
1,...,1,0
)()()()(
)a( 1,...,1,0)(
2
1
23
12
13
11
enibhaxg
chbhaxg
derivando
xxh
niyhchbha
yxxcxxbxxaybde
niydade
iiii
iiiiii
iii
iiiiiii
iiiiiiiiiii
ii
Simplificación del Simplificación del desarrollodesarrollo
)(
1,...,1,0)(
1 nnn
iii
xgz
nixgz
CoeficientesCoeficientes
(g) 6
(f) 2
Entonces
26
2)(
1
1
i
iii
ii
iiii
ii
hzz
a
zb
bhaz
bzede
Sustituyendo …Sustituyendo …
6
2
26
:c para resolvemosy (1)en
)( de
)( de
)( de
11
2311
i
iiii
i
iii
iiiii
ii
iii
i
i
i
zhzh
h
yyc
yhchz
hh
zzy
ad
ga
fb
Invocando iguales Invocando iguales pendientes …pendientes …
:escoeficient los doreemplazany las igualando
23
)(2)(3
:anterior intervalo elen
)(2)(3
)en primeras derivadas de (igualdad (c) de
1112
11
1112
11
2
i
iiiiii
iiiiiiii
iiiiiiiii
i
y
chbhay
cxxbxxay
ccxxbxxay
xx
Ecuación generalEcuación general
],[],[622h
622h
:Ordenando
6
2
22
63
6
2
111111-i
1
111111-i
111
1
11
121
1
1
11
iiiiiiiiii
i
ii
i
iiiiiiii
iiii
i
iii
ii
i
ii
iiii
i
iii
xxfxxfzhzhhz
h
yy
h
yyzhzhhz
zhzh
h
yyh
zh
h
zz
zhzh
h
yyy
En forma matricial:En forma matricial:
incógnitas1 ecuaciones 1
],[],[
],[],[
],[],[
],[],[
6
)(20
)(200
)(20
)(2
121
3243
2132
1021
1
3
2
1
0
1122
3322
2211
1100
nn
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
xxfxxf
z
z
z
z
z
z
hhhh
hhhh
hhhh
hhhh
nnnn
n
nnnnn
Condiciones para Condiciones para ExtremosExtremos
]),[(62 :derecha la a
)],[(62 :izquierda la a
)()(
enclavada Spline 2.
00
natural Spline 1.
111
101100
0
0
nnnnnn
n
n
xxfBzhzh
Axxfzhzh
BxfAxf
zz
La matriz de coeficientes La matriz de coeficientes queda así:queda así:
12
2211
1100
10
0
12
3322
2211
110
0
2
)(2
)(2
2
)()( :(clamped) 2 Condición
)(2
)(2
)(2
)(2
0 :(natural) 1 Condición
nn
n
nn
n
hh
hhhh
hhhh
hh
BxfAxf
hh
hhhh
hhhh
hhh
zz
Condiciones para Condiciones para extremosextremos
)2.4()(
:derecha la a
y de linealión extrapolac es
)1.4()(
:izquierda la a
y de linealión extrapolac es
lineales ionesExtrapolac 4.
extremos losen Parábolas 3.
2
21112
2
21
1
1
2-n1
1
201100
1
12
0
01
210
2110
n
nnnnnn
n
nn
n
nn
nn
nn
hzhzhh
zhzz
hzz
zzz
hzhzhh
zhzz
hzz
zzz
zzzz
La matriz de coeficientes La matriz de coeficientes queda así:queda así:
2
2121
2
21
22
3322
2211
1
20
21
1
1010
21210
0
122
3322
2211
110
110
)2)((
)(2
)(2
)2)((
(4.2)y (4.1)usar
lineales ionesextrapolacson y :4Condición
)32(
)(2
)(2
)23(
:3Condición
n
nnnn
n
nn
n-n-n
n
nnn
nn
hhhhh
hhh
hhhh
hhhhhhh
hhhhh
),zg(zz),zg(zz
zz
hhh
hhhh
hhhh
hhh
zzzz
ObservacionesObservaciones
• Después de obtener los z, se pueden Después de obtener los z, se pueden calcular los coeficientes a, b, c para calcular los coeficientes a, b, c para cada cúbicacada cúbica
• Matrices simétricasMatrices simétricas• Datos igualmente espaciados, las Datos igualmente espaciados, las
matrices se reducen a formas matrices se reducen a formas simplessimples
Lectura obligatoria Lectura obligatoria
• Gerald págs 212-260Gerald págs 212-260
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