jednostavna kubna rešetka - grdelingrdelin.phy.hr/~ivo/nastava/cvrstostanje/predavanja/02... ·...
Post on 25-Dec-2019
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Jednostavna kubna rešetka
~a1
~a2~a3
Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:
~a1 = a
1
0
0
~a2 = a
0
1
0
~a3 = a
0
0
1
⊲ Konstanta rešetke: a
⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) = a3.
⊲ Koordinacijski broj: 6 prvih susjeda
⊲ Poznati materijali: α-Po
Plošno centrirana kubna rešetka
~a1~a2
~a3• •
••
• •
••
•
•
••
•
•
Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:
~a1 =a
2
0
1
1
~a2 =
a
2
1
0
1
~a3 =
a
2
1
1
0
⊲ Konstanta rešetke: a
⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3
4.
⊲ Broj atoma u kocki: 8 ×1
8+ 6 ×1
2= 4
⊲ Koordinacijski broj: 12 prvih susjeda
• •
••
• •
••
•
•
••
•
•
•
•
•
•
•
•
••
•
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a/√2
⊲ Poznati materijali: Ag, Au, Cu, Sr, α-Ca, β-La, γ-Fe, . . .
bakar zlato srebro
Volumno centrirana kubna rešetka
~a1~a2
~a3
Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:
~a1 =a
2
−1
1
1
~a2 =
a
2
1
−1
1
~a3 =
a
2
1
1
−1
⊲ Konstanta rešetke: a
⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3
2.
⊲ Broj atoma u kocki: 8 ×1
8+ 1 = 2
⊲ Koordinacijski broj: 8 prvih susjeda
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a√3/2
⊲ Poznati materijali: Li, Na, K, Nb, Mo, Ba
Kristalna rešetka tipa NaCl
Radi se o dvije izprepletene plošno centrinane kubne rešetke.
• •
••
• •
••
•
•
••
•
• Cl •Na
⊲ Konstanta rešetke: a
⊲ Vulumen: Ω = ~a1 · (~a2 × ~a3) =a3
4.
⊲ Broj Na iona u kocki: 12 ×1
4+ 1 = 4
Broj Cl iona u kocki: 8 ×1
8+ 6 ×1
2= 4
⊲ Koordinacijski broj: 6 prvih susjeda (ioni druge vrste)
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a/2
⊲ Poznati materijali: LiH, MgO, MnO, NaCl, AgBr, KCl, . . .
AgBr NaCl MgO
Kristalna rešetka tipa CsCl
Cs
Cl Radi se o dvije izprepletene
jednostavne kubne rešetke.
⊲ Konstanta rešetke: a
⊲ Vulumen: Ω = a3.
⊲ Broj Cs iona u kocki: 1
Broj Cl iona u kocki: 8 ×1
8= 1
⊲ Koordinacijski broj: 8 prvih susjeda (ioni druge vrste)
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a√3/2
⊲ Poznati materijali: BeCu, AlNi, AgMg, CsCl, TlBr, LiHg
Heksagonska rešetka
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
~a1~a2
~a3
Kartezijeve komponente jednostavnih vektora:
~a1 = a
1
0
0
~a2 =
a
2
−1√3
0
~a3 = c
0
0
1
⊲ Konstante rešetke: a i c
⊲ Vulumen: Ω =a2
2c√3
⊲ Broj atoma u ćeliji: 4 × 1
12+ 4 ×1
6= 1
⊲ Koordinacijski broj: 6 (a < c) ili 2 (a > c)
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: a ili c
Heksagonska gusto slagana rešetka
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•••
Radi se o dvije izprepletene jednostavne heksagonska rešetke
⊲ Konstante rešetke: a i c
⊲ Vulumen: Ω =a2
2c√3
⊲ Broj atoma u ćeliji: 4 × 1
12+ 4 ×1
6+ 1 = 2
⊲ Koordinacijski broj: 12
⊲ Udaljenost do prvih susjeda: d =
√
a2
3+
c2
4
⊲ Ako je d = a, ⇒ c
a=
√
8
3= 1,63299
(u realnim materijalima postoje manja odstupanja od idealnog odnosa!)
⊲ Poznati materijali: Be, Mg, β-Cr, α-Co, α-Ni, Ru, Cd, Re, Ti
beril grafit led snježna pahulja
Recipročna rešetka
⊲ Vektori ~a1, ~a2 i ~a3 općenito nisu međusobno ortogonalni.
⊲ U neortogonalnim sustavima pogodno je uvesti i koristiti tz. biortogo-
nalnu bazu, skup baznih vektora koji su okomiti na ravnine definirane
parovima jediničnih vektora:
~b1 =2π
Ω~a2 × ~a3
~b2 =2π
Ω~a3 × ~a1
~b3 =2π
Ω~a1 × ~a2
gdje je Ω volumen jedinične ćelije: ~a1 · (~a2 × ~a3)
⊲ Općenito vrijedi: ~ai ·~bj = 2π δij, gdje je:
δij =
1 i = j
0 i 6= jtz. Kroneckerov simbol.
⊲ Skup vektora ~b1, ~b2 i ~b3 su jedinični vektori reciprične rešetke.
⊲ Ako ~R radijus vektor točke kristalne rešetke:
~R = n1 ~a1 + n2 ~a2 + n3 ~a3, ni = cijeli broj
te ako je ~G radijus vektor točke reciprične rešetke:
~G = g1 ~b1 + g2 ~b2 + g3 ~b3, gi = cijeli broj,
tada je:
~G · ~R = 2π (n1g1 + n2g2 + n3g3) = 2π cijeli broj.
⊲ Wigner-Seitzovu ćeliju recipročne rešetke zovemo Brillouinovom zo-
nom.
Jedinični vektori recipročne rešetke
⊲ Jednostavna kubna rešetka
~b1 =2π
a
1
0
0
~b2 =2π
a
0
1
0
~b3 =2π
a
0
0
1
⊲ Plošno centrirana kubna rešetka
~b1 =2π
a
−1
1
1
~b2 =2π
a
1
−1
1
~b3 =2π
a
1
1
−1
⊲ Volumno centrirana kubna rešetka
~b1 =2π
a
0
1
1
~b2 =2π
a
1
0
1
~b3 =2π
a
1
1
0
⊲ Heksagonska rešetka
~b1 =2π
a
11√30
~b2 =2π
a
02√3
~b3 =2π
c
0
0
1
⊲ Volumno centrirana kubna rešetka i pločno centrirana kubna rešetka
su međusobno biortogonalne !!
Millerovi indeksi
(100)
(001)
(010)
(111) (110) (200)
Millerovi indeksi za neke ravnine u kubnim kristalima
⊲ Ravnine se označavaju s 3 cijela broja u okruglim zagradama: (hkl) ili
tz. Millerovim indeksima.
⊲ h, k i l su najmanji cijeli brojevi koji zadovoljavaju relaciju:
1
s1:
1
s2:
1
s3= h : k : l
gdje su s1 a1, s2 a2 i s3 a3 odsječci što ih ravnina čini na kristalografskim
osama.
⊲ Kod odsječaka na negativnoj strani osi, umjesto da je koristi negativni
cijeli broj stavlja se crta iznad broja.
Dakle npr. -3 ⇒ 3.
⊲ Ako je kristalna rešetka simetrična, kao npr. kubna rešetka, veći broj
ravnina je ekvivalentan, te se takav skup označava vitičastim zagradama:
100 ≡ (100), (010), (001), (100), (010), (001).
⊲ Smjer u kristalu može se zadati pomoću vektora:
~r = r1 ~a1 + r2 ~a2 + r3 ~a3,
gdje su r1, r2 i r3 neki brojevi.
Najmanji cijeli brojevi, u,v i w, za koje vrijedi:
r1 : r2 : r3 = u : v : w
nazivamo Millerovim indeksima, te ih označavamo s uglatim za-
gradama: [uvw].
⊲ Skup ekvivalentnih smjerova u simetričnom kristalu označava se s bra-
cat zagradama: < uvw >.
Defekti
Nepravilnosti beskonačne idealne periodične strukture kristala nazivamo
defektima.
⊲ Ne postoje idealni niti beskonačni kristali.
⊲ Defekti su obično prostorno lokalizirani, tako da ne utječu na kristalno
dugodosežno uređenje.
⊲ Zašto postoje defekti ?
Kristal u kojem postoje defekti ima povećanu entropiju.
⇒Na bilo kojoj konačnoj temperaturi, sustav će izabrati stanje u kojem
postoje defekti kako bi minimizirao Gibbsovu energiju:
G = U + PV - TS
Defekti se mogu podjeliti u dvije skupine:
⊲ Dinamički defekti su oni koji ovise vremenu i povezani su uz
pobuđenja sustava.
⊲ Statički defekti ne ovise o vremenu - geometrijske nepravilnosti
kristala.
Dinamički defekti
Također se mogu razdijeliti u dvije skupine:
⊲ Kratkotrajni defekti izazvani su najčešće vanjskim pobudama (tlače-
nje, izlaganje EM valovima ili snopu čestica, izlaganje statičkim vanjskim
poljima, . . . )
⊲ Elementarna pobuđenja kristala su ona stanja u kojem se kristal
kao cjelina nalazi u pobuđenom stanju, te koja su relativno vremenski
stabilna - stacionarna.
Elementarna pobuđenja
Elementarna pobuđenja se međusobno razlikuju prema svojstvima koja
imaju:
⊲ Fononi - harmonička titranja rešetke
⊲ Magnoni - spinski valovi u magnetskim materijalima
⊲ Ekscitoni - vezana stanja elektrona i šupljina
⊲ Plazmoni - titranja elektronske gustoće u metalima
⊲ Polaritroni - složeno titranje kristalne rešetke i EM vala
⊲ Polaroni - elektron vezan za deformaciju rešetke
Statički točkasti defekti
Supstitucijska primjesa Vakancija Intersticijska primjesa
⊲ U realnim kristalima regularni atom može biti zamjenjen (supstituiran)
stranim atomom ili primjesom.
⊲ Primjesa može se nalaziti na mjestu regularnog atoma ili u međupoložaju
između regularnih atoma.
⊲ Nedostatak regularnog atoma ili praznina (ili Schottkyjev defekt).
povr
šina
Schottkyjev defekt Frankelov defekt
⊲ Schottkyjevi defekti nastaju u idelnom kristalu prelaskom (di-
fuzijom) atoma iz regularnih položaja atoma na površinu kristala.
⊲ Frankelov defekt je kombinacija praznine i intersticijskog defekta:
regularni atom (često termalno pobuđen) prelazi u međupoložaj.
Schottkyjevi defekti
⊲ Neka je Ev dodatna energija koju je potrebno uložiti da bi se atom
otrgnuo iz regularnog položaja i prenio na površinu.
⊲ Neka je Nv broj Schottkyjevih defekata u termalnoj ravnoteži.
⊲ Neka je N ukupni broj regularnih položaja atoma.
Broj načina na koji moguće napraviti Nv defekata je:
B =N !
Nv!(N −Nv)!
Minimiziranjem slobodne energije po Nv:
F = U − T S = Ev Nv − kT lnB,
i uz uvjet N ≫ Nv ≫ 1 slijedi:
Nv = N e−EvkT
Frankelovi defekti
⊲ Neka je Ef dodatna energija koju atom treba imati da bi prešao iz
regularnog položaja u međupoložaj.
⊲ Neka je Nf broj pobuđenih Frankelovih defekata.
⊲ Neka je N broj regularnih položaja a N ′ broj intersticijskih položaja.
Broj načina na koji moguće napraviti Nf defekata je:
B =N !
Nf !(N −Nf)!· N ′!
Nf !(N ′ −Nf)!
Minimiziranjem slobodne energije:
F = U − T S = Ef Nf − kT lnB,
po Nf , uz uvjet N,N ′ ≫ Nf ≫ 1 slijedi:
Nf =√N N ′ e−
Ef2kT
Linijski defekti
⊲ Dislokacija: narušena periodična struktura duž neke kristalne linije.
⊲ Linija ne mora biti dio pravca
⊲ Može započinjati i/ili završavati na površini kristala
⊲ Može tvoriti zatvorenu liniju u unutrašnjosti kristala.
⊲ Dvije osnovne vrste: bridna i vijčana dislokacija.
Bridna dislokacija
Ravnina se prekida
Vijčana dislokacija
⊲ Bridna dislokacija: postoji jedna dodatna kristalna ravnina koja se ne
proteže kroz cijeli kristal nego završava negdje u unutrašnjosti.
⊲ Vijčana dislokacija: u dijelu kristala ravnine su pomaknute jedna u odnosu
na drugu. Nema dodatne kristalne ravnine.
⊲ Ove osnovne dislokacije se mogu kombinirati i tvoriti složene linijske
defekte.
Dislokacije utječu na plastočnost kristala (neelastična deformacija).
Plastična deformacija rezultat je gibanja dislokacija.
Gibanje dislokacija
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
⇐⇐bb
b
top related