diplomski rad josip klicinoviˇ c´ - vipnet.hrkjosip.net.amis.hr/prezentacije/diplomski -...

Pravcaste plohe u prostoru MinkowskogDiplomski rad

Josip Klicinovic

PMF-Matematicki odjelSveucilište u Zagrebu

Zagreb, srpanj 2009.

Josip Klicinovic (PMF-MO) Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog Zagreb, srpanj 2009. 1 / 63

Sadržaj

I Prostor Minkowskog- Definicija i osnovna svojstva- Pseudonorma vektora- Vektorski produkt- Baza prostora R3

1II Krivulje u prostoru Minkowskog

- Definicija i reparametrizacija- Frenetov trobrid i Frenetove formule- Fleksija i torzija krivulje

III Plohe u prostoru Minkowskog- Definicija plohe- Tangencijalna ravnina- Prva i druga fundamentalna forma- Gaussova i srednja zakrivljenost

IV Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog- Definicija pravcastih ploha- Primjeri pravcastih ploha- Minimalne pravcaste plohe


Prostor Minkowskog (1/14)Definicija prostora Minkowskog

Prostor Minkowskog

Prostor definiran kao uobicajeni trodimenzionalni realni vektorski prostorkoji se sastoji od uredenih trojki {(x1, x2, x3)|x1, x2, x3 ∈ R} na kojemu jedefinirana operacija (pseudoskalarni produkt)

< x, y >1= −x1y1 + x2y2 + x3y3

naziva se prostor Minkowskog ili Lorentzov prostor i oznacava se sa R31.



Svojstva pseudonorme

komutativnost: < x, y >1=< y, x >1 ∀x, y ∈ R31

kvaziasocijativnost: < αx, y >1= α < x, y >1 ∀α ∈ R,∀x, y ∈ R31

distributivnost zbranjanja:< x + y, z >1=< x, z >1 + < y, z >1 ∀x, y, z ∈ R3

1

nedegeneriranost: ako vrijedi < x, y >1= 0,∀x ∈ R31, onda je y = 0

Važno je primjetiti da ovako definirana operacija nije uvijek pozitivnodefinitna, što nas vodi do definiranja razlicitih vrsta vektora!



Vrste vektoraProstorni vektor je vektor x za kojega vrijedi < x, x >1> 0

Vremenski vektor je vektor x za kojega vrijedi < x, x >1< 0

Svjetlosni (izotropni ili nul) vektor je vektor x za kojega vrijedi< x, x >1= 0

Vrste vektora - alternativna definicija

Prostorni vektor je vektor x za kojega vrijedi x21 < x2

2 + x23

Vremenski vektor je vektor x za kojega vrijedi x21 > x2

2 + x23

Svjetlosni vektor je vektor x za kojega vrijedi x21 = x2

2 + x23



Skup svih svjetlosnih vektora u prostoru Minkowskog naziva se svjetlosnistožac i predstavljen je implicitnom jednadžbom{(x, y, z)|x2 = y2 + z2, x , 0}.

Eksterior svjetlosnog stošca sadrži sve prostorne vektore.

Interior svjetlosnog stošca sadrži sve vremenske vektore.Josip Klicinovic (PMF-MO) Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog Zagreb, srpanj 2009. 6 / 63


Vektorski potprostor u R31

Neka je V vektorski potprostor od R31. Tada V nazivamo:

vremenskim ako i samo ako V sadrži vremenski vektor

prostorni ako i samo ako V sadrži prostorni vektor

svjetlosni ako i samo ako V sadrži svjetlosni vektor



Okomiti vektori

Za vektore x, y ∈ R31 kažemo da su ortogonalni ili okomiti ako vrijedi

< x, y >1= 0.

Primijetimo da je svjetlosni vektor okomit na samoga sebe.

Teorem o okomitosti

Neka su x i y dva ne-nul okomita vektora u R31. Ako je x vremenski, onda

je y prostorni.


Prostor Minkowskog (7/14)Pseudonorma vektora

Pitanje: Kako u prostoru Minkowskog mjeriti duljinu vektora?

Podsjetimo se: u euklidskom prostoru duljinu vektora mjerimo normom‖x‖ :=

√< x, x >.

Problem: U prostoru Minkowskog pseudonorma vektora opcenito nijepozitivno definitna.

Rješenje: Duljinu vektora u prostoru Minkowskog mjerimo pseudonormomvektora ‖x‖1 :=

√| < x, x >1 |



Svojstva pseudonorme vektora

pozitivna definitnost ‖x‖1 > 0,∀x ∈ R31, što slijedi izravno iz definicije

homogenost ‖αx‖1 = |α| · ‖x‖1,∀α ∈ R,∀x ∈ R31

U prostoru Minkowskog opcenito ne vrijedi ‖x‖1 = 0⇒ x = 0 inejednakost trokuta!

Propozicija o obrnutoj nejednakosti trokuta

Neka su x i y dva vremenska vektora. Vrijedi ‖x + y‖1 ≥ ‖x‖1 + ‖y‖1.

Jedinicni vektor

Za vektor x ∈ R31 kažemo da je jedinican ako vrijedi | < x, x >1 | = 1.



Propozicija - C-S-B nejednakost

Neka su x i y linearno nezavisni prostorni vektori u R31 i neka je V

dvodimenzionalni vektorski potprostor razapet vektorima x i y. Vrijedi:

| < x, y >1 | < ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je V prostorni

| < x, y >1 | = ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je V svjetlosni

| < x, y >1 | > ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je V vremenski


Prostor Minkowskog (10/14)Vektorski produkt

Vektorski produkt

Vektorski produkt u R31 je funkcija ×1 : R3

1 × R31 → R

31 koja paru vektora

a, b ∈ R31 pridružuje vektor a ×1 b ∈ R3

1 odreden zahtjevom

< a ×1 b , c >1= det(a, b , c),∀c ∈ R31.

Vektorski produkt vektora a i b možemo racunati na sljedeci nacin

a ×1 b =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−i j ka1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Iz definicije vektorskog produkta i okomitosti vektora slijedi da je vektora ×1 b okomit na vektor a i b.



Lagrangeov identitet u prostoru Minkowskog

< a ×1 b , a ×1 b >1=< a, b >21 − < a, a >1 · < b , b >1

Propozicija

Neka je ε, η ∈ {−1, 1} i neka je < a, a >1= ε, < b , b >1= η, a⊥b. Tada je< c, c >1= −εη, gdje je c = a ×1 b .



Propozicija - C-S-B i vektorski produkt

Ako su x i y dva prostorna vektora u R31, tada vrijedi

| < x, y >1 | < ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je vektor x ×1 y vremenski

| < x, y >1 | = ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je vektor x ×1 y svjetlosni

| < x, y >1 | > ‖x‖1 · ‖y‖1 ako i samo ako je vektor x ×1 y prostorni


Prostor Minkowskog (13/14)Baza prostora R3

1

Definirajmo vektore e1, e2, e3.

e1 = (1, 0, 0)

e2 = (0, 1, 0)

e3 = (0, 0, 1)

TeoremOrtonormirani skup {e1, e2, e3} cini jednu ortonormiranu bazu.

Primjetimo da se baza prostora R31 sastoji od jednog vremenskog i dvaju

prostorna vektora!


Prostor Minkowskog (14/14)Baza prostora R3

1

Svaki vektor iz R31 možemo prikazati kao linearnu kombinaciju vektora iz

baze na slijedeci nacin:

x = αe1 + βe2 + γe3,

gdje jeα = − < x, e1 >1

β =< x, e2 >1

γ =< x, e3 >1


Krivulje u prostoru Minkowskog (1/10)Definicija i reparametrizacija

Definicija krivulje

Krivulja u R31 je glatko preslikavanje c : I → R3

1 (odnosno: c je klase C∞ naI), gdje je I ⊆ R otvoreni interval.

Regularna krivulja

Za krivulju c : I → R31 kažemo da je regularna ako je c(t) , 0,∀t ∈ I.

Vrste krivulja

Regularna krivulja c : I → R31 naziva se

prostorna krivulja ako je < c, c >1> 0 svugdjevremenska krivulja ako je < c, c >1< 0 svugdjesvjetlosna ili izotropna ili nul-krivulja ako je < c, c >1= 0 svugdje



Primjer 1: Hiperbola parametrizacije c(t) = (cosh t , sinh t , 0).

c(t) = (sinh t , cosh t , 0)

< c, c >1= − sinh2 t + cosh2 t = 1

Pokazali smo da je ova hiperbola prostorna krivulja.

Slika: Prostorna hiperbola



Primjer 2: Hiperbola parametrizacije c(t) = (sinh t , cosh t , 0).

c = (cosh t , sinh t , 0)

< c, c >1= − cosh2 t + sinh2 t = −1

Pokazali smo da je ova hiperbola vremenska krivulja.

Slika: Vremenska hiperbola



Primjer 3: Pravac parametrizacije c(t) = (t , t , 0).

c = (1, 1, 0)

< c, c >1= −1 + 1 = 0

Pokazali smo da je ovaj pravac svjetlosna (izotropna) krivulja.

Slika: Svjetlosni pravac



Definicija reparametrizacije

Kažemo da je krivulja c : I → R31, I ⊆ R, reparametrizacija krivulje

c : I → R31 ako postoji glatka bijekcija ϕ : I → I kojoj je inverz gladak (tj.

funkcija je glatki difeomorfizam) i za koju vrijedi c (t) = c(ϕ(t)) = c(t).

Definicija krivulje PDL

Kažemo da je krivulja c parametrizirana duljinom lûka (PDL) ako vrijedi| < c, c >1 | = 1.

Napomena: Funkcija s(t) =

∫ t

t0‖c(t)‖1dt naziva se funkcija duljine lûka.



Lema

Svaka se regularna krivulja c : I → R31 može reparametrizirati duljinom

lûka. Preciznije:

ako je c : I → R31 regularna krivulja koja je prostorna, tada postoji

reparametrizacija c : I → R31 od c koja je takoder prostorna, odnosno

< ˙c(s), ˙c(s) >1= 1,∀s ∈ I

ako je c : I → R31 regularna krivulja koja je vremenska, tada postoji

reparametrizacija c : I → R31 od c koja je takoder vremenska,

odnosno < ˙c(s), ˙c(s) >1= −1,∀s ∈ I


Krivulje u prostoru Minkowskog (7/10)Frenetov trobrid i Frenetove forumule

Definicija Frenetovog trobrida

Neka je c prostorna ili vremenska krivulja u R31 koja je parametrizirana

duljinom luka i koja zadovoljava uvjet < c, c >1, 0. Frenetov trobrid ilitrobrid pratilac je uredena trojka {T ,N,B}, gdje su elementi T ,N,Bodredeni sa:

T(s) = c(s)

N(s) =c(s)√

| < c(s), c(s) >1 |

B(s) = T(s) ×1 N(s)


Krivulje u prostoru Minkowskog (8/10)Frenetov trobrid i Frenetove forumule

Frenetove formuleZa polja T ,N,B (definirana kao u prethodnoj definiciji) vrijedi:

T ′(s) = κ(s)ηN(s)

N′(s) = −κ(s)εT(s) − τ(s)εηB(s)

B′(s) = −τ(s)ηN(s),

pri cemu su funkcije κ(s) i τ(s) fleksija i torzija krivulje,|η| = | < N,N >1 | = 1, a |ε| = | < T ,T >1 | = 1.

Primijetimo da navedene formule formalno možemo zapisati u sljedecojformi: T

NB

′

=

0 κη 0−κε 0 −τεη

0 −τη 0

T

NB


Krivulje u prostoru Minkowskog (8/10)Fleksija krivulje

Iz Frenetovih formula i defincije Frenetovog trobrida možemo zakljucitisljedece:

T ′ = κηN

c = κηc√

| < c, c >1 |

κη =√| < c, c >1 |

κ = η√| < c, c >1 | = η‖c‖1

Fleksija mjeri odstupanje krivulje od pravca u nekoj maloj okolini tocke P,odnosno, fleskija mjeri brzinu promjene jedinicnog tangencijalnog polja.


Krivulje u prostoru Minkowskog (9/10)Torzija krivulje

Znamo da vrijedi:

c = T

c = T ′ = κηN...c = −εκ2ηT − εκτB

det(c, c,...c ) = κ2τ

Iz cega slijedi

τ =det(c, c,

...c )

κ2=

det(c, c,...c )

| < c, c >1 |.

Torzijom se mjeri odstupanje krivulje od ravninske krivulje.


Krivulje u prostoru Minkowskog (10/10)Torzija krivulje

Definicija ravninske krivulje

Za krivulju c : I → R31 kažemo da je ravninska krivulja ako postoji ravnina

π ⊆ R31 takva da je c(I) ⊆ π.

Propozicija

Neka je c : I → R31 regularna krivulja parametrizirana duljinom luka bez

singularnih tocaka 1. reda. Krivulja je ravninska⇔ τ = 0.


Plohe u prostoru Minkowskog (1/18)Definicija plohe

Definicija plohe

Podskup S ⊂ R31 je ploha ako za svaku tocku P ∈ S postoji otvorena

okolina V ∈ R31 i preslikavanje x : U → V ∩ S s otvorenog skupa U ∈ R2

1koje je

(i) neprekidna bijekcija, kao što je i njegov inverz (tj. preslikavanje jehomeomorfizam)

(ii) neprekidno derivabilno (tj. glatka funkcija)

Regularnost plohe

Ako je diferencijal preslikavanja x injektivan, za plohu kažemo da jeregularna.Odnosno, ploha je regularna ako i samo ako su vektori xu := ∂x

∂u ; xv := ∂x∂v

linearno nezavisno, tj. ako i samo ako vrijedi xu ×1 xv , 0.


Plohe u prostoru Minkowskog (2/18)Definicija plohe

Propozicija - implicitna jednadžba plohe

Skup S = {(x, y, z) ∈ R31 : g(x, y, z) = c} gdje je c ∈ R,S ⊂ R3

1, g : S → Rglatka funkcija nazivamo plohom ako je funkcija g takva da je∇g , 0,∀P ∈ S.

Napomena: Gradijent funkcije g je definiran na sljedeci nacin:∇g := (∂g

∂x ,∂g∂y ,

∂g∂z ).

Propozicija - eksplicitna jednadžba plohe

Skup S = {(x, y, z) ∈ R31 : z = f(x, y)}, f : U → R, U ⊂ R2

1 otvoren ipovezan, je regularna ploha.

Jednostavna ploha

Ploha koju je moguce pokriti samo jednom kartom naziva se jednostavnaploha.


Plohe u prostoru Minkowskog (3/18)Tangencijalna ravnina

Tangencijalna ravnina

Tangencijalna ravnina TPS plohe S u tocki P je ravnina razapetatangentama svih krivulja koje leže na plohi S, a prolaze tockom P.

Pitanje: koliko krivulja leži na plohi S i prolaze tockom P?

Odgovor: beskonacno mnogo!

Problem: kako naci sve te krivulju i sve te tangente?

Rješenje: promatrajmo samo dvije krivulje, u-krivulju i v-krivulju irazapnimo ravninu tangentama tih krivulja u tocki P

Jasno je da je dimenzija tangencijalne ravnine dimTPS = 2.



Ako je ploha zadana parametarskom jednadžbomx = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), onda je jednadžba tangencijalneravnine u tocki (x0, y0, z0) dana sa∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x − x0 y − y0 z − z0(∂x∂u

)0

(∂y∂u

)0

(∂z∂u

)0(

∂x∂x

)0

(∂y∂v

)0

(∂z∂v

)0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Ako je ploha zadana implicitnom jednadžbom F(x, y, z) = c, onda jejednadžba tangencijalne ravnine u tocki (x0, y0, z0) dana sa(

∂F∂x

)0(x − x0) +

(∂F∂y

)0(y − y0) +

(∂F∂z

)0(z − z0) = 0.



Sfera radijusa 1 s centrom uishodištu ima implicitnujednadžbu x2 + y2 + z2 = 1.Tangencijalna ravnina u tockiP = (

√3

3 ,√

33 ,

√3

3 ) imajednadžbu x + y + z =

√3.

Hiperbolicki paraboloid imaparametarsku jednadžbu(u + v , u − v , uv).Tangencijalna ravnina u tockiP(u = 2, v = 1) imajednadžbu 3x − y − 2z = 4.


Plohe u prostoru Minkowskog (6/18)Prva fundamentalna forma

Promotrimo bilo koja dva vektora X ,Y ∈ TPS. Oni su oblika

X = a · xu(u, v) + b · xv(u, v)

Y = c · xu(u, v) + d · xv(u, v).

Prvu fundamentalnu formu definiramo analogno kao u euklidskomprostoru.

Prva fundamentalna formaPrva fundamentalna forma je simetricno bilinearno preslikavanjeI : TPS × TPS → R. Odnosno, to je restrikcija danog pseudoskalarnogprodukta na tangencijalnu ravninu TPS I(X ,Y) :=< X ,Y >1.



Gaussove (fundamentalne) velicine prvog reda

Neka je ploha M zadana parametarski sax(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tada za plohu M definiramo funkcijeE,F ,G : U → R na sljedeci nacin:

E :=< xu, xu >1= −x2u + y2

u + z2u

F :=< xu, xv >1= −xuxv + yuyv + zuzv

G :=< xv , xv >1= −x2v + y2

v + z2v

Prvu fundamentalnu formu možemo opisati sljedecom simetricnommatricom:

I =

(E FF G

)Josip Klicinovic (PMF-MO) Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog Zagreb, srpanj 2009. 34 / 63


Kvadratna formaKvadratna forma je

pozitivno definitna ako i samo ako su sve svojstvene vrijednostimatrice strogo pozitivne

indefinitna ako i samo ako postoje barem dvije svojstvene vrijednostimatrice razlicite od nula i suprotnog predznaka.

Vrste plohaPloha S je:

prostorna ako joj je prva fundamentalna forma pozitivno definitna

vremenska ako joj je prva fundamentalna forma indefinitna

izotropna ako je rang njene prve fundamentalne forme 1



Dvoplošni hiperboloid

x(u, v) =(cosh u, sinh u cos v , sinh u sin v)

E = 1F = 0G = sinh2 u

I =

(1 00 sinh2 u

)Prostorna ploha!



Jednoplošni hiperboloid

x(u, v) =(sinh u, cosh u cos v , cosh u sin v)

E = −1F = 0G = cosh2 u

I =

(−1 00 cosh2 u

)Vremenska ploha!



Svjetlosni stožac

x(u, v) = (u, v ,±√

u2 + v2)

E = −1 + u2

u2−v2

F = uv√u2−v2

G = 1 + v2

u2−v2

I =

−1 + u2

u2−v2uv

u2−v2

uvu2−v2 1 + v2

u2−v2

Rang matrice = 1.Svjetlosna ploha!


Plohe u prostoru Minkowskog (12/18)Druga fundamentalna forma

Gaussovo preslikavanje

Gaussovo preslikavanje za prostornu plohu (kojoj je vektor normalevremenski vektor) je oblika

ν : U → S2(1) = {(x, y, z) ∈ R31 : −x2 + y2 + z2 = 1}.

Gaussovo preslikavanje vremenske plohe (kojoj je vektor normaleprostorni vektor) je oblika

ν : U → S2(−1) = {(x, y, z) ∈ R31 : −x2 + y2 + z2 = −1}.

Gaussovo preslikavanje je definirano formulom

ν =fu ×1 fv‖fu ×1 fv‖1

.



Lema

Neka je f : U → R31 ploha cije je Gaussovo preslikavanje definirano kao u

prethodnoj definiciji.Za svaki u ∈ U slika ravnine linearnog preslikavanja Dν|u : TuU → Tν(u)R

31

je paralelna sa tangencijalnom ravninom Tuf . Stoga možemo identificiratiTν(u)R

31 � Tf(u)R

31 ≤ R

31 i možemo zapisati da je u svakoj tocki dobro

definirano prelikavanjeDν|u : TuU → Tuf .

Nadalje, restrikcijom na sliku, preslikavanje Df |u je linearni izomorfizamDf |u : TuU → Tuf . U tom je slucaju i inverzno preslikavanje (Df |u)−1

takoder izomorfizam.



Weingartenovo preslikavanje

Preslikavanje L := −Dν ◦ (Df)−1 zove se Weingartenovo preslikavanje ilioperator oblika plohe.

Druga fundamentalna forma

Neka je f : U → R ploha cije je Gaussovo preslikavanjeν : U → S2 ⊂ R3

1. Za tangencijalne vektore X ,Y definiramo drugudiferencijalnu formu II plohe f sa

< II(X ,Y), ν >1=< LX ,Y >1,

odnosnoII(X ,Y) =< LX ,Y >1< ν, ν >1 ν.



Zapisano koordinatno:

II(∂f∂ui

,∂f∂uj

)= hijν = ε

⟨∂2f

∂ui∂uj, ν

⟩1ν,

gdje je ε =< ν, ν >1∈ {−1, 1}.



Gaussove (fundamentalne) velicine drugog reda

Neka je ploha M zadana parametarski saf(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tada za plohu M definiramo funkcijeL ,M,N : U → R na sljedeci nacin:

L := ε ·

⟨∂2f∂u2

i

, ν

⟩1

= ε · h11

M := ε ·

⟨∂2f

∂ui∂uj, ν

⟩1

= ε · h12 = ε · h21

N := ε ·

⟨∂2f∂u2

j

, ν

⟩1

= ε · h22



Drugu fundamentalnu formu možemo prikazati na sljedeci nacin:

II =

(L MM N

).


Plohe u prostoru Minkowskog (18/18)Gaussova i srednja zakrivljenost

Gaussova zakrivljenost

Gaussova zakrivljenost plohe u prostoru Minkowskog definirana jerelacijom

K =det(hij)

det(gij)· ε =

LN −M2

EG − F2· ε, ε =< ν, ν >1 .

Srednja zakrivljenost

Srednja zakrivljenost plohe u prostoru Minkowskog definirana je relacijom

H =GL − 2FM + EN

2(EG − F2)· ε, ε =< ν, ν >1 .

Minimalna ploha

Ploha f : U → R31 je minimalna ako je njena srednja zakrivljenost jednaka

nuli, odnosno ako vrijedi H = 0.Josip Klicinovic (PMF-MO) Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog Zagreb, srpanj 2009. 45 / 63

Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (1/17)Definicija pravcastih ploha

Definicija pravcastih ploha

Ploha f : U → R31 se naziva pravcastom plohom ako dopušta

parametrizacijuf(u, v) = c(u) + v · X(u),

gdje je c diferencijabilna (ali ne nužno regularna) krivulja i X vektorskopolje duž krivulje c koje nigdje ne išcezava.

Lema - reparametrizacija pravcastih ploha

Neka je f(s, t) = c(t) + s · X(t) pravcasta ploha za koju vrijedi dXdt , 0 u

intervalu t1 < t < t2. Tada se ploha f može reparametrizirati na jedinstveninacin:

f∗(u, v) = c∗(u) + v · X∗(u),

tako da vrijedi: X∗ = X‖X‖1

, ‖X∗‖1 = 1 i < c′∗,X′∗ >1= 0.



Razvojne i vitopere plohe

Pravcasta ploha kojoj je Gaussova zakrivljenost u svakoj tockijednaka nuli (K = 0) naziva se razvojna ploha.

Pravcasta ploha kojoj je Gaussova zakrivljenost u svakoj tockirazlicita od nule (K , 0) naziva se vitopera ploha.



Klasifikacija razvojnih pravcastih ploha

Cilindricne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = c(u) + vX , gdjeje c regularna krivulja, a X konstantno jedinicno polje duž krivulje c.

Konusne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = p + vX(u), gdje jep fiksna tocka (krivulja c je degenerirala u tocku). Konusne plohe nisuregularne u vrhu.

Tangentne plohe su plohe parametrizacije f(u, v) = c(u) + vc′(u),gdje je c regularna krivulja (bez smanjenja opcenitosti možemopretpostaviti da je parametrizirana duljinom lûka), a c′ njezinotangencijalno polje.


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (4/17)Primjeri pravcastih ploha - jednoplošni hiperboloid

f(u, v) = (v , cos u − v sin u, v cos u + sin u) == (0, cos u, sin u) + v · (1,− sin u, cos u)

E = 1 + v2

F = 1G = 0

I =

(1 + v2 1

1 0

)Vremenska ploha⇒ ε =< ν, ν >1= 1

fu ×1 fv = (v , cos u − v sin u, sin u + v cos u)‖fu ×1 fv‖1 = 1

L = −1 − v2

M = −1N = 0

K = 1

H = 1


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (5/17)Primjeri pravcastih ploha - jednoplošni hiperboloid


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (6/17)Primjeri pravcastih ploha - cilindar

f(u, v) = (v , sin u, cos u) = (0, sin u, cos u) + v · (1, 0, 0)

E = 1F = 0G = −1

I =

(1 00 −1


fu ×1 fv = (0,− sin u,− cos u)‖fu ×1 fv‖1 = 1

L = 1M = 0N = 0

K = 0

H = 12


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (7/17)Primjeri pravcastih ploha - cilindar


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (8/17)Primjeri pravcastih ploha - hiperbolicki paraboloid (hipar)

f(u, v) = (u, v , uv) = (u, 0, 0) + v · (0, 1, u)

E = −1 + v2

F = uvG = 1 + u2

I =

(−1 + v2 uv

uv 1 + u2

)Prostorna ploha⇒ ε =< ν, ν >1= −1

fu ×1 fv = (v ,−u, 1)

‖fu ×1 fv‖1 =√| − v2 + u2 + 1|

ν =

(v√

|−v2+u2+1|, −u√|−v2+u2+1|

, 1√|−v2+u2+1|

)L = 0M = −1√

|−v2+u2+1|N = 0

K = 1(u2−v2+1)

√|u2−v2+1|

H = 2uv(u2−v2+1)

√|u2−v2+1|


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (9/17)Primjeri pravcastih ploha - hiperbolicki paraboloid (hipar)


Pravcaste plohe u prostoru Minkowskog (10/17)Minimalne plohe - minimalna ploha 1

f(u, v) = (au, v cos u, v sin u) = (au, 0, 0) + v(0, cos u, sin u), a , 0

E = −a2 + v2

F = 0G = 1

I =

(−a2 + v2 0

0 1

)Za |v | > a prostorna ploha⇒ ε =< ν, ν >1= −1Za |v | < a prostorna ploha⇒ ε =< ν, ν >1= 1

fu ×1 fv = (v ,−a sin u, a cos u)

‖fu ×1 fv‖1 =√| − v2 + a2|

ν =

(v√

|−v2+a2 |, −a sin u√|−v2+a2 |

, a cos u√|−v2+a2 |

)L = 0M = ε a√

|−v2+a2 |

N = 0

K = −ε a2

(−a2+v2)·|−v2+a2 |

H = 0

K =

{> 0, |v | > a< 0, |v | < a



f(u, v) = (v sinh u, v cosh u, au) = (0, 0, au) + v(sinh u, cosh u, 0), a , 0

E = −v2 + a2

F = 0G = 1

I =

(−v2 + a2 0

0 1

)Za |v | < a prostorna ploha⇒ ε =< ν, ν >1= −1Za |v | > a vremenska ploha⇒ ε =< ν, ν >1= 1

fu ×1 fv = (a cosh u, a sinh u, v)

‖fu ×1 fv‖1 =√| − a2 + v2|

ν =

(a cosh u√|−a2+v2 |

, a sinh u√|−a2+v2 |

, v√|−a2+v2 |

)L = 0M = ε −a√

|−a2+v2 |

N = 0

K = −ε a2

(−v2+a2)·|−a2+v2 |

H = 0

K =

{> 0, |v | < a< 0, |v | > a



f(u, v) = (v cosh u, v sinh u, au) = (0, 0, au) + v(cosh u, sinh u, 0), a , 0

E = v2 + a2

F = 0G = −1

I =

(v2 + a2 0

0 −1


fu ×1 fv =(a sinh u, a cosh u,−v)‖fu ×1 fv‖1 =

√a2 + v2

ν =

(a sinh u√

a2+v2, a cosh u√

a2+v2, −v√

a2+v2

)L = 0M = a√

a2+v2

N = 0

K = a2

(v2+a2)2

H = 0

K > 0,∀a ∈ R\0



f(u, v) =(a(

u3

3 + u)+ uv , a

(u3

3 + u)− uv , au2 + v

)=

=(a(

u3

3 + u), a

(u3

3 − u), au2

)+ v(u, u, 1), a , 0

E = −4avF = 0G = 1

I =

(−4av 0

0 1

)Za av < 0 prostorna ploha⇒ ε =< ν, ν >1= −1Za av > 0 vremenska ploha⇒ ε =< ν, ν >1= 1

fu ×1 fv = (a + au2 − v ,−a + au2 − v , 2au)‖fu ×1 fv‖1 = 2

√|av |

ν =(

a+au2−v2√|av |

, −a+au2−v2√|av |

, 2au2√|av |

)L = 0M = ε −a√

|av |N = 0

K = ε −a2

4av |av |

H = 0

K < 0,∀a ∈ R\0


...za kraj...

.

..kraj jednog puta je pocetak drugog puta...


diplomski rad josip klicinoviˇ c´ - vipnet.hrkjosip.net.amis.hr/prezentacije/diplomski -...

Documents