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José Agüera Soriano 2011 1

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

José Agüera Soriano 2011 2

• EQUILIBRIO DE UN LÍQUIDO• LÍQUIDO EN REPOSO• LÍQUIDO GIRANDO ALREDEDOR DE EJE VERTICAL• LÍQUIDDO UNIFORMEMENTE ACELERADO • MANÓMETROS • FUERZA SOBRE UNA PARED• PRESAS

ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS

José Agüera Soriano 2011 3

Concepto de equilibrio Cuando no existe movimiento relativo de unas partículasrespecto a otras. No hay pues gradiente de velocidadentre capas: el fluido se comporta como no-viscoso y se mueve como si fuera un sólido.

G

cF

R

José Agüera Soriano 2011 4

Ecuación de equilibrio

F

z

x

y

A d y Ed x

HDd z

B

C G

p M x , y , z( ) p d p+N

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅dzdydxZdzdydxYdzdydxX

dzdydxRdmRρρρ

ρ

),,( zyxXX =

),,( zyxYY =

),,( zyxZZ =

José Agüera Soriano 2011 5

F

z

x

y

A dy Edx

HDdz

B

C G

p M x, y, z( ) p dp+N

),,( zyxpp =

dzzpdy

ypdx

xpdp ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

dyypdp ⋅

∂∂

=

;

Yyp

dzdydxYdzdxdyyp

⋅=∂∂

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂

ρ

ρ

Entre M y N,

José Agüera Soriano 2011 6

ZzpY

ypX

xp

⋅=∂∂

⋅=∂∂

⋅=∂∂ ρρρ ; ;

)( dzZdyYdxXdzzpdy

ypdx

xp

⋅+⋅+⋅⋅=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂ ρ

)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ

0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX

Condiciones de equilibrio

Ecuación de equilibrio

Ecuación de las isobaras

F

z

x

y

A dy Edx

HDdz

B

C G

p M x, y, z( ) p dp+N

José Agüera Soriano 2011 7

ap

x

z

y

M

g

SLLLíquido en reposo

X = 0Y = 0Z = − g

0 ;0 ==⋅− dzdzg

Kz =

Ecuación de las isobaras

∫ ⋅−⋅=− 2 112 dzgpp ρ )( 2112 zzpp −⋅=− γ

Diferencia de presión entre dos puntos

0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX

José Agüera Soriano 2011 8

)( 2112 zzpp −⋅=− γ

Presión en un punto

: :

⋅=⋅+=

⋅=−hprelativapresión

hppabsolutapresiónhpp a

a γγ

γ

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ)( 2112 zzpp −⋅=− γ

plano de referencia

z1

h

H

1

SLL

/p γ=1 1

M

2z

2z

2ph =2 γ/

ap

/=h p γ

José Agüera Soriano 2011 9

zgm ⋅⋅

J/kg zg ⋅

EHgzgpzgp=⋅=⋅+=⋅+ 2

21

1

ρρ

Multiplicando por g, los términos resultantes representanenergía por unidad de masa. En el S.I. de Unidades, (N m, ó J); y por kilogramo:

la energía total, suma de la energía de presión y de la de posición, es la misma en todos los puntos de un líquido en reposo.

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ

zgm ⋅⋅

José Agüera Soriano 2011 10

gZyYxX

2

2

−=⋅=

⋅=

ω

ω

0=⋅+⋅+⋅ dzzdyYdxX

0 22 =⋅−⋅⋅+⋅⋅ dzgdyydxx ωω

KzgrKzgyx =⋅⋅

−=⋅⋅

−+ 22

222 2 y/o 2

ωω

Líquido girando alrededor de un eje vertical

Familia de isobaras: paraboloides de revolución.

x

z

( )

·2 x

gg

r M

2·yy

·2=Fc

x, y, zr

José Agüera Soriano 2011 11

)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ

)( 22 dzgdyydxxdp ⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅= ωωρ

( ) ( )21

21

222

12 2zgyxpp ⋅⋅−+⋅⋅=− ρωρ

)()(2 12

21

22

2

12 zzrrpp −⋅−−⋅⋅=− γωρ

Diferencia de presión entre dos puntos

máxpp=preferencia

plano de

máx

H

rR

z1

2z2

γ/p1

=p ppa

/12p γ

H

José Agüera Soriano 2011 12

z

y

x

γp/

H zg

-aa

M

gZaY

X

−=−=

=

0

0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX

Kygaz +⋅−=

gatg −=α

Líquido uniformemente acelerado Aceleración horizontal

dygadz

dzgdya

⋅−=

=⋅−⋅−

;0

Familia de isobaras: planos inclinados paralelos al eje x.

José Agüera Soriano 2011 13

)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ)( dzgdyadp ⋅−⋅−⋅= ρ

)()( 212112 zzyyapp −⋅+−⋅⋅=− γρ

Hzpzp=+=+ 2

21

1

γγ

Diferencia de presión entre dos puntos

Si los puntos 1 y 2 están en un mismo plano paralelo al x-z (y1 = y2):

en general, la diferencia de presión entre dos puntos de una masa líquida en equilibrio que estén en la misma vertical, viene dada por el producto g · ∆z en todos aquelloscasos en los que, Z = − g.

José Agüera Soriano 2011 14

h

M

MANÓMETROS

Tubos piezométricosPresión positiva

hp ⋅= γM

Presión negativa

⋅+===

=hpp

pppp a

γM2

121

(relativo) 0

hp ⋅−= γM

h

M

1 2

h

M

José Agüera Soriano 2011 15

Manómetros de aire libre

p2 = p3 p3 = p4

hphpp ′⋅+=′⋅+= γγ 24M

hhp m ′⋅+⋅= γγM

que además se deduce directamente.

γ mMγ

h

3

'h

4 2

1

José Agüera Soriano 2011 16

Manómetros diferenciales

hpphpppp

pppmm ⋅+=⋅+=

===

γγ 514354

321 ;

221151NM225N

111M )( hhpppphpphpp

⋅−⋅+−=−

⋅+=⋅+=

γγγγ

2211NM hhhpp m ⋅−⋅+⋅=− γγγ

h

54

γ

1γmγ

N

1 M

1 2 3

2

2h

h

José Agüera Soriano 2011 17

Manómetros metálicos

José Agüera Soriano 2011 18

extensímetro

Manómetros eléctricos

bobinasecundaria nº2

bobinasecundaria nº1

bobina primaria

tubo bourdon

José Agüera Soriano 2011 19

+ s _

altapresión

presiónbaja

potenciómetro

carcasacápsula diafragma

placa basecristal decuarzosoldado

al arco

casquilloal puntosoldado

eléctricoconductor

carcasaconector

Manómetros eléctricos

José Agüera Soriano 2011 20

FUERZA DE UN LÍQUIDO SOBRE UNA PARED

Pared horizontal

pa

h Fap

AhApF ⋅⋅=⋅= γ pa

Para efectos de fuerzas sobreparedes, las presiones que intervienen son lógicamente las relativas, ya que la presión del entorno queda compensadaal actuar por dentro y por fuera.

siendo A el área de la pared.

José Agüera Soriano 2011 21

dAxdAhdApdF ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= αγγ sen

AhApF ⋅⋅=⋅= GG γ

Pared plana inclinada

x

CxG

α

x

CM( )x, y

A

x

αα

G

h hG

hgC

F·sen=h x

xCG

h = ·C senG

·=h x senα

SLLEl plano y-x es el quecontiene a la superficieA (área A), formandoun ángulo α conla SLL.

y

x

José Agüera Soriano 2011 22

Centro de presiones C

x

CxG

α

x

CM( )x, y

A

x

αα

G

h hG

hgC

F·sen=h x

xCG

h = ·C senG

·=h x senα

SLL

y

x

dFxFxA∫ ⋅=⋅C

yAIdAxAxx =⋅=⋅⋅ ∫ 2

GC

AxI

x y

⋅=

GC

)sen( )sen( GC

dAxxAxx

A ⋅⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅

∫ αγαγ

siendo Iy el momento de inercia de la superficie A, respecto al eje y.

José Agüera Soriano 2011 23

Es mejor expresarlo respecto del eje g, paralelo al eje y, y que pasepor el centro de gravedad G de la superficie A (Ig):

AxII gy ⋅+= 2G

AxI

xx g

⋅+=

GGC

)( G AxI g ⋅ GC

0GC =

GC

teorema de Steiner

El término

Si giramos la superficie A alrededor del eje g, la línea de intersección(eje y) con la SLL se aleja a medida que el ángulo α disminuye; es decir, la abscisa xG aumenta y el punto C se iría aproximando a G:

cuando α = 0, y es infinito cuando α = 90º.

xG

y

AG

g

xes igual a

José Agüera Soriano 2011 24

x

xGhG=

Ch =xC

SLL

α

FC

GA

y

x

Pared vertical

AhI

hh g

⋅+=

GGC

Cuanto más sumergida esté la superficie A, mayor será la altura hG y en consecuencia menor la distancia entre G y C.

José Agüera Soriano 2011 25

b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z

dzbzdApdF

⋅⋅⋅==⋅=

γ

∫ ⋅⋅⋅=h dzzbF

0γ

2

2hbF ⋅⋅= γ

EJERCICIO Calcúlese la fuerza y el centro de presiones sobre un rectángulovertical, cuando el lado superior emerge o coincide con la superficie libre del líquido. Resuélvase: a) sin aplicar las fórmulas (a modo de ejercicio teórico); b) aplicando las fórmulas.

Solución Sin aplicar las fórmulas

José Agüera Soriano 2011 26

b

S L L

A

G

C

GhCh

b

h

d z

z

b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z

∫ ⋅=⋅h dFzFh

0C

3

2

3

0 2

C

2 hbdzzbhhb h⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫ γγγ

hh ⋅=32

C

José Agüera Soriano 2011 27

22

2

GhbhbhAhF ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= γγγ

622/12/

2

3

GGC

hhhhb

hbhhA

Ihh g +=

⋅⋅⋅

+=⋅

+=

hh ⋅=32

C

Aplicando las fórmulas

b

SLL

A

G

C

GhCh

b

h

dz

z

José Agüera Soriano 2011 28

hF

hC

h

SLL

F

dx

Mh

A''

C

A

Fd h

G

2h

B''G

1h

d

Fv

dzN

Bv

z

A M'

b

B'N' '

dxbzdApdFv ⋅⋅⋅=⋅= γ

∫∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=B

A

B

ANN'MM' área bdxzbFv γγ

BB'AA'áreabFv ⋅⋅= γ

Pared curva Componente vertical

fuerza de gravedad de lamasa de líquido que quedasobre la superficie.

A veces es más sencillo utilizar esta característica en superficiesplanas inclinadas.

José Agüera Soriano 2011 29

hF

hC

h

SLL

F

dx

Mh

A''

C

A

Fd h

G

2h

B''G

1h

d

Fv

dzN

Bv

z

A M'

b

B'N' '

Componente horizontal La componente horizontal será la fuerza sobre el rectánguloA”B”, proyección de la pared AB sobre un plano vertical.

Punto de aplicación

G

2

GG

3

GG

GC 1212/

hhh

hbhhbh

AhI

hh g

⋅+=

⋅⋅⋅

+=⋅

+=

José Agüera Soriano 2011 30

21 vvv FFF −=

( )MAA'M'áreaMBB'M'área −⋅⋅= bFv γ

Si la pared curva fuese como la AMB:

GMhF C

A

2Fv

F 1v

B

MSLL ' 'A B'

José Agüera Soriano 2011 31

' SLLBA'

hF BCAF

N

v

F

Fv

v

C

1

M

C

2

2

1

hF

EJERCICIO

Εl principio de Arquímedes dice que todo cuerpo sumergido enun líquido sufre un empuje hacia arriba igual al peso del líquidoque desplaza. Comprobarlo basándose en el epígrafe anterior, y analizar la causa que origina dicho empuje. Solución

plazadoíquido despeso del lerpovolumen cuáreab

áreab-áreabFv

==⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅⋅=

AMBNA

AMBB'A'ANBB'A' γγγγ

SLL

vF

José Agüera Soriano 2011 32

221

mhhahapaE m

+⋅⋅=⋅⋅=⋅= γγ

221

221hhahaEEE −

⋅⋅+⋅⋅=+= γγ

221

2hhakhaE −

⋅⋅⋅+⋅⋅= γγ

Presa de gravedad Fuerzas del agua sobre la presa

SLL

A

h1

γ h1··h2γ

Fh1

e inspección

EE

2

aa mp·=

1E

FrG

BvF 2 2h

2hF

SLL

1vF

galería de drenaje

Fh1, Fh2, Fv1, Fv2, y ademásel empuje E:

José Agüera Soriano 2011 33

SLL

A

h1

γ h1··h2γ

Fh1

e inspección

EE

2

aa mp·=

1E

FrG

BvF 2 2h

2hF

SLL

1vF

galería de drenaje

Fuerza que contrarresta la acción del agua

)( 21 EFFGF vvr −++⋅= µ

El rozamiento de la presa sobre la base: fuerzas verticales multiplicadas por un coeficiente de fricción, µ

José Agüera Soriano 2011 34

A BC A B A AB C BC C

(b)(a) (c) (d)

vR Rv vR

D

Rv

Posibilidad de vuelco

GEFFFFR vvhh +++++= 2121

ha de cortar a la base entre A y B, más aún, en el tercio central de la misma y cuanto más centrado mejor. En efecto:

R R RR

José Agüera Soriano 2011 35

EJERCICIOEstúdiese el deslizamiento y el vuelco de la presa de la figura.Densidad del material: ρm = 2400 kg/m3.Coeficiente de rozamiento: µ = 0,4.Coeficiente: k = 0,5.Solución

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

José Agüera Soriano 2011 36

kN/m 1059,5 N/m 105,1059 2/330240081,9 1

31m1

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

kN/m 6,5313 N/m 106,3531 530240081,91

32m2

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

kN/m 4,4167N/m 104,7416

2/2130240081,913

3m3

=⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ

Fuerza de gravedad de la presa

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

José Agüera Soriano 2011 37

Empuje sobre la base

kN/m 7,21332

30100081,9295,0

221

2

=⋅⋅⋅⋅=

=−

⋅⋅⋅+⋅⋅=hhakhaE γγ

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

José Agüera Soriano 2011 38

kN/m 4414,5 N/m 105,4414

13015100081,93

G

=⋅=

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= AhFh γ

kN/m 441,5N/m 105,441

2/3031100081,93 =⋅=

=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= áreabFv γ

Fuerza del agua sobre la presa

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

José Agüera Soriano 2011 39

Fuerza de rozamiento de la presa

kN/m 1,4126)7,21335,4415,12007(4,0)(

=−+⋅==−+⋅= EFGF vr µ

Al ser Fr < Fh, la presa deslizaría;habría que poner una cimentaciónadecuada para que esto no ocurra, o bien aumentar las dimensionesde la presa.

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m29 m

Fr

José Agüera Soriano 2011 40

G3

SLL

30 m

vF

2GG1

E

A B

21 m5 m

hF

3 m

h

E

A

1GhF

3G

G2

Fv

SLL

BD H C

R

29 m

Estudio del vuelcoLa suma de momentos respecto del punto C, por donde pasa la resultante R, ha de ser nula:

0HB31AHAC

DH21ADAC AD

32AC

AD31ACAB

31AC

3

3

21

=

−−⋅−

−

−−⋅−

−⋅−

−

−⋅−

−⋅+⋅

G

GG

FEhF vh

José Agüera Soriano 2011 41

03218AC4,7416

253AC6,3531

332AC5,1059

33AC5,441

329AC7,2133

3305,4414

=

−−⋅−

−

−−⋅−

−

⋅−⋅−

−⋅−

−

−⋅+⋅

156742AC3,10315 =⋅

m 20,15AC =

m, 29AB =Como el punto C ha quedado casi en el centro, por lo que el reparto de esfuerzos sobre la base es bastante uniforme.

h

E

A

1GhF

3G

G2

Fv

SLL

BD H C

R

José Agüera Soriano 2011 42

F

José Agüera Soriano 2011 43

F

José Agüera Soriano 2011 44

compuerta

José Agüera Soriano 2011 45